2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)系列 【數(shù)形結(jié)合】平面直角坐標(biāo)系中的數(shù)形結(jié)合思（解析版）

平面直角坐標(biāo)系中的數(shù)形結(jié)合思想知識(shí)方法精講1．坐標(biāo)確定位置平面內(nèi)特殊位置的點(diǎn)的坐標(biāo)特征（1）各象限內(nèi)點(diǎn)P（a，b）的坐標(biāo)特征：①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．（2）坐標(biāo)軸上點(diǎn)P（a，b）的坐標(biāo)特征：①x軸上：a為任意實(shí)數(shù)，b＝0；②y軸上：b為任意實(shí)數(shù)，a＝0；③坐標(biāo)原點(diǎn)：a＝0，b＝0．（3）兩坐標(biāo)軸夾角平分線上點(diǎn)P（a，b）的坐標(biāo)特征：①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．2．軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題1、最短路線問(wèn)題在直線L上的同側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點(diǎn)存在，可以通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)來(lái)確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線L的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)．2、凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合本節(jié)所學(xué)軸對(duì)稱(chēng)變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．3．坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)（1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)P（x，y）?P（﹣x，﹣y）（2）旋轉(zhuǎn)圖形的坐標(biāo)圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來(lái)求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)．常見(jiàn)的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°.4.數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問(wèn)題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷。2.所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：（1）實(shí)數(shù)與HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（2）函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（3）HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（4）所給的HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"等式或HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。如等式。3.巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”。4.數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見(jiàn)的如在解方程和解HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"不等式問(wèn)題中，在求函數(shù)的HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"值域、最值問(wèn)題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，要爭(zhēng)取胸中有圖見(jiàn)數(shù)想圖，以開(kāi)拓自己的思維視野。一．選擇題（共2小題）1．（2021秋?瑞安市月考）如圖，這是某所學(xué)校的部分平面示意圖，教學(xué)樓、實(shí)驗(yàn)樓和圖書(shū)館的位置都在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，若教學(xué)樓位置的坐標(biāo)是，實(shí)驗(yàn)樓位置的坐標(biāo)是，則圖書(shū)館位置的坐標(biāo)是A． B． C． D．【考點(diǎn)】坐標(biāo)確定位置【分析】根據(jù)已知點(diǎn)坐標(biāo)得出原點(diǎn)位置，進(jìn)而得出答案．【解答】解：如圖所示：圖書(shū)館位置的坐標(biāo)是．故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了坐標(biāo)確定位置，正確得出原點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．2．（2021春?姑蘇區(qū)校級(jí)月考）蘇州市“東方之門(mén)”是由兩棟超高層建筑組成的雙塔連體建筑，“門(mén)”的造型是東方之門(mén)的立意基礎(chǔ)，“門(mén)”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線型，如圖1，兩棟建筑第八層由一條長(zhǎng)的連橋連接，在該拋物線兩側(cè)距連橋處各有一窗戶，兩窗戶的水平距離為，如圖2，則此拋物線頂端到連橋距離為A． B． C． D．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用【分析】以所在的直線為軸，以線段的垂直平分線所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，則可知頂點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得此拋物線頂端到連橋距離．【解答】解：以所在的直線為軸，以線段的垂直平分線所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系：，，，設(shè)拋物線的解析式為，將代入，得：，解得：，，拋物線頂端的坐標(biāo)為，此拋物線頂端到連橋距離為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合、熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共10小題）3．（2020?賀州）某學(xué)生在一平地上推鉛球，鉛球出手時(shí)離地面的高度為米，出手后鉛球在空中運(yùn)動(dòng)的高度（米與水平距離（米之間的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)鉛球運(yùn)行至與出手高度相等時(shí)，與出手點(diǎn)水平距離為8米，則該學(xué)生推鉛球的成績(jī)?yōu)?0米．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，再令，得關(guān)于的一元二次方程，求得方程的解并作出取舍即可．【解答】解：設(shè)鉛球出手點(diǎn)為點(diǎn)，當(dāng)鉛球運(yùn)行至與出手高度相等時(shí)為點(diǎn)，根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：由題意可知，點(diǎn)，點(diǎn)，代入，得：，解得．，當(dāng)時(shí)，，解得，（不符合題意，舍去）．該學(xué)生推鉛球的成績(jī)?yōu)椋蚀鸢笧椋?0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（2021?二道區(qū)校級(jí)一模）如圖是某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)，與水平橋面相交于、兩點(diǎn)，拱橋最高點(diǎn)到的距離為，，，為拱橋底部的兩點(diǎn)，且，若的長(zhǎng)為，則點(diǎn)到直線的距離為．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，在軸上，軸經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為，，用含的式子表示出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入拋物線解析式，得方程組，解得和的值，則的值即為所求的答案．【解答】解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，在軸上，軸經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)，設(shè)與軸交于點(diǎn)，，，，設(shè)拋物線的解析式為，，，設(shè)，則，拱橋最高點(diǎn)到的距離為，，將點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式得：，解得：，點(diǎn)到直線的距離為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，正確建立平面直角坐標(biāo)系，從而求得拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．5．（2020秋?瑞安市期末）如圖1是某校園運(yùn)動(dòng)場(chǎng)主席臺(tái)及遮陽(yáng)棚，其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示．主席臺(tái)（矩形高米，直桿米，斜拉桿，起穩(wěn)固作用，點(diǎn)處裝有一射燈．遮陽(yáng)棚邊緣曲線可近似看成拋物線的一部分，為拋物線的最高點(diǎn)且位于主席臺(tái)邊緣的正上方，若點(diǎn)，，在同一直線上，且米，米，，則射燈離地面的高度為4.5米．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用【分析】以所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，求得點(diǎn)，，，，，的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求得拋物線和直線的解析式，將兩者聯(lián)立，解得點(diǎn)的坐標(biāo)，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為所求．【解答】解：如圖所示，以所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，米，米，米，，，，又，米，，（米，（米，（米，，，，，，，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)代入，得：，解得，拋物線的解析式為，設(shè)直線的解析式為，將，，代入，得：，解得，直線的解析式為，聯(lián)立，解得，或（舍去），，，射燈離地面的高度為4.5米．故答案為：4.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系、熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．6．（2021?長(zhǎng)春模擬）為了在校運(yùn)會(huì)中取得更好的成績(jī)，小丁積極訓(xùn)練，在某次試投中鉛球所經(jīng)過(guò)的路線是如圖所示的拋物線的一部分．已知鉛球出手處距離地面的高度是1.68米，當(dāng)鉛球運(yùn)行的水平距離為2米時(shí)，達(dá)到最大高度2米的處，則小丁此次投擲的成績(jī)是7米．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用【分析】建立坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的解析式為，由待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，令，得關(guān)于的一元二次方程，求得方程的解并根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義作出取舍即可．【解答】解：建立坐標(biāo)系，如圖所示：由題意得：，，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為，把代入得：，解得，，令，得，解得，（舍，小丁此次投擲的成績(jī)是7米．故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，正確建立平面直角坐標(biāo)系、熟練掌握待定系數(shù)法及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．（2020秋?路南區(qū)期末）一位籃球運(yùn)動(dòng)員在距離籃圈中心水平距離處起跳投籃，球沿一條拋物線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)球運(yùn)動(dòng)的水平距離為時(shí)，達(dá)到最大高度，然后準(zhǔn)確落入籃框內(nèi)．已知籃圈中心距離地面高度為，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，則此拋物線的解析式為．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用【分析】由題意，先求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)其解析式為；由圖象得出籃圈中心的坐標(biāo)，代入拋物線解析式，求得的值，則問(wèn)題得解．【解答】解：當(dāng)球運(yùn)動(dòng)的水平距離為時(shí)，達(dá)到最大高度，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)此拋物線的解析式為，由圖象可知，籃圈中心與軸的距離為：，且籃圈中心距離地面高度為，籃圈中心的坐標(biāo)為，代入，得：，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．8．（2020秋?江都區(qū)期末）道路的隔離欄通常會(huì)涂上醒目的顏色，呈拋物線形狀（如圖，圖2是一個(gè)長(zhǎng)為2米，寬為1米的矩形隔離欄，中間被4根欄桿五等分，每根欄桿的下面一部分涂上醒目的藍(lán)色，顏色的分界處（點(diǎn)，點(diǎn)以及點(diǎn)，點(diǎn)落在同一條拋物線上，若第1根欄桿涂色部分與第2根欄桿未涂色部分長(zhǎng)度相等，則的長(zhǎng)度是0.4米．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用【分析】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線解析式為：，先分別將點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求得的值并用表示，設(shè)，用含的式子分別表示出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，代入解析式，從而得出關(guān)于和的方程組，求解即可．【解答】解：設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：設(shè)拋物線解析式為：，將代入得：，，米，，，，，設(shè)，則，，將點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得：，解得：．米，故答案為：0.4米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，由實(shí)際問(wèn)題正確建立數(shù)學(xué)模型是解題的關(guān)鍵．9．（2020?鹿城區(qū)二模）圖1是一個(gè)高腳杯截面圖，杯體呈拋物線狀（杯體厚度不計(jì)），點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，當(dāng)高腳杯中裝滿液體時(shí)，液面，此時(shí)最大深度（液面到最低點(diǎn)的距離）為12，將高腳杯繞點(diǎn)緩緩傾斜倒出部分液體，當(dāng)時(shí)停止，此時(shí)液面為，則液面到平面的距離是；此時(shí)杯體內(nèi)液體的最大深度為．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用【分析】以為原點(diǎn)，直線為軸，直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由待定系數(shù)法求得拋物線的解析式；將高腳杯繞點(diǎn)傾斜后，仍以為原點(diǎn)，直線為軸，直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，分別用待定系數(shù)法求得直線的解析式和直線的解析式，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，用三角函數(shù)求得液面到平面的距離；過(guò)拋物線最低點(diǎn)作，再將的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立，得出關(guān)于的一元二次方程，由判別式求得，最后用三角函數(shù)求得答案．【解答】解：以為原點(diǎn)，直線為軸，直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：由題意得：，，，，，，設(shè)拋物線的解析式為：，將，代入得：，解得：，．將高腳杯繞點(diǎn)傾斜后，仍以為原點(diǎn)，直線為軸，直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：由題意得：，，，，，，，，，，由題可知，直線與軸的夾角為，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且，設(shè)直線的解析式為：，將，代入，解得，，又，，設(shè)直線的解析式為，將，代入，解得，，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，．過(guò)拋物線最低點(diǎn)作，為于的交點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，由得：，只有一個(gè)交點(diǎn)，△，，，．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握待定系數(shù)法、二次函數(shù)及解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．10．如圖是我省某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)，與水平橋面相交于、兩點(diǎn)，拱橋最高點(diǎn)到的距離為，，、為拱橋底部的兩點(diǎn)，且，點(diǎn)到直線的距離為，則的長(zhǎng)為48．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，軸在直線上，軸經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)，設(shè)與軸交于，求出的長(zhǎng)，然后設(shè)該拋物線的解析式為：，根據(jù)題干條件求出和的值，再令，求出的值，即可求出和點(diǎn)的坐標(biāo)，的長(zhǎng)度即可求出．【解答】解：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，軸在直線上，軸經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)．設(shè)與軸交于點(diǎn)，，，由題可知：，，，、．設(shè)該拋物線的解析式為：，將代入得：，，拋物線：，當(dāng)時(shí)，即：，，，，，，故答案為：48．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是正確地建立平面直角坐標(biāo)系，此題難度一般，是一道非常好的試題．11．（2020秋?興城市期末）某廣場(chǎng)有一噴水池，水從地面噴出，如圖，以水平地面為軸，出水點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，水在空中劃出的曲線是拋物線（單位：米）的一部分，則水噴出的最大高度是2米．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用【分析】水噴出的最大高度就是水在空中劃出的拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，將寫(xiě)成頂點(diǎn)式即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得答案．【解答】解：由題意可知，水噴出的最大高度就是水在空中劃出的拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，水噴出的最大高度是2米．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，將實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)模型聯(lián)系起來(lái)是解題的關(guān)鍵．12．（2020秋?甘南縣期末）在拋物線形拱橋中，以拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為軸，頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，拋物線解析式為，水面寬，與軸交于點(diǎn)，，當(dāng)水面上升時(shí)，水面寬為．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用【分析】根據(jù)題意可得點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式，解得的值，從而可得拋物線的解析式；當(dāng)水面上升時(shí)，即縱坐標(biāo)時(shí)，從而可得關(guān)于的方程，解得的值，則可求得答案．【解答】解：，，點(diǎn)坐標(biāo)為，將代入得：，，．當(dāng)水面上升時(shí)，即縱坐標(biāo)時(shí)，有：，，，．水面寬為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共12小題）13．（2021秋?沭陽(yáng)縣校級(jí)月考）如圖，在單位長(zhǎng)度為1的正方形網(wǎng)格中建立一直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過(guò)網(wǎng)格點(diǎn)、、，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格圖中進(jìn)行下列操作（以下結(jié)果保留根號(hào)）（1）利用網(wǎng)格找出該圓弧所在圓的圓心點(diǎn)的位置，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）連接、，若扇形是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，則該圓錐底面半徑為；（3）連接，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，求線段掃過(guò)的面積．【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面、體；圓錐的計(jì)算；坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)；垂徑定理【分析】（1）線段與的垂直平分線的交點(diǎn)為；（2）連接，先判斷，則可求的弧長(zhǎng)，該弧長(zhǎng)即為圓錐底面圓的周長(zhǎng)，由此可求底面圓的半徑；（3）設(shè)的中點(diǎn)為，線段的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心、分別為半徑的圓環(huán)面積．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)作軸垂線，過(guò)點(diǎn)作與垂直的線，兩線的交點(diǎn)即為點(diǎn)坐標(biāo)，，故答案為：；（2）連接，，，，，，，，，的長(zhǎng)，扇形是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，，，故答案為：；（3）設(shè)的中點(diǎn)為，，，，線段掃過(guò)的面積是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐的展開(kāi)圖，垂徑定理，能夠由三點(diǎn)確定圓的圓心位置，理解圓錐展開(kāi)圖與圓錐各部位的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14．（2021秋?薌城區(qū)校級(jí)期中）【初步探究】（1）如圖1，在四邊形中，，是邊上一點(diǎn)，，，連接、．請(qǐng)判斷的形狀，并說(shuō)明理由．【問(wèn)題解決】（2）若設(shè)，，．試?yán)脠D1驗(yàn)證勾股定理．【拓展應(yīng)用】（3）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，若為等腰直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】四邊形綜合題【分析】（1）證明，由全等三角形的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)四邊形的面積的兩種不同表示方式，即可得到．（3）分、、，三種情況求解即可．【解答】解：（1）是等腰直角三角形，證明：在和中，，，，，在中，，，，，，是等腰直角三角形；（2）由（1）可知是等腰直角三角形，，，，、、在同一條直線上，且，四邊形是直角梯形，，又，，即．（3）如圖，當(dāng)，時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，點(diǎn)坐標(biāo)為，如圖，當(dāng)，時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，，，，，，，，，，，，點(diǎn)坐標(biāo)為，如圖，當(dāng)，時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，點(diǎn)坐標(biāo)，，綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為：、、，．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題目，考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、尺規(guī)作圖以及分類(lèi)討論等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．15．（2021秋?孝南區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，且滿足．（1）求出，兩點(diǎn)坐標(biāo)；（2）連接，以線段為直角邊，在右側(cè)作等腰直角三角形，點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，連接，求的面積；（3）點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，若、各自同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)沿軸正半軸、軸正半軸運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度是每秒1個(gè)單位，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度每秒2個(gè)單位；請(qǐng)求出多少秒時(shí)的面積正好是（2）中的面積的．【考點(diǎn)】三角形綜合題【分析】（1）由題意得出，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出，的值即可得出答案；（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)三角形的面積公式可得出答案；（3）設(shè)經(jīng)過(guò)秒時(shí)的面積正好是（2）中的面積的，由題意得，，根據(jù)三角形面積公式可列出方程求出的值．【解答】解：（1），，，，，，，；（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，，，，，，，；（3）設(shè)經(jīng)過(guò)秒時(shí)的面積正好是（2）中的面積的，由題意得，，，，（負(fù)值舍去），秒時(shí)的面積正好是（2）中的面積的．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．16．（2021秋?荔城區(qū)校級(jí)期中）等腰中，，點(diǎn)、點(diǎn)分別是軸、軸兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直角邊交軸于點(diǎn)，斜邊交軸于點(diǎn)．（1）如圖（1），若，，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖（2），當(dāng)?shù)妊\(yùn)動(dòng)到使點(diǎn)恰為中點(diǎn)時(shí)，連接，求證：；（3）如圖（3），在等腰不斷運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若滿足始終是的平分線，試探究：線段、、三者之間是否存在確定的數(shù)量關(guān)系？若有，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】三角形綜合題【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，，求得的值，就可以求出的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，先證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，，再證明就可以得出結(jié)論；（3）在上截取，連接，由對(duì)稱(chēng)性得，，可證，再證明就可以得出結(jié)論．【解答】（1）解：過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，．是等腰直角三角形，，，，，．在和中，，，，，，；（2）證明：過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，，．，．，，，．在和中，，，，，，，在和中，，，，，即；（3）解：結(jié)論：．理由如下：在上截取，連接，由對(duì)稱(chēng)性得，．，，是的平分線，，，在和中，，，，，，．．在和中，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形的全等是關(guān)鍵．17．（2021秋?瑞安市月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．（1）求證：．（2）點(diǎn)在線段上，作交于點(diǎn)，連結(jié)．①若是的中點(diǎn)，求的面積．②連結(jié)，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】三角形綜合題【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)可證出；（2）①證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，由勾股定理求出，求出的長(zhǎng)，由三角形面積公式可得出答案；②分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由三角形的面積和勾股定理可求出答案．【解答】（1）證明：，，，，，，，，，在和中，，；（2）①解：，即，，，由（1）可知，，，，，，，，；②解：當(dāng)時(shí)，，，，，平分，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則，，，．當(dāng)時(shí)，則．，，，，．綜合以上可得的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2021秋?諸暨市期中）【了解概念】在凸四邊形中（內(nèi)角度數(shù)都小于，若一邊與它的兩條鄰邊組成的兩個(gè)內(nèi)角相等，則稱(chēng)該四邊形為鄰等四邊形，這條邊叫做這個(gè)四邊形的鄰等邊．【理解應(yīng)用】（1）鄰等四邊形中，，，則的度數(shù)130；（2）如圖，四邊形為鄰等四邊形，為鄰等邊，且，求證：；【拓展提升】（3）在平面直角坐標(biāo)系中，為鄰等四邊形的鄰等邊，且邊與軸重合，已知，，，若在邊上使的點(diǎn)有且只有1個(gè)，求的值．【考點(diǎn)】相似形綜合題【分析】（1）分三種情況考慮：①由為鄰等邊，②由為鄰等邊，③由為鄰等邊，根據(jù)鄰等四邊形的定義即可求解；（2）根據(jù)相似三角形的判定解答即可；（3）分兩種情況：①若點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，如圖1，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，由為鄰等邊，則有，可證，可得，設(shè)點(diǎn)，由三角函數(shù)可求，可求、橫坐標(biāo)之差為2，，將，，，，代入得：，由于在邊上使的點(diǎn)有且只有1個(gè)，即上述方程有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，運(yùn)用根的判別式即可求得答案；②若點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，如圖2，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)，可得，同①方法即可求得答案．【解答】解：（1）①若為鄰等邊，則，不為凸四邊形，所以舍去；②若為鄰等邊，則，（舍；③若為鄰等邊，則，，．故答案為：130；（2）證明：四邊形為鄰等四邊形，為鄰等邊，，，，，，，；（3）①若點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，如圖1，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，為鄰等邊，，，，，，，，，設(shè)點(diǎn)，，，，，，，，，，由（2）知，，，，，，，，，，，，在邊上使的點(diǎn)有且只有1個(gè)，即上述方程有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，△，，點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，；②若點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，如圖2，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，，，，，，，，，由①得：，，，，，，，，，在邊上使的點(diǎn)有且只有1個(gè)，即上述方程有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，△，，點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，；綜上所述，．【點(diǎn)評(píng)】本題是相似綜合題，考查新定義圖形，仔細(xì)閱讀題目，抓住定義中的性質(zhì)，會(huì)驗(yàn)證新定義圖形，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，一元二次方程根的判別式，利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)造關(guān)于的一元二次方程是解題關(guān)鍵．19．（2021秋?吉安期中）畫(huà)出關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的圖形△，求：（1）△三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）△的面積．（3）在軸上畫(huà)出點(diǎn)，值最小（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．【考點(diǎn)】軸對(duì)稱(chēng)最短路線問(wèn)題；作圖軸對(duì)稱(chēng)變換【分析】（1）寫(xiě)出點(diǎn)、、關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、、的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可；（2）根據(jù)網(wǎng)格即可求出△的面積；（3）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時(shí)最?。窘獯稹拷猓海?）如圖所示：（2）△的面積；（3）如圖所示，點(diǎn)即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖軸對(duì)稱(chēng)變換：在畫(huà)一個(gè)圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖形時(shí)，也是先從確定一些特殊的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)開(kāi)始的，一般的方法是：由已知點(diǎn)出發(fā)向所給直線作垂線，并確定垂足；直線的另一側(cè)，以垂足為一端點(diǎn)，作一條線段使之等于已知點(diǎn)和垂足之間的線段的長(zhǎng)，得到線段的另一端點(diǎn)，即為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；連接這些對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，就得到原圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖形．20．（2021?杭州模擬）如圖所示，某河面上有一座拋物線形拱橋，橋下水面在正常水位時(shí)，寬為，若水位上升，水面就會(huì)達(dá)到警戒線，這時(shí)水面寬為．（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系并求出拋物線的解析式；（2）若洪水到來(lái)時(shí)，水位以每小時(shí)的速度上升，從警戒線開(kāi)始，再持續(xù)多少小時(shí)就能到達(dá)拱橋的拱頂？【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用【分析】（1）以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)題意可得點(diǎn)、的橫坐標(biāo)，設(shè)拋物線解析式為，然后可進(jìn)行求解；（2）由（1）可得距拱頂?shù)木嚯x，然后根據(jù)題意可直接進(jìn)行列式求解．【解答】解：（1）以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)拋物線解析式為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，由拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，可得：，解得：，拋物線的解析式為；（2）由（1）可得距拱頂?shù)木嚯x為，水位以每小時(shí)的速度上升，從警戒線開(kāi)始，到達(dá)拱頂?shù)臅r(shí)間為（小時(shí)）．從警戒線開(kāi)始，再持續(xù)5小時(shí)就能到達(dá)拱橋的拱頂．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，明確題意、熟練掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．21．（2020秋?肥西縣期末）某跳水運(yùn)動(dòng)員在進(jìn)行跳水訓(xùn)練時(shí)，身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動(dòng)路線是如圖所示的一條拋物線．已知跳板長(zhǎng)為2米，跳板距水面高為3米，訓(xùn)練時(shí)跳水曲線在離起跳點(diǎn)水平距離1米時(shí)達(dá)到距水面最大高度4米，現(xiàn)以為橫軸，為縱軸建立直角坐標(biāo)系．（1）求這條拋物線的解析式；（2）求運(yùn)動(dòng)員落水點(diǎn)與點(diǎn)的距離．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用【分析】（1）建立平面直角坐標(biāo)系，列出頂點(diǎn)式，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求得的值，則可求得拋物線的解析式；（2）令，得關(guān)于的方程，求得方程的解并根據(jù)題意作出取舍即可．【解答】解：（1）如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意可得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入得：，解得：，這條拋物線的解析式為；（2），令得：，解得：，，起跳點(diǎn)坐標(biāo)為，，不符合題意，，運(yùn)動(dòng)員落水點(diǎn)與點(diǎn)的距離為5米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．22．（2020秋?鄞州區(qū)期末）如圖1．游樂(lè)園要建造一個(gè)直徑為的圓形噴水池，計(jì)劃在噴水池周邊安裝