北京市豐臺(tái)區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題含答案及解析

豐臺(tái)區(qū)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中練習(xí)高二數(shù)學(xué)考試時(shí)間：120分鐘第I卷（選擇題共40分）一、選擇題：本部分共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出最符合題意的一項(xiàng).1.已知，，且，則（）A. B. C.2 D.102.若直線過(guò)兩點(diǎn)和，則直線傾斜角為（）A. B. C. D.3.過(guò)點(diǎn)，且橫、縱截距相等的直線方程為（）A.或 B.或C.或 D.或4.已知以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（）A.在圓內(nèi) B.在圓上C.在圓外 D.無(wú)法判斷5.如圖，在平行六面體中，，為線段CH的中點(diǎn)，則可表示為（）A. B.C. D.6.在空間直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，則（）A. B.C. D.7.過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為的直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（）A.1 B.2 C. D.8.設(shè)A，B是x軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，且，若直線PA的方程為，則直線PB的方程為（）A B.C D.9.在棱長(zhǎng)為4的正方體內(nèi)有一點(diǎn)P，它到該正方體共頂點(diǎn)的三個(gè)面的距離分別為2，1，1，記正方體的中心為點(diǎn)O，則OP=（）A. B. C.2 D.10.在棱長(zhǎng)為2正四面體ABCD中，點(diǎn)M滿足=x+y-(x+y-1)，點(diǎn)N滿足=λ+(1-λ)，當(dāng)AM、BN最短時(shí)，·=（）A.- B. C.- D.第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.11.圓的圓心坐標(biāo)為_(kāi)__________；半徑為_(kāi)__________.12.已知直線，且的方向向量為，平面的法向量為，則______.13.已知兩平行直線，，則與間的距離是________.14.已知，，，若四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)___________.15.在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)及直線上任一點(diǎn)，稱(chēng)的最小值為點(diǎn)到直線的“切比雪夫距離”，記作.已知點(diǎn)和直線，則=________；若定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)所在的曲線所圍成圖形的面積是_________.三、解答題：本題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.已知直線過(guò)點(diǎn)，直線：．（1）若，求直線的方程；（2）若直線與軸和直線圍成的三角形的面積為，求直線的方程．17.如圖所示，在三棱柱中，，，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.（1）用表示向量；（2）求；（3）求證：.18.已知圓，圓及點(diǎn).（1）判斷圓和圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若斜率為直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與圓相切，求直線的方程.19.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)在上，且.（1）求直線與直線所成角的大??；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）若點(diǎn)在側(cè)面上，且點(diǎn)到直線和的距離相等，求點(diǎn)P到直線距離的最小值．20.如圖，在四棱錐中，平面，為等腰三角形，，，，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)．（1）求證：直線平面；（2）求直線到平面的距離；（3）試判斷棱上是否存在一點(diǎn)G，使平面與平面夾角的余弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21.已知圓M的圓心在y軸上，半徑為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作直線，交圓M于P，Q兩點(diǎn)（P，Q不在y軸上），過(guò)點(diǎn)D作與直線垂直的直線，交圓M于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，記四邊形EPFQ的面積為S，求S的最大值.

豐臺(tái)區(qū)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中練習(xí)高二數(shù)學(xué)考試時(shí)間：120分鐘第I卷（選擇題共40分）一、選擇題：本部分共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出最符合題意的一項(xiàng).1.已知，，且，則（）A. B. C.2 D.10【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量平行得到方程組，求出答案.【詳解】由題意得，即，所以，解得.故選：C2.若直線過(guò)兩點(diǎn)和，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)表示斜率，再利用斜率和傾斜角的關(guān)系，即得解【詳解】由題意，設(shè)直線的斜率為，傾斜角為故由于，故故選：B3.過(guò)點(diǎn)，且橫、縱截距相等的直線方程為（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】求出直線過(guò)原點(diǎn)和直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)直線的方程即可．【詳解】解：當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線的斜率為，則直線方程為；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，則，解得，所求的直線方程為，綜上知，所求直線方程為或．故選：D.4.已知以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（）A.在圓內(nèi) B.在圓上C.在圓外 D.無(wú)法判斷【答案】A【解析】【分析】計(jì)算出圓心到點(diǎn)的距離，比較與圓半徑的大小，可得出結(jié)論.【詳解】由題意，圓心，點(diǎn)，圓的半徑為，因?yàn)?，因此，點(diǎn)在圓內(nèi).故選：A.5.如圖，在平行六面體中，，為線段CH的中點(diǎn)，則可表示為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算分析求解即可.【詳解】由題可得：，所以.故選：B.6.在空間直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用對(duì)稱(chēng)性求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，再利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求得向量的坐標(biāo).【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，則，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，則，因此，.故選：A.7.過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為的直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】先得到過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為的直線的方程，求出圓心到直線的距離，利用垂徑定理進(jìn)行求解.【詳解】過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為的直線為，即，圓心到的距離，故直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為.故選：B8.設(shè)A，B是x軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，且，若直線PA的方程為，則直線PB的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】確定、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式可求直線PB的方程.【詳解】如圖：因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，且橫坐標(biāo)為2，所以點(diǎn)坐標(biāo)為2,3，點(diǎn)為直線與軸交點(diǎn)，所以，又點(diǎn)在軸上，且，則點(diǎn)2,0是的中點(diǎn)，所以，所以直線PB的方程為，即.故選：C.9.在棱長(zhǎng)為4的正方體內(nèi)有一點(diǎn)P，它到該正方體共頂點(diǎn)的三個(gè)面的距離分別為2，1，1，記正方體的中心為點(diǎn)O，則OP=（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)O，P坐標(biāo)，利用空間兩點(diǎn)間的距離公式，即可求得答案.【詳解】由題意知在棱長(zhǎng)為4的正方體內(nèi)有一點(diǎn)P，它到該正方體共頂點(diǎn)的三個(gè)面的距離分別為2，1，1，不妨設(shè)該頂點(diǎn)為D，以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，根據(jù)正方體的對(duì)稱(chēng)性，可取，故.故選：D10.在棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中，點(diǎn)M滿足=x+y-(x+y-1)，點(diǎn)N滿足=λ+(1-λ)，當(dāng)AM、BN最短時(shí)，·=（）A.- B. C.- D.【答案】A【解析】【分析】首先由向量的關(guān)系式得M∈平面BCD，N∈直線AC，由條件判斷點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由共面向量定理和共線向量定理可知，M∈平面BCD，N∈直線AC，當(dāng)AM、BN最短時(shí)，AM⊥平面BCD，BN⊥AC，所以M為△BCD的中心，N為AC的中點(diǎn)，此時(shí)，2||==，∴||=，∵AM⊥平面BCD，MC?平面BCD，∴AM⊥MC，∴||===.又=(+)，∴·=(·+·)=-||2=-.故選：A.第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.11.圓的圓心坐標(biāo)為_(kāi)__________；半徑為_(kāi)__________.【答案】①.②.【解析】【分析】配方后可得圓心坐標(biāo)和半徑．【詳解】將圓的一般方程化為圓標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心坐標(biāo)為，半徑為．故答案為：；．12.已知直線，且的方向向量為，平面的法向量為，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)線面的位置關(guān)系得直線的方向向量與平面法向量垂直，然后利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算列式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)橹本€，且的方向向量為，平面的法向量為，所以，解得.故答案為：13.已知兩平行直線，，則與間的距離是________.【答案】##【解析】【分析】利用兩直線平行可得，再利用平行線間的距離公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由兩直線平行可知，此時(shí)將可化為，所以與間的距離為.故答案為：14.已知，，，若四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)___________.【答案】3【解析】【分析】由共面向量基本定理結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算列式求解即可.【詳解】因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，所以存在實(shí)數(shù)，使得，即，所以，解得，所以.故答案為：.15.在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)及直線上任一點(diǎn)，稱(chēng)的最小值為點(diǎn)到直線的“切比雪夫距離”，記作.已知點(diǎn)和直線，則=________；若定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)所在的曲線所圍成圖形的面積是_________.【答案】①.②.【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，可得，討論的大小，可得距離，再由函數(shù)的性質(zhì)，求得最小值；運(yùn)用新定義，求得點(diǎn)的軌跡圖形，計(jì)算圖形的面積即可.【詳解】設(shè)為直線上一點(diǎn)，則，由，解得，即有，當(dāng)時(shí)，取得最小值，由，解得或，即有，的范圍為，無(wú)最小值，綜上，的最小值為，所以.設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為Px,y，則，等價(jià)于或，所以點(diǎn)的軌跡是以為中心，邊長(zhǎng)為的正方形，所以點(diǎn)所在的曲線所圍成圖形的面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查新定義理解和運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是正確理解新定義，注意與的區(qū)別.三、解答題：本題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16已知直線過(guò)點(diǎn)，直線：．（1）若，求直線的方程；（2）若直線與軸和直線圍成的三角形的面積為，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)垂直關(guān)系可求得直線斜率，結(jié)合直線方程的點(diǎn)斜式即得解；（2）分直線斜率不存在和斜率存在兩種情況討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線：，用表示面積，求解即可【小問(wèn)1詳解】設(shè)直線斜率為，直線的斜率為因?yàn)椋杂忠驗(yàn)?，所以又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)直線的方程為，即．【小問(wèn)2詳解】若直線斜率不存在，則直線：此時(shí)，直線與軸和直線圍成的三角形面積為，符合題意．若直線斜率存在，設(shè)直線的斜率為設(shè)直線：，與軸交點(diǎn)為點(diǎn)令，解得所以點(diǎn)坐標(biāo)為直線與直線的交點(diǎn)為點(diǎn)因?yàn)橹本€與軸和直線圍成的三角形面積為即即，可求得則直線的方程為綜上：直線方程為或．17.如圖所示，在三棱柱中，，，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.（1）用表示向量；（2）求；（3）求證：.【答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算結(jié)合空間向量基本定理求解即可；（2）利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解模長(zhǎng)即可；（3）先利用向量線性運(yùn)算得，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律及定義求得，即可證明.【小問(wèn)1詳解】；【小問(wèn)2詳解】，則；【小問(wèn)3詳解】，所以，所以，即.18.已知圓，圓及點(diǎn).（1）判斷圓和圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若斜率為的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與圓相切，求直線的方程.【答案】（1）圓和圓相交，理由見(jiàn)解析（2）或.【解析】【分析】（1）求出兩圓的圓心和半徑，比較圓心距與半徑和、差的關(guān)系，可得兩圓的位置關(guān)系.（2）設(shè)直線方程的點(diǎn)斜式，利用圓心到直線的距離等于遠(yuǎn)的半徑求，可得圓的切線方程.【小問(wèn)1詳解】圓方程可整理為：，則圓心，半徑，由圓方程可知：圓心，半徑，因?yàn)?，，，所以，所以圓和圓相交.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)過(guò)的直線斜率不存在，即直線為時(shí)，其與圓不相切，所以可設(shè)所求切線方程為：，即，所以圓心到切線的距離，即，解得：或，所以切線方程為：或，即或.19.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)在上，且.（1）求直線與直線所成角的大?。唬?）求直線與平面所成角的正弦值；（3）若點(diǎn)在側(cè)面上，且點(diǎn)到直線和的距離相等，求點(diǎn)P到直線距離的最小值．【答案】（1）（2）（3）1【解析】【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線與直線的方向向量運(yùn)算得解；（2）求出平面的一個(gè)法向量，利用向量法求解；（3）設(shè)出點(diǎn)，可得，利用點(diǎn)到直線距離公式求解.【小問(wèn)1詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：,則，，所以直線與直線所成角為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，因?yàn)?，所以，即，令，則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.【小問(wèn)3詳解】設(shè)，根據(jù)題意有，即，，則點(diǎn)到的距離，當(dāng)時(shí)，取得最小值1.所以點(diǎn)到的距離最小值為1.20.如圖，在四棱錐中，平面，為等腰三角形，，，，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)．（1）求證：直線平面；（2）求直線到平面的距離；（3）試判斷棱上是否存在一點(diǎn)G，使平面與平面夾角的余弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理可求得結(jié)果；（2）根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)，確定各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算平面的法向量，再根據(jù)線面之間的距離公式可求得結(jié)果；（3）假設(shè)存在，設(shè)，根據(jù)面面夾角的余弦值列得等式，求出值即可.【小問(wèn)1詳解】連接，如圖所示：，因?yàn)辄c(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；【小?wèn)2詳解】由（1）知直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，所以，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，