課時(shí)分層作業(yè)15拋物線的幾何性質(zhì)(一)

課時(shí)分層作業(yè)(十五)拋物線的幾何性質(zhì)(一)(建議用時(shí)：60分鐘)[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]一、選擇題1．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是y軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于3的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．x2＝±3y B．y2＝±6xC．x2＝±12y D．x2＝±6yC[依題意知拋物線方程為x2＝±2py(p＞0)的形式，又eq\f(p,2)＝3，∴p＝6,2p＝12，故方程為x2＝±12y.]2．若雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(16y2,p2)＝1(p＞0)的左焦點(diǎn)在拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線上，則p的值為()A．2B．3C．4D．4eq\r(2)C[雙曲線的方程可化為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,\f(p2,16))＝1，∴雙曲線的左焦點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3＋\f(p2,16))，0)).又∵拋物線的準(zhǔn)線為x＝－eq\f(p,2)，由題意－eq\r(3＋\f(p2,16))＝－eq\f(p,2)，解得p＝4.]3．過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)、B(x2，y2)，如果x1＋x2＝6，則|AB|的值為()A．10B．8C．6D．4B[∵y2＝4x，∴2p＝4，p＝2.∴由拋物線定義知：|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.]4．等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y2＝2px(p>0)，O為拋物線的頂點(diǎn)，OA⊥OB，則Rt△ABO的面積是()A．8p2B．4p2C．2p2D．pB[由拋物線的對(duì)稱(chēng)性，可知kOA＝1，可得A，B的坐標(biāo)分別為(2p,2p)，(2p，－2p)，S△ABO＝eq\f(1,2)×2p×4p＝4p2.]5．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)弦AB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\f(y1y2,x1x2)的值一定等于()A．－4B．4C．p2D．－p2A[①若焦點(diǎn)弦AB⊥x軸，則x1＝x2＝eq\f(p,2)，∴x1x2＝eq\f(p2,4)；∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2，∴eq\f(y1y2,x1x2)＝－4.②若焦點(diǎn)弦AB不垂直于x軸，可設(shè)AB的直線方程為y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，聯(lián)立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋eq\f(p2k2,4)＝0，則x1x2＝eq\f(p2,4).∴y1y2＝－p2.故eq\f(y1y2,x1x2)＝－4.]二、填空題6．已知拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,3)＝1相交于A、B兩點(diǎn)，若△ABF為等邊三角形，則p＝________.6[由題意知Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,\r(3))，－\f(p,2)))，代入方程eq\f(x2,3)－eq\f(y2,3)＝1得p＝6.]7．已知一條過(guò)點(diǎn)P(2,1)的直線與拋物線y2＝2x交于A，B兩點(diǎn)，且P是弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程為_(kāi)_______．x－y－1＝0[依題意，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有yeq\o\al(2,1)＝2x1，yeq\o\al(2,2)＝2x2，兩式相減得yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝2(x1－x2)，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(2,y1＋y2)＝1，直線AB的斜率為1，直線AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0.]8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一定點(diǎn)A(2,1)，若線段OA的垂直平分線過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．y2＝5x[線段OA的垂直平分線為4x＋2y－5＝0，與x軸的交點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，0))，∴拋物線的焦點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，0))，∴其標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝5x.]三、解答題9．拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以x軸為對(duì)稱(chēng)軸，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為135°的直線被拋物線所截得的弦長(zhǎng)為8，試求拋物線方程．[解]依題意可設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，則直線方程為y＝－x＋eq\f(1,2)p.設(shè)直線交拋物線于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，過(guò)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足為C，D，則由拋物線定義得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)，即x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝8.①又A(x1，y1)，B(x2，y2)是直線和拋物線的交點(diǎn)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋\f(1,2)p，,y2＝2px))消去y，得x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0，∴x1＋x2＝3p.將其代入①，得p＝2.∴所求的拋物線方程為y2＝4x.當(dāng)拋物線方程設(shè)為y2＝－2px(p＞0)時(shí)，同理可求得拋物線方程為y2＝－4x.綜上所述，拋物線方程為y2＝4x或y2＝－4x.10．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是過(guò)F的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，求證：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；(2)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)為定值；(3)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．[證明](1)由已知得拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)).由題意可設(shè)直線方程為x＝my＋eq\f(p,2)，代入y2＝2px，得y2＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(my＋\f(p,2)))，即y2－2pmy－p2＝0.(*)由y1，y2是方程(*)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以y1y2＝－p2.因?yàn)閥eq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,2)＝2px2，所以yeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2)＝4p2x1x2，所以x1x2＝eq\f(y\o\al(2,1)y\o\al(2,2),4p2)＝eq\f(p4,4p2)＝eq\f(p2,4).(2)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(1,x1＋\f(p,2))＋eq\f(1,x2＋\f(p,2))＝eq\f(x1＋x2＋p,x1x2＋\f(p,2)x1＋x2＋\f(p2,4)).因?yàn)閤1x2＝eq\f(p2,4)，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，得eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(|AB|,\f(p2,4)＋\f(p,2)|AB|－p＋\f(p2,4))＝eq\f(2,p)(定值)．(3)設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，分別過(guò)A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為C，D，過(guò)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則|MN|＝eq\f(1,2)(|AC|＋|BD|)＝eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq\f(1,2)|AB|.所以以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．[能力提升練]1．已知直線l與拋物線y2＝8x交于A、B兩點(diǎn)，且l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(8,8)，則線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是()A.eq\f(25,4)B.eq\f(25,2)C.eq\f(25,8)D．25A[拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，直線l的方程為y＝eq\f(4,3)(x－2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(4,3)x－2，,y2＝8x，))得B點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－2)).∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝2＋8＋2＋eq\f(1,2)＝eq\f(25,2).∴AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為eq\f(25,4).]2．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)已知點(diǎn)M(－1,1)和拋物線C：y2＝4x，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若∠AMB＝90°，則k＝________.2[法一：由題意知拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)，則過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線方程為y＝k(x－1)(k≠0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x))消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)，x1x2＝1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x))消去x得y2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)y＋1))，即y2－eq\f(4,k)y－4＝0，則y1＋y2＝eq\f(4,k)，y1y2＝－4.由∠AMB＝90°，得eq\o(MA,\s\up15(→))·eq\o(MB,\s\up15(→))＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，將x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)，x1x2＝1與y1＋y2＝eq\f(4,k)，y1y2＝－4代入，得k＝2.法二：設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝4x1，,y\o\al(2,2)＝4x2，))所以yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝4(x1－x2)，則k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2).取AB的中點(diǎn)M′(x0，y0)，分別過(guò)點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線x＝－1的垂線，垂足分別為A′，B′，又∠AMB＝90°，點(diǎn)M在準(zhǔn)線x＝－1上，所以|MM′|＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq\f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)．又M′為AB的中點(diǎn)，所以MM′平行于x軸，且y0＝1，所以y1＋y2＝2，所以k＝2.]3．過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|AF|＝3，則△AOB的面積為_(kāi)_______．eq\f(3\r(2),2)[由題意設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，如圖所示，|AF|＝x1＋1＝3，∴x1＝2，y1＝2eq\r(2).設(shè)AB的方程為x－1＝ty，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x－1＝ty))消去x得y2－4ty－4＝0.∴y1y2＝－4.∴y2＝－eq\r(2)，x2＝eq\f(1,2)，∴S△AOB＝eq\f(1,2)×1×|y1－y2|＝eq\f(3\r(2),2).]4．平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)F(1,0)的距離和到直線x＝－1的距離相等，若機(jī)器人接觸不到過(guò)點(diǎn)P(－1，0)且斜率為k的直線，則k的取值范圍是________．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[由題意可知機(jī)器人的軌跡為拋物線，其軌跡方程為y2＝4x，過(guò)點(diǎn)P(－1,0)且斜率為k的直線方程為y＝k(x＋1)，由題意知直線與拋物線無(wú)交點(diǎn)，聯(lián)立兩方程并消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，則Δ＝(2k2－4)2－4k4＜0，所以k2＞1，解得k＞1或k＜－1.]5．已知直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2＝6x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)．(1)若直線l的傾斜角為60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離．[解](1)因?yàn)橹本€l的傾斜角為60°，所以其斜率k＝tan60°＝eq\r(3).又Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，所以直線l的方程為y＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2))).聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝6x，,y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，))消去y得x2－5x