2024北京北京中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁/共1頁2024北京北京中學(xué)初二（上）期中數(shù)學(xué)滿分100分考試時間90分鐘考生須知1.本試卷共8頁，滿分100分，考試時間90分鐘．2.在試卷和答題卡上準確填寫學(xué)校、班級、姓名、座位號．3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．4.在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答．5.考試結(jié)束，請將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題（共24分，每題3分）下面1－8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.下列大學(xué)的校徽圖案是軸對稱圖形的是（）A.清華大學(xué) B.北京大學(xué)C.中國人民大學(xué) D.浙江大學(xué)2.下列運算正確的是（）A. B. C. D.3.如圖是折疊凳及其側(cè)面示意圖．若，則折疊凳的寬可能為（）.A. B. C. D.4.若正多邊形的一個外角是，則該正多邊形的邊數(shù)為（）A. B. C. D.5.如圖，是等邊三角形，D是BC邊上一點，于點E．若，則DC的長為（）A.4 B.5 C.6 D.76.在平面直角坐標系中，點關(guān)于x軸對稱的點的坐標是（）A. B. C. D.7.如圖，點E，C，F(xiàn)，B在一條直線上，，∠A＝∠D，添加下列條件不能判定的是（）A. B. C. D.8.如圖，在中，，，的平分線與的外角的平分線交于E點，連接AE，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.二、填空題（共24分，每題3分）9.________．10.如果成立，那么________，________．11.等腰三角形的一個內(nèi)角為，則它的頂角的度數(shù)為___________．12.直線l1∥l2，一塊含45°角的直角三角板如圖放置，∠1=85°，則∠2=____．13.在一張凸n邊形紙片上剪去一個三角形紙片，得到一個內(nèi)角和為的凸多邊形紙片，則n的值為______．14.如圖，在中，，、分別是和的角平分線，且，，則的周長是________．15.如圖，在中，厘米，厘米，點為AB的中點，點在線段上以厘米秒的速度由點向點運動，同時，點在線段CA上由點向點運動．當(dāng)點的運動速度為_____厘米/秒時，能夠在某一時刻使與全等．16.某“數(shù)學(xué)樂園”展廳的密碼被設(shè)計成如圖所示的數(shù)學(xué)問題．小明在參觀時經(jīng)過認真思索，輸入密碼后順利地連接到網(wǎng)絡(luò)，則他輸入的密碼是__________．三、解答題（共52分，第17－21題，每題5分，第22、23題，每題4分，第24、25題，每題6分，第26題7分）17.計算：．18.計算：．19.已知，求代數(shù)式的值．20.已知：如圖，，點A為的中點，點B、A、E共線，求證：．21.如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：∠B=∠C22.一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的總和為1800°,求這個多邊形的邊數(shù)．23.如圖，已知線段AB及線段AB外一點C，過點C作直線CD，使得．小欣的作法如下：①以點B為圓心，BC長為半徑作??；②以點A為圓心，AC長為半徑作弧，兩弧交于點D；③作直線CD．則直線CD即為所求．（1）根據(jù)小欣的作圖過程補全圖形；（2）完成下面的證明．證明：連接AC，AD，BC，BD．∵，∴點B在線段CD的垂直平分線上．（_______________）（填推理的依據(jù)）∵______________，∴點A在線段CD的垂直平分線上．∴直線AB為線段CD的垂直平分線．∴．24.如圖，的長方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點叫做格點．點A，B，C都是格點．請按要求解答下列問題：平面直角坐標系xOy中，點A，B的坐標分別是(－3，1)，(－1，4)，（1）①請在圖中畫出平面直角坐標系xOy；②點C的坐標是，點C關(guān)于x軸的對稱點的坐標是；（2）設(shè)l是過點C且平行于y軸的直線，①點A關(guān)于直線l的對稱點的坐標是；②在直線l上找一點P，使最小，在圖中標出此時點P的位置；③若Q(m，n)為網(wǎng)格中任一格點，直接寫出點Q關(guān)于直線l的對稱點的坐標（用含m，n的式子表示）．25.如圖1，在平面直角坐標系中，點，，，給出如下定義：若P為內(nèi)（不含邊界）一點，且AP與的一條邊相等，則稱P為的友愛點．（1）在，，中，的友愛點是________；（2）如圖2，若P為內(nèi)一點，且，求證：P為的友愛點；（3）直線l為過點，且與軸平行的直線，若直線上存在的三個友愛點，直接寫出的取值范圍．26.在中，，D為延長線上一點，點E為線段的垂直平分線的交點，連接．（1）如圖1，當(dāng)時，則______；（2）當(dāng)時，①如圖2，連接，判斷的形狀，并證明；②如圖3，直線與交于點F，滿足．P為直線上一動點．當(dāng)?shù)闹底畲髸r，用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系為______，并證明．

參考答案一、選擇題（共24分，每題3分）下面1－8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.【答案】B【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的概念，根據(jù)軸對稱圖形的定義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形逐一判斷即可．【詳解】解：A．該圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分不能夠互相重合，不是軸對稱圖形，不符合題意；B．該圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，是軸對稱圖形，符合題意；C．該圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分不能夠互相重合，不是軸對稱圖形，不符合題意；D．該圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分不能夠互相重合，不是軸對稱圖形，不符合題意；故選：B．2.【答案】A【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪相乘、冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪除法等知識點，靈活運用相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．運用同底數(shù)冪相乘、冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪除法等知識點逐項判斷即可解答．【詳解】解：A.，故A選項計算正確，符合題意；B.，故B選計算錯誤，不符合題意；C.，故C選計算錯誤，不符合題意；D.，故D選計算錯誤，不符合題意．故選：A．3.【答案】D【分析】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，掌握三角形的兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．直接根據(jù)“三角形的兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊”即可解答．【詳解】解：如圖：∵，∴,即，∴只有D選項符合題意．故選D．4.【答案】B【分析】此題考查了多邊形的內(nèi)角和外角的關(guān)系，正多邊形的外角和是，這個正多邊形的每個外角相等，因而用除以外角的度數(shù)即可，熟記正多邊形的邊數(shù)和外角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵正多邊形的一個外角是，∴多邊形的邊數(shù)為：，故選：．5.【答案】C【分析】先求解可得從而可得答案.【詳解】解：是等邊三角形，，故選C【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，含的直角三角形的性質(zhì)，掌握“直角三角形中，所對的直角邊等于斜邊的一半”是解本題的關(guān)鍵.6.【答案】A【分析】此題主要考查了關(guān)于坐標軸對稱的點的坐標特征，根據(jù)關(guān)于軸對稱點的規(guī)律，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)，解答即可．【詳解】解：點關(guān)于x軸對稱的點的坐標是，故選：A．7.【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定．熟練掌握平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的判定條件進行判斷作答即可．【詳解】解：∵，∴，當(dāng)時，，此時無法證明，故A符合要求；當(dāng)時，，故B不符合要求；當(dāng)時，則，，故C不符合要求；當(dāng)時，，故D不符合要求；故選：A．8.【答案】B【分析】作EF⊥AC交CA的延長線于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延長線于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和判定得到AE平分∠FAG，求出∠EAB的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求出∠ABE的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算得到答案．【詳解】作EF⊥AC交CA的延長線于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延長線于H，∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABD，∴EF＝EH，EG＝EH，∴EF＝EF，又EF⊥AC，EG⊥AB，∴AE平分∠FAG，∵∠CAB＝30°，∴∠BAF＝150°，∴∠EAB＝75°，∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠ABH＝120°，又BE平分∠ABD，∴∠ABE＝60°，∴∠AEB＝180°?∠EAB?∠ABE＝45°，故選B．【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵，注意三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義的正確運用．二、填空題（共24分，每題3分）9.【答案】【分析】本題考查了冪的乘方運算和同底數(shù)冪的除法運算，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)的運算法則．根據(jù)冪的乘方和同底數(shù)冪的除法運算法則計算即可．【詳解】解：，，，，故答案為：．10.【答案】①.②.【分析】此題考查冪的乘方與積的乘方，解題關(guān)鍵在于掌握其性質(zhì)．先根據(jù)積的乘方法則計算出等式左邊的數(shù)，再與右邊的數(shù)相比較即可得出結(jié)論．【詳解】解：，，，，解得：，，故答案為：，．11.【答案】或【分析】分的內(nèi)角是等腰三角形的底角或頂角兩種情況，利用三角形內(nèi)角和定理求解．【詳解】解：當(dāng)?shù)膬?nèi)角是等腰三角形的底角時，它的頂角的度數(shù)為：；當(dāng)?shù)膬?nèi)角是等腰三角形的頂角時，它的底角的度數(shù)為：，符合要求；故答案為：或．【點睛】本題考查等腰三角形的定義、三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是注意分情況討論，避免漏解．12.【答案】【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠3=∠1，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠4，然后根據(jù)對頂角相等解答．【詳解】解：解：∵∴∠3=∠1=85°，∴∠4=∠3-45°=85°-45°=40°，∴∠2=∠4=40°．故答案為：【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13.【答案】5或6或7【分析】本題考查多邊形內(nèi)角和定理、剪紙問題，掌握多邊形的內(nèi)角和定理及分類討論問題是解題的關(guān)鍵．設(shè)剪去一個角后的多邊形邊數(shù)為n，利用多邊形內(nèi)角和公式則有，解出方程就可以得到新多邊形的邊數(shù)；然后通過分析當(dāng)沿的是對角線和沿的不是對角線這兩種方式剪角，就可以求出原來多邊形的邊數(shù)．【詳解】解：設(shè)內(nèi)角和為的多邊形的邊數(shù)為n，則，解得，即得到的多邊形是6邊形，當(dāng)沿的是一條對角線剪去一個角，則原來的是7邊形，當(dāng)沿的直線并不是對角線時，分為兩種情況：①過多邊形的一個頂點，則原來的是6邊形；②不過多邊形的頂點，則原來的是5邊形，綜上所述，原多邊形的邊數(shù)為5或6或7，故答案為：5或6或7．14.【答案】【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，角平分線的定義，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．由、分別是和的角平分線，得，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，從而有，，則，，然后代入求值即可．【詳解】解：、分別是和的角平分線，，，，，，，，，，，，的周長為，故答案為：．15.【答案】4或6【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定的應(yīng)用；首先求出的長，要使與全等，必須或，得出方程或，求出方程的解即可．【詳解】解：設(shè)經(jīng)過秒后，使與全等，厘米，點為AB的中點，厘米，，要使與全等，必須或，即或，解得：x=1或x=2，x=1時，，；x=2時，，；即點的運動速度是厘米/秒或厘米/秒．故答案為：或．16.【答案】2024【分析】本題考查了單項式的乘除法，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵，根據(jù)單項式的乘除法計算即可解答．【詳解】解：∵，∴等號右邊的數(shù)字依次為等號左邊代數(shù)式中x，y，z的次數(shù)∵∴他輸入的密碼是2024．故答案為：2024．三、解答題（共52分，第17－21題，每題5分，第22、23題，每題4分，第24、25題，每題6分，第26題7分）17.【答案】0【分析】先計算同底數(shù)冪的乘法、積的乘方，再計算同底數(shù)冪的除法，最后進行合并同類項即可，此題考查了同底數(shù)冪的乘法、積的乘方、同底數(shù)冪的除法，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：18.【答案】【分析】本題考查了整式乘法的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)多項式乘多項式法則展開，再合并同類項即可．【詳解】解：19.【答案】【分析】本題考查了整式的混合運算-化簡求值，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．先去括號，再合并同類項，然后把代入化簡后的式子進行計算即可解答．【詳解】，∵∴∴．20.【答案】見解析【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，要證明，只要證明即可．【詳解】證明：∵，，，點為的中點，∴，在和中，，∴，∴．21.【答案】見解析【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．【詳解】解：∵平分，，，∴，在和中，，∴，∴．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些性質(zhì)定理進行證明．22.【答案】十邊形【詳解】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，則依題意可得（n-2）×180+360=1800，解得n=10，所以這個多邊形是十邊形．23.【答案】（1）見解析；（2）到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上；AD；【分析】（1）根據(jù)作圖的作法作出圖形即可求解；

（2）完連接AC，AD，BC，BD，根據(jù)到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上即可求解．【詳解】解：（1）作圖如圖所示：（2）證明：連接AC，AD，BC，BD．∵，∴點B在線段CD的垂直平分線上．（到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上）（填推理的依據(jù)）∵AD，∴點A在線段CD的垂直平分線上．∴直線AB為線段CD的垂直平分線．∴．故答案為：到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上；AD．【點睛】本題考查作圖，垂直平分線的判定，解題的關(guān)鍵是理解到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上．24.【答案】（1）作圖見解析，（1，2），（1，-2）；（2）①（5，1）；②P點位置見解析；③（2-m，n）【分析】（1）由A、B點坐標即可知x軸和y軸的位置，即可從圖像中得知C點坐標，而的橫坐標不變，縱坐標為C點縱坐標的相反數(shù)．（2）由C點坐標（1，2）可知直線l為x=1①點是點A關(guān)于直線l的對稱點，由橫坐標和點A橫坐標之和為2，縱坐標不變，即可求得坐標為（5，1）．②由①可得點A關(guān)于直線l的對稱點，連接B交l于點P，由兩點之間線段最短即可知點P為所求點．③設(shè)點Q（m，n）關(guān)于l的對稱點為（x，y），則有（m+x）÷2=1，y=n，即可求得對稱點（2-m，n）【詳解】（1）平面直角坐標系xOy如圖所示由圖象可知C點坐標為（1，2）點是C點關(guān)于x軸對稱得來的則的橫坐標不變，縱坐標為C點縱坐標的相反數(shù)即點坐標為（1，-2）．（2）如圖所示，由C點坐標（1，2）可知直線l為x=1①A點坐標為（-3，1），關(guān)于直線x=1對稱的坐標橫坐標與A點橫坐標坐標和的一半為1，縱坐標不變則為坐標為（5，1）②連接①所得B，B交直線x=1于點P由兩點之間線段最短可知為B時最小又∵點是點A關(guān)于直線l的對稱點∴∴為B時最小故P即為所求點．③設(shè)任意格點Q（m，n）關(guān)于直線x=1的對稱點為（x，y）有（m+x）÷2=1，y=n即x=2-m，y=n則縱坐標不變，橫坐標為原來橫坐標相反數(shù)加2即對稱點坐標為（2-m，n）．【點睛】本題考查了坐標軸中的對稱點問題，熟悉坐標點關(guān)于軸對稱的坐標變換，結(jié)合圖象運用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．25.【答案】（1）P1、P2；（2）見解析；（3）0＜m＜2【分析】（1）根據(jù)A（x1，y1）、和B（x2，y2）之間的距離公式AB=以及友愛點定義解答即可；（2）由題意易知∠OAB=∠OCA=∠OCB=45°，進而可求得∠PAC=∠OCP=30°，則可得出∠ACP=∠APC=75°，根據(jù)等角對等邊和友愛點定義即可證得結(jié)論；（3）由題意，△ABC在友愛點P滿足AP=BP或AP=PC或AP=BC=AC三種情況，分別討論求解即可．【詳解】解：（1）∵點，關(guān)于y軸對稱，點在y軸上，∴AP1=BP1，故P1是的友愛點；∵AP2=，CP2=，∴AP2=CP2，故P1是的友愛點；∵AP3=，CP3=，BP3=，BC=，∴故P3不是的友愛點，綜上，的友愛點是P1、P2，故答案為：P1、P2；（2）∵點，，，∴OA=OB=OC，AC=BC，∠BOC=90°，∴∠OAB=∠OCA=∠OCB=45°，∵，∴∠PAC=∠OCP=30°，∴∠ACP=45°+30°=75°，∴∠APC=180°－∠PAC－∠ACP=180°－30°－75°=75°，∴∠ACP=∠APC，∴AP=AC=BC，∴P為的友愛點；（3