2021年高二數(shù)學(xué)暑期集訓(xùn)教材教師版

目錄

專項(xiàng)一數(shù)列...........................................................................2

第一講等差數(shù)列、等比數(shù)列........................................................2

第二講數(shù)列前n項(xiàng)和與數(shù)列的通項(xiàng).................................................14

第三講數(shù)列的求和...............................................................22

第四講數(shù)列秒殺技巧..............................................................33

專項(xiàng)二三角函數(shù)與解三角大題.........................................................33

專項(xiàng)三立體幾何.....................................................................53

儲(chǔ)備知識(shí)空間幾何體的三視圖與直觀圖(自學(xué)).....................................53

第一講空間幾何體的平行和垂直關(guān)系................................................65

第二講空間幾何體的求角、求距離..................................................65

(I)求證：A81_L平面A8O；..........................................................68

(II)求二面角A-AO-8的大?。?.....................................................68

第三講空間幾何體的表面積和體積.................................................71

專項(xiàng)四圓錐曲線.....................................................................86

儲(chǔ)備直線與圓的相關(guān)知識(shí)(復(fù)習(xí)).................................................86

第一、二講橢圓及其性質(zhì).........................................................92

第三、四講雙曲線及其性質(zhì)......................................................103

第五講拋物線..................................................................112

第六、七講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系............................................120

專項(xiàng)一數(shù)列

第一講等差數(shù)列、等比數(shù)列

知識(shí)梳理

等差數(shù)列等比數(shù)列

｛凡｝為等比數(shù)列O'包=q（q=0,為常數(shù)）

定義｛。“｝為等差數(shù)列-二d（常數(shù)）

=(n—1)d=即+(n—k)d=d〃+"i—

通項(xiàng)公式%=%qZ=a?i

d

〃(q+a〃)n(72-l)

!

S=-------=na.+------anai(q=1)

n212

求和公式斗=4(1一=")="一可"(#1)

\-q\-q

a+b

中項(xiàng)公式G2=ab推廣：an=an-mX

A二2推廣：2%=°+a“+nto

性

1

質(zhì)1

右m+n=p+q則"Pg若m+n=p+q,則°

2

若伏"成等差數(shù)列（其中心$N）,貝「4“｝若伙"成等比數(shù)列（其中勺wN）,則｛%」成

2

也成等差數(shù)列。等比數(shù)列。

3sn,s2n-sn>s3n-s2ll成等差數(shù)列。S”'S2n-S〃,S3n-S2n成等比數(shù)列（4工7）。

,Q,,—Cl,Cl.一?！?，、尸=幺g"F=3_

4d=」——L=，n——二（m工n）

a\am（加工〃）

n-1tn-n9

補(bǔ)

充

典例剖析

題型一基本量法在等差數(shù)列中的運(yùn)用

例1設(shè)S〃為等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和，若幻=3,59-56=27,則該數(shù)列的首項(xiàng)可等于.

3

答案5

m+2d=3,勾+2d=3,

解析由得

9m+36d-（6m+15J）=27,〃1+7d=9,

解得。1=亍

9

-

例2已知等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”2

答案1或一受

39

一

-7一

解析設(shè)數(shù)列的公比為4，.；。32,S3

3

兩式相除得1+；1夕=3,即為2—q—I=0.

.I1

..47=1或q=_].

變式訓(xùn)練1等差數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和為孔，已知的=8,S3=6,則So—S7的值是.

答案48

as=ai+4d=8[ai=0

解析設(shè)等差數(shù)列｛〃”)的公差為d，由題意可得＜，解得＜，則Sio—57=。8+。9+〃10=3〃1+244

用=30+34=6(d=2

=48.

式訓(xùn)練2在等比數(shù)列｛如｝中，“2=3,U5=81,則

答案3G

設(shè)⑷的公比為,依題意得|：：二；?1=I

解析解得，

0=3.

n1

因此an—3.

題型二利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題

例3(1)設(shè)數(shù)列｛知｝,｛兒｝都是等差數(shù)列.若ai+bi=7,s+歷=21,則.

(2)等差數(shù)列｛m｝中，。]+〃5=數(shù)，權(quán)=7,則數(shù)列｛斯｝的公差為.

答案⑴35(2)2

解析(1)???｛?！ǎ?，｛6｝為等差數(shù)列，???｛斯+&｝為等差數(shù)列，

.,?(ai+〃i)+(65+45)=2(03+63)=42,；?45+65=42—7=35.

(2)+的=2。3=10，**?O3=5,

又.：。4=7,??d=cu—。3=2.

例4已知｛%｝為等比數(shù)列，0?+。7=2,。弘6=—8,則。1+〃10等于.

答案

4

〃4+。7=〃1爐+。聞6=2,

解析方法一由題意得「

05%=。"乂°爐=山夕9=-8,

??k-31==-12,或

，ai+aio=ai(l+/)=-7.

l?i=—8,

〃4+。7=2,

方法二由，解得或“

ciscie=a4s=-8

寸=-2,不=一=

e或

必=-8,

.,?41+。10=。1(1+/)=-7.

變式訓(xùn)練3（1）在等差數(shù)列｛知｝中，已知久+。8=16,則該數(shù)列前11項(xiàng)和S“等于

（2）已知等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”H5io=10,S2o=3O,則Sjo=

答案(1)88(2)60

11（可+。8）

解析（1）〃=

22=88.

(2)VSio?S20—Sio，S30—S20成等差數(shù)列，且Sio=lO,§20=30,Sao-5io=2O,

AS3o-30=10+2X10=30,

???S3O=6O.

變式訓(xùn)練4在等比數(shù)列｛m｝中，若ma243a4=1，03040506=8,則441442443444=

答案1024

解析（2）方法一ma2a3。4=。「。1夕?。4&4=Hq6=1,①

m3alM15al6=。1/2.4q13.。同14agi5=同./4=8,(2)

②Q靜=漕=8卻6=2,

又a41a42443a44=。11°。間4%1/2.〃聞43

—dZ1v4q?—ci\*cz］>6，qc160

5

=(^)-(^,6),0=1-2,0=1024.

方法二由性質(zhì)可知，依次4項(xiàng)的積為等比數(shù)列，設(shè)公比為p,

設(shè)T|=0匕2刈3"〃4=1，

。二。13，。14，。15，。16=8,

.*.74=7,|-/>3=l-p3=8=>p=2.

Til=。4「四七243&44=T「p")=2"'=1024.

題型三等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和

例5設(shè)5〃為等差數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和，。12=—8,59=-9,則$6=.

答案T2

解析設(shè)等差數(shù)列｛?。氖醉?xiàng)為由，公差為d,

。12=。1+1ld=-8,

由已知，得〈9dX8

S9=9〃I+2=一9,

,16X15

/.SI6=16X3+-—X(-l)=-72.

例6若等比數(shù)列｛斯｝滿足0+々4=10，。2+的=20,則｛知｝的前〃項(xiàng)和S”=

答案當(dāng)(2"-1)

解析由題意。2+的=4(。1+44)，得20=qX10,故q=2,代入ai+〃4=ai+ad=10，得9。1=10,得ai=g.

￥(L2”)

_IP

故S“==~9(2"-1).

例7設(shè)等比數(shù)列｛?。那啊?xiàng)和為S”若S6：S3=I：2,則為:S3等于.

答案3：4

解析由等比數(shù)列的性質(zhì)知S3,56-S3,§9—$6仍成等比數(shù)列，于是(56-S3>=S3?(S9-$6)，

將$6=聶代入得

6

變式訓(xùn)練5在等差數(shù)列｛%｝中，0=1,43=-3.

⑴求數(shù)列〔小｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛⑶｝的前％項(xiàng)和&=一35,求欠的值.

解析(1)設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為止則為=m+(〃-l)d.

由〃i=l,ay=~3,可得l+2d=-3,解得d=-2.

從而為=1+(〃-1)X(—2)=3—2〃.

(2)由⑴可知an=3—2n,所以Sn=-----1'=2〃—/r.

由&=一35,可得兼一3=—35,即好一2攵-35=0,

解得k=7或4=-5.又2WN*,故2=7.

變式訓(xùn)練6已知數(shù)列伍〃｝滿足2斯+|+4=0,公=1,則數(shù)列｛詼｝的前10項(xiàng)和$o為

答案1(2-,()-1)

1

解析V2?i+a=0,：.—

n+M2,

又“2=1，，m=-2,，｛斯｝是首項(xiàng)為-2,公比為4=一義的等比數(shù)歹U,

y0(1一嚴(yán))-2(1-2-10)=如。-1).

??So=r

1+2

變式訓(xùn)練7等比數(shù)列｛“〃｝的首項(xiàng)卬=一1,前〃項(xiàng)和為S”若甯=粉則公比產(chǎn)

1

答案

2一

解析由3T=靈，3=—1知公比4#1，

則可得3戶=一4.

0532

由等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)知S5,510-55,$5-&0成等比數(shù)列，且公比為爐,

7

,,<11

故夕5=_我，q=-y

題型四等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和的最值問題

例8在等差數(shù)列｛斯｝中，已知m=20,前〃項(xiàng)和為S“，且So=$5,求當(dāng)〃取何道時(shí)，S”取得最大值，并求出它的

最大值.

解析Vdi=20,Sio=5i5，J10X20+當(dāng)％=15s20+"

565

法一:由a”=20+(〃-1)X一尹1于

得03=0.即當(dāng)12時(shí)，,>0,時(shí),4Vo.

???當(dāng)〃=12或13時(shí)，S“取得最大值，

且最大值為$2=$3=12X20+號(hào)Ux(-1)=130.

??.&=20〃+血尸(一號(hào)=一酎+臉=一的一舒+超菖

法二:

???〃￡N*,???當(dāng)〃=12或13時(shí).,S”有最大值，且最大值為Si2=Si3=13O.

當(dāng)堂練習(xí)

I.在等差數(shù)列｛〃“｝中，若他=4,44=2,則46=.

答案0

解析由等差數(shù)列的性質(zhì)，得06=244—42=2X2—4=0.

2.己知｛6｝是公差為1的等差數(shù)列，S”為｛%｝的前〃項(xiàng)和，若S8=4S4,則00等于

19

答案y

解析???公差為1,

8

,8X(8-1)

.??S8=8ai+------z-----"l=8〃i+28,S4=4ai+6.

??，S8=4S4，，80+28=4(40+6),解得a尸;，

119

.??00=。1+91=2+9=5.

3.等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S〃，已知05=8,S3=6,則Sio-S?的值是.

答案48

。5=。|+44=8,(6(|=0,

解析設(shè)等差數(shù)列｛〃“｝的公差為d,由題意可得。.，解得」c則$0—S7=〃8+〃9+0O=30+

S=30+3d=6,[d=2,

24J=48.

4.設(shè)等差數(shù)列伍”｝的前〃項(xiàng)和為S”，若改=一9,〃3+〃7=—6,則當(dāng)S”取得最小值時(shí)，〃=.

答案6

解析?.,43+47=245=-6,/.?5=—3?

?**d=2?*?Qfj=-1,。7=1,

???S6最小.

5.等差數(shù)列中，333+的)+2伍7+。1()+。13)=24,則該數(shù)列前13項(xiàng)的和是.

答案26

解析’.,43+45=244，47+aio+ai3=3aio，

6(04+010)=24,故。4+00=4.

.13i@+ai3)13(a?+aio)

??i132226.

6.已知等比數(shù)列｛如｝滿足〃[=；,。3。5=4(。4-1)，則。2等于.

答案!

解析由｛斯｝為等比數(shù)列，得。35=病，所以屆=4(內(nèi)—1)，解得44=2,設(shè)等比數(shù)列｛m｝的公比為私則04=0^,

得2=聶，解得夕=2,所以

7.等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為已知53=02+10。”的=9,則〃產(chǎn).

9

1

答案-

9

解析設(shè)數(shù)列｛%｝的公比為q,若g=l,則由公=9,得0=9,此時(shí)§3=27,而〃2+10。1=99,不滿足題意，因此

,1.

??ZW1時(shí)，S3=]_r=0q+lOs，

，三日=q+10,整理得『=9.

???的=4-。4=9,即81〃i=9,/?d\=a-

39

8.已知等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S〃，6=2，S3=2?則公比4=.

答案1或一3

3939

=--0q2--

解析設(shè)數(shù)列的公比為q,2S3222

兩式相除得1+g'9=3,即2寸一q—1=0.???夕=1或g=一去

9.已知等比數(shù)列｛"〃｝,且出+。8=2,則。6（。2+2?6+410）的值為.

答案4

解析。6（。2+2a6+00）=。6。2+2綺。6+。必10=屆+2的。8+質(zhì)=（〃4+=4.

10.若｛〃”）為等比數(shù)列，。2+的=1，。3+田=-2,則的+々6+。7等于

答案24

。同+0°2=],

解析由已知得

a\q1-\-a\qi=—2.

解得夕=-2,0==

，45+46+。7=45(1+g+片)=。?4(I+^+^2)=24.

課后作業(yè)

10

一、填空題

1.設(shè)S〃是等差數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和，若4I+的+。5=3,則S5等于.

答案5

解析,??｛?！ǎ秊榈炔顢?shù)列，，。1+。5=〃3，

???。|+43+。5=3。3=3,得。3=1，

.5（0+詞

??c2?

2.設(shè)S“為等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，S?=4av仍=-2,則.9=.

答案一6

解析由，8=4。3知：。］+。8=。3，。8=。3—。1=2"=。7+0所以〃7=d=12.所以。9=。7+24=—2—4=—6.

3.在等差數(shù)列｛〃”｝中，42=2,410=15,則。18的值為.

答案28

解析為等差數(shù)列，???42+。18=2?10，?,?〃18=2。10—42=28.

4.在等差數(shù)列｛m｝中，若勾+的=10,3=7,則數(shù)列｛斯｝的公差為______.

答案2

解析?.,。|+。5=10=2。3，，〃3=5.

故</=小一。3=7—5=2.

5.已知數(shù)列｛〃〃｝為等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S”若“3=6,S3=12,則公差d等于.

答案2

解析由已知得$3=3。2=12,即。2=4,，4=。3—。2=6-4=2.

6.已知等差數(shù)列｛〃”｝中，43+44—45+06=8,則$7=.

答案28

解析?；｛斯｝為等差數(shù)列，.,?《4+46=2的，???43+44—05+46=43+05=244=8,?'?。4=4,，S7=7a4=28.

7.在等差數(shù)列｛“”｝中，若42+44+。6+48+01）=80,則“7—&8的值為.

答案8

11

解析???。2+。4+。6+48+。10=5a6=80,，a6=16.

,22。7-〃846o

??Q1-2^8-一萬'-o-

8.已知等差數(shù)列｛%｝滿足0>0,5舞=803，則前〃項(xiàng)和Sn取最大值時(shí)，〃的值為.

答案21

解析由5〃8=8413得5(m+7</)=8(ai+12")n〃=一磊由a“=s+(〃-l)d=ai+(〃-1)(一總得〃W竽二

2耳，，數(shù)列｛〃”｝前21項(xiàng)都是正數(shù)，以后各項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，故5〃取最大值時(shí)，〃的值為21.

9.已知數(shù)列｛%｝中，0=1,—+/22),則數(shù)列｛知｝的前9項(xiàng)和等于.

答案27

解析由已知數(shù)列｛?。且?為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列.

9X81

.,.59=9X14—y-X2=9+18=27.

10.在等差數(shù)列｛斯｝中，若43+因+。5+46+。7=25,則。2+。8=.

答案10

解析因?yàn)椋?｝是等差數(shù)列，所以〃3+。7=〃4+。6=〃2+〃8=勿5，s+出+的+。6—〃7=5。5=25,即々5=5,公+制

=2675=10.

II.中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2015,則該數(shù)列的首項(xiàng)為.

答案5

解析由題意設(shè)首項(xiàng)為⑶，則0+2015=2X1010=2020,

/?d]=5.

12.已知各項(xiàng)為正的等比數(shù)列｛〃“｝滿足ga9=4ag，。2=1，則0=.

答案\

解析?.?。3。9=足=4忌，又4>0,???夕=2,

13.在等比數(shù)列｛斯｝中，若。]+。2=1，au+ai2=4,則。21+。22的值為.

12

答案16

解析設(shè)｛〃”｝的公比為小則。1|+。12=嚴(yán)他|+。2)，

所以4=7°,421+〃22=爐。(0+〃2)=16.

14.公比為2的等比數(shù)列｛”“｝的各項(xiàng)都是正數(shù)，且43。"=16,則log20O等于1

答案5

解析=16?

又??,等比數(shù)列｛〃”｝的各項(xiàng)都是正數(shù)，???S=4.

又,.*t?io=i?7^=4X23=25?，log2〃io=5.

15.在等比數(shù)列｛〃“｝中，。|+。2=324,〃3+。4=36,則?！?。6=.

答案4

解析,門?！保秊榈缺葦?shù)列，???0+。2,的+〃4,班+。6也成等比數(shù)列,

（內(nèi)+田/362

:.的+〃6=

〃1+。2324

16.已知等比數(shù)列｛〃”｝滿足m=3,〃1+〃3+。5=21,則々3+45+07=.

答案42

解析設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為幻則由小=3,〃1+6+的=21得3(1+/+/)=21,解得/=一3(舍去)或《2=2,

于是“3+05+47=^(41+43+45)=2x21=42.

17.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列(仇｝的前"項(xiàng)和為S"，若S〃=2,53?=14,則S.等于.

答案30

解析設(shè)S2〃=mS產(chǎn)b,由等比數(shù)列的性質(zhì)知：

2(14-a)=(fl-2)2,解得。=6或。=一4(舍去)，

同理(6—2)(6—14)=(14-6)2,所以b=S4“=30.

18.在等比數(shù)列｛斯｝中，s=7,前3項(xiàng)之和$3=21,則公比9的值為.

答案1或一3

13

a4=7,①1+〃+/

解析根據(jù)已知條件得:，2》分②?①得自上=3.

10+4q+。爐=21,②q

整理得切一4一1一0,解得“一1或4一一；.

19.已知等比數(shù)列｛斯｝的公比為正數(shù)，且a3s=2落歐=1，則ai=.

答案坐

解析因?yàn)榈摹?=竭，則由等比數(shù)列的性質(zhì)有：aya9=al=2alt所以腎=2,即嗯＞=/=2.因?yàn)楣葹檎龜?shù)，故,

=隹又因?yàn)?=1，所以0=/=t=除

20.己知｛為｝是等差數(shù)列，公差d不為零.若42,。3,。7成等比數(shù)列，且2ai+s=l，則m=,d=.

2

答案1-1

解析因?yàn)镾，。3，成等比數(shù)列，所以m="2。7，即31+26/）2=（4[+431+6孫?，?0=一，，：20+〃2=1，，241

2

+ai+d=l即3ai+d=1,.9.ai=yd=—\.

21.若三個(gè)正數(shù)mb,c成等比數(shù)列，其中a=5+2，B,c=5—2疵，則b=.

答案1

解析???三個(gè)正數(shù)a,b,c成等比數(shù)列，

???b2=ac=（5+2班）（5—2班）=1.?"為正數(shù)，,。=1.

22.在數(shù)列｛%｝中，m=2,%+i=2a“,S”為｛的｝的前〃項(xiàng)和.若S”=126,則〃=.

答案6

解析由%+1=2/〃知，數(shù)列｛斯｝是以q=2為首項(xiàng)，公比q=2的等比數(shù)列，由&=1]_2，=126,解得“=6.

第二講數(shù)列前n項(xiàng)和與數(shù)列的通項(xiàng)

知識(shí)梳理

1.數(shù)列｛分｝的前〃項(xiàng)和S”

14

S”=ai+s+a3+…

2.數(shù)列的通項(xiàng)處與前〃項(xiàng)和S〃的關(guān)系

51(〃=1)

a=]一

n$—S”-1(心2)

3.已知數(shù)列的前〃項(xiàng)和工,求為的方法

(1)第一步,令〃=1,求出0=S1；

(2)第二步，當(dāng)〃22時(shí)，求a”=S〃-S〃一；

(3)第三步，檢驗(yàn)m是否滿足〃22時(shí)得出的小，如果適合，則將。〃用一個(gè)式子表示；若不適合，將用分段形式

寫出。

4.已知小與S”的關(guān)系式，求的的方法

(1)第一步,令〃=1,求出0=S1；

⑵第二步，當(dāng)〃22時(shí)，根據(jù)已有如與S〃的關(guān)系式，令〃=〃+1(或〃=〃-1),再寫出一個(gè)4+1與&+|(或ai與S

T)的關(guān)系式，然后兩式相減，利用公式為=S”一S"T消去S〃，得出a“與知+】(或?yàn)榕c知-。的關(guān)系式，從而確定數(shù)列

｛知｝是等差數(shù)列、等比數(shù)列或其他數(shù)列，然后求出通項(xiàng)公式。

5.根據(jù)小與a”+i(或〃"與斯-1)的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式

當(dāng)出現(xiàn)斯=a”-i+機(jī)時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列；

當(dāng)出現(xiàn)如=刈〃-1+)，時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列；

當(dāng)出現(xiàn)a〃=a〃-1+4〃)時(shí)，用累加法求解；

當(dāng)出現(xiàn).=A〃)時(shí)，用累乘法求解.

Cln-\

典例剖析

題型一已知數(shù)列的前〃項(xiàng)和S”求％

例1已知下面數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和Sa=2〃2—3〃，求｛a”｝的通項(xiàng)公式

解析tfi=Si=2—3=—1,

當(dāng)“22時(shí)，a“=S“一工一|=(2〃2—3〃)一[2(〃-一3(〃-1)]=4〃-5,

由于S也適合此等式，?'?an=4n—b.

15

變式訓(xùn)練已知數(shù)列｛m｝的前〃項(xiàng)和*=3〃2—2〃+1,則其通項(xiàng)公式為

29n=l9

答案a=

n6〃—5,

解析當(dāng)"=1時(shí)，0=Si=3X12-2X1+1=2；

當(dāng)〃22時(shí)，

a“=S〃一Su-i=3〃2—2〃+1—[3(n—I)2—2(n—1)+1]

=6〃-5,顯然當(dāng)〃=1時(shí)，不滿足上式.

2,〃=1,

故數(shù)列的通項(xiàng)公式為?！?

6〃一5,n22.

151,〃=1,

解題要點(diǎn)數(shù)列的通項(xiàng)為與前〃項(xiàng)和S"的關(guān)系是小=cQ當(dāng)〃=1時(shí)，41若適合S〃-SL1，則〃=1

⑸一S〃一1,心2.

的情況可并入〃22時(shí)的通項(xiàng)??；當(dāng)〃=1時(shí)，m若不適合S”一S“T,則用分段函數(shù)的形式表示.

題型二已知an與S,,的關(guān)系式求a?

21

例2若數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和5”=§斯+§,則｛〃“｝的通項(xiàng)公式是an—.

答案（一2）〃「

解析當(dāng)打=1時(shí)，0=1；

==n1

當(dāng)〃22時(shí)，anSn—S”一1=字?”一鏟”-1，故^—~—2,故?！?（—2）.

當(dāng)〃=1時(shí)，也符合曲=（一2）〃」

綜上，分=（一2k.

變式訓(xùn)練已知數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和為工，0=1,S?=2a?^t求｛〃”｝的通項(xiàng)公式

解析當(dāng)打22時(shí)，an=Sn—Sn-1=2a?+\—2an,

313

且

-=-羊-

222

n-2

???｛“〃｝是從第2項(xiàng)開始的等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，m=3乂像,|,“22,〃￡N”.

16

1,〃=1,

1/3Y-2、*

,心2,.

解題要點(diǎn)已知。〃與S“的關(guān)系式求知時(shí)，需要分析所推出的遞推式是對(duì)〃WN+成立，還是對(duì)〃22時(shí)成立。對(duì)于求

出的⑶也需進(jìn)行檢驗(yàn)，看m是否符合時(shí)小的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，

則應(yīng)該分?=1與2兩段來寫.

題型三利用遞推式求斯

例3(1)設(shè)數(shù)列僅〃｝中，3=2,a〃+i=a〃+〃+l,則通項(xiàng)即=.

(2)數(shù)列｛劣｝中，0=1,斯+|=3%+2,則它的一個(gè)通項(xiàng)公式為如=.

答案(1)“(〃”+1(2)2X3rt-,-l

解析(1)由題意得，當(dāng)〃22時(shí)，

。"=41+(。2一。1)+(。3一。2)~1------\-(an—an-\)

?(〃一1)(2+〃)〃(〃+1)

1k7

=2+(2+3+???+〃)=2+————-=2+1.

又ai=2」xq+i)+i,符合上式，

因此如='2」+L

(2)方法一(待定系數(shù)法)

設(shè)4“?1+”=3(4“+2)，展開得4“11=3仇+22，

與““+1=3%+2比較可知：2入=2,2=1,

，斯"+1=33“+1),即=3,因?yàn)?=1,

%+1

所以數(shù)列4+1｝為以.+1=2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

所以研i+l=2X3”,即知+i=2X3〃-l(〃21),

所以m=2X3“r-l(〃22),

又S=1也滿足上式，

故數(shù)列｛〃”｝的一個(gè)通項(xiàng)公式為小=2X3〃」一L

17

方法二（迭代法）

斯+i=3。〃+2,

即知+|+1=3（如+1）=32（即一］+1）=33（如一2+1）=???=3"（。1+1）=2><3”（〃21）,

所以如=2X3〃）一1（〃22）,

又0=1也滿足上式，

故數(shù)列｛小｝的一個(gè)通項(xiàng)公式為m=2X3"-i-L

變式訓(xùn)練已知數(shù)列｛%｝中，“1=1,若如=2?〃-i+l（〃22），則的的值是.

答案31

解析由題意得。2=20+1=3,43=2X3+1=7,04=2X7+1=15,“5=2X15+1=31.

解題要點(diǎn)形如47=E“+43,夕為常數(shù)）這類遞推數(shù)列稱為一階線性遞推數(shù)列，求解的基木策略是待定系數(shù)法，即

假設(shè)如+葉入="（?！?辦，展開與原式小?產(chǎn)p斯+4比較系數(shù)后求出參數(shù)4然后再轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求通

項(xiàng)。

當(dāng)堂練習(xí)

I.設(shè)S”為等比數(shù)列｛的｝的前〃項(xiàng)和，若苗=1,且3&,2s2,S3成等差數(shù)列，則為=.

答案3門

解析由3S，2s2,S3成等差數(shù)列知，4S2=3SI+S3,可得。3=3公，???公比g=3,故等比數(shù)列通項(xiàng)小=四/,=3M

-1

2.已知數(shù)列｛4”｝滿足41=1,%+|=2m+3（〃￡N*）,則須等于.

答案2口一3

解析?.,。"+1=2?！?3,aM+）+3=2（a,t+3）>

???｛為+3｝是公比為2的等比數(shù)列，???知+3=（0+3）2門=2小，

???斯=2"+|—3,/.an=212-3.

3

3.如果數(shù)列｛冊(cè)）的前〃項(xiàng)和S”=會(huì)〃一3,那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是.

答案=2?3"

18

4.已知數(shù)列｛?。那啊?xiàng)和為S”，0=1,Sn=2an+\t則Sn=.

答案(獷1

解析當(dāng)n=l時(shí)，S\=2t?2?又因Si=4]=1,

1I3

所以。2=孑，S2=[+5=5?

5.設(shè)數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和S〃=〃2,則/的值為.

答案15

解析G=SI=1,a”=S〃一S”T=/一(〃一1)2=2〃-1(〃22).々8=2X8—1=15.

課后作業(yè)

二、填空題

I.已知數(shù)列｛?。那啊?xiàng)和為S”，且5=勿,一2,則公等于.

答案4

解析?:Sn=2an—2,???Si=ai=2ai—2.

即。1=2,又S2=ai+〃2=2fl2—2,；.42=4.

2.已知數(shù)列｛m｝中0=1,斯n/aLi+lseZ),則斯=.

答案2一各門

解析設(shè)易得c=-2,所以a〃一2=(ai—2)(；)"一|=-g)"

3.數(shù)列｛備｝的前〃項(xiàng)和為S”，若0=1,4“+]=3SH(〃21),則。6=.

答案3X44

解析Vfl；j+]=Sn+1—S〃,???3Sa=S"+i—S”，則Sn+i=4S〃，又S]=ai=L

工數(shù)列｛SJ是公比為4的等比數(shù)列，??.S“=lM〃」=4〃r,從而%=S6-S5=45-44=3X44.

4.若數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和為義=菰一3,則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式冊(cè)=.

答案2?3”

19

解析an=Sn—Sn-\^

5.數(shù)列｛%｝滿足。1=2,cin=VT,其前〃項(xiàng)積為北，則4014=______.

?！?|十1

答案一6

解析由斯=如噌得研產(chǎn)而m=2,所以°2=—3,43=—144=!，的=2,則數(shù)列是以4為周期，且

?！?1十11Cln23

?a2a3火=1，所以72oi4=l5O3X2X(-3)=-6.

6.在數(shù)列｛〃“｝中，0=1,當(dāng)〃22時(shí)，有4〃=3%-1+2,則〃”=.

答案231一1

解析設(shè)源+/=3(%-1+。，則恁=3為-|+2].

??」=1,于是小+1=3(41T+1).???｛r+1｝是以。|+1=2為首項(xiàng),以3為公比的等比數(shù)列.

???斯=2?3廠|-1.

n

7.若數(shù)列｛〃〃｝滿足。|=1,a?+\=2a,n則數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式詼=.

〃|什1)

答案2^~

解析由于等=2〃，故?=2、詈=22,…，區(qū)=2門，將這〃一1個(gè)等式疊乘，得

冊(cè)a\〃2an-\

■(一+1)-ST)

&=2"2++(”F=2k,故如=2丁.

a\

?.已知｛&｝滿足〃1=1,且〃“+|=七+7(”￡^),則數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式為________.

JClni1

答案如二3〃-2

解析由已知，可得當(dāng)時(shí)，知+|=尹％.

兩邊取倒數(shù)，得'-=四*=:+3.

?！?|Cln4”

即」一一：=3,所以｛十｝是一個(gè)首項(xiàng)為2=1,公差為3的等差數(shù)列.

an+\a”(inci]

則其通項(xiàng)公式為"，=,+(〃-l)Xd=1+(〃一l)X3=4〃-2.

Cln〃I

20

所以數(shù)列｛〃"｝的通項(xiàng)公式為斯=5口.

2I

9.若數(shù)列｛m｝的前n項(xiàng)和S〃=§a”+§,則｛m｝的通項(xiàng)公式是an=.

答案(一2廣】

解析?.?&=多7“++①，當(dāng)〃22時(shí)，S”1=多7〃1+/②

①一②，得0j=|an—|a“-i，即2.

4]=S]+g,￡71=1.

???｛?。且?為首項(xiàng)，一2為公比的等比數(shù)列，?！?(一2)〃1

10.在數(shù)列｛/｝中，a\=\,a”i—a“=2〃+l,則數(shù)列的通項(xiàng)a“=.

答案〃2

解析,??知+]一%=2〃+1.

???4“=(。”—4”-1)+(?！?1-4”-2)+~+(。3-。2)+(。2-〃1)+。1=(2〃—1)+(2〃-3)+―+5+3+1=層(〃22).當(dāng)〃=1

2

時(shí)，也適用an=n.

11.已知數(shù)列｛小｝中，41=(。“+[=1—：(〃22),則。16=.

答案\

解析由題意知。。出=一十=；，，此數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，

2=1—：=-1，3=1—：=2,130603x5+1=

a\。2432

1

ai=2?

二、解答題

12.已知數(shù)列｛〃“｝滿足卬=1,即+1=2。”+1(〃￡*).

(1)求證：數(shù)列｛詼+1｝是等比數(shù)列，并寫出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列滿足44,4&，心，….心門=〔如+1)〃，求數(shù)列｛兒｝的前〃項(xiàng)和S〃.

解析⑴證明：+

???斯+[+1=2（即+1）,又0=1,

21

+1=2^0,m+IWO,

.a”+i+1c

,,■^+T=2,

工數(shù)列｛m+1｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.

???。“+1=2”,可得斯=2"—1.

(2)解：???44T.牛，4々，…?43=(斯+1)",

?4(4+%+4+,?”+〃-")一2'，

:.2(bi+4+汁+…+兒)-2睚=〃2,

即2(6+岳+。3+…+仇)=〃2+2〃，

.,.Sn=bl+62+631---卜仇=呼2+〃.

13.設(shè)數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和為S“，其中小WO,內(nèi)為常數(shù)，且一0,Sn，詼+1成等差數(shù)列.求｛“〃｝的通項(xiàng)公式;

解析依題意，得2S”=a”+i—0.

._2S”Cln+1t

當(dāng)〃22時(shí)，有“兩式相減，得出+1=3冊(cè)(〃22).

2Sn-\=an-a\.

又因?yàn)镺2=2Si+ai=3ai,?！?0,

所以數(shù)列｛斯｝是首項(xiàng)為⑶，公比為3的等比數(shù)列.

因此，^=ai-3"-,(n€N*).

第三講數(shù)列的求和

知識(shí)梳理

1.公式法求和

常用的求和公式有：

(1)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式：5.=幽抖=〃M+迎言.

22

nu\9(j~19

="

(2)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式：Snai

i—g_Lq'"L

⑶1+2+3+…+,尸吟]

(4)"22+32+...+〃2=9+1*+1)：

(5)13+23+33+.??+〃3=/￡

(6)1+3+5+…+2〃-1=/；

(7)2+4+6+…+2〃=〃2+〃.

2.錯(cuò)位相減法求和

適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和.

3.倒序相加法求和

適用于首末等距離的兩項(xiàng)之和等于同一個(gè)常數(shù)這樣的數(shù)列求和.

4.裂項(xiàng)相消法求和

方法是把數(shù)列的通項(xiàng)拆分成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些項(xiàng)正負(fù)抵消，從而可以求和.

常用的裂項(xiàng)公式有：

(2)(2W-1X2n+l)=2(2w-1~2n+1);

]______jT1_______1

⑷n[n4-1)(n+2)-2_n(n+1)(〃+l)(