解題技巧：特殊的因式分解法壓軸題四種模型全攻略（原卷版）

專題07解題技巧專項：特殊的因式分解法壓軸題四種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一提多項式的公因式的因式分解法】 1【類型二綜合利用提公因式法和公式法因式分解】 3【類型三十字相乘法因式分解】 6【類型四分組分解法因式分解】 13【典型例題】【類型一提多項式的公因式的因式分解法】例題：（2023秋·新疆阿克蘇·八年級統考期末）分解因式：．【變式訓練】1．（2023秋·湖北孝感·八年級統考期末）分解因式：．2．（2023春·山東濟寧·九年級?？茧A段練習）分解因式：．3．（2023春·廣西桂林·七年級統考期中）因式分解：【類型二綜合利用提公因式法和公式法因式分解】例題：（2023春·江蘇蘇州·七年級期末）把下列各式分解因式：(1)；(2)．【變式訓練】1．（2023春·遼寧沈陽·八年級?？计谥校┌严铝懈魇揭蚴椒纸猓?1)；(2)．2．（2023春·湖南懷化·七年級溆浦縣第一中學?？计谥校┮蚴椒纸猓?1)(2)3．（2022秋·四川巴中·八年級統考期中）因式分解：(1)；(2)4．（2023春·山東濰坊·七年級統考期末）因式分解(1)(2)(3)【類型三十字相乘法因式分解】例題：（2023春·安徽阜陽·七年級?？茧A段練習）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式；．第一步：二次項系數2可以寫成，常數項可以寫成或；第二步：如下圖，畫“×”號，將1、2寫在“×”號左邊，將、3或1、寫在“×”號的右邊，共有如下圖的四種情形：

第三步：驗算“交叉相乘兩個積的和”是否等于一次項的系數：①的系數為；②的系數為；③的系數為；④的系數為．顯然，第②個“交叉相乘兩個積的和”等于一次項系數，因此有：．像這樣，通過十字交叉線幫助，把二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法．問題：(1)分解因式：；①完善下圖中“×”號右邊的數使得；“交叉相乘兩個積的和”等于一次項系數；

②分解因式：_______；(2)分解因式：．①完善橫線上的數字；

②分解因式：________．【變式訓練】1．（2023春·廣西北?！て吣昙壗y考期中）閱讀理解：用“十字相乘法”因式分解例如：求：(1)(2)2．（2023春·廣西梧州·七年級統考期中）閱讀理解題在因式分解中有一種常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，這個方法其實就是運用乘法公式運算來進行因式分解，基本式子為：，例如：分解因式，，，按此排列：

交叉相乘，乘積相加等于，得到，這就是十字相乘法．利用上述方法解決下列問題：(1)分解因式：；(2)先分解因式，再求值：，其中．3．（2023春·湖南岳陽·七年級統考期末）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如圖）．第一步：二次項；第二步：常數項，畫“十字圖”驗算“交叉相乘之和”；

第三步：發(fā)現第③個“交叉相乘之和”的結果等于一次項．即．像這樣，通過畫“十字圖”，把二次三項式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．運用結論：(1)將多項式進行因式分解，可以表示為_______________；(2)若可分解為兩個一次因式的積，請畫好“十字圖”，并求整數的所有可能值．4．（2023春·陜西榆林·八年級統考期末）閱讀下列材料：將一個形如的二次三項式因式分解時，如果能滿足且，則可以把因式分解成．例如：（1）；（2）．根據材料，把下列式子進行因式分解．(1)；(2)；(3)．5．（2023春·七年級單元測試）閱讀材料：根據多項式乘多項式法則，我們很容易計算：；．而因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關系可得：；．通過這樣的關系我們可以將某些二次項系數是1的二次三項式分解因式．如將式子分解因式．這個式子的二次項系數是，常數項，一次項系數，可以用下圖十字相乘的形式表示為：先分解二次項系數，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次項系數，然后橫向書寫．這樣，我們就可以得到：．利用這種方法，將下列多項式分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【類型四分組分解法因式分解】例題：（2023春·陜西西安·八年級高新一中?？计谀读x務教育數學課程標準（2022年版》關于運算能力的解釋為：運算能力主要是指根據法則和運算律進行正確運算的能力，因此，我們面對沒有學過的數學題時，方法可以創(chuàng)新，但在創(chuàng)新中要遵循法則和運算律，才能正確解答，下面介紹一種分解因式的新方法——拆項補項法：把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合于已學過的方法進行分解．例題：用拆項補項法分解因式．解：添加兩項．原式請你結合自己的思考和理解完成下列各題：(1)分解因式：；(2)分解因式；(3)分解因式：．【變式訓練】1．（2023春·廣東深圳·八年級統考期末）因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多項式無法直接使用上述方法分解，如，我們可以把它先分組再分解：，這種方法叫做分組分解法．請解決下列問題：(1)分解因式：；(2)已知a，b，c是的三邊，且滿足，請判斷的形狀，并說明理由，2．（2023春·廣東深圳·八年級深圳市高級中學?？计谥校┪覀円呀泴W過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法等等．①分組分解法：例如：．②拆項法：例如：．(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分組分解法）；②（拆項法）；(2)已知：a、b、c為的三條邊，，求的周長．3．（2023春·江蘇泰州·七年級靖江市靖城中學校聯考階段練習）將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法是因式分解中的分組分解法，一般的分組分解法有四種形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法“3+3”分法等．如“2+2”分法：請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：(1)分解因式：；(2)分解因式：；(3)分解因式：．4．（2023春·山東青島·八年級統考期末）【問題提出】：分解因式：（1）

（2）【問題探究】：某數學“探究學習”小組對以上因式分解題目進行了如下探究：探究1：分解因式：（1）分析：甲發(fā)現該多項式前兩項有公因式，后兩項有公因式，分別把它們提出來，剩下的是相同因式，可以繼續(xù)用提公因式法分解．解：另：乙發(fā)現該多項式的第二項和第四項含有公因式，第一項和第三項含有公因式，把，提出來，剩下的是相同因式，可以繼續(xù)用提公因式法分解．解：探究2：分解因式：（2）分析：甲發(fā)現先將看作一組應用平方差公式，其余兩項看作一組，提出公因式6，則可繼續(xù)再提出因式，從而達到分解因式的目的．解：【方法總結】：對不能直接使用提取公因式法，公式法進行分解因式的多項式