2024北京平谷中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)2024北京平谷中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)2024.11一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.1.某工廠有共五個(gè)車間，各車間人數(shù)所占比例依次為：車間，車間車間車間車間．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該工廠所有人中抽取300人作為樣本，則該樣本中得到車間或車間的人數(shù)共為（）A.195 B.165 C.120 D.452.已知向量，，并且，則實(shí)數(shù)x的值為（）A.10 B.-10 C. D.3.圓心在軸上，半徑為1，且過點(diǎn)1,2的圓的方程是（）A. B.C. D.4.某校舉辦知識(shí)競(jìng)賽，將人的成績(jī)整理后畫出的頻率分布直方圖如下．則根據(jù)頻率分布直方圖，下列結(jié)論正確的是（）A.中位數(shù)估計(jì)為 B.眾數(shù)估計(jì)為C.平均數(shù)估計(jì)為 D.第百分位數(shù)估計(jì)為5.圓的圓心到直線的距離是（）A. B. C.1 D.6.設(shè)不同直線：，：，則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.在某次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小明先將一副三角板按照?qǐng)D1的方式進(jìn)行拼接，然后他又將三角板折起，使得二面角為直二面角，得圖2所示四面體．小明對(duì)四面體中的直線、平面的位置關(guān)系作出了如下的判斷：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判斷正確的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.48.從甲袋中摸出1個(gè)紅球的概率是，從乙袋中摸出1個(gè)紅球的概率是，從兩袋中各摸出1個(gè)球，則可能是（）A.2個(gè)球不都是紅球的概率 B.2個(gè)球都是紅球的概率C.至少有1個(gè)紅球的概率 D.2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率9.已知向量，則下列等式中，有且僅有一組實(shí)數(shù)x，y使其成立的是（）A. B. C. D.10.如圖1，某同學(xué)在一張矩形卡片上繪制了函數(shù)的部分圖象，A，B分別是圖象的一個(gè)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，M是圖象與y軸的交點(diǎn)，，現(xiàn)將該卡片沿x軸折成如圖2所示的直二面角，在圖2中，則下列結(jié)果不正確的是（）A.B.點(diǎn)D到平面的距離為C.點(diǎn)D到直線的距離為D.平面與平面夾角的余弦值為共5小題，每小題5分，共25分11.直線（a為常實(shí)數(shù)）的傾斜角的大小是_______________．12.經(jīng)過圓的圓心且與直線垂直的直線方程是__________.13.某商區(qū)停車場(chǎng)臨時(shí)停車按時(shí)段收費(fèi)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：每輛汽車一次停車不超過1小時(shí)收費(fèi)6元，超過1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)8元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）.現(xiàn)有甲在該商區(qū)臨時(shí)停車不超過4小時(shí)，若甲停車1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)的概率為，停車付費(fèi)多于14元的概率為，則甲停車付費(fèi)恰好6元的概率為__________.14.一座圓拱橋，當(dāng)水面在如圖所示位置時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬12米，當(dāng)水面下降2米后，水面寬為___________米.15.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)之間距離的最小值為；②當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積為定值；③存在點(diǎn)，，使得平面；④當(dāng)為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，平面截該正方體所得截面的周長(zhǎng)為.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.三、解答題共6小題，共8B分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.求下列直線方程（1）已知，，，在中：（?。┣驜C邊所在的直線方程（ⅱ）求BC邊上的垂直平分線所在直線的方程，（2）已知點(diǎn)，求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)距離為3的直線l的方程.17.已知的頂點(diǎn)，直線的方程為，邊上的高所在直線的方程為.（1）求頂點(diǎn)和的坐標(biāo)；（2）求外接圓的一般方程.18.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，的面積為4.（1）求角C的大?。唬?）若，求邊長(zhǎng)c.19.在測(cè)試中，客觀題難度的計(jì)算公式為，其中為第題的難度，為答對(duì)該題的人數(shù)，為參加測(cè)試的總?cè)藬?shù).現(xiàn)對(duì)某校高三年級(jí)120名學(xué)生進(jìn)行一次測(cè)試，共5道客觀題.測(cè)試前根據(jù)對(duì)學(xué)生的了解，預(yù)估了每道題的難度，如下表所示：題號(hào)12345考前預(yù)估難度0.90.80.70.60.4測(cè)試后，從中隨機(jī)抽取了10名學(xué)生，將他們編號(hào)后統(tǒng)計(jì)各題的作答情況，如下表所示（“√”表示答對(duì)，“×”表示答錯(cuò)）：題號(hào)學(xué)生編號(hào)123451×√√√√2√√√√×3√√√√×4√√√××5√√√√√6√××√×7×√√√×8√××××9√√×××10√√√√×（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，將抽樣的10名學(xué)生每道題實(shí)測(cè)的答對(duì)人數(shù)及相應(yīng)的實(shí)測(cè)難度填入下表，并估計(jì)這120名學(xué)生中第5題的實(shí)測(cè)答對(duì)人數(shù)：題號(hào)12345實(shí)測(cè)答對(duì)人數(shù)實(shí)測(cè)難度（2）從編號(hào)為1到5的5人中隨機(jī)抽取2人，求恰好有1人答對(duì)第5題的概率；（3）定義統(tǒng)計(jì)量，其中為第題的實(shí)測(cè)難度，為第題的預(yù)估難度（）.規(guī)定：若，則稱該次測(cè)試的難度預(yù)估合理，否則為不合理.判斷本次測(cè)試的難度預(yù)估是否合理.20.如圖，在四棱錐中，平面平面，為棱的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，（i）求二面角的余弦值；（ii）在線段上是否存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．21.設(shè)n為正整數(shù)，集合A=．對(duì)于集合A中的任意元素和，記M（）=．（Ⅰ）當(dāng)n=3時(shí)，若，，求M（）和M（）的值；（Ⅱ）當(dāng)n=4時(shí)，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意元素，當(dāng)相同時(shí)，M（）是奇數(shù)；當(dāng)不同時(shí)，M（）是偶數(shù)．求集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值；（Ⅲ）給定不小于2的n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意兩個(gè)不同的元素，M（）=0．寫出一個(gè)集合B，使其元素個(gè)數(shù)最多，并說明理由．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.1.【答案】B【分析】根據(jù)分層抽樣的概念列式可求解．【詳解】根據(jù)分層抽樣的方法，該樣本中得到車間或車間的人數(shù)共為．故選：B．2.【答案】B【分析】根據(jù)空間向量垂直的充分必要條件是其數(shù)量積為零，即，解出即可.【詳解】解：∵，∴，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.向量等價(jià)于.3.【答案】A【分析】先設(shè)圓心再根據(jù)點(diǎn)在圓上求得，再應(yīng)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出圓的方程即可.【詳解】因?yàn)閳A心在軸上，所以可設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，則圓的方程為，又點(diǎn)1,2在圓上，所以，解得，所以所求圓的方程為．故選：A4.【答案】C【分析】設(shè)頻率分布直方圖中與所對(duì)應(yīng)的縱軸為，根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為得到方程，求出，再根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)及眾數(shù)的計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得.【詳解】設(shè)頻率分布直方圖中與所對(duì)應(yīng)的縱軸為，則，解得，所以平均數(shù)為，故C正確；眾數(shù)為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋灾形粩?shù)為，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，第百分位?shù)估計(jì)為，故D錯(cuò)誤；故選：C5.【答案】A【分析】根據(jù)圓的方程得出圓心坐標(biāo)（1，0），直接依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可以得出答案.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為（1，0），∴圓心到直線的距離為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題型.6.【答案】C【詳解】當(dāng)m＝2時(shí)，代入兩直線方程中，易知兩直線平行，即充分性成立．當(dāng)l1∥l2時(shí)，顯然m≠0，從而有＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但當(dāng)m＝－1時(shí)，兩直線重合，不合要求，故必要性成立，故選C.點(diǎn)睛：充分、必要條件的三種判斷方法．1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“?”為真，則是的充分條件．2．等價(jià)法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．7.【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于①中，因?yàn)槎娼菫橹倍娼牵傻闷矫嫫矫?，又因?yàn)槠矫嫫矫妫?，且平面，所以平面，所以①正確；對(duì)于②中，由平面，且平面，可得，又因?yàn)椋?，平面，所以平面，所以②正確；對(duì)于③中，由平面，且平面，所以平面平面，所以③正確；對(duì)于④，中，因?yàn)槠矫妫移矫?，可得平面平面，若平面平面，且平面平面，可得平面，又因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)榕c不垂直，所以矛盾，所以平面和平面不垂直，所以D錯(cuò)誤.故選：C.8.【答案】C【分析】運(yùn)用概率計(jì)算公式分別計(jì)算四個(gè)選項(xiàng)中事件的概率即可.【詳解】記4個(gè)選項(xiàng)中的事件依次分別為A，B，C，D，則，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；．故D錯(cuò)誤.故選：C．9.【答案】B【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的模，向量的數(shù)量積，建立方程，分析方程的解的個(gè)數(shù)即可得出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，有無數(shù)組解，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故方程有且僅有一組解，故B正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)方程成立，方程有無數(shù)組解，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，即，即，方程有無數(shù)組解，故D錯(cuò)誤.故選：B10.【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出圖1中點(diǎn)A,B,D,M的坐標(biāo)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出圖2中點(diǎn)A,B,D,M的坐標(biāo)，再逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】在圖1中，由，得，，，，在圖2中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，得，A正確．設(shè)平面的法向量為，，則，即，取，則，，所以平面的一個(gè)法向量，所以點(diǎn)D到平面的距離為，B正確．取，，則，，所以點(diǎn)D到直線的距離為，C錯(cuò)誤．平面的一個(gè)法向量為，則平面與平面夾角的余弦值為，D正確.故選：C.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分11.【答案】##【分析】將直線方程化為斜截式，求出直線斜率，即可得出傾斜角.【詳解】設(shè)直線傾斜角為，直線可化為，斜率為，則，所以.故答案為：.12.【答案】【分析】求出圓的圓心，直線斜率，通過點(diǎn)斜式求直線方程.【詳解】因?yàn)閳A，即，所以圓心為，又直線的斜率為，所以所求直線的斜率為，所求直線的方程為，即.故答案為：.13.【答案】【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概率公式可解答?！驹斀狻吭O(shè)“甲臨時(shí)停車付費(fèi)恰為元”為事件，則．所以甲臨時(shí)停車付費(fèi)恰為元的概率是．故答案為：.14.【答案】16【分析】以圓拱拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn),以水平與圓拱相切的直線為橫軸，以過拱頂?shù)呢Q線為縱軸，建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意可以求出找到一個(gè)點(diǎn)，代入可以求出圓的方程，最后可以求出當(dāng)水面下降2m后,水面寬的大小.【詳解】解：以圓拱拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn),以水平與圓拱相切的直線為橫軸,以過拱頂?shù)呢Q線為縱軸,建立直角坐標(biāo)系,如下圖所示：由題意可知：設(shè)圓的方程為：(其中為圓的半徑),因?yàn)楣绊旊x水面2m，水面寬12m，所以設(shè)，代入圓的方程中得：，所以圓的方程為：,當(dāng)水面下降2m后,設(shè)代入圓的方程中得，解得：，所以水面寬為16米，故答案為：.15.【答案】②③【分析】對(duì)于①，根據(jù)垂線段最短，結(jié)合等邊三角形圖形特點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算即可；對(duì)于②，根據(jù)三棱錐體積公式進(jìn)行判斷即可；對(duì)于③，根據(jù)線面垂直的判定定理得到平面，進(jìn)而判斷即可；對(duì)于④，根據(jù)正方體圖形特點(diǎn)找到截面，進(jìn)而求解周長(zhǎng)即可.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，連接，如圖所示，則為線段的中點(diǎn)，是邊長(zhǎng)為的正三角形，兩點(diǎn)之間距離的最小值為到的垂線段長(zhǎng)度，此時(shí)，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，連接，如圖所示，顯然，到平面的距離為定值，面積為定值，結(jié)合三棱錐體積公式可知，三棱錐的體積為定值，故②正確；對(duì)于③，當(dāng)與重合，與重合時(shí)，如圖所示，由正方體可知平面，，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槠矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，同理，，又因?yàn)槠矫?，，所以平面，即平面，所以存在點(diǎn)，，使得平面，故③正確；對(duì)于④，當(dāng)為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，如圖所示，由得四邊形是平行四邊形，所以，由可知，即，所以是中點(diǎn)，又因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以,，所以平面截該正方體所得截面為等腰梯形，在直角中，，同理，所以截面的周長(zhǎng)為,即當(dāng)為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，平面截該正方體所得截面的周長(zhǎng)為，故④錯(cuò)誤.故答案為：②③【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用.解決立體幾何問題的常見方法有：（1）定義法，通過相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理直接求解；（2）空間向量法，運(yùn)用空間向量進(jìn)行基底轉(zhuǎn)化或者運(yùn)用坐標(biāo)法結(jié)合公式求解；（3）轉(zhuǎn)化法，通過轉(zhuǎn)化與化歸，將所求長(zhǎng)度或角度轉(zhuǎn)化求解.三、解答題共6小題，共8B分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.【答案】（1）（i）；（ii）.（2）或.【分析】（1）（i）直接計(jì)算得，再寫出點(diǎn)斜式方程再化簡(jiǎn)即可；（ii）求出中點(diǎn)，再根據(jù)垂直關(guān)系即可得到斜率，寫出點(diǎn)斜式方程再化簡(jiǎn)即可；（2）首先驗(yàn)證直線斜率不存在的情況，再利用點(diǎn)斜式方程并結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可.【小問1詳解】（i），則BC邊所在的直線方程為，即,（ii）線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，由（i）知，則其垂直平分線的斜率為，則BC邊上的垂直平分線所在直線的方程為，即.【小問2詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)，即，則有，解得，此時(shí).綜上所述直線的方程為或.17.【答案】（1），（2）【分析】（1）聯(lián)立直線，的方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由求出直線的斜率及方程，的方程與直線方程聯(lián)立求出的坐標(biāo)；（2）設(shè)圓的一般方程為，將，，三點(diǎn)坐標(biāo)代入求出圓的一般方程求出的值即可求解.【小問1詳解】由可得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，由可得，所以由，可得，因?yàn)椋灾本€的方程為：，即，由可得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.【小問2詳解】設(shè)的外接圓方程為，將，和三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入圓的方程可得：，解得：，所以的外接圓的一般方程為.18.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)已知由正弦定理得到，根據(jù)的范圍可得答案；（2）利用和已知得到的值，然后結(jié)合余弦定理得到c的長(zhǎng)度．【小問1詳解】根據(jù)已知由正弦定理得，得到，因?yàn)?，所以，所以，即．【小?詳解】由于，得，由余弦定理，得，所以.19.【答案】（1）填表見解析，24人；（2）；（3）是合理的.【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，即可容易填表所得結(jié)果；結(jié)合實(shí)測(cè)難度，即可求得答對(duì)第5題的人數(shù)；（2）根據(jù)題意求得所有抽取的可能以及滿足題意的可能，用古典概型的概率求解公式即可容易求得結(jié)果；（3）根據(jù)公式，即可求得對(duì)應(yīng)的，則根據(jù)題意即可進(jìn)行判斷.【詳解】（1）每道題實(shí)測(cè)的答對(duì)人教及相應(yīng)的實(shí)測(cè)難度如下表：題號(hào)12345實(shí)測(cè)答對(duì)人數(shù)88772實(shí)測(cè)難度0.80.80.70.70.2所以，估計(jì)120人中有人答對(duì)第5題.（2）記編號(hào)為的學(xué)生為，從這5人中隨機(jī)抽取2人，不同的抽取方法有10種.其中恰好有1人答對(duì)第5題的抽取方法為，，，，，，共6種.所以，從編號(hào)為1~5的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，恰好有1人答對(duì)第5題的概率為.（3）為抽樣的10名學(xué)生中第題的實(shí)測(cè)難度，用作為這120名學(xué)生第題的實(shí)測(cè)難度.，因?yàn)?，所以，該次測(cè)試的難度預(yù)估是合理的.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率求解，以及數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)和估計(jì)，屬綜合基礎(chǔ)題.20.【答案】（1）證明見解析（2）（i）；（ii）存在，【分析】（1）通過證明四邊形是平行四邊形，可得，即可證明；（2）（i）建立空間直角坐