2025屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考二輪復(fù)習(xí)增分強(qiáng)化練二十六概率離散型隨機(jī)變量及其分布理含解析

PAGE增分強(qiáng)化練(二十六)一、選擇題1．某個(gè)微信群某次進(jìn)行的搶紅包活動(dòng)中，群主所發(fā)紅包的總金額為10元，被隨機(jī)安排為2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元共5份，供甲、乙等5人搶，每人只能搶一次，則甲、乙二人搶到的金額之和不低于4元的概率是()A.eq\f(2,5) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(5,6)解析：所發(fā)紅包的總金額為10元，被隨機(jī)安排為2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元，共5份，供甲、乙等5人搶，每人只能搶一次，基本領(lǐng)件總數(shù)n＝Ceq\o\al(2,5)＝10，其中甲、乙二人搶到的金額之和不低于4元的狀況有：(2.49,2.19)，(2.49,3.37)，(1.32,3.37)，(2.19,3.37)，(0.63,3.37)共有5種，∴甲、乙二人搶到的金額之和不低于4元的概率P＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，故選B.答案：B2．(2024·東三省三校模擬)某面粉供應(yīng)商所供應(yīng)的某種袋裝面粉質(zhì)量聽從正態(tài)分布N(10,0.12)(單位：kg)，現(xiàn)抽取500袋樣本，X表示抽取的面粉質(zhì)量在(10,10.2)kg的袋數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望約為()附：若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z≤μ＋σ)≈0.6872，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)≈0.9545.A．171 B．239C．341 D．477解析：設(shè)每袋面粉的質(zhì)量為Zkg，則由題意得Z～N(10,0.12)，∴P(10<Z≤10.2)＝eq\f(1,2)P(9.8<Z≤10.2)＝eq\f(1,2)P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)≈0.47725.由題意得X～B(500,0.47725)，∴E(X)＝500×0.47725＝238.625≈239.故選B.答案：B3．如圖，《宋人撲棗圖軸》是作于宋朝的中國古畫，現(xiàn)保藏于中國臺北故宮博物院．該作品簡介：院角的棗樹牢固累累，小孩群來攀扯，枝椏不?；蝿?dòng)，粒粒棗子搖落滿地，有的牽起衣角，有的捧著盤子拾取，又玩又吃，一片興致勃勃之情，躍然于絹素之上．甲、乙、丙、丁四人想依據(jù)該圖編排一個(gè)舞蹈，舞蹈中他們要仿照該圖中小孩撲棗的爬、扶、撿、頂四個(gè)動(dòng)作，四人每人仿照一個(gè)動(dòng)作．若他們采納抽簽的方式來確定誰仿照哪個(gè)動(dòng)作，則甲不仿照“爬”且乙不仿照“扶”的概率是()A.eq\f(3,4) B.eq\f(7,12)C.eq\f(1,2) D.eq\f(5,12)解析：依題意，基本領(lǐng)件的總數(shù)為Aeq\o\al(4,4)＝24，設(shè)事務(wù)A表示甲不仿照“爬”且乙不仿照“扶”，①若甲仿照“扶”，則A包含1×Aeq\o\al(3,3)＝6個(gè)基本領(lǐng)件；②若甲仿照“撿”或“頂”則A包含2×2×Aeq\o\al(2,2)＝8個(gè)基本領(lǐng)件，綜上A包含6＋8＝14個(gè)基本領(lǐng)件，所以P(A)＝eq\f(14,24)＝eq\f(7,12)，故選B.答案：B4.(2024·安陽模擬)如圖所示，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，以線段BD的長為半徑作兩個(gè)圓．若在該圖形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自四邊形ABCD內(nèi)的概率為()A.eq\f(3\r(3),8π＋3\r(3)) B.eq\f(\r(3),4π－\r(3))C.eq\f(3\r(3),8π) D.eq\f(3\r(3),4π)解析：設(shè)BD＝2，由已知可得△ABD，△BCD為全等的等邊三角形，所以S四邊形ABCD＝2×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝2eq\r(3)，整個(gè)圖形可以看作由位于直線AC左右兩側(cè)的兩個(gè)弓形組成，其面積S＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×4×\f(2π,3)－\f(1,2)×4×sin\f(2π,3)))))＝eq\f(16,3)π＋2eq\r(3)，所以所求的概率為eq\f(2\r(3),\f(16π,3)＋2\r(3))＝eq\f(3\r(3),8π＋3\r(3))，故選A.答案：A二、填空題5．一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則D(X)＝________.解析：由題意得X～B(100,0.02)，∴D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.答案：1.966．隨機(jī)變量ξ的取值為0,1,2.若P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，則D(ξ)＝________.解析：設(shè)P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)＋a＋b＝1，,a＋2b＝1，))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,5)，,b＝\f(1,5)，))所以D(ξ)＝eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)×0＋eq\f(1,5)×1＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)7．(2024·南寧模擬)用0與1兩個(gè)數(shù)字隨機(jī)填入如圖所示的5個(gè)格子里，每個(gè)格子填一個(gè)數(shù)字，并且從左到右數(shù)，不管數(shù)到哪個(gè)格子，總是1的個(gè)數(shù)不少于0的個(gè)數(shù)，則這樣填法的概率為________．解析：5個(gè)格子用0與1兩個(gè)數(shù)字隨機(jī)填入共有25＝32種不同方法，從左到右數(shù)，不管數(shù)到哪個(gè)格子，總是1的個(gè)數(shù)不少于0的個(gè)數(shù)包含的基本領(lǐng)件有：①全是1，有1種方法；②第一個(gè)格子是1，另外4個(gè)格子有一個(gè)0，有4種方法；③第一個(gè)格子是1，另外4個(gè)格子有2個(gè)0，有5種方法，所以共有1＋4＋5＝10種基本方法，那么概率P＝eq\f(10,32)＝eq\f(5,16).答案：eq\f(5,16)三、解答題8．2024年諾貝爾獎(jiǎng)接連揭曉，北京時(shí)間10月2日17：30首先公布了生理學(xué)和醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)，獲獎(jiǎng)?wù)叻謩e是三位美國科學(xué)家霍爾(JeffreyC．Hall)、羅斯巴什(MichaelRosbash)和楊(MichaelW.Young)，以表彰他們“發(fā)覺限制生理節(jié)律的分子機(jī)制”，通過他們的探討成果發(fā)覺，人類每天睡眠時(shí)間在7—9小時(shí)為最佳狀態(tài)，從某高校隨機(jī)選擇了100名學(xué)生(男生、女生各50名)做睡眠時(shí)間統(tǒng)計(jì)調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：睡眠時(shí)間(小時(shí))[4,5](5,6](6,7](7,8](8,9](9,10](10,11]男生561212852女生0261812102請依據(jù)上面表格回答下面問題：(1)請分別估計(jì)出該校男生和女生的睡眠平均時(shí)間(以表格中的頻率代替總體的概率)；(2)若從全校(人數(shù)較多，且男女人數(shù)相當(dāng))睡眠最佳狀態(tài)的人群中隨機(jī)選出20人進(jìn)行深度睡眠時(shí)間測試，記選出的女生人數(shù)為ξ，求ξ的期望．解析：(1)男生的平均睡眠時(shí)間T1＝4.5×eq\f(5,50)＋5.5×eq\f(6,50)＋6.5×eq\f(12,50)＋7.5×eq\f(12,50)＋8.5×eq\f(8,50)＋9.5×eq\f(5,50)＋10.5×eq\f(2,50)＝7.2；女生的平均睡眠時(shí)間T2＝4.5×eq\f(0,50)＋5.5×eq\f(2,50)＋6.5×eq\f(6,50)＋7.5×eq\f(18,50)＋8.5×eq\f(12,50)＋9.5×eq\f(10,50)＋10.5×eq\f(2,50)＝8.06.(2)依據(jù)表格可以估計(jì)出全校的睡眠最佳狀態(tài)的學(xué)生中女生占的比例為eq\f(3,5)，依據(jù)二項(xiàng)分布知，ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20，\f(3,5)))，因此E(ξ)＝20×eq\f(3,5)＝12.9．(2024·恩施質(zhì)檢)某校的1000名高三學(xué)生參與四門學(xué)科的選拔考試，每門試卷共有10道題，每題10分，規(guī)定：每門錯(cuò)x(0≤x≤1)題成果記為A，錯(cuò)x(2≤x≤4)題成果記為B，錯(cuò)x(5≤x≤7)題成果記為C，錯(cuò)x(8≤x≤10)題成果記為D，在錄用時(shí)，A記為90分，B記為80分，C記為60分，D記為50分．依據(jù)模擬成果，每一門都有如下統(tǒng)計(jì)表：答錯(cuò)題數(shù)012345678910頻數(shù)109010015015020010010050491已知選拔性考試成果與模擬成果基本吻合．(1)設(shè)ξ為高三學(xué)生一門學(xué)科的得分，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)預(yù)料考生4門總分為320的概率．解析：(1)由已知得，ξ的分布列為：ξ50608090Peq\f(1,10)eq\f(2,5)eq\f(2,5)eq\f(1,10)E(ξ)＝90×eq\f(1,10)＋80×eq\f(2,5)＋60×eq\f(2,5)＋50×eq\f(1,10)＝70(分)．(2)考生得90分的概率為eq\f(1,10)，考生得80分的概率為eq\f(2,5)，考生得60分的概率為eq\f(2,5)，考生得50分的概率為eq\f(1,10)，因?yàn)?20＝3×90＋50＝2×90＋80＋60＝4×80，所以預(yù)料考生4門總分為320概率為Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))3×eq\f(1,10)＋Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))2×Ceq\o\al(1,2)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＋Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))4＝eq\f(113,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))4＝eq\f(113,2500).10．(2024·株洲模擬)從某公司生產(chǎn)線生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取1000件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，由檢測結(jié)果得如圖所示的頻率分布直方圖：(1)求這1000件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的樣本平均數(shù)eq\x\to(x)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)eq\x\to(x)，σ2近似為樣本方差s2.①利用該正態(tài)分布，求P(175.6<Z<224.4)；②已知每件該產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為10元，每件合格品(質(zhì)量指標(biāo)值Z∈(175.6,224.4)的定價(jià)為16元；若為次品(質(zhì)量指標(biāo)值Z?(175.6,224.4))，除了全額退款外且每件次品還須賠付客戶48元.若該公司賣出100件這種產(chǎn)品，記Y表示這件產(chǎn)品的利潤，求E(Y)．附：eq\r(150)≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z<μ＋σ)≈0.68,P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)≈0.95.解析：(1)由題意得eq\x\to(x)＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200.∴s2＝(170－200)2×0.02＋(180－200)2×0.09＋(190－200)2×0.22＋(200－200)2×0.