924總體離散程度的估計（精講）（原卷版）

9.2.4總體離散程度的估計(精講）目錄一、必備知識分層透析二、重點題型分類研究題型1:標(biāo)準(zhǔn)差與方差的應(yīng)用題型2：用平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分析數(shù)據(jù)題型3：求總體平均數(shù)和總體方差、標(biāo)準(zhǔn)差題型4：頻率分布直方圖與數(shù)字特征的綜合應(yīng)用題型5：方差的性質(zhì)三、高考（模擬）題體驗一、必備知識分層透析知識點1：總體離散程度的估計（1）極差一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差稱為極差.（2）方差與標(biāo)準(zhǔn)差一組數(shù)據(jù)，，，，用表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的方差：；標(biāo)準(zhǔn)差：（3）總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差如果總體中所有個體的變量值分別為,,總體平均數(shù)為，則稱為總體方差，為總體標(biāo)準(zhǔn)差．（4）樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差如果一個樣本中個體的變量值分別為，，，樣本平均數(shù)為，則稱為樣本方差，為樣本標(biāo)準(zhǔn)差．（5）加權(quán)方差如果總體的個變量值中，不同的值共有()個，記為,,，其中出現(xiàn)的頻數(shù)為()，則總體方差為.二、重點題型分類研究題型1:標(biāo)準(zhǔn)差與方差的應(yīng)用典型例題例題1．（2022秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知樣本的平均數(shù)是9，方差是2，則（

）A．41 B．71 C．55 D．45例題2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知樣本數(shù)據(jù)，，2，2，3，若該樣本的方差為，極差為，則______．例題3．（2022春·上海奉賢·高三上海市奉賢中學(xué)?？茧A段練習(xí)）統(tǒng)計某個項目共有3個數(shù)據(jù)：，3，，若總體方差小于1，則實數(shù)的取值范圍是___________.例題4．（2023秋·上海徐匯·高二上海中學(xué)?？计谀┠吵袕囊患沂称焚忂M(jìn)一批茶葉，每罐茶葉的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量是125g，為了解該批茶葉的質(zhì)量情況，從中隨機(jī)抽取20罐，稱得各罐質(zhì)量（單位：g）如下：124.9、124.7、126.2、124.9、124.2、124.9、123.7、121.4、126.4、127.7、121.9、124.4、125.2、123.7、122.7、124.2、126.2、125.2、122.2、125.4；求：20罐茶葉的平均質(zhì)量和標(biāo)準(zhǔn)差.（精確到0.01）同類題型演練1．（2023秋·上海浦東新·高二統(tǒng)考期末）某校高二（1）班為了調(diào)查學(xué)生線上授課期間的體育鍛煉時間的差異情況，抽取了班級5名同學(xué)每周的體育鍛煉時間，分別為6，6.5，7，7，8.5（單位：小時），則可以估計該班級同學(xué)每周的體育鍛煉時間的方差為___________．2．（2022秋·浙江湖州·高二?？茧A段練習(xí)）A工廠年前加緊手套生產(chǎn)，設(shè)該工廠連續(xù)5天生產(chǎn)的手套數(shù)依次為，，，，（單位：萬只），若這組數(shù)據(jù)，，，，的方差為1.44，且，，，，的平均數(shù)為4，則該工廠這5天平均每天生產(chǎn)手套___________萬只．3．（2022·高一課時練習(xí)）已知樣本的平均數(shù)是10，方差是4，則_____;4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）甲?乙兩臺機(jī)床同時生產(chǎn)一種零件，在10天中，兩臺機(jī)床每天生產(chǎn)的次品數(shù)分別為：甲乙(1)分別計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差；(2)由（1）的計算結(jié)果，分析哪臺機(jī)床的性能更好.題型2：用平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分析數(shù)據(jù)典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）甲乙兩工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，抽取連續(xù)5個月的產(chǎn)品生產(chǎn)產(chǎn)量（單位：件）情況如下：甲：80、70、100、50、90；乙：60、70、80、55、95，則下列說法中正確的是（

）A．甲平均產(chǎn)量高，甲產(chǎn)量穩(wěn)定 B．甲平均產(chǎn)量高，乙產(chǎn)量穩(wěn)定C．乙平均產(chǎn)量高，甲產(chǎn)量穩(wěn)定 D．乙平均產(chǎn)量高，乙產(chǎn)量穩(wěn)定例題2．（2022春·上海楊浦·高三復(fù)旦附中校考階段練習(xí)）在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時間沒有發(fā)生規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”，根據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁四地新增病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是（

）A．甲地：總體均值為3，中位數(shù)為4 B．乙地：總體均值為2，總體方差為3C．丙地：總體均值為1，總體方差大于0 D．丁地：中位數(shù)為2.5，總體方差為3例題3．（2022春·湖北襄陽·高一襄陽四中?？茧A段練習(xí)）某中學(xué)數(shù)學(xué)組積極研討網(wǎng)上教學(xué)策略，決定先采取甲、乙兩套方案教學(xué)，并對分別采取兩套方案教學(xué)的班級進(jìn)行了次測試，成績統(tǒng)計結(jié)果如圖所示．(1)請?zhí)顚懴卤恚ㄒ髮懗鲇嬎氵^程）：平均數(shù)方差甲乙(2)從下列三個不同的角度對這次方案選擇的結(jié)果進(jìn)行分析：①從平均數(shù)和方差相結(jié)合看（分析哪種方案的成績更好）；②從折線圖上兩種方案的走勢看（分析哪種方案更有潛力）．同類題型演練1．（2023秋·河南南陽·高一統(tǒng)考期末）甲、乙、丙三人投擲飛鏢，他們的成績（環(huán)數(shù)）如下面的頻數(shù)條形統(tǒng)計圖所示.則甲、乙、丙三人訓(xùn)練成績方差的大小關(guān)系是A． B． C． D．2．（多選）（2022春·湖北襄陽·高一襄陽四中?？茧A段練習(xí)）甲、乙兩支女子曲棍球隊在去年的國際聯(lián)賽中，甲隊平均每場的進(jìn)球數(shù)是3.2，全年進(jìn)球數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為3；乙隊平均每場的進(jìn)球數(shù)是1.8，全年進(jìn)球數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.3．下列說法中正確的是（

）A．乙隊的技術(shù)比甲隊好 B．乙隊發(fā)揮比甲隊穩(wěn)定C．乙隊幾乎每場都進(jìn)球 D．甲隊的表現(xiàn)時好時壞3．（2022秋·河南南陽·高一?？茧A段練習(xí)）下圖表示的是甲、乙兩人在一次射擊比賽中中靶的情況（擊中靶中心的圓面為10環(huán)，靶中各數(shù)字表示該數(shù)字所在圓環(huán)被擊中時所得的環(huán)數(shù)），每人各射擊了5次.(1)請用列表法將甲、乙兩人的射擊成績統(tǒng)計出來，并求兩人的平均環(huán)數(shù)；(2)求甲、乙兩人這次的射擊環(huán)數(shù)的方差，并判斷甲、乙二人的射擊成績誰更穩(wěn)定；題型3：求總體平均數(shù)和總體方差、標(biāo)準(zhǔn)差典型例題例題1．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）為調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，現(xiàn)抽取初中生800人，其每天睡眠時間均值為9小時，方差為1，抽取高中生1200人，其每天睡眠時間均值為8小時，方差為，則估計該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間的方差為（

）A． B． C． D．例題2．（多選）（2022秋·遼寧朝陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）2022年4月23日至25日，以“閱讀新時代，查進(jìn)新征程”為主題的首屆全民閱讀大會勝利召開，目的是為了弘揚(yáng)全民閱讀風(fēng)尚，共建共享書香中國．某學(xué)校共有學(xué)生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人，學(xué)校為了了解學(xué)生在暑假期間每天的讀書時間，按照分層隨機(jī)抽樣的方法從全校學(xué)生中抽取100人，其中高一學(xué)生、高二學(xué)生，高三學(xué)生每天讀書時間的平均數(shù)分別為，，，每天讀書時間的方差分別為，，，則下列正確的是（

）A．從高一學(xué)生中抽取40人B．抽取的高二學(xué)生的總閱讀時間是1860小時C．被抽取的學(xué)生每天的讀書時間的平均數(shù)為3小時D．估計全體學(xué)生每天的讀書時間的方差為例題3．（2022春·廣東肇慶·高一統(tǒng)考期末）一所初級中學(xué)為了估計全體學(xué)生的平均身高和方差，通過抽樣的方法從初一年級隨機(jī)抽取了30人，計算得這30人的平均身高為154cm，方差為30；從初二年級隨機(jī)抽取了40人，計算得這40人的平均身高為167cm，方差為20；從初三年級隨機(jī)抽取了30人，計算得這30人的平均身高為170cm，方差為10．依據(jù)以上數(shù)據(jù)，若用樣本的方差估計全校學(xué)生身高的方差，則全校學(xué)生身高方差的估計值為_________．例題4．（2022春·安徽合肥·高一合肥市第六中學(xué)校考期末）（1）樹人中學(xué)高一（1）班50名同學(xué)期中考試（100分制）數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示，成績分組區(qū)間是，，，，，，試求數(shù)學(xué)成績的分位數(shù)（保留一位小數(shù)）；（2）樹人中學(xué)組建足球隊備戰(zhàn)全市高中生足球聯(lián)賽．隊員分別來自高一、高二兩個年級，且高一年級隊員占隊員總數(shù)的．已知高一年級隊員體重（單位：kg）的平均數(shù)為70，方差為300；高二年級隊員體重的平均數(shù)為60，方差為200．求足球隊全體隊員體重的平均數(shù)及方差．同類題型演練1．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）某校為了解高中學(xué)生的身高情況，根據(jù)男、女學(xué)生所占的比例，采用樣本量按比例分配的分層隨機(jī)抽樣分別抽取了男生50名和女生30名，測量他們的身高所得數(shù)據(jù)（單位：）如下：性別人數(shù)平均數(shù)方差男生5017218女生3016430根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可計算出該校高中學(xué)生身高的總樣本平均數(shù)與總樣本方差分別是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·湖北武漢·高三統(tǒng)考期末）某校采用分層隨機(jī)抽樣采集了高一、高二、高三年級學(xué)生的身高情況，部分調(diào)查數(shù)據(jù)如下：項目樣本量樣本平均數(shù)樣本方差高一100167120高二100170150高三100173150則總的樣本方差______.3．（2022秋·黑龍江佳木斯·高二建三江分局第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)已知樣本中分?jǐn)?shù)在的學(xué)生有5人，試估計總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)；(2)試估計測評成績的第三四分位數(shù)；(3)已知樣本中男生與女生的比例是3：1，男生樣本的均值為70，方差為10，女生樣本的均值為80，方差為12，請計算出總體的方差.4．（2022春·山東淄博·高一統(tǒng)考期末）某校有高一學(xué)生1000人，其中男女生比例為，為獲得該校高一學(xué)生的身高（單位：）信息，采用隨機(jī)抽樣方法抽取了樣本量為50的樣本，其中男女生樣本量均為25，計算得到男生樣本的均值為172，標(biāo)準(zhǔn)差為3，女生樣本的均值為162，標(biāo)準(zhǔn)差為4．(1)計算總樣本均值，并估計該校高一全體學(xué)生的平均身高；(2)計算總樣本方差．題型4：頻率分布直方圖與數(shù)字特征的綜合應(yīng)用典型例題例題1．（多選）（2022·河北滄州·滄縣中學(xué)?？寄M預(yù)測）全市高三年級第二次統(tǒng)考結(jié)束后，李老師為了了解本班學(xué)生的本次數(shù)學(xué)考試情況，將全班50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績繪制成頻率分布直方圖．已知該班級學(xué)生的數(shù)學(xué)成績?nèi)拷橛?5分到145分之間（滿分150分），將數(shù)學(xué)成績按如下方式分成八組：第一組，第二組，…，第八組．按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分如圖，則下列結(jié)論正確的是（

）A．第七組的頻率為0.008B．該班級數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)的估計值為101分C．該班級數(shù)學(xué)成績的平均分的估計值大于95分D．該班級數(shù)學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差的估計值大于6例題2．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？计谀哪称髽I(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量表得如下頻數(shù)分布表：質(zhì)量指標(biāo)值分組頻數(shù)62638228(1)在下表中作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(3)已知在這些數(shù)據(jù)中，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為94，方差為40，所有這100件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為100，方差為202，求質(zhì)量指標(biāo)值在區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的方差．例題3．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）為了切實維護(hù)居民合法權(quán)益，提高居民識騙防騙能力，守好居民的“錢袋子”，某社區(qū)開展“全民反詐在行動——反詐騙知識競賽”活動，現(xiàn)從參加該活動的居民中隨機(jī)抽取了100名，統(tǒng)計出他們競賽成績分布如下：成績X人數(shù)22228(1)求，的值，并補(bǔ)全頻率分布直方圖；(2)估計該社區(qū)居民競賽成績的平均數(shù)和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(3)以頻率估計概率，若，社區(qū)獲得“反詐先進(jìn)社區(qū)”稱號，若，社區(qū)獲得“反詐先鋒社區(qū)”稱號，試判斷該社區(qū)可獲得哪種稱號（為競賽成績標(biāo)準(zhǔn)差）？同類題型演練1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某“雙一流A類”大學(xué)就業(yè)部從該校2020年已就業(yè)的大學(xué)本科畢業(yè)生中隨機(jī)抽取了100人進(jìn)行問卷調(diào)查，其中一項是他們的月薪收入情況，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，他們的月薪收入在1.65萬元到2.35萬元之間，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)分組，得到如下的頻率直方圖，同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表.(1)求這100人月薪收入的樣本平均數(shù)和樣本方差；(2)該校在某地區(qū)就業(yè)的2018屆本科畢業(yè)生共50人，決定于2019年國慶長假期間舉辦一次同學(xué)聯(lián)誼會，并收取一定的活動費(fèi)用，有兩種收費(fèi)方案：方案一：設(shè)，月薪落在區(qū)間Ω左側(cè)的每人收取400元，月薪落在區(qū)間Ω內(nèi)的每人收取600元，月薪落在區(qū)間Ω右側(cè)的每人收取800元；方案二：按每人個月薪水的3%收取.用該校就業(yè)部統(tǒng)計的這100人月薪收入的樣本頻率進(jìn)行估算，哪一種收費(fèi)方案能收到更多的費(fèi)用.參考數(shù)據(jù)：.2．（2022·高一課時練習(xí)）某中學(xué)教研室從高二年級隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的十月份語文成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)），得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差s（求標(biāo)準(zhǔn)差準(zhǔn)確到0.01，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)成績位于的有多少人？所占百分比是多少？3．（2022春·廣東茂名·高一化州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）從某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表：(1)根據(jù)上表補(bǔ)全所示的頻率分布直方圖；(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)、方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)及中位數(shù)(保留一位小數(shù))；(3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定？題型5：方差的性質(zhì)典型例題例題1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知一組數(shù)據(jù)：的平均數(shù)是4，方差是2，則由和11這四個數(shù)據(jù)組成的新數(shù)據(jù)組的方差是（

）A．27 B． C．12 D．11例題2．（多選）（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考期末）已知數(shù)據(jù)，，，…，的眾數(shù)、平均數(shù)、方差、第80百分位數(shù)分別是，，，，數(shù)據(jù)，，，…，的眾數(shù)、平均數(shù)、方差、第80百分位數(shù)分別是，，，，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．例題3．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省丹陽高級中學(xué)?？计谀┮阎獦颖緮?shù)據(jù)的平均數(shù)與方差分別是和，若，且樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差分別是和，則______.同類題型演練1．（多選）（2023秋·廣東廣州·高二鐵一中學(xué)?？计谀┤魳颖緮?shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為3，則數(shù)據(jù)的方差為（

）A．11 B．12 C．143 D．1442．（多選）（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？计谀┯幸唤M樣本數(shù)據(jù)，由這組數(shù)據(jù)得到新的樣本數(shù)據(jù)，則（

）A．新樣本數(shù)據(jù)的極差是原樣本數(shù)據(jù)極差的3倍B．新樣本數(shù)據(jù)的方差是原樣本數(shù)據(jù)方差的3倍C．新樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是原樣本數(shù)據(jù)中位數(shù)的3倍D．新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是原樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)的3倍3．（多選）（2023·重慶·統(tǒng)考一模）已知兩組樣本數(shù)據(jù)和的均值和方差分別為和，若且，則（

）A． B． C． D．三、高考（模擬）題體驗1．（2022·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測）某單位有男職工60人，女職工40人，其中男職工平均年齡為35歲，方差為6，女職工平均年齡為30歲，方差是1，則該單位全體職工的平均年齡和方差分別是（

）A．32.5，3.5 B．33，7 C．33，10 D．32.5，42．（多選）（2022·浙江·模擬預(yù)測）下列統(tǒng)計量中，能度量樣本，，…，的離散程度的是（

）A．樣本，，…，的極差 B．樣本，，…，的中位數(shù)C．樣本，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差 D．樣本，，，…，的方差3．（2022·全國·校聯(lián)考三模）若數(shù)據(jù)，，，，，，，，4，6的方差為5，則數(shù)據(jù)，，，，，，，，3，7的方差為__________．4．（2022·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）2022年2月4日—2月20日，北京冬奧會順利召開，全民關(guān)注冬奧賽事.為了更好的普及冬奧知識，某中學(xué)舉辦了冬奧知識競賽，并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績，且這100名學(xué)生的成績（單位：分）都在，其頻數(shù)分布表如下圖所示.成績（單位：分）人數(shù)64ab