數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂導(dǎo)學(xué)第一講第一節(jié)平行線等分線段定理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、平行線分線段成比例定理及推論的應(yīng)用【例1】如圖1—1-1,已知△ABC中，AD是BC邊上的中線,E為AD中點(diǎn),BE的延長(zhǎng)線交AC于F。圖1-1—1求證：AF=AC.思路分析：欲證AF=AC，只要取FC的中點(diǎn)G,然后證AF=FG=GC即可，或者過D作DG∥BF,再證AF=FG=GC。證法一：取FC中點(diǎn)G,∵BD=DC,∴DG為△BFC的中位線?！郉G∥EF.在△ADG中，E為AD中點(diǎn),∴F為AG中點(diǎn)?！郃F=FG=GC?！郃F=AC。證法二:過D作DG∥BF交AC于G。在△ADG中,E為AD中點(diǎn),∴AF=FG。在△BCF中，D為BC中點(diǎn)，∴FG=GC?！郃F=FG=GC?！郃F=AC。溫馨提示證法一利用取中點(diǎn)和中位線定理得平行，然后再利用定理及推論證得線段相等。證法二是作平行線,直接利用定理或推論。二、線段和差的證明問題【例2】如圖1—1-3，ABCD中，AC、BD相交于O，以A為端點(diǎn)引射線AM，分別過B、C、D向AM作垂線,垂足分別為B′、C′、D′。求證：AD′=B′C′。圖1—1—3思路分析：平行四邊形對(duì)角線互相平分,容易看出O是△AC′C的邊AC的中點(diǎn),也是梯形BDD′B′的腰BD的中點(diǎn).為此,只要過O作OO′⊥AM或OO′∥DD′易得O′分別為AC′和B′D′的中點(diǎn),即O′A=O′C′,O′D′=O′B′,兩式相減即得證.證明:作OO′⊥AM，O′為垂足,∵ABCD為平行四邊形,∴AO=CO,BO=DO.又∵DD′,OO′，BB′，CC′都垂直于AM,∴DD′∥OO′∥BB′∥CC′?！郞′A=O′C′，O′D′=O′B′。∴O′A—O′D′=O′C′-O′B′，即AD′=C′B′。三、探索線段間的關(guān)系【例3】如圖1-1-5，已知M是AB中點(diǎn)，A、B在l的兩側(cè),分別過A、B、M作直線l的垂線，垂足分別為C、D、N.請(qǐng)?zhí)接慉C、BD、MN的關(guān)系并證明.圖1—1—5（1)思路分析:假設(shè)B、D重合,則圖形變?yōu)閳D1—1-5（2).圖1-1—5(2）∵AC⊥l,MN⊥l,∴MN∥AC。又∵M(jìn)是中點(diǎn)，∴N是BC中點(diǎn)，MN是△ABC的中位線.∴MN=AC。而當(dāng)B、D不重合時(shí),要么MN=(AC+BD),要么MN=(AC-BD).通過觀察,A、B在l異側(cè)時(shí)MN＜AC，因此我們猜想MN=（AC—BD）.下面我們給出猜想的證明。解：如圖1-1—5(1)，連結(jié)DM并延長(zhǎng)交AC于E，∵AC、MN、BD都垂直于l，∴AC∥MN∥BD.又∵M(jìn)是中點(diǎn)，∴N是CD的中點(diǎn).∴MN是△CDE的中位線.∴MN=EC=（AC—AE).∵AE∥BD，∴∠A=∠B。在△AME和△BMD中,∴MN=（AC-BD)。溫馨提示容易證明A、B在l同側(cè)時(shí)，MN=(AC+BD）.各個(gè)擊破類題演練1如圖1—1-2,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC，M是CD的中點(diǎn)，求證：MA=MB.圖1—1-2證法一:過M點(diǎn)作MN∥BC交AB于N，則AD∥MN∥BC?！逥M=MC,∴AN=MC。又∵AB⊥BC,∴MN⊥AB?！郙N是AB的垂直平分線。∴MA=MB。證法二：取AB中點(diǎn)N，∵AN=BN,DM=MC,∴MN是梯形ABCD的中位線.∴MN∥AD∥BC.又∵AB⊥BC,∴MN⊥AB.∴MN是AB的中垂線。∴MA=MB.類題演練2如圖1-1—4,已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是AB、DC的中點(diǎn)，連結(jié)EF,交BD于G,交AC于H.求證:GH=(BC—AD).圖1—1-4證明：∵E、F為AB、CD的中點(diǎn)，∴EF為梯形ABCD的中點(diǎn),∴EF∥AD∥BC.∴BG=DG，AH=CH。∴EG、EH分別為△ABD和△ABC的中位線.∴EH=BC,EG=AD?！郋H-EG=BC-AD.∴GH=(BC-AD)。溫馨提示在證明線段相等時(shí)有時(shí)，通過將有關(guān)線段作和、差來(lái)證明。類題演練3如圖1—1—6,梯形ABCD中，AB∥CD，G、H分別是梯形對(duì)角線的中點(diǎn).圖1—1-6探討GH與AB、CD的關(guān)系.解析：猜想當(dāng)A、B重合，AC與BC重合，梯形變?yōu)槿切?，如圖1—1—6.由三角形中位線定理知GH=CD。一般地,GH肯定與AB有關(guān),可能GH=（CD+AB）或GH=(CD-AB).通過觀察，GH不大于CD，所以猜想GH=（CD—AB)。下面給出證明。證明：如圖1—1—7，圖1—1—7連結(jié)AH并