2025年中考數(shù)學思想方法復習系列 【新定義問題】函數(shù)中的新定義問題（解析版）

函數(shù)中的新定義問題知識方法精講1．一次函數(shù)的性質一次函數(shù)的性質：k＞0，y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；k＜0，y隨x的增大而減小，函數(shù)從左到右下降．由于y＝kx+b與y軸交于（0，b），當b＞0時，（0，b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當b＜0時，（0，b）在y軸的負半軸，直線與y軸交于負半軸．2．正比例函數(shù)的性質正比例函數(shù)的性質．3．一次函數(shù)圖象上點的坐標特征一次函數(shù)y＝kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）的圖象是一條直線．它與x軸的交點坐標是（﹣，0）；與y軸的交點坐標是（0，b）．直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關系式y(tǒng)＝kx+b．4．一次函數(shù)與一元一次不等式（1）一次函數(shù)與一元一次不等式的關系從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y＝kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構成的集合．（2）用畫函數(shù)圖象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）對應一次函數(shù)y＝kx+b，它與x軸交點為（﹣，0）．當k＞0時，不等式kx+b＞0的解為：x＞，不等式kx+b＜0的解為：x＜；當k＜0，不等式kx+b＞0的解為：x＜，不等式kx+b＜0的解為：x＞．5．一次函數(shù)綜合題（1）一次函數(shù)與幾何圖形的面積問題首先要根據(jù)題意畫出草圖，結合圖形分析其中的幾何圖形，再求出面積．（2）一次函數(shù)的優(yōu)化問題通常一次函數(shù)的最值問題首先由不等式找到x的取值范圍，進而利用一次函數(shù)的增減性在前面范圍內(nèi)的前提下求出最值．（3）用函數(shù)圖象解決實際問題從已知函數(shù)圖象中獲取信息，求出函數(shù)值、函數(shù)表達式，并解答相應的問題．6．二次函數(shù)的性質二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質：①當a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時，y隨x的增大而減??；x＞﹣時，y隨x的增大而增大；x＝﹣時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點．②當a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大；x＞﹣時，y隨x的增大而減?。粁＝﹣時，y取得最大值，即頂點是拋物線的最高點．③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．7．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小．當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；|a|還可以決定開口大小，|a|越大開口就越?。谝淮雾椣禂?shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置．當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左側；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右側．（簡稱：左同右異）③．常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點．拋物線與y軸交于（0，c）．④拋物線與x軸交點個數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．8．二次函數(shù)圖象上點的坐標特征二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點坐標是（﹣，）．①拋物線是關于對稱軸x＝﹣成軸對稱，所以拋物線上的點關于對稱軸對稱，且都滿足函數(shù)函數(shù)關系式．頂點是拋物線的最高點或最低點．②拋物線與y軸交點的縱坐標是函數(shù)解析中的c值．③拋物線與x軸的兩個交點關于對稱軸對稱，設兩個交點分別是（x1，0），（x2，0），則其對稱軸為x＝．9．二次函數(shù)圖象與幾何變換由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．10．二次函數(shù)的最值（1）當a＞0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側，y隨x的增大而增大，因為圖象有最低點，所以函數(shù)有最小值，當x＝時，y＝．（2）當a＜0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點，所以函數(shù)有最大值，當x＝時，y＝．（3）確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數(shù)時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．11．拋物線與x軸的交點求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關系．△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．（2）二次函數(shù)的交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點坐標（x1，0），（x2，0）．12．二次函數(shù)與不等式（組）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）與不等式的關系①函數(shù)值y與某個數(shù)值m之間的不等關系，一般要轉化成關于x的不等式，解不等式求得自變量x的取值范圍．②利用兩個函數(shù)圖象在直角坐標系中的上下位置關系求自變量的取值范圍，可作圖利用交點直觀求解，也可把兩個函數(shù)解析式列成不等式求解．13．二次函數(shù)綜合題（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結合問題解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關系式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項．（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應用將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關鍵是善于將函數(shù)問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．（3）二次函數(shù)在實際生活中的應用題從實際問題中分析變量之間的關系，建立二次函數(shù)模型．關鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實際問題有意義．14．解新定義題型的方法：方法一:從定義知識的新情景問題入手這種題型它要求學生在新定義的條件下，對提出的說法作出判斷，主要考查學生閱讀理解能力，分析問題和解決問題的能力．因此在解這類型題時就必須先認真閱讀，正理解新定義的含義；再運用新定義解決問題；然后得出結論。方法二：從數(shù)學理論應用探究問題入手對于涉及到數(shù)學理論的題目，要解決后面提出的新問題，必須仔細研究前面的問題解法．即前面解決問題過程中用到的知識在后面問題中很可能還會用到，因此在解決新問題時，認真閱讀，理解閱讀材料中所告知的相關問題和內(nèi)容，并注意這些新知識運用的方法步驟．方法三：從日常生活中的實際問題入手對于一些新定義問題，出題的方向通常借助生活問題，那么處理此類問題需要結合生活實際，再將問題轉化成數(shù)學知識、或者將生活圖形轉化為數(shù)學圖形，從而利用數(shù)學知識進行解答。15．解新定義題型的步驟：(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結論.(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.一．選擇題（共3小題）1．（2021秋?黔西南州期中）若將拋物線平移，有一個點既在平移前的拋物線上，又在平移后的拋物線上，則稱這個點為“平衡點”．現(xiàn)將拋物線向右平移個單位長度后得到新的拋物線，若為“平衡點”，則的值為A．2 B．1 C．4 D．3【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；二次函數(shù)圖象與幾何變換【分析】將代入平移前拋物線解析式求得的值；然后將代入平移后拋物線解析式求得的值．【解答】解：根據(jù)題意，將代入拋物線，得到：，所以“平衡點”為．將拋物線向右平移個單位得到新拋物線．將代入新拋物線，得．解得．故選：．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及待定系數(shù)法確定函數(shù)關系式，解題的關鍵是理解“平衡點”的含義．2．（2021?河南模擬）新定義：，，為二次函數(shù)，，，為實數(shù)）的“圖象數(shù)”，如：的“圖象數(shù)”為，，，若“圖象數(shù)”是，，的二次函數(shù)的圖象與軸只有一個交點，則的值為A． B． C．或2 D．2【考點】拋物線與軸的交點【分析】根據(jù)新定義得到二次函數(shù)的解析式為，然后根據(jù)判別式的意義得到△，從而解的方程即可．【解答】解：二次函數(shù)的解析式為，根據(jù)題意得△，解得，，故選：．【點評】本題考查了拋物線與軸的交點：把求二次函數(shù)，，是常數(shù)，與軸的交點坐標問題轉化為解關于的一元二次方程．3．（2020秋?鼓樓區(qū)校級月考）定義：在平面直角坐標系中，過一點分別作坐標軸的垂線，這兩條垂線與坐標軸圍成一個矩形，若矩形的周長值與面積值相等，則點叫做和諧點，所圍成的矩形叫做和諧矩形．已知點是拋物線上的和諧點，所圍成的和諧矩形的面積為16，則的值可以是A．16 B．4 C． D．【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；拋物線與軸的交點；矩形的性質【分析】根據(jù)和諧點的定義與二次函數(shù)的性質列出，的方程，求解，即可．【解答】解：點是拋物線上的點，，，點是和諧點，對應的和諧矩形的面積為16，，，，當時，；當時，；故選：．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象特征和矩形的性質，準確理解計算是解題的關鍵．二．填空題（共2小題）4．（2021?南潯區(qū)二模）對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)，對于任意的函數(shù)值，都滿足，則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值．例如，如圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1．將函數(shù)的圖象向上平移個單位，得到的函數(shù)的邊界值滿足時，則的取值范圍是或．【考點】二次函數(shù)的性質；二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次函數(shù)的最值【分析】根據(jù)題干定義可得函數(shù)最大值或函數(shù)最小值，由可得函數(shù)最大值為可得，進而可得函數(shù)最小值為直線與拋物線交點縱坐標，進而求解．【解答】解：由題干可得函數(shù)在時，函數(shù)最大值或最小值為，，，拋物線開口向下，頂點坐標為，為函數(shù)最大值，當時，，，當時，直線與直線與拋物線交點關于對稱軸對稱，時，直線與拋物線交點為最低點，把代入得，當時，，，當時，，當時，，或滿足題意．故答案為：或．【點評】本題考查二次函數(shù)新定義問題，解題關鍵是理解題意，掌握求二次函數(shù)最值的方法．5．（2021?邗江區(qū)二模）定義：在平面直角坐標系中，為坐標原點，設點的坐標為，當時，點的變換點的坐標為；當時，點的變換點的坐標為．拋物線與軸交于點，（點在點的左側），頂點為，點在該拋物線上．若點的變換點在拋物線的對稱軸上，且四邊形是菱形，則滿足該條件所有值的和為．【考點】二次函數(shù)的性質；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；拋物線與軸的交點；菱形的性質；關于軸、軸對稱的點的坐標【分析】利用菱形的性質，可知，關于軸對稱，分兩種情形分別構建方程即可解決問題．【解答】解：四邊形是菱形，點與點關于軸對稱．點的坐標為，點的坐標為．當點在軸左側時，點的坐標為．代入，得．．當點在軸右側時，點的坐標為．代入，得．，．綜上所述，的值是，，．故答案為：．【點評】本題考查拋物線與軸的交點，二次函數(shù)的性質，菱形的性質等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)，構建方程解決問題．三．解答題（共17小題）6．（2021秋?東城區(qū)期末）在平面直角坐標系中．的半徑為1，對于直線和線段，給出如下定義：若將線段關于直線對稱，可以得到的弦，分別為，的對應點），則稱線段是的關于直線對稱的“關聯(lián)線段”．例如：在圖1中，線段是的關于直線對稱的“關聯(lián)線段”．（1）如圖2，點，，，，，的橫、縱坐標都是整數(shù)．①在線段，，中，的關于直線對稱的“關聯(lián)線段”是；②若線段，，中，存在的關于直線對稱的“關聯(lián)線段”，則；（2）已知直線交軸于點，在中，，．若線段是的關于直線對稱的“關聯(lián)線段”，直接寫出的最大值和最小值，以及相應的長．【考點】圓的綜合題【分析】（1）①分別畫出線段，，關于直線對稱線段，如圖，即可求解；②從圖象性質可知，直線與軸的夾角為，而線段直線，線段關于直線對稱線段還在直線上，顯然不可能是的弦；線段，的最長的弦為2，得線段的對稱線段不可能是的弦，而線段直線，線段，線段的對稱線段線段線段，且線段，平移這條線段，使其在上，有兩種可能，畫出對應圖形即可求解；（2）先表示出，最大時就是最大，最小時就是長最小，根據(jù)線段關于直線對稱線段在上，得，再由三角形三邊關系得，得當為時，如圖3，最小，此時點坐標為；當為時，如圖3，最大，此時點坐標為，分兩種情形分別求解．【解答】解：（1）①分別畫出線段，，關于直線對稱線段，如圖，發(fā)現(xiàn)線段的對稱線段是的弦，線段，，中，的關于直線對稱的“關聯(lián)線段”是，故答案為：；②從圖象性質可知，直線與軸的夾角為，線段直線，線段關于直線對稱線段還在直線上，顯然不可能是的弦，線段，的最長的弦為2，線段的對稱線段不可能是的弦，線段是的關于直線對稱的“關聯(lián)線段”，而線段直線，線段，線段的對稱線段線段線段，且線段，平移這條線段，使其在上，有兩種可能，第一種情況：、的坐標分別為、，此時；第二種情況：、的坐標分別為、，此時，故答案為：3或2；（2）直線交軸于點，當時，，解得：，，最大時就是最大，最小時就是長最小，線段是的關于直線對稱的“關聯(lián)線段”，線段關于直線對稱線段在上，，在△中，，當為時，如圖3，最小，此時點坐標為，將點代入直線中，，解得：，過點作于點，，，，，，在△中，；當為時，如圖3，最大，此時點坐標為，將點代入直線中，，解得：，過點作于點，，，，，，在△中，，的最大值為，；最小值為，．【點評】本題考查了以圓為背景的閱讀理解題，勾股定理，三角形三邊關系，解決問題的關鍵是找出不同情境下的“關聯(lián)線段”和閱讀理解能力．7．（2021秋?長沙期末）我們不妨約定：在平面直角坐標系中，若某函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點關于直線為常數(shù)）對稱，則把該函數(shù)稱之為“函數(shù)”．（1）在下列關于的函數(shù)中，是“函數(shù)”的，請在相應題目后面的括號中打“”，不是“函數(shù)”的打“”．①②③（2）若關于的函數(shù)為常數(shù)）是“（2）函數(shù)”，與為常數(shù)，相交于，、，兩點，在的左邊，，求的值；（3）若關于的“函數(shù)”，為常數(shù)）經(jīng)過點，且，當時，函數(shù)的最大值為，最小值為，且，求的值．【考點】二次函數(shù)綜合題【分析】（1）①設關于對稱的點為，將點代入，求得，則可判斷；②設關于對稱的點為，將點代入，求得，則可判斷；③設關于對稱的點為，將點代入，求得，則可判斷；（2）由題意可求，與軸交于點，與軸交于點，作軸交于點，軸交于點，求出，再由由對稱性可知，，求出，設，則，求出十，，，可得，即可求，則；（3）先判斷“函數(shù)”為，分四種情況討論：①當時，，則；②當，即時，一，則；⑧當時，十，則（舍去）：④時，，則（舍去）．【解答】解；（1）①設關于對稱的點為，令，則，若，則，不是“函數(shù)”；②設關于對稱的點為，令，則，若，則或，是“函數(shù)”；③設關于對稱的點為，令，則，若，則有或，是“函數(shù)”；故答案為：，，；（2）一是“（2）”函數(shù)，，如圖，與軸交于點，與軸交于點，作軸交于點，軸交于點，，，，由對稱性可知，，，，，，設，則，十，，，，，，；（3）由題意得，解得，此“函數(shù)”為，①當時，時，，時，十，，；②當，即時，時，十，時，，一，；⑧當時，時，，時，十，十，（舍去）④時，時，，時，十，，（舍去），綜上所述：或．【點評】本題是函數(shù)的綜合題，理解新函數(shù)的定義，根據(jù)函數(shù)的特點畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結合，分類討論是解題的關鍵．8．（2021秋?寶安區(qū)期末）定義：我們把一次函數(shù)與正比例函數(shù)的交點稱為一次函數(shù)的“不動點”．例如求的“不動點”：聯(lián)立方程，解得，則的“不動點”為．（1）由定義可知，一次函數(shù)的“不動點”為；（2）若一次函數(shù)的“不動點”為，求、的值；（3）若直線與軸交于點，與軸交于點，且直線上沒有“不動點”，若點為軸上一個動點，使得，求滿足條件的點坐標．【考點】一次函數(shù)綜合題【分析】（1）根據(jù)題意，聯(lián)立，即可求解；（2）由定義可知一次函數(shù)的“不動點”為，再將點代入即可求的值；（3）由題意可知直線與直線平行，則有，在求出，，設，由，可得，即可點坐標．【解答】解：（1）聯(lián)立，解得，一次函數(shù)的“不動點”為，故答案為：；（2）一次函數(shù)的“不動點”為，，，“不動點”為，，解得；（3）直線上沒有“不動點”，直線與直線平行，，，，，設，，，，，，或，或．【點評】本題是一次函數(shù)的綜合題，理解定義，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質是解題的關鍵．9．（2021秋?昌平區(qū)期末）在平面直角坐標系中，對于點，，給出如下定義：若且，我們稱點是線段的“潛力點”．已知點，．（1）在，，，中是線段的“潛力點”是；（2）若點在直線上，且為線段的“潛力點”，求點橫坐標的取值范圍；（3）直線與軸交于點，與軸交于點，當線段上存在線段的“潛力點”時，直接寫出的取值范圍．【考點】一次函數(shù)綜合題【分析】（1）在坐標系中找到，，，三點，根據(jù)坐標系中兩點間的距離可直接得出結論；（2）經(jīng)過分析可知，點在以為圓心，1為半徑的圓外，且在線段垂直平分線的左側，且點在以為圓心，2為半徑的圓上或圓內(nèi)．畫出點的范圍，找到此范圍中符合題意的點，即可求解．（3）根據(jù)點的運動，可找到臨界狀態(tài)，畫出圖形，求出對應的的值即可．【解答】解：（1）在坐標系中找到，，，三點，如圖，根據(jù)“潛力點”的定義，可知是線段的潛力點．故答案為：；（2）點為線段的“潛力點”，且，，點在以為圓心，1為半徑的圓外．，點在線段垂直平分線的左側．，點在以為圓心，2為半徑的圓上或圓內(nèi)．又點在直線上，點在如圖所示的線段上（不包含點．由題意可知和是等腰三角形．（3）如圖①，當直線與半徑長為2的圓相切時，開始有“潛力點”，且點是“潛力點”；過點作，則，，，則；點繼續(xù)當下運動，如圖②，當點與點重合時，開始沒有“潛力點”，且點不是“潛力點”；此時；如圖③，當點與，重合時，開始有“潛力點”，且點不是“潛力點”；此時；如圖④，當線段過點時，開始沒有“潛力點”，且點不是“潛力點”；此時，，，．綜上所示，的取值范圍為：或．【點評】本題屬于一次函數(shù)綜合題，考查了解兩點間的距離，“潛力點”的定義等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．10．（2021秋?房山區(qū)期末）對某一個函數(shù)給出如下定義：如果存在實數(shù)，對于任意的函數(shù)值，都滿足，那么稱這個函數(shù)是有上界函數(shù)．在所有滿足條件的中，其最大值稱為這個函數(shù)的上確界．例如，圖中的函數(shù)是有上界函數(shù)，其上確界是2．（1）函數(shù)①和②中是有上界函數(shù)的為②（只填序號即可），其上確界為；（2）如果函數(shù)的上確界是，且這個函數(shù)的最小值不超過，求的取值范圍；（3）如果函數(shù)是以3為上確界的有上界函數(shù)，求實數(shù)的值．【考點】二次函數(shù)綜合題【分析】（1）分別求出兩個函數(shù)的最大值即可求解；（2）由題意可知：，再由，，，即可求的取值范圍；（3）當時，，可得（舍；當時，，可得（舍；當時，，可得；當時，，可得．【解答】解：（1）①，①無上確界；②，，②有上確界，且上確界為1，故答案為：②，1；（2），隨值的增大而減小，當時，，上確界是，，函數(shù)的最小值不超過，，，，，，的取值范圍為：；（3）的對稱軸為直線，當時，的最大值為，為上確界，，（舍；當時，的最大值為，為上確界，，（舍；當時，的最大值為，為上確界，，；當時，的最大值為，為上確界，，，綜上所述：的值為2.4．【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質，根據(jù)所給范圍分類討論求二次函數(shù)的最大值是解題的關鍵．11．（2021?海滄區(qū)模擬）已知拋物線與軸交于點，與軸交于點和（點在點左側），若是等腰三角形，則稱拋物線是“理想拋物線”．（1）判斷拋物線是否為“理想拋物線”，并說明理由；（2）已知經(jīng)過點的拋物線是“理想拋物線”．①若點，，是拋物線上另兩點，滿足當時，與的交點始終在拋物線的對稱軸上，且線段的垂直平分線恰好經(jīng)過點，求此拋物線的解析式；②是否存在整數(shù)使得，且？若存在，求出所有滿足條件的整數(shù)的值；若不存在，請說明理由．【考點】二次函數(shù)綜合題【分析】（1）根據(jù)“理想拋物線”的定義可直接判斷；（2）①要滿足是等腰三角形，則可能為底邊，也可能為腰；當為底邊時，當為腰時，分兩種情況討論；②是的高，且，開口向上，拋物線與軸有兩個交點，所以，所以，用極端假設法可知，，時，，必然有，則，且，所以，要使，則必然小于1，且不為0，所以不存在符合要求的整數(shù)．【解答】解：（1）是，理由如下：拋物線的對稱軸為直線：，該拋物線是關于軸對稱，則點、關于軸對稱，垂直平分，為等腰三角形，是為“理想拋物線”；（2）①要滿足是等腰三角形，則可能為底邊，也可能為腰；當為底邊時，，點、關于軸對稱，此時，，當時，，，，，的垂直平分線恰好經(jīng)過點，，又是等腰三角形，，是等邊三角形；又，，；拋物線的交點式為：，把點坐標代入，可得，此時拋物線的解析式為：；當為腰時，，仍滿足，，，，，，必有點在點上方，則，對稱軸直線，，，，，，又，得，；此時拋物線的解析式為：；②不存在，理由如下：是的高，且，開口向上，拋物線與軸有兩個交點，，，用極端假設法可知，，時，，必然有，則，且，，要使，則必然小于1，且不為0，不存在符合要求的整數(shù)．【點評】本題考查二次函數(shù)背景下新定義問題，涉及二次函數(shù)上點的坐標特征，等腰三角形的性質等知識，關鍵是理解“理想拋物線”的定義．12．（2021?龍巖模擬）對于平面直角坐標系中第一象限內(nèi)的點和圖形，給出如下定義：過點作軸和軸的垂線，垂足分別為，，若圖形中的任意一點滿足且，則稱四邊形是圖形的一個覆蓋，點為這個覆蓋的一個特征點．例：若，，則點為線段的一個覆蓋的特征點．已知，，，求解下列問題：（1）在，，中，是的覆蓋特征點的有，；（2）若在一次函數(shù)的圖象上存在的覆蓋的特征點，求的取值范圍．【考點】一次函數(shù)與一元一次不等式【分析】（1）由定義，，是的覆蓋特征；（2）當時，符合題意；當時，當且時，為的覆蓋特征點，當直線過點時，求出是的臨界值；則可求的取值范圍為且．【解答】解：（1）由定義可知，，是的覆蓋特征，故答案為：，；（2）①當時，符合題意；②當時，當且時，為的覆蓋特征點，點在一次函數(shù)上，當直線過點時，，，，綜上所述：且．【點評】本題考查新定義，理解題意，根據(jù)所給條件，確定是的覆蓋特征點的特征是解題的關鍵．13．（2021秋?拱墅區(qū)月考）對某一個函數(shù)給出如下定義：對于函數(shù)，若當，函數(shù)值滿足，且滿足，則稱此函數(shù)為“系和諧函數(shù)”．（1）已知正比例函數(shù)為“系和諧函數(shù)”，請求出的值；（2）若一次函數(shù)為“3系和諧函數(shù)”，求的值；（3）已知二次函數(shù)，當時，是“系和諧函數(shù)”，求的取值范圍．【考點】正比例函數(shù)的性質；一次函數(shù)的性質；二次函數(shù)的性質【分析】（1）由題意可得，求出的值即可；（2）分兩種情況求：當時，；當時，；分別求出即可；（3）當時，，當時，，當時，，分四種情況討論：①當時，，求出；②當時，，求出；③當時，，求出；④當時，，求出；綜上所述可得．【解答】解：（1），，，；（2），當時，，，；當時，，，；綜上所述：；（3），當時，，當時，，當時，，①當時，，，，；②當時，，，，；③當時，，，，；④當時，，，，；綜上所述：．【點評】本題考查函數(shù)的新定義，能夠理解新定義，并將定義應用到一次函數(shù)、二次函數(shù)中，結合函數(shù)的圖象及性質進行解題是關鍵．14．（2021秋?西平縣期中）二次函數(shù)的圖象交軸于原點及點．【感知特例】（1）當時，如圖1，拋物線上的點，，，，分別關于點中心對稱的點為，’，，，，如表：2，①補全表格；②在圖1中描出表中對稱后的點，再用平滑的曲線依次連接各點，得到的圖象記為．【形成概念】我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖象上的點和拋物線上的點關于點中心對稱，則稱是的“孔像拋物線”．例如，當時，圖2中的拋物線是拋物線的“孔像拋物線”．【探究問題】（2）①當時，若拋物線與它的“孔像拋物線”的函數(shù)值都隨著的增大而減小，則的取值范圍為；②在同一平面直角坐標系中，當取不同值時，通過畫圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函數(shù)的所有“孔像拋物線”都有唯一交點，這條拋物線的解析式可能是（填“”或“”或“”或“”，其中；③若二次函數(shù)及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個交點，求的值．【考點】二次函數(shù)綜合題【分析】（1）①利用中心對稱的特點即可求出點的對稱點；②在平面直角坐標系中描出各點，用平滑的曲線依次連接各點即可；（2）①利用配方法求出拋物線的頂點與對稱軸，利用點的坐標和對稱性求出“孔像拋物線”的頂點與對稱軸，進而“孔像拋物線”解析式，利用二次函數(shù)的性質即可得出結論；②利用（2）①的結論，設這條拋物線的解析式為，令，利用這條拋物線與拋物線的所有“孔像拋物線”都有唯一交點，得到△．由題意可知：△的取值與無關，由此得到方程組，解方程組即可得出結論；③由題意得：．利用二次函數(shù)及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個交點，可得直線必經(jīng)過這兩條拋物線中的一條的頂點，利用分類討論的思想方法，令分別經(jīng)過和的頂點，從而得到關于的方程，解方程即可求得結論．【解答】解：（1）①點是對稱中心，點關于點的對稱點就是點本身，．故答案為：2；0；②在坐標系內(nèi)描出各點，用平滑的曲線依次連接各點，得到的圖象記為如下圖：（2）①當時，拋物線的解析式為：，，拋物線開口向上，當時，函數(shù)值隨著的增大而減小，，拋物線的對稱軸為直線，頂點為，拋物線的“孔像拋物線”的對稱軸為直線，頂點為，拋物線的“孔像拋物線”的解析式為：．，拋物線的開口向下，當時，函數(shù)值隨著的增大而減小，當時，拋物線與它的“孔像拋物線”的函數(shù)值都隨著的增大而減小，故答案為：．②，拋物線的頂點坐標為，對稱軸為直線，，拋物線的“孔像拋物線”的對稱軸為直線，頂點為，拋物線的“孔像拋物線”的解析式為：，設這條拋物線的解析式為，令，整理得：．這條拋物線與拋物線的所有“孔像拋物線”都有唯一交點，△．展開得：．．當取不同值時，通過畫圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函數(shù)的所有“孔像拋物線”都有唯一交點，△的取值與無關，，解得：．．這條拋物線的解析式可能是，故答案為：，③，拋物線的頂點坐標為，對稱軸為直線，，拋物線的“孔像拋物線”的對稱軸為直線，頂點為，拋物線的“孔像拋物線”的解析式為：，由題意得：．直線是縱坐標為且與軸平行的直線，二次函數(shù)及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個交點，直線必經(jīng)過這兩條拋物線中的一條的頂點，當直線經(jīng)過時，，或（舍去）．當直線經(jīng)過時，，或（舍去）．綜上，的值為：．【點評】本題是一道二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象的性質，配方法求拋物線的頂點坐標，關于中心對稱的點的特征，拋物線上點的坐標的特征，拋物線與軸的交點，本題是閱讀型題目，理解題干中的新定義并熟練應用是解題的關鍵．15．（2021秋?大同期中）請閱讀下列材料，并完成相應的任務：定義：我們把自變量為的二次函數(shù)與稱為一對“親密函數(shù)”，如的“親密函數(shù)”是．任務：（1）寫出二次函數(shù)的“親密函數(shù)”：；（2）二次函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標為1和，它的“親密函數(shù)”的圖象與軸交點的橫坐標為，猜想二次函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標與其“親密函數(shù)”的圖象與軸交點的橫坐標之間的關系是；（3）二次函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標為1和，請利用（2）中的結論直接寫出二次函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標．【考點】拋物線與軸的交點；二次函數(shù)與不等式（組【分析】（1）根據(jù)題意得親密函數(shù)一次項系數(shù)為相反數(shù)，進而求解．（2）根據(jù)函數(shù)與其親密函數(shù)的解析式可得兩拋物線關于軸對稱，進而求解．（3）由的圖象與軸交點的橫坐標為1和可得與軸交點橫坐標為和2021，將化為求解．【解答】解：（1）由題意得，故答案為：．（2）二次函數(shù)的親密函數(shù)為，令，解得或，拋物線與軸交點橫坐標為4和，拋物線的對稱軸為直線，的親密函數(shù)的對稱軸為直線，與其親密函數(shù)關于軸對稱，兩圖象與軸交點橫坐標互為相反數(shù)，故答案為：4和，互為相反數(shù)．（3）的圖象與軸交點的橫坐標為1和，與軸交點橫坐標為和2021，，和時，，即和是圖象與軸交點的橫坐標．【點評】本題考查二次函數(shù)與軸的交點，解題關鍵是理解題意，掌握二次函數(shù)與方程的關系．16．（2021秋?越秀區(qū)校級期中）已知是關于的函數(shù)，若存在時，函數(shù)值，則稱函數(shù)是關于的倩影函數(shù)，此時點叫該倩影函數(shù)的影像點．例如對于函數(shù)，若存在時，函數(shù)值，則，解得，則函數(shù)是倩影函數(shù)，點，是函數(shù)的影像點．（1）判斷函數(shù)是否為倩影函數(shù)．如果是，請求出影像點；如果不是，請說明理由；（2）已知函數(shù)．①求證：該函數(shù)總有兩個不同的影像點；②是否存在一個值，使得函數(shù)的影像點的橫坐標，都為整數(shù)，如果存在，請求出的值，如果不存在，請說明理由．【考點】一次函數(shù)的性質；一次函數(shù)圖象上點的坐標特征【分析】（1）把點代入，有解則是倩影函數(shù)，求出影像點；（2）①把點代入，得到關于的二次方程，用根式判別式證明；②在①的條件下，求出的值，結合為整數(shù)求出的值．【解答】（1）解：函數(shù)是倩影函數(shù)，由題意得：把點代入得：解得：，，函數(shù)是倩影函數(shù)，影像點為，；（2）①證明：把點代入得：，化簡得：，△，該函數(shù)總有兩個不同的影像點．②解：由①得，方程的解為：，影像點的橫坐標，都為整數(shù)，是6的整數(shù)倍，且為整數(shù)，設為整數(shù)），化簡得：，解得：，或3，當時，（舍，當時，，此時，，，不符合題意，綜上所述：不存在的值，使得影像點的橫坐標，都為整數(shù)．【點評】本題以新定義為背景，考查了反比例函數(shù)和一元二次方程的解相關知識點，解題的關鍵是把代入函數(shù)解析式后，結合根式判別式△判斷一元二次方程的根情況．17．（2021秋?長沙期中）在平面直角坐標系中，如果一個點的橫坐標與縱坐標相等，則稱該點為“實驗點”．例如，都是“實驗點”．（1）求函數(shù)圖象上的“實驗點”坐標；（2）函數(shù)是常數(shù)）的圖象上存在“實驗點”嗎？若存在，請求出“實驗點”的坐標；（3）若拋物線上有且只有一個“實驗點”，該拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側）．當時，求的度數(shù)．【考點】二次函數(shù)綜合題【分析】（1）根據(jù)題意一個點的橫坐標與縱坐標相等，聯(lián)立和直線解析式即可求解；（2）假設函數(shù)是常數(shù)）的圖象上存在“實驗點”，根據(jù)（1）的方法求解即可；（3）根據(jù)新定義，聯(lián)立拋物線和，令判別式等于0，求得的坐標，過點作軸于點，進而求得，的長度相等，即可求解．【解答】解：（1）由題意，聯(lián)立方程組可得，解得：，函數(shù)圖象上的“實驗點”坐標為，；（2）假設函是常數(shù)）的圖象上存在“實驗點”，則有①，整理，得，當，即時，解得；當時，即時，方程①無解；綜上所述，當時，“實驗點”的坐標為，；當時，不存在“實驗點”；（3），理由如下：拋物線上有且只有一個“實驗點”，，整理，可得，當△時，解得：，，解得：，，，點在點的左側，，，是“實驗點”，，解得：，點坐標為，，如圖，過點作軸于點，，，是等腰直角三角形，即．【點評】本題考查了新定義問題，二次函數(shù)的圖象與性質，二次函數(shù)與一元二次方程的關系，理解新定義與掌握二次函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵．18．（2021秋?西城區(qū)校級期中）定義：在平面直角坐標系中，圖形上點的縱坐標與其橫坐標的差稱為點的“坐標差”，而圖形上所有點的“坐標差”中的最大值稱為圖形的“特征值”．（1）①點的“坐標差”為2；②拋物線的“特征值”為；（2）某二次函數(shù)的“特征值”為1，點與點分別是此二次函數(shù)的圖象與軸和軸的交點，且點與點的“坐標差”相等．①直接寫出；（用含的式子表示）②求的值．【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；拋物線與軸的交點；二次函數(shù)的性質【分析】（1）①根據(jù)可得坐標差；②計算，并配方成頂點式可得結論；（2）①根據(jù)點與點的“坐標差”相等，推出，可得的值；②將點坐標代入拋物線解析式可得，根據(jù)二次函數(shù)的“特征值”為1，可求出的值即可．【解答】解：（1）①，故答案為：2；②，，的最大值是4，拋物線的“特征值”為4；故答案為：4；（2）①由題知，點與點的“坐標差”相等，，，故答案為：；②由①知點的坐標為，將點坐標代入拋物線解析式，得，，二次函數(shù)的“特征值”為1，的最大值為1，，，解得：，．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的新定義問題，正確理解坐標差和特征值的定義是解題的關鍵．19．（2021?渝北區(qū)校級開學）如圖①，定義：直線與、軸分別相交于、兩點，將繞著點逆時針旋轉得到，過點、、的拋物線叫做直線的“糾纏拋物線”，反之，直線叫做的“糾纏直線”，兩線“互為糾纏線”．（1）若，則糾纏拋物線的函數(shù)解析式是．（2）判斷并說明與是否“互為糾纏線”．（3）如圖②，若糾纏直線，糾纏拋物線的對稱軸與相交于點，點在上，點在的對稱軸上，當以點、、、為頂點的四邊形是以為一邊的平行四邊形時，求點的坐標．【考點】二次函數(shù)綜合題【分析】（1）根據(jù)糾纏線的定義，若，則點，，，坐標分別為，，，，則可以設拋物線為，代入點坐標即可求解；（2）由題意可得點，，，坐標分別為，，，，則拋物線的函數(shù)解析式為，代入點坐標即可求解；（3）根據(jù)題意得到點，，，坐標分別為，，，，同理可得拋物線的函數(shù)解析式，以點，，，為頂點的四邊形是以為一邊的平行四邊形時，由題意得：，即：，即可求解．【解答】解：（1）若，當時，；當時，，點、、、的坐標分別為：、、、，設糾纏拋物線的函數(shù)解析式為：，將點的坐標代入上式得：，解得：，糾纏拋物線的函數(shù)解析式為：，故答案為：；（2）同（1）得：點、、、的坐標分別為：、、、，設糾纏拋物線的函數(shù)解析式為：，將點的坐標代入上式得：，解得：，糾纏拋物線的函數(shù)解析式為：，與是“互為糾纏線”；（3）同（1）得：點、、、的坐標分別為：、、、，同理可得：糾纏拋物線的函數(shù)解析式為：，則拋物線的對稱軸為：，設點，點，將點、的坐標代入一次函數(shù)表達式并求得：直線的表達式為：，點的橫坐標為，點的縱坐標為，點、橫坐標差為1，縱坐標差為，以點、、、為頂點的四邊形是以為一邊的平行四邊形時，由題意得：，即：，解得：或，當時，點，則點；同理當時，點；綜上，點坐標為：或．【點評】本題考查的是新