2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)系列 【新定義問題】方程與不等式中的新定義問題（原卷版）

方程與不等式中的新定義問題知識方法精講1．解新定義題型的方法：方法一:從定義知識的新情景問題入手這種題型它要求學(xué)生在新定義的條件下，對提出的說法作出判斷，主要考查學(xué)生閱讀理解能力，分析問題和解決問題的能力．因此在解這類型題時就必須先認真閱讀，正理解新定義的含義；再運用新定義解決問題；然后得出結(jié)論。方法二：從數(shù)學(xué)理論應(yīng)用探究問題入手對于涉及到數(shù)學(xué)理論的題目，要解決后面提出的新問題，必須仔細研究前面的問題解法．即前面解決問題過程中用到的知識在后面問題中很可能還會用到，因此在解決新問題時，認真閱讀，理解閱讀材料中所告知的相關(guān)問題和內(nèi)容，并注意這些新知識運用的方法步驟．方法三：從日常生活中的實際問題入手對于一些新定義問題，出題的方向通常借助生活問題，那么處理此類問題需要結(jié)合生活實際，再將問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)知識、或者將生活圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形，從而利用數(shù)學(xué)知識進行解答。2．解新定義題型的步驟：(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.一．選擇題（共6小題）1．（2021秋?渦陽縣期末）將關(guān)于的一元二次方程變形為，就可以將表示為關(guān)于的一次多項式，從而達到“降次”的目的，又如，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式．根據(jù)“降次法”，已知：，且，則的值為A． B． C． D．2．（2021?羅湖區(qū)校級模擬）對于實數(shù)和，定義一種新運算“”為：，這里等式右邊是實數(shù)運算．例如：．則方程的解是A． B． C． D．3．（2021秋?南皮縣校級月考）定義一種新運算：※，若5※，則的值為A． B．或 C． D．或4．（2021?福田區(qū)一模）對于實數(shù)，，定義一種新運算“”為：，這里等式右邊是通常的實數(shù)運算．例如：，則方程的解是A． B． C． D．5．定義：如果一元二次方程滿足，那么我們稱這個方程為“和諧”方程；如果一元二次方程滿足那么我們稱這個方程為“美好”方程，如果一個一元二次方程既是“和諧”方程又是“美好”方程，則下列結(jié)論正確的是A．方有兩個相等的實數(shù)根 B．方程有一根等于0 C．方程兩根之和等于0 D．方程兩根之積等于06．（2020秋?隨縣期末）規(guī)定一種新運算：，若，則的值為A． B．1 C．2 D．二．填空題（共5小題）7．（2021秋?建華區(qū)期末）對于非零的兩個有理數(shù)、，我們給出一種新的運算，規(guī)定：，若，則的值為．8．（2021秋?東莞市期末）新定義一種運算“☆”，規(guī)定☆．若2☆☆2，則的值為．9．（2020秋?福田區(qū)校級期末）對，定義一種新運算“※”，規(guī)定：※（其中，均為非零常數(shù)），若1※，1※．則2※1的值是．10．（2020春?思明區(qū)校級期末）新定義：對非負數(shù)“四舍五入”到個位的值記為．即當為非負整數(shù)時，若則．如，．給出下列關(guān)于的結(jié)論：①；②；③若，則的取值范圍是；④當，為非負整數(shù)時，有；其中正確的結(jié)論有（填寫所有正確的序號）．11．（2020秋?奉賢區(qū)期末）已知和兩個有理數(shù)，規(guī)定一種新運算“”為：（其中，若，則．三．解答題（共14小題）12．（2021秋?市中區(qū)期末）用“☆”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)和，規(guī)定☆．如：1☆．（1）☆；（2）若☆☆，求的值；（3）“作差法”是常見的比較代數(shù)式大小的一種方法，即要比較代數(shù)式、的大小，只要作出它們的差，若，則；若，則；若，則．若2☆，☆（其中為有理數(shù)），試比較，的大小．13．（2021秋?西城區(qū)期末）我們將數(shù)軸上點表示的數(shù)記為．對于數(shù)軸上不同的三個點，，，若有，其中為有理數(shù)，則稱點是點關(guān)于點的“星點”．已知在數(shù)軸上，原點為，點，點表示的數(shù)分別為，．（1）若點是點關(guān)于原點的“星點”，則；若點是點關(guān)于點的“2星點”，則；（2）若線段在數(shù)軸上沿正方向運動，每秒運動1個單位長度，取線段的中點．是否存在某一時刻，使得點是點關(guān)于點的“星點”？若存在，求出線段的運動時間；若不存在，請說明理由；（3）點在數(shù)軸上運動（點不與，兩點重合），作點關(guān)于點的“3星點”，記為，作點關(guān)于點的“3星點”，記為．當點運動時，是否存在最小值？若存在，求出最小值及相應(yīng)點的位置；若不存在，請說明理由．14．（2021秋?長沙期末）若關(guān)于的方程的解與關(guān)于的方程的解滿足，則稱方程與方程是“美好方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因為，方程與方程是“美好方程”．（1）請判斷方程與方程是不是“美好方程”，并說明理由；（2）若關(guān)于的方程與關(guān)于的方程是“美好方程”，請求出的值；（3）若無論取任何有理數(shù)，關(guān)于的方程，為常數(shù)）與關(guān)于的方程都是“美好方程”，求的值．15．（2021秋?慶陽期末）若規(guī)定這樣一種新運算法則：．如．（1）求的值；（2）若，求的值．16．（2021秋?任城區(qū)期末）用“※”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)和，規(guī)定※．例如：1※．（1）求※5的值；（2）若※，求的值．17．（2021秋?錦江區(qū)校級期末）小兵喜歡研究數(shù)學(xué)問題，在學(xué)習(xí)一元一次方程后，他給出一個新定義：若是關(guān)于的一元一次方程的解，是關(guān)于的方程的所有解的其中一個解，且，滿足，則稱關(guān)于的方程為關(guān)于的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，當時，，所以為一元一次方程的“友好方程”．（1）已知關(guān)于的方程：①，②，以上哪個方程是一元一次方程的“友好方程”？請直接寫出正確的序號是．（2）若關(guān)于的方程是關(guān)于的一元一次方程的“友好方程”，請求出的值．（3）如關(guān)于的方程是關(guān)于的一元一次方程的“友好方程”，請直接寫出的值．18．（2020?麗水模擬）新定義：如果一個矩形，它的周長和面積分別是另外一個矩形的周長和面積的一半，則這個矩形是另一個矩形的“減半”矩形．（1）已知矩形的長12、寬2，矩形的長4、寬3，試說明矩形是矩形的“減半”矩形．（2）矩形的長和寬分別為2，1時，它是否存在“減半”矩形？請作出判斷，并請說明理由．19．（2020秋?江北區(qū)期末）在平面直角坐標系中，已知點，，若在坐標軸上存在點，使得，則稱點為點，的“的和諧點”．例如坐標為時，，則稱為點，的“6的和諧點”．（1）若點為點，的“的和諧點”，且為等腰直角三角形，求的值；（2），的“10的和諧點”有幾個，請分別求出坐標；（3）直接指出，的“的和諧點”的個數(shù)情況和相應(yīng)的取值條件．20．（2020秋?九龍坡區(qū)期末）若在一個兩位正整數(shù)的個位數(shù)與十位數(shù)字之間添上數(shù)字6，組成一個新的三位數(shù)，我們稱這個三位數(shù)為的“至善數(shù)”，如13的“至善數(shù)”為163；若將一個兩位正整數(shù)加6后得到一個新數(shù)，我們稱這個新數(shù)為的“明德數(shù)”，如13的“明德數(shù)”為19．（1）38的“至善數(shù)”是，“明德數(shù)”是；若一個兩位正整數(shù)的“明德數(shù)”的各位數(shù)字之和是的“至善數(shù)”各位數(shù)字之和的一半，求出滿足條件的所有兩位正整數(shù)的值．21．（2020秋?鳳凰縣期末）閱讀下列材料，然后回答問題：對于實數(shù)、我們定義一種新運算，（其中、均為非零常數(shù)），等式右邊是通常的四則運算，由這種運算得到的數(shù)我們稱之為線性數(shù)，記為，其中、叫做線性數(shù)的一個數(shù)對，若實數(shù)、都取正整數(shù)，我們稱這樣的線性數(shù)為正格線性數(shù)，這時的、叫做正格線性數(shù)的正格數(shù)對．（1）若，則，，；（2）已知，，，若正格線性數(shù)（其中為整數(shù)），問是否有滿足這樣條件的正格數(shù)對？若有，請找出，若沒有，請說明理由．22．（2020秋?新賓縣期末）用“”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)和，規(guī)定．如：．（1）求的值；（2）若，求的值．23．（2020秋?中山區(qū)期末）當時，定義一種新運算：，例如：，，．（1）直接寫出；（2）若，，，求出的值．24．（2020春?萬州區(qū)期末）閱讀下列材料解答問題：新定義：對非負數(shù)“四舍五入”到個位的值記為，即：當為非負整數(shù)時，如果，則；反之，當為非負整數(shù)時，如果，則．例如：，，，，試解決下列問題：（1）①為圓周率）；②如果，則數(shù)的取值范圍為；求出滿足的的取