數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂導(dǎo)學(xué)二維形式的柯西不等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一,利用二維形式的柯西不等式證明不等式【例1】（1)如果a,b〉0，且a≠b,求證：a3+b3〉a2b+ab2.（2）如果a，b>0且a≠b，求證:a5+b5〉a3b2+a2b3.證明:(1)（a3+b3)（a2b+ab2)=［（）2+(）2］［(）2+（）2］≥（··b+··a）2=（a2b+ab2)2，“=”成立的條件是··a=··b,即a=b時(shí)成立，但a≠b,故“＝”不成立.∴(a3+b3）（a2b+ab2）>(a2b+ab2）2.∴a3+b3〉a2b+ab2.（2)(a5+b5)(a+b)=[（)2+(）2］[（）2+（)2］>（·+·)2=（a3+b3)2。由（1)知a3+b3〉a2b+ab2,∴(a5+b5)（a+b)〉(a2b+ab2)2=a2b2（a+b）2.∴a5+b5>a2b2(a+b）=a3b2+a2b3.∴原不等式成立。溫馨提示要利用二維形式的柯西不等式，就需要想法把要證的不等式寫成兩數(shù)平方和與另兩數(shù)平方和的乘積的形式或者出現(xiàn)“乘積和的形式”（即兩個(gè)數(shù)的乘積與另兩個(gè)數(shù)的乘積之和的形式）.各個(gè)擊破類題演練1設(shè)a,b，c均為正實(shí)數(shù)，且acos2θ+bsin2θ<c.求證：cos2θ+sin2θ<。證明:∵acos2θ+bsin2θ<c（a，b,c〉0），∴（cos2θ+sin2θ)2=［(cosθ)·cosθ+（sinθ)·sinθ］2≤［（cosθ)2+（sinθ）2］·(cos2θ+sin2θ)=acos2θ+bsin2θ〈c。故cos2θ+sin2θ<.變式提升1證明下列不等式:(1)a，b，c∈R+,（a+b+c）（)≥4.（2)α為銳角，（1+)(1+）≥3+.證明:(1）（a+b+c）（)=［(a+b）+c］()≥(1+1）2=4。等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)=k(a+b)且=k·c時(shí)取得,即（a+b)2=c2時(shí)取等號(hào)。(2)(1+)（1+)≥(1+）2=()2≥(1+)2=3+，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)α=時(shí)取得，此時(shí)且sin2α=1.二、利用二維形式的柯西不等式求最值【例2】直線l經(jīng)過(guò)第一象限內(nèi)的點(diǎn)M（a，b)，與x，y軸的正半軸相交于點(diǎn)P,Q,求線段PQ的最小值，及取得最小值時(shí)直線的方程.解析:設(shè)l的方程為=1（m，n>0）,則=1,引進(jìn)待定常數(shù)(a2α+b2α）(α∈R）。由柯西不等式得（m2+n2)（a2α+b2α)≥(maα+nbα)2=(maα+nbα）2·12=(maα+nbα)2(）2=［(maα+nba）（）］2≥[（)2］2=（)4.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),第一個(gè)不等式取等號(hào);當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),第二個(gè)不等式取等號(hào).因此當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)等號(hào)同時(shí)成立時(shí),即α=,亦即α=時(shí)，(）(）≥（）4取等號(hào).所以｜PQ｜=≥(）,|PQ｜min=().此時(shí)k=,∴l(xiāng)：y—b=（x-a）。類題演練2設(shè)x〉0，y>0,x+y≤4,求的最小值.解析：4（）≥（x+y)（)≥（1+1)2=4,∴的最小值為1。等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)取得。變式提升2求橢圓=1的切線夾在兩條坐標(biāo)軸之間的線段的最小值。解析：設(shè)M（x0，y0）是橢圓上任一點(diǎn),則=1.經(jīng)過(guò)M點(diǎn)的切線為l:=1,l與x,y軸分別相交于點(diǎn)P（,0),Q(0,).|PQ|2=（）2+（）2=［(）2+（）2]（)≥（·+）2=（a+b)2.當(dāng)且僅當(dāng)即|x0｜=，｜y0|=時(shí)等號(hào)成立.于是|PQ｜min=a+b。三、利用二維柯西不等式解決其他問(wèn)題【例3】求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（5,1）與橢圓=1相切的切線方程.解析：設(shè)直線方程為Ax+By+C=0，由經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5,1)得C=-(5A+B）。于是直線方程可表示為A（x—2）+B(y+3）=3A+4B.由柯西不等式得(3A+4B)2=［A（x—2)+B（y+3）]2=［3A·+2B·]2≤(9A2+4B2)［］=9A2+4B2。直線與橢圓相切時(shí)不等式取等號(hào),即（3A+4B)2=9A2+4B2，解得B=0或B=—2A。所以要求的切線方程為x-5=0和x—2y—3=0.溫馨提示研究直線與圓錐曲線的常規(guī)方法是采用代入消元,化為一元二次方程,然后利用根的判別式求解,因這類問(wèn)題常含有待定字母，導(dǎo)致解題過(guò)程冗長(zhǎng),計(jì)算煩瑣.本例引用柯西不等式解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題,可以減少計(jì)算，增強(qiáng)直觀.一些題目通過(guò)觀察，簡(jiǎn)單拼湊,即可達(dá)到目的,并且解題后易于復(fù)查。因此,適當(dāng)引用柯西不等式解決幾何中的含參數(shù)問(wèn)題,確實(shí)是一個(gè)十分有效的好方法.類題演練3已知直線y=（1-x）tanθ與雙曲線—x2+y2cos2θ=1相切（—〈θ〈)。求切線方程和切點(diǎn)坐標(biāo).解析：由柯西不等式，y2=（1—x)2tan2θ=[1·1+(—1)·x］2tan2θ≤2（1+x2)tan2θ=2y2cos2θtan2θ=2y2sin2θsin2θ≥.當(dāng)且僅當(dāng)，即x=-1時(shí)，sin2θ=,此時(shí),由—〈θ〈得θ=±.所以切線方程為y=x—1和y=1—x，切點(diǎn)為(—1，±2）.變式提升3已知2x+y=1，求