2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章集合1.1第1課時(shí)集合的含義學(xué)案含解析北師大版必修1

PAGE§1集合的含義與表示第1課時(shí)集合的含義內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.通過(guò)實(shí)例了解集合的含義．2.駕馭集合中元素的三個(gè)特性．3.駕馭元素與集合的關(guān)系，并能用符號(hào)“∈”或“?”來(lái)表示．4.記住常用數(shù)集的記法.精確概念含義適當(dāng)分類探討嫻熟語(yǔ)言轉(zhuǎn)換授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第1頁(yè)[基礎(chǔ)相識(shí)]學(xué)問(wèn)點(diǎn)一集合的概念eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材P3，思索并完成以下問(wèn)題)(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)某中學(xué)高一(1)班“全部聰慧的同學(xué)”組成一個(gè)集合．()(2)由元素1,1,2組成一個(gè)集合．()提示：(1)×(2)×[(1)不能組成一個(gè)集合，因?yàn)椤奥敾邸边@個(gè)標(biāo)準(zhǔn)不明確，而集合中的元素必需是確定的，即給定一個(gè)集合，任何元素是不是這個(gè)集合中的元素是確定的．(2)不能．因?yàn)榧现械脑厥遣荒苤貜?fù)的，即集合中的元素具有互異性．]學(xué)問(wèn)梳理1.集合與元素的概念(1)集合：一般地，指定的某些對(duì)象的全體稱為集合，常用大寫字母A，B，C，…表示．(2)元素：集合中的每個(gè)對(duì)象叫作這個(gè)集合的元素，常用小寫字母a，b，c，…表示．2．集合中元素的特性：確定性、互異性、無(wú)序性．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二元素與集合的關(guān)系eq\a\vs4\al(思索并完成以下問(wèn)題)(1)方程x2＝1的解組成的集合為A，則下列各式正確的是()A．0∈A B．1?AC．－1∈A D．±1＝A(2)用符號(hào)“∈”或“?”填空．①設(shè)集合A是小于eq\r(11)的全部實(shí)數(shù)組成的集合，則2eq\r(3)________A,1＋eq\r(2)________A；②設(shè)集合C是滿意方程y＝x2的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)組成的集合，則－1________C，(－1,1)________C.提示：(1)C(2)①?∈②?∈學(xué)問(wèn)梳理元素與集合的關(guān)系關(guān)系概念記法讀法屬于假如a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合Aa∈Aa屬于集合A不屬于假如a不是集合A中的元素，就說(shuō)a不屬于集合Aa?Aa不屬于集合A學(xué)問(wèn)點(diǎn)三常用數(shù)集及表示符號(hào)eq\a\vs4\al(思索并完成以下問(wèn)題)(1)若a∈N，但a?N＋，則a等于多少？提示：N是自然集，N＋是正整數(shù)，故a＝0.(2)如何推斷一個(gè)元素是否是一個(gè)集合的元素？提示：要推斷一個(gè)元素是否是一個(gè)集合的元素，只需看這個(gè)元素是否具有這個(gè)集合中元素的特性．學(xué)問(wèn)梳理常用數(shù)集及表示符號(hào)名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN＋ZQR[自我檢測(cè)]1．下列各組對(duì)象中不能構(gòu)成集合的是()A．2010年參展上海世博會(huì)的全部展館B．北京高校2011級(jí)的新生C．2012年倫敦奧運(yùn)會(huì)的全部參賽運(yùn)動(dòng)員D．美國(guó)NBA的籃球明星解析：選項(xiàng)A、B、C的對(duì)象都是確定的，而且是不同的，因而能構(gòu)成集合；而選項(xiàng)D中“明星”標(biāo)準(zhǔn)不明確，不滿意確定性，不能構(gòu)成集合．答案：D2．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，則a可以是()A．3.14 B．－5C.eq\f(3,7)D.eq\r(7)解析：由題意知a是實(shí)數(shù)但不是有理數(shù)，故a應(yīng)為無(wú)理數(shù)，從而選D.答案：D3．若1∈A，且集合A與集合B相等，則1________B(填“∈”或“?”)．解析：集合A與集合B相等，則A、B兩集合的元素完全相同，又1∈A，故1∈B.答案：∈授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第2頁(yè)探究一集合的推斷[例1]推斷下列每組對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合：(1)聞名的數(shù)學(xué)家；(2)某校2012年在校的全部高個(gè)子同學(xué)；(3)不超過(guò)20的非負(fù)數(shù)．[解析](1)“聞名的數(shù)學(xué)家”無(wú)明確的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于某個(gè)人是否“聞名”無(wú)法客觀地推斷，因此“聞名的數(shù)學(xué)家”不能構(gòu)成一個(gè)集合．類似地，(2)也不能構(gòu)成集合．(3)任給一個(gè)實(shí)數(shù)x，可以明確地推斷是不是“不超過(guò)20的非負(fù)數(shù)”，即“0≤x≤20”與“x＞20或x＜0”，兩者必居其一，且僅居其一，故“不超過(guò)20的非負(fù)數(shù)”方法技巧一般地，確認(rèn)一組對(duì)象a1，a2，a3，…，an能否構(gòu)成集合的過(guò)程為：跟蹤探究1.推斷下列每組對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合：(1)等邊三角形的全體；(2)小于2的全部整數(shù)；(3)全部無(wú)理數(shù)；(4)聰慧的人；(5)知名的科學(xué)家．解析：(1)任給一個(gè)三角形，可以明確地推斷它是不是等邊三角形，故“等邊三角形的全體”能構(gòu)成集合；類似地，(2)能構(gòu)成集合；(3)能構(gòu)成集合；(4)“聰慧的人”沒(méi)有明確的推斷標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于某個(gè)人來(lái)說(shuō)，他算不算聰慧我們無(wú)法給出客觀的推斷，因此“聰慧的人”不能構(gòu)成集合；類似地，(5)也不能構(gòu)成集合．探究二元素與集合的關(guān)系[例2]給出下列四個(gè)關(guān)系：eq\r(5)∈R,0.7?Q,0?N，|－4|∈Z，其中正確的有()A．4個(gè) B．3個(gè)C．2個(gè) D．1個(gè)[解析]因?yàn)閑q\r(5)是實(shí)數(shù)，故eq\r(5)∈R正確；因?yàn)?.7是有理數(shù)，故0.7?Q錯(cuò)誤；0是自然數(shù)，故0?N錯(cuò)誤；|－4|＝4，而4是正整數(shù)，故|－4|∈Z正確．故選C.[答案]C方法技巧推斷一個(gè)元素是不是某個(gè)集合的元素，關(guān)鍵是推斷這個(gè)元素是否具有這個(gè)集合中元素的共同特征或共同屬性．它要么是，要么不是，兩者必居其一，且僅居其一．跟蹤探究2.下列關(guān)系中不正確的有________個(gè)．①eq\f(1,2)∈R；②0.3∈Q；③|－eq\r(3)|∈Q；④－2∈Z.解析：eq\f(1,2)是實(shí)數(shù)，0.3是有理數(shù)，|－eq\r(3)|＝eq\r(3)是無(wú)理數(shù)，－2是整數(shù)，故①②④正確，③錯(cuò)誤．答案：1探究三集合中元素的特性[例3]已知集合B含有兩個(gè)元素a－3和2a－1，若－3∈B，試求實(shí)數(shù)a的值[思路點(diǎn)撥]eq\x(\a\al(令－3＝a－3或,－3＝2a－1))→eq\x(\a\al(解方程,求a))→eq\x(\a\al(檢驗(yàn)得,a的值))[解析]∵－3∈B，∴－3＝a－3或－3＝2a若－3＝a－3，則a＝0，此時(shí)集合B含有兩個(gè)元素－3，－1，符合題意．若－3＝2a－1，則a＝－1，此時(shí)集合B含有兩個(gè)元素－4，－3，符合題意．綜上所述，滿意題意的實(shí)數(shù)a的值為0或－1.延長(zhǎng)探究本例中，若將“－3∈B”改為“a∈B”，求a的值．解析：∵a∈B，且a≠a－3，∴a＝2a－1，解得a＝1.即實(shí)數(shù)a的值為1.方法技巧利用集合中元素的特性解答問(wèn)題，主要是利用元素的確定性與互異性：(1)確定性：是指集合中的元素是確定的，即任何一個(gè)對(duì)象都能明確它是或不是某個(gè)集合的元素，兩者必居其一，它是推斷一組對(duì)象是否能構(gòu)成集合的標(biāo)準(zhǔn)．(2)互異性：是指對(duì)于一個(gè)給定的集合，它的隨意兩個(gè)元素都是不同的．簡(jiǎn)潔地說(shuō)，一個(gè)集合中不能出現(xiàn)相同的元素．跟蹤探究3.已知集合A中含有三個(gè)元素－1，x與x＋1，若0∈A，求實(shí)數(shù)x的值．解析：由于0∈A，則x＝0或x＋1＝0.若x＝0，則x＋1＝1，此時(shí)集合A中有三個(gè)元素－1,0,1，符合題意．若x＋1＝0，得x＝－1，不符合集合中元素的互異性，舍去．綜上所述，滿意題意的實(shí)數(shù)x的值為0.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第3頁(yè)[課后小結(jié)]1．探討對(duì)象能否構(gòu)成集合，就是要看是否有一個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn)，能確定一個(gè)個(gè)體是否屬于這個(gè)總體，假如有，能構(gòu)成集合，假如沒(méi)有，就不能構(gòu)成集合．這是推斷能否構(gòu)成集合的依據(jù)．2．集合中元素的三個(gè)特征：(1)確定性：給定的集合，它的元素必需是確定的，即根據(jù)明確的推斷標(biāo)準(zhǔn)推斷給定的元素，或者在這個(gè)集合里，或者不在這個(gè)集合里，二者必居其一．(2)互異性：對(duì)于給定的一個(gè)集合，它的任何兩個(gè)元素都是不同的．若A是一個(gè)集合，a，b是集合A的隨意兩個(gè)元素，則肯定有a≠b.(3)無(wú)序性：集合中的元素是沒(méi)有依次的，集合與其中元素的排列次序無(wú)關(guān)．如由元素a，b，c與由元素b，a，c組成的集合是相等的集合．這特性質(zhì)通常用來(lái)推斷兩個(gè)集合的關(guān)系．[素養(yǎng)培優(yōu)]因忽視集合中元素的互異性致誤易錯(cuò)案例：方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解集中含有幾個(gè)元素？易錯(cuò)分析：解