高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬試卷（空間向量與立體幾何直線與圓橢圓）

高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬試卷（試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（2022·福建福州·高二期中）直線的傾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】B【解析】直線的斜率為1，傾斜角為45°，故選：B．2．（2022·江蘇·南京市大廠高級(jí)中學(xué)高二期中）已知圓，則（

）A．圓C的圓心坐標(biāo)為B．圓C的圓心坐標(biāo)為C．圓C的半徑為D．圓C的半徑為35【答案】C【解析】圓C的方程可化為，則圓心坐標(biāo)為，半徑為.故選：C.3．（2022·安徽滁州·高二期中）已知橢圓的焦點(diǎn)為、，P為橢圓上的一點(diǎn)，若，則的面積為（）A．3B．9C．D．【答案】C【解析】根據(jù)橢圓的定義有，①根據(jù)余弦定理得，②結(jié)合①②解得，所以的面積．故選:C4．（2022·福建·柘榮縣第一中學(xué)高二期中）如圖，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，，故選；A5．（2022·安徽省舒城中學(xué)高二期中）若直線與直線平行，則它們之間的距離是（）A．1B．C．3D．4【答案】B【解析】由直線與直線平行，可得，解之得則直線與直線間的距離為，故選：B6．（2022·江蘇常州·高二期中）直三棱柱中，，則與所成的角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如圖所示，以為原點(diǎn)，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，可得，，，.，故BM與AN所成角的余弦值為，故選：A.7．（2022·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）若直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由曲線，可得，表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為的右半圓，是傾斜角為的直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)有兩種情況：①直線與半圓相切，根據(jù)，所以，結(jié)合圖象可得；②直線與半圓的上半部分相交于一個(gè)交點(diǎn)，由圖可知.綜上可知：或.故選：D.8．（2022·福建泉州·高二期中）已知橢圓與圓，若在橢圓上存在點(diǎn)P，使得由點(diǎn)P所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意，如圖，若在橢圓上存在點(diǎn)，使得由點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直則只需，即，，即，因?yàn)?，解得：．，即，而，，即．故選：D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．（2022·江蘇·連云港高中高二期中）給出下列命題，其中是真命題的是（）A．若直線的方向向量，直線的方向向量，則與垂直B．若直線的方向向量，平面的法向量，則C．若平面，的法向量分別為，，則D．若存在實(shí)數(shù)使則點(diǎn)共面【答案】AD【解析】對(duì)于A：因?yàn)橹本€的方向向量，直線的方向向量，且，所以，所以與垂直.故A正確；對(duì)于B：因?yàn)橹本€的方向向量，平面的法向量，且，所以不成立.故B不正確；對(duì)于C：因?yàn)槠矫?，的法向量分別為，，且，所以不垂直，所以不成立.故C不正確；對(duì)于D：若不共線，則可以取為一組基底，由平面向量基本定理可得存在實(shí)數(shù)使則點(diǎn)共面；若共線，則存在實(shí)數(shù)使所以共線，則點(diǎn)共面也成立.綜上所述：點(diǎn)共面.故D正確.故選：AD10．（2022·廣東·汕頭市潮南區(qū)陳店實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期中）已知直線與圓，則（）A．直線與圓C相離B．直線與圓C相交C．圓C上到直線的距離為1的點(diǎn)共有2個(gè)D．圓C上到直線的距離為1的點(diǎn)共有3個(gè)【答案】BD【解析】由圓，可知其圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離，所以可知選項(xiàng)B，D正確，選項(xiàng)A，C錯(cuò)誤.故選：BD11．（2022·湖北恩施·高二期中）如圖，在棱長為1的正方體中，M為BC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A．AM與所成角的余弦值為B．C到平面的距離為C．過點(diǎn)A，M，的平面截正方體所得截面的面積為D．四面體內(nèi)切球的表面積為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，構(gòu)建如圖①所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，故A正確；對(duì)于B，方法1：如圖②，連接AC，由正方體幾何特征得：，又面，面，面，設(shè)C到平面的距離為d，即點(diǎn)A到平面的距離，，即，求得.方法2：根據(jù)圖①，,，，，設(shè)平面的法向量，則，即，令得：，平面的一個(gè)法向量為，，設(shè)C到平面的距離為d，則，故B正確；對(duì)于C，取的中點(diǎn)N，連接，，，則，如圖②所示，則梯形為過點(diǎn)A，M，的平面截正方體所得的截面，易知，，，可得梯形的高為，則梯形的面積，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，易知四面體的體積，因?yàn)樗拿骟w的棱長都為，所以其表面積.設(shè)四面體內(nèi)切球的半徑為r，則，解得，所以四面體內(nèi)切球的表面積為，故D正確.故選：ABD.12．（2022·江蘇·淮陰中學(xué)高二期中）已知橢圓，若P在橢圓上，、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則下列說法正確的有（）A．若，則B．面積的最大值為C．的最大值為D．滿足是直角三角形的點(diǎn)有個(gè)【答案】ABC【解析】在橢圓中，，，，且，對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)為橢圓的短軸頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到軸的距離最大，所以，面積的最大值為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)或時(shí)，為直角三角形，此時(shí)滿足條件的點(diǎn)有個(gè)，當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，則，，，，所以，，，此時(shí)，滿足條件的點(diǎn)有個(gè)，綜上所述，滿足是直角三角形的點(diǎn)有個(gè)，D錯(cuò).故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．（2022·全國·高二期中）已知直線，直線，若，則實(shí)數(shù)的值為______．【答案】或【解析】因?yàn)?，所以，解得或，故答案為：?4．（2022·江蘇常州·高二期中）已知是所在平面外一點(diǎn)，，且，則實(shí)數(shù)的值為____________.【答案】【解析】因?yàn)?，則，所以，，所以，，，，因此，.故答案為：.15．（2022·上海金山·高二期中）求過點(diǎn)的圓的切線方程__________.【答案】或【解析】過點(diǎn)的斜率不存在的直線為：，圓心到直線的距離為1，與圓相交，不是切線；當(dāng)斜率存在，設(shè)其為k，則切線可設(shè)為.所以，解得：或.所以切線方程為：或.故答案為：或.16．（2022·湖北恩施·高二期中）已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且在第一象限，過作的外角平分線的垂線，垂足為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為______.【答案】【解析】如圖所示：延長，交于點(diǎn)Q，∵PA是的外角平分線，，，又O是的中點(diǎn)，，且.又，，，∴離心率為.故答案為：四、解答題：本小題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2022·全國·高二期中）已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為、、，試求：（1）邊上的高所在的直線方程；（2）的面積．【答案】（1）；（2）24【解析】（1）因?yàn)?，則邊上的高的斜率為3，又經(jīng)過A點(diǎn)，故方程為，化簡(jiǎn)得．（2），直線方程為，整理得，則到的距離為，則的面積為.18．（2022·全國·高二期中）已知圓和圓.（1）試判斷兩圓的位置關(guān)系；（2）求公共弦所在直線的方程；（3）求公共弦的長度.【答案】（1）相交；（2）；（3）【解析】（1）將兩圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，,則圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑.，，，，兩圓相交.（2）將兩圓方程相減，得公共弦所在直線的方程為.（3）由,解得或,兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為和.兩圓的公共弦的長度為.19．（2022·山東·東營市第一中學(xué)高二期中）如圖，在正方體中，棱長為2，M、N分別為、AC的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求與平面所成角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）30°【解析】（1）如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，，．所以，因?yàn)槠矫?所以平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫妫云矫妫?），，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為則，令，則，，所以設(shè)與平面所成角為，則．因?yàn)椋耘c平面所成角為30°．20．（2022·全國·高二期中）已知圓，直線．（1）求證：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)；（2）求直線l被圓截得的最短弦長以及此時(shí)直線l的方程．【答案】（1）見解析；（2）最短弦長為，.【解析】（1）直線化為，則，解得，所以直線l恒過定點(diǎn)，圓心，半徑，又因，所以點(diǎn)在圓C內(nèi)，所以不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)；（2）當(dāng)直線l所過的定點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，即時(shí)，直線l被圓截得的弦長最短，最短弦長為，，所以直線l的斜率為2，即，解得，所以直線l的方程為.21．（2022·江蘇徐州·高二期中）如圖所示，在四棱錐中，，，，且（1）求證：平面平面；（2）已知點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)?重合），若使二面角的大小為，試確定點(diǎn)的位置.【答案】（1）見解析；;（2）點(diǎn)在線段上滿足【解析】（1）連接，由，知，在中，，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為正方形，所以，在中，，在中，，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）在中，，所以，在中，過點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)?，所以為中點(diǎn)，所以，由（1）得平面，平面，則，平面，，則平面.以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，以過點(diǎn)與平面垂直的直線為軸，建立如圖所示空間坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，即，即，解得（舍）