2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難點精講練專題01 實數(shù)及其運算（教師版）

知識點01：正數(shù)和負(fù)數(shù)【高頻考點精講】（1）大于0的數(shù)叫做正數(shù)，在正數(shù)前面加負(fù)號“﹣”，叫做負(fù)數(shù)，一個數(shù)前面的“+”“﹣”叫做它的符號。（2）0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)。0是正負(fù)數(shù)的分界點，正數(shù)是大于0的數(shù)，負(fù)數(shù)是小于0的數(shù)。（3）用正負(fù)數(shù)表示兩種具有相反意義的量，具有相反意義的量都是互相依存的兩個量，它包含兩個要素，一是它們的意義相反，二是它們都是數(shù)量。知識點02：數(shù)軸【高頻考點精講】（1）數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸。數(shù)軸的三要素：原點，單位長度，正方向。（2）數(shù)軸上的點：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點不都表示有理數(shù)（數(shù)軸上的點對應(yīng)任意實數(shù)，包括無理數(shù)）。（3）用數(shù)軸比較大?。阂话銇碚f，當(dāng)數(shù)軸方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。知識點03：絕對值、倒數(shù)、相反數(shù)【高頻考點精講】1．絕對值（1）概念：數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值。①互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等；②絕對值等于一個正數(shù)的數(shù)有兩個，絕對值等于0的數(shù)有一個，沒有絕對值等于負(fù)數(shù)的數(shù)。③有理數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)。（2）如果用字母a表示有理數(shù)，則a的絕對值要由自身的取值來確定。2．倒數(shù)（1）倒數(shù)：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。一般地，如果（a≠0），那么a（a≠0）的倒數(shù)是。（2）方法指引①倒數(shù)是除法運算與乘法運算轉(zhuǎn)化的紐帶，倒數(shù)是伴隨著除法運算而產(chǎn)生的。②正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，0沒有倒數(shù)，這與相反數(shù)不同。3．相反數(shù)（1）概念：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。（2）意義：相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨存在，從數(shù)軸上看，除0外，互為相反數(shù)的兩個數(shù)，它們分別在原點兩旁且到原點距離相等。（3）多重符號的化簡：與“+”個數(shù)無關(guān)，有奇數(shù)個“﹣”結(jié)果為負(fù)，有偶數(shù)個“﹣”，結(jié)果為正。（4）規(guī)律方法總結(jié)：求一個數(shù)相反數(shù)的方法就是在這個數(shù)的前邊添加“﹣”，如a的相反數(shù)是﹣a，m+n的相反數(shù)是﹣（m+n），這時m+n是一個整體，在整體前面添負(fù)號時，要用小括號。知識點04：有理數(shù)比較大小及運算1.有理數(shù)比較大?。?）法則比較：正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小。（2）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)大于左邊的點表示的數(shù)。（3）作差比較：若a﹣b＞0，則a＞b；若a﹣b＜0，則a＜b；若a﹣b＝0，則a＝b。2．有理數(shù)運算（1）運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算。（2）四種技巧①轉(zhuǎn)化法：將除法轉(zhuǎn)化為乘法；將乘方轉(zhuǎn)化為乘法；乘除混合運算中，通常將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)進(jìn)行約分計算。②湊整法：在加減混合運算中，通常將和為零的兩個數(shù)，分母相同的兩個數(shù)，和為整數(shù)的兩個數(shù)，乘積為整數(shù)的兩個數(shù)分別結(jié)合為一組進(jìn)行求解。③分拆法：先將分?jǐn)?shù)拆成一個整數(shù)與一個真分?jǐn)?shù)的和，然后進(jìn)行計算。④巧用運算律：在計算中巧妙運用加法運算律或乘法運算律能夠使計算更簡便。知識點05：近似數(shù)和有效數(shù)字【高頻考點精講】1．一般地，一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位。2．從左邊第一個非零數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字。知識點06：科學(xué)記數(shù)法【高頻考點精講】（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個數(shù)表示成a與10的n次冪相乘的形式（1≤|a|<10，a不為分?jǐn)?shù)形式，n為整數(shù)），這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法?？茖W(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)。（2）表示較大的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1，按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n。（3）表示較小的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n等于原數(shù)第一個非零數(shù)字前所有0的個數(shù)。知識點07：平方根、算術(shù)平方根、立方根【高頻考點精講】1．平方根（1）定義：如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根。一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒有平方根。（2）求一個數(shù)a的平方根的運算叫做開平方，其中a叫做被開方數(shù)。一個正數(shù)a的正的平方根表示為“”，負(fù)的平方根表示為“”。2．算術(shù)平方根（1）定義：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根，記作。（2）非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根有雙重非負(fù)性：①被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù)；②算術(shù)平方根本身是非負(fù)數(shù)。（3）求一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根與求一個數(shù)的平方互為逆運算，在求一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根時，可以借助乘方運算。3．立方根（1）定義：如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根或三次方根，即x3＝a，那么x叫做a的立方根，記作。（2）正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，任意數(shù)都有立方根。（3）求一個數(shù)a的立方根的運算叫做開立方，其中a叫做被開方數(shù)。注意：“”的根指數(shù)“3”不能省略，對于立方根，被開方數(shù)沒有限制，正數(shù)、零、負(fù)數(shù)都有唯一立方根。4．平方根和立方根的性質(zhì)（1）平方根的性質(zhì)：正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根。（2）立方根的性質(zhì)：一個數(shù)的立方根只有一個，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0。知識點08：無理數(shù)定義及估算【高頻考點精講】1．無理數(shù)定義（1）定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。（2）無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別①把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，比如4＝4.0，＝0.33333…，而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，比如＝1.414213562373…②所有的有理數(shù)都可以寫成兩個整數(shù)之比，而無理數(shù)則不能，比如圓周率。（3）判斷一個數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡結(jié)果，比如是有理數(shù)，而不是無理數(shù)。2．估算無理數(shù)的大小估算無理數(shù)大小要用有理數(shù)逼近無理數(shù)，求無理數(shù)的近似值。知識點09：實數(shù)的運算【高頻考點精講】1．運算法則：乘方和開方運算、冪的運算、指數(shù)（特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運算、根式運算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等。2．運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算。3．運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準(zhǔn)確度。檢測時間：90分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.72一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?宜賓）2的相反數(shù)是（）A．﹣2 B． C．2 D．解：2的相反數(shù)是﹣2，故選：A．2．（2分）（2023?樂山）從水利部長江水利委員會獲悉，截止2023年3月30日17時，南水北調(diào)中線一期工程自2014年12月全面通水以來，已累計向受水區(qū)實施生態(tài)補水約90億立方米．其中9000000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．9×108 B．9×109 C．9×1010 D．9×1011解：9000000000＝9×109．故選：B．3．（2分）（2023?揚州）已知a＝，b＝2，c＝，則a、b、c的大小關(guān)系是（）A．b＞a＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．a(chǎn)＞b＞c D．b＞c＞a解：∵3＜4＜5，∴＜＜，即＜2＜，則a＞b＞c，故選：C．4．（2分）（2023?朝陽）2023的相反數(shù)是（）A． B． C．2023 D．﹣2023解：2023的相反數(shù)是﹣2023．故選：D．5．（2分）（2023?淮安）下列實數(shù)中，無理數(shù)是（）A．﹣2 B．0 C． D．5解：A、﹣2是有理數(shù)，故此選項不符合題意；B、0是有理數(shù)，故此選項不符合題意；C、是無理數(shù)，故此選項符合題意；D、5是有理數(shù)，故此選項不符合題意；故選：C．6．（2分）（2023?赤峰）如圖，數(shù)軸上表示實數(shù)的點可能是（）A．點P B．點Q C．點R D．點S解：∵9＞7＞4，∴＞＞，∴3＞＞2．故選：B．7．（2分）（2023?濰坊）實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示，下列判斷正確的是（）A．﹣c＜b B．a(chǎn)＞﹣c C．|a﹣b|＝b﹣a D．|c﹣a|＝a﹣c解：由數(shù)軸可得，a＜b＜0＜c，|c|＜|b|＜|a|，∴﹣c＞b，故選項A錯誤，不符合題意；a＜﹣c，故選項B錯誤，不符合題意；|a﹣b|＝b﹣a，故選項C正確，符合題意；|c﹣a|＝c﹣a，故選項D錯誤，不符合題意；故選：C．8．（2分）（2023?重慶）估計（+）的值應(yīng)在（）A．7和8之間 B．8和9之間 C．9和10之間 D．10和11之間解：原式＝4+2．∵2.52＝6.25，∴2＜＜2.5，∴4＜2＜5，∴8＜4+2＜9．故選：B．9．（2分）（2023?南通）如圖，數(shù)軸上A，B，C，D，E五個點分別表示數(shù)1，2，3，4，5，則表示數(shù)的點應(yīng)在（）A．線段AB上 B．線段BC上 C．線段CD上 D．線段DE上解：∵3＜＜4，而數(shù)軸上A，B，C，D，E五個點分別表示數(shù)1，2，3，4，5，∴表示數(shù)的點應(yīng)在線段CD上，故選：C．10．（2分）（2023?荊州）已知k＝（+）?（﹣），則與k最接近的整數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5解：∵k＝（+）?（﹣）＝×2＝2，而1.4＜＜1.5，∴2.8＜2＜3，∴與k最接近的整數(shù)是3，故選：B．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?哈爾濱）船閘是我國勞動人民智慧的結(jié)晶，三峽船閘的“人”字閘門是目前世界上最大的巨型閘門，重867000千克，用科學(xué)記數(shù)法表示為8.67×105千克．解：867000＝8.67×105，故答案為：8.67×105．12．（2分）（2023?福建）某倉庫記賬員為方便記賬，將進(jìn)貨10件記作+10，那么出貨5件應(yīng)記作﹣5．解：∵進(jìn)貨10件記作+10，∴出貨5件應(yīng)記作﹣5，故答案為：﹣5．13．（2分）（2023?青海）青藏聯(lián)網(wǎng)工程東起青海西寧，西至西藏拉薩，被譽為“電力天路”．截至2023年5月“電力天路”已安全運行近12年，累計向西藏送電105.9億千瓦時，數(shù)據(jù)105.9億用科學(xué)記數(shù)法表示為1.059×1010．解：105.9億＝10590000000＝1.059×1010．故答案為：1.059×1010．14．（2分）（2023?德州）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，比較大?。海╝+1）（b﹣1）＞0．（填“＞”“＜”或“＝”）解：由數(shù)軸可得﹣1＜a＜0＜1＜b，則a+1＞0，b﹣1＞0，那么（a+1）（b﹣1）＞0，故答案為：＞．15．（2分）（2023?郴州）計算＝3．解：＝3．故答案為：3．16．（2分）（2023?湖北）計算4﹣1﹣+（3﹣）0的結(jié)果是1．解：原式＝﹣+1＝1，故答案為：1．17．（2分）（2023?德陽）2023年5月30日，“神舟”十六號載人飛船成功發(fā)射，在距離地球400千米的中國空間站與“神舟”十五號三人乘組順利實現(xiàn)在軌換崗．其中400千米用科學(xué)記數(shù)法表示為4×105米．解：400千米＝400000米＝4×105米，故答案為：4×105．18．（2分）（2023?廣元）廣元市聚焦“1345”發(fā)展戰(zhàn)略和“十四五”規(guī)劃，牢牢牽住重點項目建設(shè)“牛鼻子”，《2023年廣元市重點項目名單》共編列項目300個，其中生態(tài)環(huán)保項目10個，計劃總投資約45億元，將45億這個數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為4.5×109．解：45億＝4500000000＝4.5×109．故答案為：4.5×109．19．（2分）（2023?宿遷）計算：＝2．解：∵22＝4，∴4的算術(shù)平方根是2，即＝2．故答案為：2．20．（2分）（2023?廣州）近年來，城市電動自行車安全充電需求不斷攀升．截至2023年5月底，某市已建成安全充電端口逾280000個，將280000用科學(xué)記數(shù)法表示為2.8×105．解：280000＝2.8×105，故答案為：2.8×105．三．解答題（共11小題，滿分60分）21．（4分）（2023?廣元）計算：+|﹣2|+20230﹣（﹣1）1．解：原式＝+2﹣+1+1＝+2﹣+1+1＝4．22．（4分）（2023?西藏）計算：．解：原式＝4+2×﹣1﹣3＝4+﹣1﹣3＝．23．（4分）（2022?廣西）計算：（﹣1+2）×3+22÷（﹣4）．解：原式＝1×3+4÷（﹣4）＝3﹣1＝2．24．（4分）（2011?連云港）2×（﹣5）+23﹣3÷．解：原式＝﹣10+8﹣6＝﹣8．25．（4分）（2023?沈陽）計算：（π﹣2023）0++（）﹣2﹣4sin30°．解：原式＝1+2+9﹣2＝10．26．（4分）（2018?溫州）（1）計算：（﹣2）2﹣+（﹣1）0．（2）化簡：（m+2）2+4（2﹣m）．解：（1）（﹣2）2﹣+（﹣1）0＝4﹣3+1＝5﹣3；（2）（m+2）2+4（2﹣m）＝m2+4m+4+8﹣4m＝m2+12．27．（6分）（2018?涼山州）計算：（）﹣1﹣|﹣2+tan45°|+（﹣2018）0﹣（﹣）（+）．解：原式＝3﹣2++1﹣（﹣1）＝3+．28．（8分）（2021?河北）某書店新進(jìn)了一批圖書，甲、乙兩種書的進(jìn)價分別為4元/本、10元/本．現(xiàn)購進(jìn)m本甲種書和n本乙種書，共付款Q元．（1）用含m，n的代數(shù)式表示Q；（2）若共購進(jìn)5×104本甲種書及3×103本乙種書，用科學(xué)記數(shù)法表示Q的值．解：（1）由題意可得：Q＝4m+10n；（2）將m＝5×104，n＝3×103代入（1）式得：Q＝4×5×104+10×3×103＝2.3×105．29．（6分）（2023?廣東）（1）計算：+|﹣5|+（﹣1）2