專題02函數(shù)的概念及其表示分段函數(shù)（重難點(diǎn)突破）-2021年秋季高一數(shù)學(xué)上學(xué)期講義（人教A版）

專題02函數(shù)的概念及其表示、分段函數(shù)考情分析考點(diǎn)梳理【基礎(chǔ)知識(shí)梳理】一、函數(shù)的概念1．函數(shù)與映射的相關(guān)概念(1)函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩個(gè)集合A、B設(shè)A、B是兩個(gè)非空數(shù)集設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合對(duì)應(yīng)關(guān)系按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)名稱稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射記法y＝f(x)，x∈Af：A→B注意：判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系，就看這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否滿足函數(shù)定義中“定義域內(nèi)的任意一個(gè)自變量的值都有唯一確定的函數(shù)值”這個(gè)核心點(diǎn)．(2)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．(3)構(gòu)成函數(shù)的三要素函數(shù)的三要素為定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系.(4)函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法有三種：解析法、列表法、圖象法.解析法：一般情況下，必須注明函數(shù)的定義域；列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征；圖象法：注意定義域?qū)D象的影響.二、函數(shù)的三要素1．函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍，常見(jiàn)基本初等函數(shù)定義域的要求為：(1)分式函數(shù)中分母不等于零.(2)偶次根式函數(shù)的被開(kāi)方式大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.(4)y＝x0的定義域是{x|x≠0}.2．函數(shù)的解析式(1)函數(shù)的解析式是表示函數(shù)的一種方式，對(duì)于不是y＝f(x)的形式，可根據(jù)題目的條件轉(zhuǎn)化為該形式.(2)求函數(shù)的解析式時(shí)，一定要注意函數(shù)定義域的變化，特別是利用換元法(或配湊法)求出的解析式，不注明定義域往往導(dǎo)致錯(cuò)誤.3．函數(shù)的值域函數(shù)的值域就是函數(shù)值構(gòu)成的集合，熟練掌握以下四種常見(jiàn)初等函數(shù)的值域：(1)一次函數(shù)y＝kx＋b(k為常數(shù)且k≠0)的值域?yàn)镽.(2)反比例函數(shù)(k為常數(shù)且k≠0)的值域?yàn)??∞，0)∪(0，＋∞)．(3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)且a≠0)，當(dāng)a>0時(shí)，二次函數(shù)的值域?yàn)?；?dāng)a<0時(shí)，二次函數(shù)的值域?yàn)?求二次函數(shù)的值域時(shí)，應(yīng)掌握配方法：.三、分段函數(shù)分段函數(shù)的概念若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，則這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)．【知識(shí)拓展】1．(1)相等函數(shù)—如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等．①兩個(gè)函數(shù)是否是相等函數(shù)，取決于它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全相同時(shí)，才表示相等函數(shù)．②函數(shù)的自變量習(xí)慣上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x?1，g(t)＝2t?1，h(m)＝2m?1均表示相等函數(shù).(2)映射的個(gè)數(shù)若集合A中有m個(gè)元素，集合B中有n個(gè)元素，則從集合A到集合B的映射共有個(gè)．2．分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集．三、題型突破(一)、判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系（圖像）是否為函數(shù).1．判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的2個(gè)條件(1)A，B必須是非空實(shí)數(shù)集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)．對(duì)應(yīng)關(guān)系是“一對(duì)一”或“多對(duì)一”的是函數(shù)關(guān)系，“一對(duì)多”的不是函數(shù)關(guān)系．例1．（1）（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）下列圖形可表示函數(shù)圖象的只可能是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)定義可得答案.【詳解】由函數(shù)概念，只有“一對(duì)一”或“多對(duì)一”對(duì)應(yīng)，才能構(gòu)成函數(shù)關(guān)系,從圖象上看，任意一條與x軸垂直的直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)最多只能有一個(gè)交點(diǎn)，但只要與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)就不是函數(shù)，故選：D.（2）．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）下列集合、及其對(duì)應(yīng)法則不能構(gòu)成函數(shù)的是（）A．，B．，C．，，D．，，【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的定義判斷．【詳解】易知B項(xiàng)中集合中的在集合中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)，則不能構(gòu)成函數(shù)，其他選項(xiàng)中對(duì)集合中每一個(gè)元素，按對(duì)應(yīng)法則，在中都有唯一元素與它對(duì)應(yīng)，是函數(shù)．故選：B.（3）．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，下列對(duì)應(yīng)法則，其中是函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的定義逐一判斷即可得出答案.【詳解】解：①②③這三個(gè)圖所示的對(duì)應(yīng)法則都符合函數(shù)的定義，即A中每一個(gè)元素在對(duì)應(yīng)法則下，在中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，對(duì)于④⑤，A的每一個(gè)元素在中有個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，∴不是A到的函數(shù)，對(duì)于⑥，A中的元素、在中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)，∴不是A到的函數(shù)，綜上可知，是函數(shù)的個(gè)數(shù)為.故選：A.【變式訓(xùn)練11】．（2021·全國(guó)）下列各圖中，不能表示是的函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】選項(xiàng)B不滿足函數(shù)的定義，選項(xiàng)A、C、D滿足函數(shù)的定義，即得解.【詳解】在A中，對(duì)每一個(gè)，都有唯一的與之對(duì)應(yīng)，所以是函數(shù)關(guān)系；在B中，存在，有兩個(gè)的值與之對(duì)應(yīng)，所以不是函數(shù)關(guān)系；在C，D中，對(duì)每一個(gè)，都有唯一的與之對(duì)應(yīng)，所以都是函數(shù)關(guān)系.故選：B.【變式訓(xùn)練12】．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）下列圖形中，不是函數(shù)圖象的是（）A． B．C． D．．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的定義可判斷.【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義：對(duì)于定義域內(nèi)每一個(gè)，都有唯一一個(gè)與之對(duì)應(yīng)，在B選項(xiàng)中，存在，有兩個(gè)與之對(duì)應(yīng)，故不是函數(shù)圖象.故選：B.(二)、求函數(shù)的定義域.1．求函數(shù)定義域的三種?？碱愋图扒蠼獠呗?1)已知函數(shù)的解析式：構(gòu)建使解析式有意義的不等式(組)求解．(2)抽象函數(shù)：①若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出．②若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]時(shí)的值域．(3)實(shí)際問(wèn)題：既要使構(gòu)建的函數(shù)解析式有意義，又要考慮實(shí)際問(wèn)題的要求．2．求函數(shù)定義域的注意點(diǎn)(1)不要對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，以免定義域變化．(2)當(dāng)一個(gè)函數(shù)由有限個(gè)基本初等函數(shù)的和、差、積、商的形式構(gòu)成時(shí)，定義域一般是各個(gè)基本初等函數(shù)定義域的交集．(3)定義域是一個(gè)集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示，不能用“或”連接，而應(yīng)該用并集符號(hào)“∪”連接.例2．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）解不等式組即得解；（2）解不等式即得解；（3）解不等式組即得解；（4）解不等式即得解.【詳解】（1）由題得，所以，所以且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?（2）由題得，所以，所以函數(shù)的定義域?yàn)?（3）由題得，解之得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?（4）由題得，所以，所以函數(shù)的定義域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的定義域的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.例3．（1）（2019·四川高一期中）函數(shù)的定義域是A．{x|x≥4} B．{x|x≤4} C．{x|x≥4且x≠±1} D．{x|x≤4且x≠±1}【答案】D【分析】根據(jù)分母不為零以及偶次根式下被開(kāi)方數(shù)非負(fù)列式解不等式組得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以選D.【點(diǎn)睛】求具體函數(shù)定義域，主要從以下方面列條件：偶次根式下被開(kāi)方數(shù)非負(fù)，分母不為零，對(duì)數(shù)真數(shù)大于零，實(shí)際意義等.（2）．（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)锳． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)的定義域即可得出需滿足：，解出的范圍即可．【詳解】解：的定義域?yàn)?；滿足；解得；的定義域?yàn)椋蔬xA．【點(diǎn)睛】考查函數(shù)定義域的概念及求法，已知定義域求定義域的方法．【變式訓(xùn)練31】．（2021·全國(guó)高一單元測(cè)試）函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)所給函數(shù)，利用函數(shù)有意義列出不等式組，再求解即得.【詳解】函數(shù)有意義，則必有，解得且．函數(shù)的定義域?yàn)椋蔬x：C【變式訓(xùn)練32】．（2019·四川三臺(tái)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一月考）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)已知可得函數(shù)的定義域需滿足：,解得，即函數(shù)定義域?yàn)?，故選B.考點(diǎn)：求函數(shù)定義域【變式訓(xùn)練33】．（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．a(chǎn)>1 B．0<a<1 C．a(chǎn)<0 D．a(chǎn)<1【答案】A【分析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，則說(shuō)明的解為R，即函數(shù)的圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，從而得出本題的結(jié)果?！驹斀狻拷猓阂?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以的解為R，即函數(shù)的圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與x軸有交點(diǎn)，故不成立；，當(dāng)時(shí)，要使函數(shù)的圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則，解得，故本題選A?！军c(diǎn)睛】本題考查了已知函數(shù)的定義域求解參數(shù)的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是將定義域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，同時(shí)也考查了數(shù)形結(jié)合的思想。(三)、判斷函數(shù)為同一（相等）函數(shù)判斷函數(shù)相等的方法(1)先看定義域，若定義域不同，則不相等；(2)若定義域相同，再化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，看對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同．例4．（1）（2019·甘南藏族自治州合作第一中學(xué)高一月考）下列函數(shù)中與函數(shù)為同一函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】判斷各選項(xiàng)中函數(shù)的定義域，并化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，利用函數(shù)相等的概念可得出正確選項(xiàng).【詳解】?jī)蓚€(gè)函數(shù)相等，則兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)法則相同，函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，該函?shù)與函數(shù)不相等；對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，該函?shù)與函數(shù)不相等；對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，該函?shù)與函數(shù)不相等；對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，該函?shù)與函數(shù)相等.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查相等函數(shù)的判斷，考查相等函數(shù)定義的理解，屬于基礎(chǔ)題.（2）．（2020·四川省成都市第四十九中學(xué)校高一月考）下列選項(xiàng)中的兩個(gè)函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)的是（）A．，B．C．D．【答案】C【詳解】試題分析：A中定義域?yàn)?，定義域?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)的定義域不一致,故A中兩函數(shù)不表示同一函數(shù)；B中定義域?yàn)椋?定義域?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)的定義域不一致,故B中兩函數(shù)不表示同一函數(shù)；C中兩個(gè)函數(shù)的定義域和解析式均一致,故C中兩函數(shù)表示同一函數(shù)；D中定義域?yàn)?，定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不一致,故D中兩函數(shù)不表示同一函數(shù)；所以C選項(xiàng)是正確的.考點(diǎn)：函數(shù)的三要素.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】函數(shù)的三要素：定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系，值域；根據(jù)函數(shù)的定義知，兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系一樣，那么值域就一樣，兩個(gè)函數(shù)就相同，僅是定義域和值域一樣則函數(shù)未必相同，例如，定義域均為，值域均為，但兩個(gè)函數(shù)顯然不一樣，若兩個(gè)函數(shù)的定義域不一樣，則兩個(gè)函數(shù)必然不是同一個(gè)函數(shù).（3）．（2020·福建省泰寧第一中學(xué)高一月考）下列各組函數(shù)中表示同一個(gè)函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】分別判斷四個(gè)答案中與的定義域是否相同，并比較化簡(jiǎn)后的解析式是否一致，即可得到答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)B：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)C：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋瑑蓚€(gè)函數(shù)的定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)D：，的定義域均為，對(duì)應(yīng)法則相同，故兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)；故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù).屬于容易題.(四)、求函數(shù)的解析式求函數(shù)解析式常用的方法1．換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍；2．配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達(dá)式；3．待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法；4．方程組法：已知關(guān)于f(x)與或f(－x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過(guò)解方程求出f(x).例5．（2020·新疆實(shí)驗(yàn)高三月考）根據(jù)條件，求函數(shù)解析式.（1）；（2）；（3）；（4）已知是一元二次函數(shù)，且滿足；.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】（1）設(shè)，則，把代入函數(shù)解析式化簡(jiǎn)后，把換成；（2）設(shè)，則，把代入函數(shù)解析式化簡(jiǎn)后，把換成；（3）將函數(shù)配方成，再整體換元即可得解；（4設(shè)出函數(shù)的解析式，代入題中的關(guān)系式整理后，使方程兩邊項(xiàng)的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，求出、、值；【詳解】解：（1）設(shè)，則，得所以；（2）設(shè)，則，得，則所以；（3）由均值不等式，，，所以；（4）設(shè)，由，則，即又，即得則，解得所以.【點(diǎn)睛】本題的考點(diǎn)是求函數(shù)的解析式的方法，考查了觀察法、換元法、待定系數(shù)法，求復(fù)合函數(shù)的解析式時(shí)用了代入法，注意求出函數(shù)的定義域和每種方法適用的范圍．【變式訓(xùn)練51】．（2021·江蘇高一專題練習(xí)）已知是一次函數(shù)，且，則的解析式為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，（），利用兩邊恒等求出即可得結(jié)果．【詳解】設(shè)，（）

∴，即，

所以，解得，，

∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)解析式的求法，屬于中檔題.求函數(shù)的解析式常見(jiàn)題型有以下幾種：（1）根據(jù)實(shí)際應(yīng)用求函數(shù)解析式；（2）換元法求函數(shù)解析式，利用換元法一定要注意，換元后參數(shù)的范圍；（3）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，這種方法適合求已知函數(shù)名稱的函數(shù)解析式；（4）消元法求函數(shù)解析式，這種方法求適合自變量互為倒數(shù)或相反數(shù)的函數(shù)解析式.【變式訓(xùn)練52】．（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）若，則的解析式為A． B．C． D．【答案】C【分析】將已知解析式配方，可得，再通過(guò)替換法求得解析式．【詳解】令，所以所以故選C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式的求法，屬于一般題．【變式訓(xùn)練53】．（2020·重慶高一期中）已知函數(shù)，則的解析式為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用換元法求函數(shù)解析式.【詳解】令,則，所以即.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查利用換元法求函數(shù)解析式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.【變式訓(xùn)練54】．（2020·全國(guó)高一單元測(cè)試）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且，則f（x）＝（）A． B．C． D．【答案】B【分析】在原等式中把與互換后用解方程組的方法求得．【詳解】∵，①，∴，②①②聯(lián)立方程組可解得（）．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)解析式，解題方法是方程組法．【變式訓(xùn)練55】．（2020·河南洛陽(yáng)一高）已知，則（）A． B．﹣3x C．﹣3x+1 D．【答案】A【分析】采用方程組法，將替換為再寫一組，聯(lián)立兩個(gè)方程消去即可求解【詳解】因?yàn)棰伲寓冢?lián)立①②解得．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查方程組法求解析式，屬于基礎(chǔ)題(五)、求函數(shù)值域求函數(shù)值域的基本方法1．觀察法：通過(guò)對(duì)函數(shù)解析式的簡(jiǎn)單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)圖象的“最高點(diǎn)”和“最低點(diǎn)”，觀察求得函數(shù)的值域．2．利用常見(jiàn)函數(shù)的值域：一次函數(shù)的值域?yàn)?；反比例函?shù)的值域?yàn)椋恢笖?shù)函數(shù)的值域?yàn)?；?duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)?；正、余弦函?shù)的值域?yàn)?；正切函?shù)的值域?yàn)?3．分離常數(shù)法：將形如(a≠0)的函數(shù)分離常數(shù)，變形過(guò)程為：，再結(jié)合x的取值范圍確定的取值范圍，從而確定函數(shù)的值域.4．換元法：對(duì)某些無(wú)理函數(shù)或其他函數(shù)，通過(guò)適當(dāng)?shù)膿Q元，把它們化為我們熟悉的函數(shù)，再用有關(guān)方法求值域．如：函數(shù)，可以令，得到，函數(shù)可以化為(t≥0)，接下來(lái)求解關(guān)于t的二次函數(shù)的值域問(wèn)題，求解過(guò)程中要注意t的取值范圍的限制．5．配方法：對(duì)二次函數(shù)型的解析式可以先進(jìn)行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域的方法求函數(shù)的值域．6．?dāng)?shù)形結(jié)合法：作出函數(shù)圖象，找出自變量對(duì)應(yīng)的范圍或分析條件的幾何意義，在圖上找出值域．7．單調(diào)性法：函數(shù)單調(diào)性的變化是求最值和值域的依據(jù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷其單調(diào)性，進(jìn)而求函數(shù)的最值和值域．8．判別式法：將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次方程：若函數(shù)y＝f(x)可以化成一個(gè)系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程a(y)x2＋b(y)x＋c(y)＝0，則在a(y)≠0時(shí)，由于x，y為實(shí)數(shù)，故必須有Δ＝b2(y)－4a(y)·c(y)≥0，由此確定函數(shù)的值域．利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)、“無(wú)理”函數(shù)等，使用此法要特別注意自變量的取值范圍.例6．（2021·全國(guó)高一課前預(yù)習(xí)）求下列函數(shù)的值域：（1）y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；（2）y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)；（3）y＝；（4）y＝x－.【答案】（1）{3，5，7，9，11}；（2）[2，11)；（3）{y|y≠－5}；（4）{y|y≥－}．【分析】(1)將x的值逐個(gè)代入,求出對(duì)應(yīng)的y值,即所求函數(shù)的值域;(2)函數(shù)的定義域結(jié)合二次函數(shù)的圖象,求出函數(shù)的值域;(3)將函數(shù)化簡(jiǎn),利用反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出值域;(4)求出函數(shù)的定義域,利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域.【詳解】解（1）∵x∈{1，2，3，4，5}，∴(2x＋1)∈{3，5，7，9，11}，即所求函數(shù)的值域?yàn)閧3，5，7，9，11}．（2）y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2.∵x∈[1，5)，∴其圖象如圖所示，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝2；當(dāng)x＝5時(shí)，y＝11∴所求函數(shù)的值域?yàn)閇2，11)．（3）函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠1}，y＝＝－＝－5－，所以函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≠－5}．（4）要使函數(shù)式有意義，需x＋1≥0，即x≥－1，故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≥－1}．設(shè)t＝，則x＝t2－1(t≥0)，于是y＝t2－1－t＝2－，又t≥0，故y≥－，所以函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≥－}．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的值域,考查基本函數(shù)的圖象和性質(zhì),結(jié)合換元法的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.例7．（1）（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ瓵． B． C． D．【答案】C【分析】可由原函數(shù)得，由，便可得出的范圍，從而得出的范圍，解出即可得出原函數(shù)的值域．【詳解】解：由原函數(shù)得，；，；；；；；原函數(shù)的值域?yàn)椋蔬x：C．【點(diǎn)睛】考查函數(shù)值域的概念，配方法求二次函數(shù)的值域，要熟悉二次函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題．（2）．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的值域是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】對(duì)分離常數(shù)，結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)，可求出的值域.【詳解】∵，且，∴，∴函數(shù)的值域?yàn)?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的值域，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.【變式訓(xùn)練71】．（2020·安徽馬鞍山二中高一月考）若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑒t的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用配方法求出函數(shù)的最小值，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的定義域和值域進(jìn)行求解即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，.因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了已知二次函數(shù)的定義域和值域求參數(shù)取值范圍問(wèn)題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.【變式訓(xùn)練72】．（2021·全國(guó)高一單元測(cè)試）已知，則的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題首先可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，，然后分為、進(jìn)行討論，通過(guò)基本不等式即可得出結(jié)果.【詳解】，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的取值范圍為，故選：A.【變式訓(xùn)練73】．（2020·遼寧）函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】C【分析】配方求出分母的取值范圍，再根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求出函數(shù)的值域.【詳解】，，，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的值域，不等式的性質(zhì)，屬于容易題.【變式訓(xùn)練74】．（2020·江蘇高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的值域是（）A．， B． C．， D．【答案】D【分析】利用配方法，結(jié)合根號(hào)下非負(fù)，即可得得范圍，再開(kāi)方即可.【詳解】因?yàn)樗运?，即函?shù)的值域?yàn)楣蔬x：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法求函數(shù)值域，屬于基礎(chǔ)題.(六)、分段函數(shù)求值分段函數(shù)是一類重要的函數(shù)，常作為考查函數(shù)知識(shí)的最佳載體，以其考查函數(shù)知識(shí)容量大而成為高考的命題熱點(diǎn)，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，重點(diǎn)考查求值、解方程、零點(diǎn)、解不等式、函數(shù)圖象及性質(zhì)等問(wèn)題，難度一般不大，多為容易題或中檔題.分段函數(shù)問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略：1．求函數(shù)值：弄清自變量所在區(qū)間，然后代入對(duì)應(yīng)的解析式，求“層層套”的函數(shù)值，要從最內(nèi)層逐層往外計(jì)算．2．求函數(shù)最值：分別求出每個(gè)區(qū)間上的最值，然后比較大小．3．求參數(shù)：“分段處理”，采用代入法列出各區(qū)間上的方程或不等式．4．解不等式：根據(jù)分段函數(shù)中自變量取值范圍的界定，代入相應(yīng)的解析式求解，但要注意取值范圍的大前提．例8．（1）（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知，則的值為（）A．5 B．2 C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)解析式求出的值，從而可求得的值.【詳解】由，可得,,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式，屬于中檔題.對(duì)于分段函數(shù)解析式的考查是命題的動(dòng)向之一，這類問(wèn)題的特點(diǎn)是綜合性強(qiáng)，對(duì)抽象思維能力要求高，因此解決這類題一定要層次清楚，思路清晰.（2）．（2019·江西省萬(wàn)載中學(xué)）已知函數(shù),若，則的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】先確定函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式，最后解一元一次不等式得結(jié)果.【詳解】由題意知f(x)在R上是減函數(shù)，∴2－x＜x，∴x＞1,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性以及利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式問(wèn)題，考查分析判斷與求解能力.四、定時(shí)訓(xùn)練（30分鐘）1．（2021·上海高一專題練習(xí)）設(shè)集合，，那么下面的4個(gè)圖形中，能表示集合到集合的函數(shù)關(guān)系的有（）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②【答案】C【分析】利用函數(shù)的定義域與函數(shù)的值域判斷函數(shù)的圖象即可．【詳解】對(duì)于①，函數(shù)圖象不滿足函數(shù)的定義域，故錯(cuò)誤；對(duì)于②，函數(shù)圖象滿足函數(shù)的定義域以及函數(shù)的值域，故正確；對(duì)于③，函數(shù)圖象滿足函數(shù)的定義域以及函數(shù)的值域，故正確；對(duì)于④，函數(shù)圖象不滿足函數(shù)的定義（任意的，存在唯一實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)），故錯(cuò)誤；故選：C.2．（2021·全國(guó)）圖中給出的四個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，其中構(gòu)成函數(shù)的是（）①②③④A．①② B．①④ C．①②④ D．③④【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的概念，集合的任何一個(gè)，在集合中都有唯一確定的和它對(duì)應(yīng)，逐一檢驗(yàn)即可得出正確答案.【詳解】對(duì)于①和④，第一個(gè)集合中的數(shù)在第二個(gè)集合中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，符合函數(shù)的概念，故①④滿足函數(shù)關(guān)系.對(duì)于②：第一個(gè)集合中的1，4在第二個(gè)集合中無(wú)元素對(duì)應(yīng)，不是函數(shù)關(guān)系；對(duì)于③：第一個(gè)集合中的1，在第二個(gè)集合中都有兩個(gè)數(shù)和它對(duì)應(yīng)，出現(xiàn)一對(duì)多的情況，不是函數(shù)關(guān)系；只有①④滿足函數(shù)關(guān)系.故選：B.3．（2021·全國(guó)高一單元測(cè)試）下列函數(shù)中，與函數(shù)是相等函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依次判斷各個(gè)選項(xiàng)的解析式和定義域是否和相同，二者皆相同即為同一函數(shù)，由此得到結(jié)果.【詳解】的定義域?yàn)椋粚?duì)于A，定義域?yàn)?，與定義域不同，不是同一函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，與定義域相同，解析式相同，是同一函數(shù)，B正確；對(duì)于C，定義域?yàn)?，與定義域不同，不是同一函數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，與解析式不同，不是同一函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：B.4．（2020·嫩江市高級(jí)中學(xué)高一月考）已知，則的解析式為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)任何變量恒成立，故可以用x代即可求出f（x）解析式．【詳解】由可知，函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0，x≠﹣1}，用x代換，代入上式得：f（x），故選：C．【點(diǎn)睛】本題屬于求解函數(shù)的表達(dá)式問(wèn)題，使用的是構(gòu)造法．即在定義域范圍內(nèi)以x代從而解決問(wèn)題．另外，求解函數(shù)解析式的常用方法還有待定系數(shù)法．5．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否一致一一判斷即可.【詳解】A.的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋x域不同，不是同一個(gè)函數(shù)；B.的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)；C.，，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是同一個(gè)函數(shù)；D.和的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，是同一個(gè)函數(shù).故選：D.6．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知，則（）A．37 B．35 C．26 D．29【答案】A【分析】令代入已知解析式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，令，則.故選：A.7．（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知，則函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)________．【答案】【分析】令，則，將函數(shù)變形為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，令，則，所以，所以，因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸方程為，所以時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以．故答案為：8．（2020·玉龍納西族自治縣田家炳民族中學(xué)高二期中（理））函數(shù)的定義域是________【答案】【分析】根據(jù)影響函數(shù)定義域的因素，分母不為零且被開(kāi)放式非負(fù)，列不