專題05二面角綜合難點專練-2021-2022學年高二數(shù)學專題訓練（2021必修三）

專題05二面角綜合難點專練（解析版）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．如圖，正方體，則下列四個命題:①點在直線上運動，三棱錐的體積不變②點在直線上運動，直線與平面所成角的大小不變③點在直線上運動，二面角的大小不變④點是平面上到點和距離相等的動點，則的軌跡是過點的直線.其中的真命題是（）A．①③ B．①③④ C．①②④ D．③④【答案】B【分析】①由正方體的性質，易知平面，因此直線上的點到平面的距離不變，又的面積不變，所以體積不變.②點在直線上運動，的大小在改變，所以直線與平面所成角的大小改變，③點在直線上運動，兩面的位置不變，所以二面角的大小不變.④用向量法來判斷，建立空間直角坐標系，設，由的方程來判斷.【詳解】①由正方體的性質可得:，于是平面，因此直線上的點到平面的距離不變，點在直線上運動，又的面積不變，因此三棱錐的體積不變.②點在直線上運動，由①可知:直線上的點到平面的距離不變，而的大小在改變，因此直線與平面所成角的大小改變，故不正確.③點在直線上運動，由①可知:點到平面的距離不變，點到的距離不變，可得二面角的大小不變，正確；④如圖所示，不妨設正方體的棱長為，，，設，∵，則，化為，因此的軌跡是過點的直線，正確.其中真命題是①③④.故選：B【點睛】本題主要考查了幾何體的體積，線面角，面面角及距離問題，還考查了轉化化歸的能力，屬于中檔題.2．如圖，已知直三棱柱，所有棱長均為2，則二面角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】取BC中點O，連結AO、，則，，從而是二面角的平面角，由此能求出二面角的余弦值．【詳解】取BC中點O，連結AO、，直三棱柱，所有棱長均為2，，，，，是二面角的平面角，，，．二面角的余弦值為．故選：C．【點睛】本題主要考查了二面角的余弦值的求法，二面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系，屬于中檔題．3．如圖，正方體，則下列四個命題：①點在直線上運動時，直線與直線所成角的大小不變②點在直線上運動時，直線與平面所成角的大小不變③點在直線上運動時，二面角的大小不變④點在直線上運動時，三棱錐的體積不變其中的真命題是（）A．①③ B．③④ C．①②④ D．①③④【答案】D【分析】①由與平面的位置關系判斷直線與直線所成角的大小變化情況；②考慮與平面所成角的大小，然后判斷直線與平面所成角的大小是否不變；③根據(jù)以及二面角的定義判斷二面角的大小是否不變；④根據(jù)線面平行的性質以及三棱錐的體積計算公式判斷三棱錐的體積是否不變.【詳解】①如下圖，連接，因為，所以平面，所以，所以直線與直線所成角的大小不變；②如下圖，連接，記到平面的距離為，設正方體棱長為，所以，所以，又因為，所以，所以與平面所成角的正弦值為：，又因為，所以，所以所以與平面所成角的正弦值為：，顯然，所以直線與平面所成角的大小在變化；③因為，所以四點共面，又在直線上，所以二面角的大小不變；④因為，平面，平面，所以平面，所以當在上運動時，點到平面的距離不變，所以三棱錐的體積不變.所以真命題有：①③④.故選：D.【點睛】本題考查空間中點、線、面的位置關系的判斷，難度一般.(1)已知直線平行平面，則該直線上任意一點到平面的距離都相等；(2)線面角的計算方法：<1>作出線段的射影，計算出射影長度，利用比值關系即可求解線面角的大??；<2>計算線段在平面外的一個端點到平面的距離，該距離比上線段長度即為線面角的正弦.4．等腰直角斜邊CB上一點P滿足，將沿AP翻折至，使二面角為，記直線、、CP與平面所成角分別為、、，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立坐標系，找出在平面ABC上的射影N，判斷N到A，B，P三點的距離大小得出結論．【詳解】以A為原點建立平面直角坐標系如圖所示：過C作，垂足為H，使得，設MH的中點為N，二面角為，在平面ABC上的射影為連接NP，NA，顯然．設，則，，到直線AC的距離，，．，即N在直線下方，．設到平面ABC的距離為h，則，，，，，即．故選：C．【點睛】本題主要考查了空間角的大小比較，轉化的思想，屬于中檔題．二、填空題5．在的二面角的一個半平面內有一點，它到另一個半平面的距離等于1，則點到二面角的棱的距離為________.【答案】【分析】為二面角的一個面內一點.是它到另一個面的距離,,是它到棱的距離.得出為二面角的平面角,在中求解即可.【詳解】作圖如下:

為二面角的一個面內一點.是它到另一個面的距離,,是它到棱的距離.,，又，平面,得出,所以為二面角的平面角,.在中,.故答案為.【點睛】本題考查線面垂直的判定和性質及二面角的平面角的定義;把語言文字轉化為數(shù)學圖形是求解本題的關鍵;屬于中檔題;考查學生的空間想象能力.6．將邊長為1的正方形沿對角線折疊，使得點和的距離為1，則二面角的大小為______.【答案】【分析】設翻折前與相交于點，則，，作出翻折后的圖形，由二面角的定義可知即為所求，易證為等腰直角三角形，故，從而得解．【詳解】設翻折前與相交于點，則，，而翻折之后的圖形如圖所示，為二面角的平面角．，，為等腰直角三角形，且，二面角的大小為．故答案為：．【點睛】本題考查二面角的求法，理解二面角的定義是解題的關鍵，考查學生的空間立體感、作圖能力和邏輯推理能力，屬于基礎題．7．如圖，在正四棱錐中，，則二面角的平面角的余弦值為______.【答案】【分析】設，則，過作，垂足為，連，則根據(jù)，可得，所以為二面角的平面角,在中，用余弦定理可求得結果.【詳解】設，則，因為，所以，過作，垂足為，連，則根據(jù)，可得，如圖：所以為二面角的平面角,在中,，所以，所以在直角中，，同理，在中，.故答案為：.【點睛】本題考查了正四棱錐的結構特征，考查了二面角的求法，按照作、證、求這三個步驟做題是解題關鍵，屬于中檔題.8．在120°的二面角內有一點，到二面角的兩個半平面的距離分別為1米和3米，則到該二面角棱的距離為________【答案】【分析】設垂足分別為，，先計算的長，再利用外接圓的直徑為到棱的距離，即可求得結論．【詳解】由題意，設垂足分別為，，則在中，，，，設到棱的距離為，則故答案為：【點睛】本題考查點線距離的計算，解題的關鍵是正確運用余弦定理，正弦定理，屬于中檔題．9．在正四棱柱中，底面邊長為1,與底面所成的角的大小為，如果平面與底面ABCD所成的二面角是銳角,則此二面角大小為______(結果用反三角函數(shù)值表示).【答案】【分析】先找出直線與底面所成的角為，通過題意可得，，通過二面角的概念可得即為平面與底面ABCD所成的二面角的平面角，進而可求得結果.【詳解】∵在正四棱柱中，底面，∴是直線與底面所成的角，∵與底面所成的角的大小為，即，故而，，由正四棱柱的性質可得，，，面面，∴即為平面與底面ABCD所成的二面角的平面角，，即，即平面與底面所成的二面角的大小為，故答案為.【點睛】本題主要考查了直線與平面所成的角，兩平面所成的角，熟練掌握線面角以及二面角的概念是解題的關鍵，屬于中檔題.10．三角形的邊在平面內，在平面外，和分別與面成和的角，且平面與平面成的二面角，那么的大小為____________．【答案】或【分析】對為銳角和鈍角兩種情況討論，過點作平面的垂線，垂足為點，連接、，過點在平面內作，垂足為點，連接，設，利用空間角的定義結合勾股定理可計算得出的三邊邊長，結合余弦定理可求得的大小.【詳解】分以下兩種情況討論：（1）若為銳角，如下圖所示，過點作平面的垂線，垂足為點，連接、，過點在平面內作，垂足為點，連接，設，則與平面所成的角為，，，與平面所成的角為，則，，，，，，，平面，平面，，所以，平面與平面所成二面角為，，，，，，，，，，所以，，，所以，；（2）若為鈍角，如下圖所示，過點作平面的垂線，垂足為點，連接、，過點在平面內作，垂足為點，連接，設，則與平面所成的角為，，，與平面所成的角為，則，，，，，，，平面，平面，，所以，平面與平面所成二面角為，，，，，，，，，，所以，，在中，，，，由余弦定理可得，，所以，.綜上所述，或.故答案為：或.【點睛】關鍵點點睛：本題考查三角形內角的計算，需要對進行分類討論，解題的關鍵就是利用線面角、二面角的定義求出三邊的邊長，并結合余弦定理求解.三、解答題11．已知正三棱錐，頂點為，底面是.（1）若該三棱錐的側棱長為，且兩兩成角為，設質點自出發(fā)依次沿著三個側面移動環(huán)繞一周直至回到出發(fā)點，求質點移動路程的最小值；（2）若該三棱錐的所有棱長均為，試求以為頂點，以內切圓為底面的圓錐的側面積和體積；（3）若該棱錐的體積為定值，求該三棱錐側面與底面所成的角，使該三棱錐的表面積最小.【答案】（1）；（2）側面積為，體積為；（3）.【分析】（1）利用三棱錐的側面展開圖即可求解；（2）求出底面三角形內切圓的半徑，圓錐的高和母線，利用圓錐的側面積和體積公式即可求解；（3）設為點在底面的投影，點到的距離為，利用表示與，進而可用表示，再利用基本不等式求最值即可求解.【詳解】（1）如圖沿側棱將三棱錐的側面展開如圖，則即為質點移動路程的最小值，由題意可得：，所以，，所以是等邊三角形，所以，所以質點移動路程的最小值為，（2）設三棱錐的高為，內切圓的半徑為，外接圓半徑為,圓錐的母線為，則，解得：，，所以，，所以圓錐的側面積為，圓錐的體積為，（3）設為點在底面的投影，設點到的距離為，于點，則，連接，則，所以，，因為是等邊三角形，所以，，因為，所以側面積為，所以三棱錐的表面積，因為，所以，所以棱錐的體積，所以，所以，令，則，所以當且僅當即，時等號成立，取得最小值，取得最小值，此時，所以體積一定時，該三棱錐側面與底面所成的二面角為時其表面積最小.12．如圖，是底面邊長為1的正四棱柱，為與的交點．（1）設與底面所成角的大小為，異面直線與所成角的大小為，求證：；（2）若點到平面的距離為，求二面角；（3）在（2）的條件下，若平面內存在點滿足到直線的距離與到直線的距離相等，求的最小值．【答案】（1）證明詳見解析；（2）；（3）【分析】(1)根據(jù)線面角的定義、異面直線所成角的定義可以求出的大小,最后可以證明出結論；(2)根據(jù)面面垂直的性質定理可以找到點C在平面的射影的位置,利用相似三角形性質可以求出正四棱柱的高；(3)以為空間直角坐標系的坐標原點，以所在的直線為軸，設出點P的坐標,由題意可以求出點P的軌跡方程,計算出的表達式,進行恒等變形最后求出的最小值.【詳解】(1)設正四棱柱的高為,因為底面,所以,于是有.因為∥,如下圖所示：所以,由勾股定理可知：,在等腰三角形中,底邊上的高為,所以,.(2)因為為與的交點,三角形是以為底邊的等腰三角形,所以,根據(jù)線面垂直的判定理可知：平面,由面面垂直的判定定理可知：平面平面,這兩個平面的交線為,因此點C在平面的射影在上,即,如上圖所示：在矩形中,,因為∽,所以有,所以正四棱柱的高為2，因為，，所以是二面角的平面角，，所以；(3)以為空間直角坐標系的坐標原點，以所在的直線為軸，如上圖所示：設,因為平面,故,由題意可知；所以有,當時,有最大值1,此時,而也達到最小值,所以有最大值,因此有最小值,最小值為.13．如圖，在多面體中，均垂直于平面ABC，，．（1）求點A到平面的距離；（2）求平面ABC與平面所成銳二面角的大小；（3）求這個多面體的體積．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）延長、交于，延長、交于，連接、、、、，利用等體積法有，即可求A到平面的距離；（2）由（1）易得、，根據(jù)線面垂直的判定有面，進而可知為平面ABC與平面所成銳二面角，即可求角的大小；（3）將幾何體補全為直棱柱，則有，利用棱柱、棱錐的體積公式即可求幾何體的體積.【詳解】（1）延長、交于，延長、交于，連接、、、、，∵均垂直于平面ABC，，，∴，，解得，，∴在△中，、，，則，∵，，，∴，即，故，∵，若A到平面的距離為，∴，故.（2）由（1）知：且，即，∵，∴面，則平面ABC與平面所成銳二面角為，又，故.（3）將幾何體補全為如下圖示的直棱柱，∴，而，，∴.14．已知正方形的邊長為4，，分別是，的中點，平面，且，交于，于.（1）求二面角的大小；（2）求證：平面；（3）求點到平面的距離.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）利用判定定理證明平面，從而得出為二面角的平面角，進而由邊角關系得出其大小；（2）由平面，結合，利用判定定理得出平面；（3）證明平面，將點到平面的距離轉化為求點到平面的距離，即的長.【詳解】（1）連接交于點，由中位線定理可知四邊形為正方形，，故平面，平面，又平面平面平面，故為二面角的平面角，設其為，（2）平面，平面，又，平面平面（3）過點作，垂足于點，，即平面平面，平面平面即點到平面的距離等于點到平面的距離，即的長15．如圖，是圓柱的底面直徑且，是圓柱的母線且，點是圓柱底面圓周上的點．（1）求證：平面；（2）當三棱錐體積最大時，求二面角的大小．（結果用反三角函數(shù)值表示）【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）證明面，可得，結合，由線面垂直的判定定理即可求證；（2）由題意可得，根據(jù)二面角平面角的定義作出二面角的平面角，即可求解.【詳解】（1）因為是圓柱的底面圓的直徑，所以，即，因為是圓柱的母線，則面，因為面，所以，因為，平面，平面，所以平面；（2）三棱錐體積為，要使得三棱錐體積最大，只需的面積最大，即點到的距離最大，此時，設底面圓的圓心為，連接，則，由面，面，可得，因為，所以面，所以，因為，，取的中點，連接，則，作，連接，則為的中點，由，，，則面，所以，可得即為二面角的平面角，因為，所以，，，在中，，所以，所以，故二面角的平面角為.【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：（1）定義法，由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結合圖形，作出所求空間角，再結合題中條件，解對應三角形，即可求出結果；（2）向量法：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，通過計算向量夾角（直線方向向量與直線方向向量、直線方向向量與平面法向量，平面法向量與平面法向量）余弦值，即可求出結果.16．如圖，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是A1D1和CC1的中點.（1）求異面直線EF與AB所成角的余弦值；（2）求異面直線EF與AB之間的距離（3）在棱BB1上是否存在一點P，使得二面角PACB的大小為30°?若存在，求出BP的長，若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，.【分析】（1）作出異面直線所成的角，解三角形求解；（2）轉化異面直線間距離為線面距離，再轉化為點面距離，計算即可；（3）假設存在，利用二面角PACB的大小為30求解即可.【詳解】（1）取中點，連結，如圖，又為中點，，連結，則或其補角即為異面直線與所成角，為中點，正方體邊長為2，，，，異面直線與所成角的余弦值為．（2）因為，所以異面直線EF與AB之間的距離即為直線與平面間的距離，即點B與平面的距離，連接，交于,因為,所以，又,所以平面,即為點B到平面的距離.因為,所以，即異面直線EF與AB之間的距離為.（3）假設棱BB1上存在一點P滿足題意，連接交于，連接,所以為二面角的平面角，設，，即，所以，故當存在長為時，二面角的大小為．17．已知三棱錐(如圖一)的平面展開圖(如圖二)中，為邊長等于的正方形，△和△均為正三角形，在三棱錐中，（1）求證：；（2）求與平面所成的角的大小；（3）求二面角的大小.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【分析】（1）取的中點，連，，通過證明平面，可以得到；（2）根據(jù)題意可以證明平面，從而可知就是與平面所成的角；容易計算得到其大??；（3）取的中點，連，，易證得就是二面角的平面角，然后在直角三角形中求得結果即可.【詳解】（1）證明：取的中點，連，，如圖：根據(jù)展開圖可知，，，所以，，又，所以平面，因為平面，所以（2）根據(jù)展開圖可知，且，所以，又，所以，所以平面，所以就是與平面所成的角，且，所以與平面所成的角的大小為.（3）取的中點，連，，如圖：由（2）可知，由（1）知，且，所以平面，所以，根據(jù)等腰三角形的性質易得，又，所以平面，所以，所以就是二面角的平面角，在直角三角形中，，在直角三角形中，，由題知二面角為銳角，所以.【點睛】本題考查了直線與平面垂直的判定和性質，考查了直線與平面所成角和二面角的求法，解題關鍵是根據(jù)展開圖得到幾何體中的角度和長度，屬于中檔題.18．如圖，在直角△中，，△通過△以直線為軸順時針旋轉120°得到（），點為線段上一點，且.（1）求證：，并證明：平面；（2）分別以、、為、、軸建立空間直角坐標系，求異面直線與所成角的大?。ㄓ梅从嘞疫\算表示）；（3）若，求銳二面角的大小.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【分析】（1）利用余弦定理求得，通過證明，證得平面.（2）利用直線和直線的方向向量，計算出線線角的余弦值，進而求得線線角的大小.（3）判斷出銳二面角的平面角，進而求得其大小.【詳解】（1）由于，所以，在三角形中，由余弦定理得.所以，所以.依題意可知，所以平面，由于平面，所以.因為，所以平面.（2）在三角形中，由余弦定理得.所以.依題意建立如圖所示空間直角坐標系.則，設，由得，所以，解得，所以.所以.設異面直線與所成角為，則，由于，所以.（3）由于，所以是等腰直角三角形斜邊的中點，所以，所以.由（1）知平面，所以，所以銳二面角的平面角的平面角為，其大小為.【點睛】本小題主要考查線面垂直的證明，考查異面直線所成的角，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.19．如圖，在梯形中，∥，，，，且，又平面，.求：（1）二面角的大小（用反三角函數(shù)表示）；（2）點到平面的距離.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）過A作，連接PE，根據(jù)平面，得到，由線面垂直的判定定理得到平面，從而二面角的平面角，然后根據(jù)求得，再利用求解.（2）過A作，根據(jù)，得到，易得，從而得到平面，由面面垂直的判定定理可得平面，得到平面，即為點到平面的距離，然后在中求解.【詳解】（1）如圖所示：過A作，連接PE，因為平面，平面所以，又所以平面，所以二面角的平面角，因為，所以，所以，所以，即二面角的大小.（2）如圖所示：過A作，因為，所以因為平面，平面所以，又所以平面，又平面，所以平面，又平面平面，所以平面，所以為點到平面的距離，在中，.所以點到平面的距離為.【點睛】本題主要考查二面角的求法以及點到直線的距離，還考查了轉化化歸的思想和邏輯推理，運算求解的能力，屬于中檔題.20．定義：對棱相等的四面體為等腰四面體.（1）若等腰四面體的每條棱長都是，求該等腰四面體的體積；（2）求證：等腰四面體每個面的三角形均為銳角三角形：（3）設等腰四面體的三個側面與底面所成的角分別為，請判斷是否為定值？如果是定值，請求出該定值；如果不是定值，請說明理由.【答案】（1）（2）證明見解析；（3）是定值；定值為1【分析】由條件，四面體的對棱相等，則可以將四面體放到長方體中去.（1）當?shù)妊拿骟w的每條棱長都是時，長方體是正方體,且正方體的棱長為，該等腰四面體的體積為正方體的體積減去4個角上的4個全等的小三棱錐的體積，則可求出答案.

（2）設長方體的長、寬、高分別為,在該四面體的每個面中，任意兩邊的平方之和都大于第三邊的平方,從而可證.

（3）過作平面交平面于點,為面與底面所成的角,,根據(jù)題意設，面與底面所成的角分別為，同理可得：，又≌≌≌,從而可得答案.【詳解】由條件，四面體的對棱相等，則可以將四面體放到長方體中去,如圖.(1)當?shù)妊拿骟w的每條棱長都是時，長方體是正方體,且正方體的棱長為.此時該等腰四面體的體積為正方體的體積減去4個角上的4個全等的小三棱錐的體積.所以.(2)設長方體的長、寬、高分別為.則，，.在面中，所以為銳角.同理：在該四面體的每個面中，任意兩邊的平方之和都大于第三邊的平方.根據(jù)余弦定理可得，每個面中的三角形均為銳角三角形.所以等腰四面體每個面的三角形均為銳角三角形.(3)的值為定值1.過作平面交平面于點,則過作交于,所以平面,則.所以為面與底面所成的角,設設面與底面所成的角分別為.同理可得：又≌≌≌.【點睛】本題考查求錐體的體積和二面角，考查補形思想，屬于中檔題.21．如圖，已知直四棱柱，底面底面為平行四邊形，，且三條棱的長組成公比為的等比數(shù)列，（1）求異面直線與所成角的大小;（2）求二面角的大小.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）不妨設，由，，三條棱的長組成公比為的等比數(shù)列，可得，．在中，利用余弦定理可得：．利用勾股定理的逆定理可得．由底面，可得，可得平面，即可得出異面直線與所成角;（2）由（1）可得：平面．在中，經過點作，垂足為，連接，可得．即為二面角的平面角．利用直角三角形的邊角關系即可得出．【詳解】（1）不妨設，，，三條棱的長組成公比為的等比數(shù)列，，．在中，，解得．，．．底面，平面，，又，平面，，異面直線與所成角為．（2）由（1）可得：平面．在中，經過點作，垂足為，連接，則．即為二面角的平面角．在中，．在中，．．【點睛】本題考查了空間位置關系空間角、直角三角形的邊角關系及其面積計算公式、勾股定理及其逆定理、余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．22．如圖，正三角形的邊長為，、、分別為各邊的中點，將△沿、、折疊，使、、三點重合，構成三棱錐．(1)求平面與底面所成二面角的余弦值；(2)設點、分別在、上，(為變量)；①當為何值時，為異面直線與的公垂線段?請證明你的結論②設異面直線與所成的角為，異面直線與所成的角為，試求的值．【答案】（1）（2）①λ=1，證明見解析②【分析】（1）取DE的中點G，連接AG、FG，利用正三角形的性質，可以得到∠AGF為平面ADE與底面DEF所成二面角的平面角，最后利用余弦定理求出即可；（2）①當λ=1，M為AD的中點，N為FF的中點，連結AN、DN，利用等腰三角形的性質可以證明MN⊥AD，MN⊥EF；②過點M作MH∥DF，交AF于點H，則∠HMN為異面直線MN與DF所成的角，通過平行線可以得到比例式子，可以證明∠MNH為異面直線MN與AE所成的角，求出的表達式，最后利用正棱錐的性質、平行線的性質可以求出的值.【詳解】解：（1）如圖，取DE的中點G，連接AG、FG由題意AD=AE，△DEF為正三角形，得AG⊥DE，∴∠AGF為平面ADE與底面DEF所成二面角的平面角由題意得AG=FG=．在△AGF中，∴平面ADE與底面DEF所成二面角的余弦值為（2）①λ=1時，MN為異面直線AD與EF公垂線段當λ=1，M為AD的中點，N為FF的中點，連結AN、DN，則由題意，知AN=DN=，∴MN⊥AD，同理可證MN⊥EF∴λ=1時，MN為異面直線AD與EF公垂線段．②過點M作MH∥DF，交AF于點H，則∠HMN為異面直線MN與DF所成的角．由MH∥DF，得又，∴∴HN//AE，∠MNH為異面直線MN與AE所成的角．∴α+β=∠MNH+∠HMN=π—∠MHN由題意得，三棱錐A—DEF是正棱錐，則點A在底面DEF上的射影為底面△DEF的中心，記為O．∵AE在底面DEF上的射影EO⊥DF，∴AE⊥DF又∵HN//AE，MH//DF，∴∠MNH=，∴【點睛】本題考查了二面角的求法，考查了異面直線所成的角的應用，考查了正棱錐的性質應用，考查了余弦定理的應用，考查了數(shù)學運算能力.23．如圖，在直角梯形，，，，點是的中點，現(xiàn)沿將平面折起，設.（1）當為直角時，求直線與平面所成角的大小；（2）當為多少時，三棱錐的體積為；（3）在（2）的條件下，求此時二面角的大小.【答案】（1）；（2）或；（3）或【分析】(1)先證明直線與平面所成角為,再在直角三角形中求解正切值即可.(2)根據(jù)體積求出到平面的距離.再求解即可.(3)取中點,證明二面角為,再求解的余弦值即可.【詳解】(1)當為直角時,因為點是的中點,,故四邊形為矩形.故,又,,故,又,故平面.故直線與平面所成角為.又.故.即直線與平面所成角的大小為.(2)設到平面的距離為.因為,.故平面.故到平面的高線在平面中.又.故.故,又.故或.(3)取中點,連接.因為,故.又.故,又.故二面角為.由(1),當時,.此時.故.故二面角為.當時,.此時.故.故二面角為.綜上二面角為或【點睛】本題主要考查了線面夾角,錐體的體積計算以及二面角的計算等.需要根據(jù)題意找到對應的垂直關系從而找到所求的角.屬于中等題型.24．在長方體中，分別是的中點，，，.（1）求異面直線與所成的角的大小（2）求二面角的大小【答案】（1）；（2）【分析】（1）作出異面直線與所成的角，解三角形求得角的大小.（2）利用面積比求得二面角的的余弦值，進而求得面面角的大小.【詳解】（1）連接，由于，所以是異面直線與所成的角，根據(jù)長方體的幾何性質可知為直角三角形，故，故，也即異面直