專題31概率與統(tǒng)計創(chuàng)新題型備考策略與方法（原卷版）

2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項微專題核心考點突破專題31概率與統(tǒng)計創(chuàng)新題型備考策略與方法隨著《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2017年版）》）地逐步實施，高考數(shù)學(xué)內(nèi)容及形式的改革也同步啟動，尤其是高考內(nèi)容的改革，在近兩年已經(jīng)顯露頭角，如考查的內(nèi)容與最新的科技成果、文學(xué)、藝術(shù)、美學(xué)，以及中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化相結(jié)合等.其中，對概率與統(tǒng)計內(nèi)容的考查被提升到較高的位置，如概率與統(tǒng)計的解答題，原來被設(shè)置在主觀題第二題的位置，2019年被設(shè)置為高考數(shù)學(xué)全國卷I理科的壓軸題.另外，在《課標(biāo)（2017年版）》中，概率與統(tǒng)計屬于加強內(nèi)容，已被單獨列為高中數(shù)學(xué)四大主題之一.隨著概率與統(tǒng)計內(nèi)容在《課標(biāo)（2017年版）》中要求的提高，在高考考查中難度增大、分值增加，同時概率與統(tǒng)計又與社會、經(jīng)濟、科技發(fā)展密切聯(lián)系，概率與統(tǒng)計內(nèi)容在高考考查中逐步呈現(xiàn)出綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性等特點，成為當(dāng)下高考備考的熱點問題和難點問題.下面就以近年高考概率與統(tǒng)計創(chuàng)新性題型的復(fù)習(xí)為例，展示上述復(fù)習(xí)方式的核心理念及關(guān)鍵做法.1按照同類為伍、近類為鄰的原則，設(shè)計或構(gòu)建相近問題題組，凸顯共性和規(guī)律.眾所周知，對于重要的知識、重要的思想方法的理解掌握及靈活運用，不是通過一兩個問題的解決能夠?qū)崿F(xiàn)的，往往需要經(jīng)過一類問題的變式研究及反復(fù)比較，提煉核心問題，總結(jié)規(guī)律方法，才能認(rèn)清其問題的本質(zhì)及思想方法的實質(zhì)，達(dá)到對知識和思想方法的理解掌握、靈活運用.例1（2019年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ理科第21題）為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得﹣1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得﹣1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X．（1）求X的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi（i＝0，1，…，8）表示“甲藥的累計得分為i時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0＝0，p8＝1，pi＝api﹣1+bpi+cpi+1（i＝1，2，…，7），其中a＝P（X＝﹣1），b＝P（X＝0），c＝P（X＝1）．假設(shè)α＝0.5，β＝0.8．（i）證明：{pi+1﹣pi}（i＝0，1，2，…，7）為等比數(shù)列；（ii）求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性．變式1某種電路開關(guān)閉合后，會出現(xiàn)紅燈或綠燈閃動，已知開關(guān)第一次閉合后，出現(xiàn)紅燈和綠燈的概率都是12，從開關(guān)第二次閉合起，若前次出現(xiàn)紅燈，則下次出現(xiàn)紅燈的概率是13，出現(xiàn)綠燈的概率是23；若前次出現(xiàn)綠燈，則下次出現(xiàn)紅燈的概率是35，出現(xiàn)綠燈的概率是25，記開關(guān)第(Ⅰ)求P2；(Ⅱ)開關(guān)閉合10次時，出現(xiàn)綠燈的概率是多少?變式2A，B兩人拿兩顆骰子做拋擲游戲，規(guī)則如下：若擲出的點數(shù)之和為3的倍數(shù)時，則由原擲骰子的人繼續(xù)擲；若擲出的點數(shù)不是3的倍數(shù)時，由對方接著擲.第一次由A開始擲.設(shè)第n次由A擲的概率為Pn.(Ⅰ)求Pn；（Ⅱ）求前4次拋擲中A恰好擲3次的概率P.變式1、變式2的題目情境不同，但知識的架構(gòu)、問題的本質(zhì)和解決問題的思想方法是一致的.只不過變式1、變式2需要答題者自己先構(gòu)建數(shù)列的遞推關(guān)系式，然后再求其通項，難度更大.現(xiàn)實問題是多樣的，情境是不同的，但是很多問題的內(nèi)部又具有高度的統(tǒng)一性.從高考數(shù)學(xué)備考的質(zhì)量要求看，追求的就是這種“博觀約取”，提煉共性和規(guī)律，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果.下面的題組是以2018年高考數(shù)學(xué)全國卷I理科第20題為框架結(jié)構(gòu)構(gòu)造的.供讀者進一步體會上述復(fù)習(xí)方法.例2（2018年高考數(shù)學(xué)全國卷理科第20題）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗．設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p（0＜p＜1），且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立．（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f（p）的最大值點p0．（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p0作為p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用．（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX；（ⅱ）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？【解答】解：（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p），則f（p）=C∴f'令f′（p）＝0，得p＝0.1，當(dāng)p∈（0，0.1）時，f′（p）＞0，當(dāng)p∈（0.1，1）時，f′（p）＜0，∴f（p）的最大值點p0＝0.1．（2）（i）由（1）知p＝0.1，令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品數(shù)，依題意知Y～B（180，0.1），X＝20×2+25Y，即X＝40+25Y，∴E（X）＝E（40+25Y）＝40+25E（Y）＝40+25×180×0.1＝490．（ii）如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，由這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元，∵E（X）＝490＞400，∴應(yīng)該對余下的產(chǎn)品進行檢驗．

變式3某種大型醫(yī)療檢查機器生產(chǎn)商，對一次性購買2臺機器的客戶，推出兩種超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修優(yōu)惠方案：方案一：交納延保金7000元，在延保的兩年內(nèi)可免費維修2次，超過2次每次收取維修費2000元；方案二：交納延保金10000元，在延保的兩年內(nèi)可免費維修4次，超過4次每次收取維修費1000元.某醫(yī)院準(zhǔn)備一次性購買2臺這種機器．現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)購買哪種延保方案，為此搜集并整理了50臺這種機器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù)，得下表：維修次數(shù)0123臺數(shù)5102015以這50臺機器維修次數(shù)的頻率代替1臺機器維修次數(shù)發(fā)生的概率，記X表示這2臺機器超過質(zhì)保期后延保的兩年內(nèi)共需維修的次數(shù)．（1）求X的分布列；（2）以所需延保金及維修費用的期望值為決策依據(jù)，醫(yī)院選擇哪種延保方案更合算？變式4某大型工廠有5臺大型機器，在1個月中，1臺機器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺機器是否出現(xiàn)故障是相互獨立的，出現(xiàn)故障時需1名工人進行維修．每臺機器出現(xiàn)故障的概率為12．已知1名工人每月只有維修1臺機器的能力，每臺機器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時有工人維修，就能使該廠獲得10萬元的利潤，否則將虧損3萬元．該工廠每月需支付給每名維修工人1.5（1）若每臺機器在當(dāng)月不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時有工人進行維修，則稱工廠能正常運行．若該廠只有2名維修工人，求工廠每月能正常運行的概率；（2）已知該廠現(xiàn)有4名維修工人．（?。┯浽搹S每月獲利為X萬元，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）以工廠每月獲利的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，試問該廠是否應(yīng)再招聘1名維修工人？2類比遷移，實現(xiàn)思維創(chuàng)新、問題創(chuàng)新我們知道，可以將數(shù)列看成一類特殊的函數(shù)，那么函數(shù)中的很多解題方法就可以直接應(yīng)用于數(shù)列問題.同樣的，如果把概率看成是隨機變量的函數(shù)，那么離散型隨機變量的概率分布列就是一類特殊的數(shù)列，如例1、變式1、變式2.數(shù)列有對稱數(shù)列，概率分布能否設(shè)計成對稱分布？另外，如果把隨機變量看成函數(shù)，又將如何？例3春節(jié)期間某商店出售某種海鮮禮盒，假設(shè)每天該禮盒的需求量在{11，12，…，30}范圍內(nèi)等可能取值，該禮盒的進貨量也在{11，12，…，30}范圍內(nèi)取值（每天進1次貨）.商店每銷售1盒禮盒可獲利50元；若供大于求，剩余的削價處理，每處理1盒禮盒虧損10元；若供不應(yīng)求，可從其他商店調(diào)撥，銷售1盒禮盒可獲利30元.設(shè)該禮盒每天的需求量為x盒，進貨量為a盒，商店的日利潤為y元.（I）求商店的日利潤y關(guān)于需求量x的函數(shù)表達(dá)式；（Ⅱ）試計算進貨量a為多少時，商店日利潤的期望值最大？并求出日利潤期望值的最大值.3結(jié)束語高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的目的之一就是總結(jié)解題規(guī)律和方法，同時創(chuàng)新性地預(yù)見并解決未來可能面臨的問題.本文介紹的復(fù)習(xí)方法與策略，就是試圖解決“對于高考中出現(xiàn)的新問題如何進行有效備考”的問題，并通過問題及其變式，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

1．砂糖橘是柑橘類的名優(yōu)品種,因其味甜如砂糖故名.某果農(nóng)選取一片山地種植砂糖橘,收獲時,該果農(nóng)隨機選取果樹20株作為樣本測量它們每一株的果實產(chǎn)量(單位:kg),獲得的所有數(shù)據(jù)按照區(qū)間(40,45],(45,50],(50,55],(55,60]進行分組,得到頻率分布直方圖如圖所示.已知樣本中產(chǎn)量在區(qū)間(45,50]上的果樹株數(shù)是產(chǎn)量在區(qū)間(50,60]上的果樹株數(shù)的倍.(1)求a,b的值;(2)從樣本中產(chǎn)量在區(qū)間(50,60]上的果樹里隨機抽取兩株,求產(chǎn)量在區(qū)間(55,60]上的果樹至少有一株被抽中的概率.2．下表給出的是某城市年至年，人均存款（萬元），人均消費（萬元）的幾組對照數(shù)據(jù).年份人均存款（萬元）人均消費（萬元）（1）試建立關(guān)于的線性回歸方程；如果該城市年的人均存款為萬元，請根據(jù)線性回歸方程預(yù)測年該城市的人均消費；（2）計算，并說明線性回歸方程的擬合效果.附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.3．九龍坡區(qū)圍繞大力發(fā)展高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)、推進高質(zhì)量城市管理、創(chuàng)造高品質(zhì)人民生活，建設(shè)宜居、宜業(yè)、宜游的“三高九龍坡、三宜山水城”的總愿景，全面開啟新時代的新夢想、新征程.熱心網(wǎng)友“我是坡民”通過問卷，對近五年游客滿意度排在前三名的區(qū)內(nèi)景點進行了統(tǒng)計，結(jié)果如表一.根據(jù)此表，他又對游覽過熱門景點重慶動物園的100名游客進行滿意度調(diào)查，給景點打分，滿分為100分，得分超過90分的為“特別滿意”，其余為“基本滿意”，將受調(diào)查游客年齡為12歲及以下的人群稱為兒童，得到列聯(lián)表，如表二：表一：年份景點排名2014年2015年2016年2017年2018年1重慶動物園重慶動物園龍門陣景區(qū)彩云湖彩云湖2華巖景區(qū)華巖景區(qū)重慶動物園龍龍門陣景區(qū)黃桷坪涂鴉街3巴國城海蘭云天黃桷坪涂鴉街華巖景區(qū)重慶動物園表二：特別滿意基本滿意合計兒童40非兒童30合計60100（1）完成表二的列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為調(diào)查對象是否“特別滿意”與是否是兒童有關(guān)；（2）為安排節(jié)假日出行，“我是坡民”從表一的5個年份中隨機選擇2個年份，再從這2個年份排名前三的景點中任意選擇1個景點，記選擇出的景點中“重慶動物園”出現(xiàn)的次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式.參考數(shù)據(jù)：，，，.4．為迎接2022年北京冬季奧運會，普及冬奧知識，某校開展了“冰雪答題王”冬奧知識競賽活動．現(xiàn)從參加冬奧知識競賽活動的學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生，將他們的比賽成績（滿分為100分）分為6組：，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求的值；（2）估計這100名學(xué)生的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（3）在抽取的100名學(xué)生中，規(guī)定：比賽成績不低于80分為“優(yōu)秀”，比賽成績低于80分為“非優(yōu)秀”．請將下面的2×2列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”？優(yōu)秀非優(yōu)秀合計男生40女生50合計100參考公式及數(shù)據(jù)：

0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.8285．某次數(shù)學(xué)知識比賽中共有6個不同的題目，每位同學(xué)從中隨機抽取3個題目進行作答，已知這6個題目中，甲只能正確作答其中的4個，而乙正確作答每個題目的概率均為，且甲、乙兩位同學(xué)對每個題目的作答都是相互獨立、互不影響的.（1）求甲、乙兩位同學(xué)總共正確作答3個題目的概率；（2）若甲、乙兩位同學(xué)答對題目個數(shù)分別是，，由于甲所在班級少一名學(xué)生參賽，故甲答對一題得15分，乙答對一題得10分，求甲乙兩人得分之和的期望.6．為了了解我校高2017級本部和大學(xué)城校區(qū)的學(xué)生是否愿意參加自主招生培訓(xùn)的情況，對全年級2000名高三學(xué)生進行了問卷調(diào)查，統(tǒng)計結(jié)果如下表：校區(qū)

愿意參加

不愿意參加

重慶一中本部校區(qū)

220

980

重慶一中大學(xué)城校區(qū)

80

720

（1）若從愿意參加自主招生培訓(xùn)的同學(xué)中按分層抽樣的方法抽取15人，則大學(xué)城校區(qū)應(yīng)抽取幾人；（2）現(xiàn)對愿意參加自主招生的同學(xué)組織摸底考試，考試題共有5道題，每題20分，對于這5道題，考生“如花姐”完全會答的有3題，不完全會的有2道，不完全會的每道題她得分的概率滿足：，假設(shè)解答各題之間沒有影響，①對于一道不完全會的題，求“如花姐”得分的均值；②試求“如花姐”在本次摸底考試中總得分的數(shù)學(xué)期望．7．某農(nóng)科站技術(shù)員為了解某品種樹苗的生長情況，在該批樹苗中隨機抽取一個容量為100的樣本，測量樹苗高度（單位：cm）．經(jīng)統(tǒng)計，高度均在區(qū)間[20，50]內(nèi)，將其按[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50]分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖，其中高度不低于40cm的樹苗為優(yōu)質(zhì)樹苗．（1）已知所抽取的這100棵樹苗來自于甲、乙兩個地區(qū)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下2×2列聯(lián)表所示，將列聯(lián)表補充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)樹苗與地區(qū)有關(guān)？（2）用樣本估計總體的方式，從這批樹苗中隨機抽取4棵，期中優(yōu)質(zhì)樹苗的棵數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．甲地區(qū)乙地區(qū)合計優(yōu)質(zhì)樹苗5非優(yōu)質(zhì)樹苗25合計附：K2＝，其中n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.0250.0100.0050.001k05.0246.6357.87910.8288．2019年電商“雙十一”大戰(zhàn)即將開始.某電商為了盡快占領(lǐng)市場，搶占今年“雙十一”的先機，對成都地區(qū)年齡在15到75歲的人群“是否網(wǎng)上購物”的情況進行了調(diào)查，隨機抽取了100人，其年齡頻率分布表和使用網(wǎng)上購物的人數(shù)如下所示：（年齡單位：歲）年齡段頻率0.10.320.280.220.050.03購物人數(shù)828241221（1）若以45歲為分界點，根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“網(wǎng)上購物”與年齡有關(guān)？年齡低于45歲年齡不低于45歲總計使用網(wǎng)上購物不使用網(wǎng)上購物總計（2）若從年齡在，的樣本中各隨機選取2人進行座談，記選中的4人中“使用網(wǎng)上購物”的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：0.0250.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828參考公式：9．中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時間的關(guān)系，對該校200名高三學(xué)生平均每天體育鍛煉時間進行調(diào)查，如表：（平均每天鍛煉的時間單位：分鐘）平均每天鍛煉的時間/分鐘總?cè)藬?shù)203644504010將學(xué)生日均體育鍛煉時間在的學(xué)生評價為“鍛煉達(dá)標(biāo)”.（1）請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表；鍛煉不達(dá)標(biāo)鍛煉達(dá)標(biāo)合計男女20110合計并通過計算判斷，是否能在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)？（2）在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中，按男女用分層抽樣方法抽出10人，進行體育鍛煉體會交流，（i）求這10人中，男生、女生各有多少人？（ii）從參加體會交流的10人中，隨機選出2人作重點發(fā)言，記這2人中女生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.臨界值表0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.63510．為緩解日益擁堵的交通狀況，不少城市實施車牌競價策略，以控制車輛數(shù)量.某地車牌競價的原則是：①“盲拍”，即所有參與競拍的人都是網(wǎng)絡(luò)報價，每個人并不知曉其他人的報價，也不知道參與當(dāng)期競拍的總?cè)藬?shù)；②競價時間截止后，系統(tǒng)根據(jù)當(dāng)期車牌配額，按照競價人的出價從高到低分配名額.某人擬參加2018年10月份的車牌競價，他為了預(yù)測最低成交價，根據(jù)競拍網(wǎng)站的公告，統(tǒng)計了最近5個月參與競拍的人數(shù)（見表）：月份2018.042018.052018.062018.072018.08月份編號t12345競拍人數(shù)y(萬人)0.50.6m1.41.7（1）由收集數(shù)據(jù)的散點圖發(fā)現(xiàn)，可以線性回歸模擬競拍人數(shù)y(萬人)與月份編號t之間的相關(guān)關(guān)系.現(xiàn)用最小二乘法求得y關(guān)于t的回歸方程為，請求出表中的m的值并預(yù)測2018年9月參與競拍的人數(shù)；（2）某市場調(diào)研機構(gòu)對200位擬參加2018年9月車牌競拍人員的報價價格進行了一個抽樣調(diào)查，得到如下一個頻數(shù)表：報價區(qū)間(萬元)[1，2)[2，3)[3，4)[4，5)[5，6)[6，7]頻數(shù)206060302010（i）求這200位競拍人員報價的平均值(同一區(qū)間的報價可用該價格區(qū)間的中點值代替)；（ii）假設(shè)所有參與競拍人員的報價X服從正態(tài)分布，且為(i)中所求的樣本平均數(shù)的估值，.若2018年9月實際發(fā)放車牌數(shù)量為3174，請你合理預(yù)測(需說明理由)競拍的最低成交價.參考公式及數(shù)據(jù)：若隨機變量Z服從正態(tài)分布，則：，，.11．隨著經(jīng)濟的發(fā)展，轎車已成為人們上班代步的一種重要工具.現(xiàn)將某人三年以來每周開車從家到公司的時間之和統(tǒng)計如圖所示.（1）求此人這三年以來每周開車從家到公司的時間之和在（時）內(nèi)的頻率；（2）求此人這三年以來每周開車從家到公司的時間之和的平均數(shù)（每組取該組的中間值作代表）；（3）以頻率估計概率，記此人在接下來的四周內(nèi)每周開車從家到公司的時間之和在（時）內(nèi)的周數(shù)為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望.12．某高校為增加應(yīng)屆畢業(yè)生就業(yè)機會，每年根據(jù)應(yīng)屆畢業(yè)生的綜合素質(zhì)和學(xué)業(yè)成績對學(xué)生進行綜合評估，已知某年度參與評估的畢業(yè)生共有2000名．其評估成績Z近似的服從正態(tài)分布．現(xiàn)隨機抽取了100名畢業(yè)生的評估成績作為樣本，并把樣本數(shù)據(jù)進行了分組，繪制了如下頻率分布直方圖：（1）求樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）若學(xué)校規(guī)定評估成績超過82.7分的畢業(yè)生可參加A、B、C三家公司的面試．（i）用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計值．請利用估計值判斷這2000名畢業(yè)生中，能夠參加三家公司面試的人數(shù)；（ii）若三家公司每家都提供甲、乙、丙三個崗位，崗位工資表如下：公司甲崗位乙崗位丙崗位A960064005200B980072005400C1000060005000李華同學(xué)取得了三個公司的面試機會，經(jīng)過評估，李華在三個公司甲、乙、丙三個崗位的面試成功的概率均為0.3，0.3，0.4．李華準(zhǔn)備依次從A、B、C三家公司進行面試選崗，公司規(guī)定：面試成功必須當(dāng)場選崗，且只有一次機會，李華在某公司選崗時，若以該崗位與未進行面試公司的工資期望作為抉擇依據(jù)，問李華可以選擇A、B、C公司的哪些崗位？并說明理由．附：若隨機變量，則，．13．在某項娛樂活動的海選過程中評分人員需對同批次的選手進行考核并評分，并將其得分作為該選手的成績，成績大于等于分的選手定為合格選手，直接參加第二輪比賽，大于等于分的選手將直接參加競賽選拔賽.已知成績合格的名參賽選手成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中的頻率構(gòu)成等比數(shù)列.（1）求的值；（2）估計這名參賽選手的平均成績；（3）根據(jù)已有的經(jīng)驗，參加競賽選拔賽的選手能夠進入正式競賽比賽的概率為，假設(shè)每名選手能否通過競賽選拔賽相互獨立，現(xiàn)有名選手進入競賽選拔賽，記這名選手在競賽選拔賽中通過的人數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.14．響應(yīng)“文化強國建設(shè)”號召，某市把社區(qū)圖書閱覽室建設(shè)增列為重要的民生工程.為了解市民閱讀需求，隨機抽取市民200人做調(diào)查，統(tǒng)計顯示，男士喜歡閱讀古典文學(xué)的有64人，不喜歡的有56人；女士喜歡閱讀古典文學(xué)的有36人，不喜歡的有44人.（1）能否在犯錯誤的概率不超過0.25的前提下認(rèn)為喜歡閱讀古典文學(xué)與性別有關(guān)系？（2）為引導(dǎo)市民積極參與閱讀，有關(guān)部門牽頭舉辦市讀書交流會，從這200人中篩選出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜歡古典文學(xué).現(xiàn)從這9名代表中任選3名男代表和2名女代表參加交流會，記為參加交流會的5人中喜歡古典文學(xué)的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.500.400.250.150.100.050.4550.7081.3232.0722.7063.84115．生男生女都一樣，女兒也是傳后人.由于某些地區(qū)仍然存在封建傳統(tǒng)思想，頭胎的男女情況可能會影響生二孩的意愿，現(xiàn)隨機抽取某地200戶家庭進行調(diào)查統(tǒng)計.這200戶家庭中，頭胎為女孩的頻率為0.5，生二孩的頻率為0.525，其中頭胎生女孩且生二孩的家庭數(shù)為60.（1）完成下列列聯(lián)表，并判斷能否有95%的把握認(rèn)為是否生二孩與頭胎的男女情況有關(guān)；生二孩不生二孩合計頭胎為女孩60頭胎為男孩合計200（2）在抽取的200戶家庭的樣本中，按照分層抽樣的方法在生二孩的家庭中抽取了7戶，進一步了解情況，在抽取的7戶中再隨機抽取4戶，求抽到的頭胎是女孩的家庭戶數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：0.150.050.010.0012.0723.8416.63510.828（其中）.16．某電視臺舉行文藝比賽，并通過網(wǎng)絡(luò)對比賽進行直播．比賽現(xiàn)場有5名專家評委給每位參賽選手評分，場外觀眾可以通過網(wǎng)絡(luò)給每位參賽選手評分．每位選手的最終得分由專家評分和觀眾評分確定．某選手參與比賽后，現(xiàn)場專家評分情況如表；場外有數(shù)萬名觀眾參與評分，將評分按照[7，8），[8，9），[9，10]分組，繪成頻率分布直方圖如圖：專家ABCDE評分9.69.59.68.99.7（1）求a的值，并用頻率估計概率，估計某場外觀眾評分不小于9的概率；（2）從5名專家中隨機選取3人，X表示評分不小于9分的人數(shù)；從場外觀眾中隨機選取3人，用頻率估計概率，Y表示評分不小于9分的人數(shù)；試求E（X）與E（Y）的值；（3）考慮以下兩種方案來確定該選手的最終得分：方案一：用所有專家與觀眾的評分的平均數(shù)作為該選手的最終得分，方案二：分別計算專家評分的平均數(shù)和觀眾評分的平均數(shù)，用作為該選手最終得分．請直接寫出與的大小關(guān)系．17．中國大學(xué)先修課程，是在高中開設(shè)的具有大學(xué)水平的課程，旨在讓學(xué)有余力的高中生早接受大學(xué)思維方式、學(xué)習(xí)方法的訓(xùn)練，為大學(xué)學(xué)習(xí)乃至未來的職業(yè)生涯做好準(zhǔn)備.某高中開設(shè)大學(xué)先修課程已有兩年，兩年共招收學(xué)生2000人，其中有300人參與學(xué)習(xí)先修課程，兩年全校共有優(yōu)等生200人，學(xué)習(xí)先修課程的優(yōu)等生有60人.這兩年學(xué)習(xí)先修課程的學(xué)生都參加了考試，并且都參加了某高校的自主招生考試，結(jié)果如下表所示：分?jǐn)?shù)人數(shù)20551057050參加自主招生獲得通過的概率0.90.80.60.50.4（1）填寫列聯(lián)表，并畫出列聯(lián)表的等高條形圖，并通過圖形判斷學(xué)習(xí)先修課程與優(yōu)等生是否有關(guān)系，根據(jù)列聯(lián)表的獨立性檢驗，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為學(xué)習(xí)先修課程與優(yōu)等生有關(guān)系？優(yōu)等生非優(yōu)等生總計學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程沒有學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程總計（2）已知今年有150名學(xué)生報名學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程，以前兩年參加大學(xué)先修課程學(xué)習(xí)成績的頻率作為今年參加大學(xué)先修課程學(xué)習(xí)成績的概率.①在今年參與大學(xué)先修課程的學(xué)生中任取一人，求他獲得某高校自主招生通過的概率；②設(shè)今年全校參加大學(xué)先修課程的學(xué)生獲得某高校自主招生通過的人數(shù)為，求.參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879參考公式：，其中.18．某快遞公司收取快遞費用的標(biāo)準(zhǔn)是：重量不超過的包裹收費10元；重量超過的包裹，除收費10元之外，超過的部分，每超出（不足，按計算）需再收5元．該公司將最近承攬的100件包裹的重量統(tǒng)計如表：包裹重量（單位：kg）12345包裹件數(shù)43301584公司對近60天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計如表：包裹件數(shù)范圍0～100101～200201～300301～400401～500包裹件數(shù)（近似處理）50150250350450天數(shù)6630126以上數(shù)據(jù)已做近似處理，并將頻率視為概率．（1）計算該公司未來3天內(nèi)恰有2天攬件數(shù)在101～400之間的概率；（2）①估計該公司對每件包裹收取的快遞費的平均值；②公司將快遞費的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的用作其他費用．目前前臺有工作人員3人，每人每天攬件不超過150件，工資100元．公司正在考慮是否將前臺工作人員裁減1人，試計算裁員前后公司每日利潤的數(shù)學(xué)期望，并判斷裁員是否對提高公司利潤更有利？19．小明和父母都喜愛《中國好聲音》這欄節(jié)目，年月日晚在鳥巢進行中國好聲音終極決賽，四強選手分別為李榮浩戰(zhàn)隊的邢晗銘，那英戰(zhàn)隊的斯丹曼簇，王力宏戰(zhàn)隊的李芷婷，庾澄慶戰(zhàn)隊的陳其楠，決賽后四位選手相應(yīng)的名次為、、、，某網(wǎng)站為提升娛樂性，邀請網(wǎng)友在比賽結(jié)束前對選手名次進行預(yù)測.現(xiàn)用、、、表示某網(wǎng)友對實際名次為、、、的四位選手名次做出的一種等可能的預(yù)測排列，是該網(wǎng)友預(yù)測的名次與真實名次的偏離程度的一種描述.（1）求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）按（1）中的結(jié)果，若小明家三人的排序號與真實名次的偏離程度都是，計算出現(xiàn)這種情況的概率（假定小明家每個人排序相互獨立）.20．在中國共產(chǎn)黨第十九次全國代表大會上，習(xí)近平總書記代表第十八屆中央委員會向大會作了題為《決勝全面建成小康社會奪取新時代中國特色社會主義偉大勝利》的報告.人們通過、互聯(lián)網(wǎng)、電視等方式觀看十九大盛況.某調(diào)查網(wǎng)站通過電視端口或PC端口觀看十九大的觀眾中隨機選出200人，經(jīng)統(tǒng)計這200人中通過電視端口觀看的人數(shù)與通過PC端口觀看的人數(shù)之比為.將這200人按年齡分成五組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，其中統(tǒng)計通過電視端口觀看的觀眾得到的頻率分布直方圖如圖所示.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）估計通過電視端口觀看的觀眾年齡的中位數(shù)；（Ⅲ）把年齡在第1，2，3組的觀眾稱青少年組，年齡第45組的觀眾稱為中老年組，若選出的觀眾中通過PC端口觀看的中老年人有12人，請完成下列列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為觀看十九大的方式與年齡有關(guān)？通過PC端口觀看通過電視端口觀看合計青少年中老年合計附：（其中）.2.7063.8415.0246.6357.87910.8280.100.050.0250.0100.0050.00121．重慶市的新高考模式為“”，其中“3”是指語文、數(shù)學(xué)、外語三門必步科目：“1”是指物理、歷史兩門科目必選且只選一門；“2”是指在政治、地理、化學(xué)、生物四科中必須任選兩門，這樣學(xué)生的選科就可以分為兩類：物理類與歷史類，比如物理類有：物理+化學(xué)+生物，物理+化學(xué)+地理，物理+化學(xué)+政治.物理+政治+地理，物理+政治+生物，物理+生物+地理.重慶某中學(xué)高一學(xué)生共1200人，其中男生650人，女生550人，為了適應(yīng)新高考，該校高一的學(xué)生在3月份進行了“”的選科，選科情況部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：（單位：人）性別物理類歷史類合計男生590女生240合計900（1）請將題中表格補充完整，并判斷能否有99%把握認(rèn)為“是否選擇物理類與性別有關(guān)”？（2）已知高一9班和10班選科結(jié)果都只有四種組合：物理+化學(xué)+生物，物理+化學(xué)+地理，政治+歷史+地理，政治+歷史+生物.現(xiàn)用數(shù)字1，2，3，4依次代表這四種組合，兩個班的選科數(shù)據(jù)如下表所示（單位：人）.理化生理化地政史地政史生班級總?cè)藬?shù)9班181812126010班241218660現(xiàn)分別從兩個班各選一人，記他們的選科結(jié)果分別為和，令，用頻率代表概率，求隨機變量的分布列和期望.（參考數(shù)據(jù)：，，）附：；0.0500.0250.0100.0053.8415.0246.6357.87922．某芯片公司對今年新開發(fā)的一批5G芯片進行測評，該公司隨機調(diào)查了100顆芯片，并將所得統(tǒng)計數(shù)據(jù)分為五個小組（所調(diào)查的芯片得分均在內(nèi)），得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中．（1）求這100顆芯片評測分?jǐn)?shù)的平均數(shù)（同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替）．（2）芯片公司另選100顆芯片交付給某公司進行測試，該公司將每顆芯片分別裝在3個工程中進行初測。若3個工程的評分都達(dá)到11萬分，則認(rèn)定該芯片合格；若3個工程中只要有2個評分沒達(dá)到11萬分，則認(rèn)定該芯片不合格；若3個工程中僅1個評分沒有達(dá)到11萬分，則將該芯片再分別置于另外2個工程中進行二測，二測時，2個工程的評分都達(dá)到11萬分，則認(rèn)定該芯片合格；2個工程中只要有1個評分沒達(dá)到11萬分，公司將認(rèn)定該芯片不合格．已知每顆芯片在各次置于工程中的得分相互獨立，并且芯片公司對芯片的評分方法及標(biāo)準(zhǔn)與公司對芯片的評分方法及標(biāo)準(zhǔn)都一致（以頻率作為概率）．每顆芯片置于一個工程中的測試費用均為300元，每顆芯片若被認(rèn)定為合格或不合格，將不再進行后續(xù)測試，現(xiàn)公司測試部門預(yù)算的測試經(jīng)費為10萬元，試問預(yù)算經(jīng)費是否足夠測試完這100顆芯片？請說明理由．23．新中國昂首闊步地走進2019年，迎來了她70歲華誕.某平臺組織了“偉大的復(fù)興之路一新中國70周年知識問答”活動，規(guī)則如下：共有30道單選題，每題4個選項中只有一個正確，每答對一題獲得5顆紅星，每答錯一題反扣2顆紅星；若放棄此題，則紅星數(shù)無變化.答題所獲得的紅星可用來兌換神秘禮品，紅星數(shù)越多獎品等級越高.小強參加該活動，其中有些題目會做，有些題目可以排除若干錯誤選項，其余的題目則完全不會.（1）請問：對于完全不會的題目，小強應(yīng)該隨機從4個選項中選一個作答，還是選擇放棄？（利用統(tǒng)計知識說明理由）（2）若小強有12道題目會做，剩下的題目中，可以排除一個錯誤選項、可以排除兩個錯誤選項和完全不會的題目的數(shù)量比是.請問：小強在本次活動中可以獲得最多紅星數(shù)的期望是多少？24．“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念已經(jīng)深入人心，這將推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展.下表是近幾年我國某地區(qū)新能源乘用車的年銷售量與年份的統(tǒng)計表:某機構(gòu)調(diào)查了該地區(qū)30位購車車主的性別與購車種類情況，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示:(1)求新能源乘用車的銷量關(guān)于年份的線性相關(guān)系數(shù)，并判斷與是否線性相關(guān);(2)請將上述列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為購車車主是否購置新能源乘用車與性別有關(guān);(3)若以這30名購車車主中購置新能源乘用車的車主性別比例作為該地區(qū)購置新能源乘用車的車主性別比例，從該地區(qū)購置新能源乘用車的車主中隨機選取50人，記選到女性車主的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望與方差.參考公式:，，其中.，若，則可判斷與線性相交.25．在某市高中某學(xué)科競賽中，某一個區(qū)名考生的參賽成績統(tǒng)計如圖所示.（1）求這名考生的競賽平均成績（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點作代表）；（2）由直方圖可認(rèn)為考生競賽成績服正態(tài)分布，其中，分別取考生的平均成績和考生成績的方差，那么該區(qū)名考生成績超過分（含分）的人數(shù)估計有多少人？（3）如果用該區(qū)參賽考生成績的情況來估計全市的參賽考生的成績情況，現(xiàn)從全市參賽考生中隨機抽取名考生，記成績不超過分的考生人數(shù)為，求.（精確到）附：①，；②，則，；③.26．一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓后要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)三次音樂獲得150分，出現(xiàn)兩次音樂獲得100分，出現(xiàn)一次音樂獲得50分，沒有出現(xiàn)音樂則獲得300分.設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立.（1）若一盤游戲中僅出現(xiàn)一次音樂的概率為，求的最大值點；（2）以（1）中確定的作為的值，玩3盤游戲，出現(xiàn)音樂的盤數(shù)為隨機變量，求每盤游戲出現(xiàn)音樂的概率，及隨機變量的期望；（3）玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了.請運用概率統(tǒng)計的相關(guān)知識分析分?jǐn)?shù)減少的原因.27．紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對農(nóng)作物造成嚴(yán)重傷害.每只紅鈴蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)和平均溫度有關(guān).現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.平均溫度/℃21232527293235平均產(chǎn)卵數(shù)/個71121246611532527.42981.2863.61240.182147.714表中，（1）根據(jù)散點圖判斷，與（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于平均溫度的回歸方程類型？（給出判斷即可不必說明理由）并由判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程.（計算結(jié)果精確到小數(shù)點后第三位）（2）