2024-2025高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.5平面向量應(yīng)用舉例課時作業(yè)含解析新人教A版必修4

PAGE2.5[基礎(chǔ)鞏固](25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．過點(diǎn)A(2,3)，且垂直于向量a＝(2,1)的直線方程為()A．2x＋y－7＝0B．2x＋y＋7＝0C．x－2y＋4＝0D．x－2y－4＝0解析：設(shè)P(x，y)是所求直線上除A點(diǎn)外的任一點(diǎn)，則eq\o(AP,\s\up10(→))·a＝0，又eq\o(AP,\s\up10(→))＝(x－2，y－3)，所以2(x－2)＋(y－3)＝0，即所求直線方程為2x＋y－7＝0.答案：A2．已知三個力F1＝(－2，－1)，F(xiàn)2＝(－3,2)，F(xiàn)3＝(4，－3)同時作用于某物體上的一點(diǎn)，為使物體保持平衡，現(xiàn)加上一個力F4，則F4等于()A．(－1，－2)B．(1，－2)C．(－1,2)D．(1,2)解析：F4＝－(F1＋F2＋F3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝(1,2)．答案：D3．已知A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，則此四邊形為()A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形解析：eq\o(AB,\s\up10(→))＝(3,3)，eq\o(CD,\s\up10(→))＝(－2，－2)，所以eq\o(AB,\s\up10(→))＝－eq\f(3,2)eq\o(CD,\s\up10(→))，eq\o(AB,\s\up10(→))與eq\o(CD,\s\up10(→))共線，但|eq\o(AB,\s\up10(→))|≠|(zhì)eq\o(CD,\s\up10(→))|，故此四邊形為梯形．答案：A4．河水的流速為2m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度駛向?qū)Π?，則小船在靜水中的速度大小為()A．10m/sB．2eq\r(26)m/sC．4eq\r(6)m/sD．12m/s解析：由題意知|v水|＝2m/s，|v船|＝10m/s，作出示意圖如右圖．∴小船在靜水中的速度大小|v|＝eq\r(102＋22)＝eq\r(104)＝2eq\r(26)(m/s)．答案：B5．在△ABC中，AB＝3，AC邊上的中線BD＝eq\r(5)，eq\o(AC,\s\up10(→))·eq\o(AB,\s\up10(→))＝5，則AC的長為()A．1B．2C．3D．4解析：因?yàn)閑q\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))，所以eq\o(BD,\s\up10(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AC,\s\up10(→))－\o(AB,\s\up10(→))))2＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up10(→))2－eq\o(AC,\s\up10(→))·eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))2，即eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up10(→))2＝1，所以|eq\o(AC,\s\up10(→))|＝2，即AC＝2.答案：B二、填空題(每小題5分，共15分)6．如圖所示，一力作用在小車上，其中力F的大小為10牛，方向與水平面成60°角，當(dāng)小車向前運(yùn)動10米時，力F做的功為________焦耳．解析：設(shè)小車位移為s，則|s|＝10米，WF＝F·s＝|F||s|·cos60°＝10×10×eq\f(1,2)＝50(焦耳)．答案：507．若eq\o(AB,\s\up10(→))＝3e，eq\o(DC,\s\up10(→))＝5e，且|eq\o(AD,\s\up10(→))|＝|eq\o(BC,\s\up10(→))|，則四邊形ABCD的形態(tài)為________．解析：由eq\o(AB,\s\up10(→))＝3e，eq\o(DC,\s\up10(→))＝5e，得eq\o(AB,\s\up10(→))∥eq\o(DC,\s\up10(→))，eq\o(AB,\s\up10(→))≠eq\o(DC,\s\up10(→))，又因?yàn)锳BCD為四邊形，所以AB∥DC，AB≠DC.又|eq\o(AD,\s\up10(→))|＝|eq\o(BC,\s\up10(→))|，得AD＝BC，所以四邊形ABCD為等腰梯形．答案：等腰梯形8．如圖，在平行四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up10(→))＝(1,2)，eq\o(BD,\s\up10(→))＝(－3,2)，則eq\o(AD,\s\up10(→))·eq\o(AC,\s\up10(→))＝________.解析：因?yàn)閑q\o(AD,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→)))＝(－1,2)，所以eq\o(AD,\s\up10(→))·eq\o(AC,\s\up10(→))＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3.答案：3三、解答題(每小題10分，共20分)9．如圖所示，在正方形ABCD中，P為對角線AC上任一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接DP，EF，求證：DP⊥EF.解析：方法一設(shè)正方形ABCD的邊長為1，AE＝a(0<a<1)，則EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝eq\r(2)a，所以eq\o(DP,\s\up10(→))·eq\o(EF,\s\up10(→))＝(eq\o(DA,\s\up10(→))＋eq\o(AP,\s\up10(→)))·(eq\o(EP,\s\up10(→))＋eq\o(PF,\s\up10(→)))＝eq\o(DA,\s\up10(→))·eq\o(EP,\s\up10(→))＋eq\o(DA,\s\up10(→))·eq\o(PF,\s\up10(→))＋eq\o(AP,\s\up10(→))·eq\o(EP,\s\up10(→))＋eq\o(AP,\s\up10(→))·eq\o(PF,\s\up10(→))＝1×a×cos180°＋1×(1－a)×cos90°＋eq\r(2)a×a×cos45°＋eq\r(2)a×(1－a)×cos45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.所以eq\o(DP,\s\up10(→))⊥eq\o(EF,\s\up10(→))，即DP⊥EF.方法二設(shè)正方形邊長為1，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x，x)，則D(0,1)，E(x,0)，F(xiàn)(1，x)，所以eq\o(DP,\s\up10(→))＝(x，x－1)，eq\o(EF,\s\up10(→))＝(1－x，x)，由于eq\o(DP,\s\up10(→))·eq\o(EF,\s\up10(→))＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，所以eq\o(DP,\s\up10(→))⊥eq\o(EF,\s\up10(→))，即DP⊥EF.10．如圖所示，已知力F與水平方向的夾角為30°(斜向上)，F(xiàn)的大小為50N，F(xiàn)拉著一個重80N的木塊在摩擦因數(shù)μ＝0.02的水平面上運(yùn)動了20m，問F及摩擦力f所做的功分別為多少？解析：設(shè)木塊的位移為s，則F·s＝|F|·|s|cos30°＝50×20×eq\f(\r(3),2)＝500eq\r(3)(J)，F(xiàn)在豎直方向上的分力大小為|F|sin30°＝50×eq\f(1,2)＝25(N)，∴摩擦力f的大小為|f|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，∴f·s＝|f|·|s|cos180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．∴F，f所做的功分別是500eq\r(3)J，－22J.[實(shí)力提升](20分鐘，40分)11．假如一架飛機(jī)先向東飛行200km，再向南飛行300km，設(shè)飛機(jī)飛行的路程為skm，位移為akm，則()A．s>|a|B．s<|a|C．s＝|a|D．s與|a|不能比較大小解析：物理量中的路程是數(shù)量，位移是向量，從而s＝500，由位移的合成易得|a|<500，故s>|a|.答案：A12．已知A，B是圓心為C，半徑為eq\r(5)的圓上兩點(diǎn)，且|AB|＝eq\r(5)，則eq\o(AC,\s\up10(→))·eq\o(CB,\s\up10(→))等于________．解析：由已知得△ABC為正三角形，向量eq\o(AC,\s\up10(→))與eq\o(CB,\s\up10(→))的夾角為120°，所以eq\o(AC,\s\up10(→))·eq\o(CB,\s\up10(→))＝eq\r(5)·eq\r(5)cos120°＝－eq\f(5,2).答案：－eq\f(5,2)13．某人騎車以每小時a千米的速度向東行駛，感到風(fēng)從正北方向吹來，而當(dāng)速度為每小時2a解析：設(shè)a表示此人以每小時a千米的速度向東行駛的向量，無風(fēng)時此人感到風(fēng)速為－a，設(shè)實(shí)際風(fēng)速為v，那么此時人感到的風(fēng)速為v－a，設(shè)eq\o(OA,\s\up10(→))＝－a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝－2a，eq\o(PO,\s\up10(→))＝v，因?yàn)閑q\o(PO,\s\up10(→))＋eq\o(OA,\s\up10(→))＝eq\o(PA,\s\up10(→))，所以eq\o(PA,\s\up10(→))＝v－a，這就是感到由正北方向吹來的風(fēng)速，因?yàn)閑q\o(PO,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(PB,\s\up10(→))，所以eq\o(PB,\s\up10(→))＝v－2a.于是當(dāng)此人的速度是原來的2倍時所感受到由東北方向吹來的風(fēng)速就是eq\o(PB,\s\up10(→)).由題意：∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，從而，△POB為等腰直角三角形，所以PO＝PB＝eq\r(2)a，即|v|＝eq\r(2)a，所以實(shí)際風(fēng)是每小時eq\r(2)a千米的西北風(fēng)．14．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，設(shè)AC＝m，BC＝n.(1)若D為斜邊AB的中點(diǎn)，求證：CD＝eq\f(1,2)AB；(2)若E為CD的中點(diǎn)，連接AE并延長交BC于F，求AF的長度(用m，n表示)．解析：(1)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以邊CB，CA所在的直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，A(0，m)，B(n,0)，因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以Deq\f(n,2)，eq\f(m,2)，所以|eq\o(CD,\s\up10(→))|＝eq\f(1,2)eq\r(n2＋m2)，|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝eq\r(m2＋n2)，所以|eq\o(CD,\s\up10(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up10(→))|，即CD＝eq\f(1,2)AB.(2)因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，\f(m,4))).設(shè)F(x,0)，則eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，－\f(3,4)m))，eq\o(AF,\s\up10(→))＝(x，－m)．因?yàn)锳，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以eq\o(AF,\s\up10(→))＝λeq\o(AE,\s\up10(→)).即(x，－m)＝λeq