新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納講義專題13解析幾何 13.2圓的方程（解析版）

專題十三《解析幾何》講義13.2圓的方程知識(shí)梳理.圓的方程1.圓的方程：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)是以點(diǎn)(a，b)為圓心，r為半徑的圓的方程，叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）圓的一般方程：當(dāng)D2＋E2－4F＞0時(shí)，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的一般方程．圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑長(zhǎng)為eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)．2．直線與圓的位置關(guān)系(半徑為r，圓心到直線的距離為d)相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)Δeq\a\vs4\al(＜)0Δeq\a\vs4\al(＝)0Δeq\a\vs4\al(＞)0幾何觀點(diǎn)deq\a\vs4\al(＞)rdeq\a\vs4\al(＝)rdeq\a\vs4\al(＜)r（1）圓的切線方程常用結(jié)論①過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.②過(guò)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.③過(guò)圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.（2）有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題的2種求法幾何法直線被圓截得的半弦長(zhǎng)eq\f(l,2)，弦心距d和圓的半徑r構(gòu)成直角三角形，即r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2＋d2代數(shù)法聯(lián)立直線方程和圓的方程，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求得弦長(zhǎng)|AB|＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(y1＋y22－4y1y2)3．圓與圓的位置關(guān)系(兩圓半徑為r1，r2，d＝|O1O2|)相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖形量的關(guān)系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|圓與圓位置關(guān)系問(wèn)題的解題策略(1)判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．(2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項(xiàng)得到．題型一.圓的方程、軌跡方程1．已知圓C的圓心在直線x﹣2y﹣3＝0上，且過(guò)點(diǎn)A（2，﹣3），B（﹣2，﹣5），則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）2+（y+2）2＝10．【解答】解：根據(jù)題意，圓C的圓心在直線x﹣2y﹣3＝0上，設(shè)圓心的坐標(biāo)為（2t+3，t），圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，﹣3），B（﹣2，﹣5），則（2t+3﹣2）2+（t+3）2＝（2t+3+2）2+（t+5）2，解可得t＝﹣2，則2t+3＝﹣1，即圓心C的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），圓的半徑為r，則r2＝|CA|2＝（﹣1﹣2）2+（﹣2+3）2＝10，故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）2+（y+2）2＝10；故答案為：（x+1）2+（y+2）2＝10．2．已知圓C與圓（x﹣1）2+y2＝1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則圓C的方程為（）A．x2+y2＝1 B．x2+（y+1）2＝1 C．x2+（y﹣1）2＝1 D．（x+1）2+y2＝1【解答】解：圓（x﹣1）2+y2＝1的圓心坐標(biāo)為（1，0），半徑為1．點(diǎn)（1，0）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為（﹣1，0），則所求圓的方程為（x+1）2+y2＝1．故選：D．3．如圖，已知圓C與x軸相切于點(diǎn)T（1，0），與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A，B（B在A的上方），且|AB|＝2．（Ⅰ）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；【解答】解：（1）由題意，圓的半徑為1+1=2，圓心坐標(biāo)為（1，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣1）2+（y?2）24．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)M（1，0），N（4，0）的距離之比為12（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡W的方程；【解答】解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），依題意得：|PM||PN|又M（1，0），N（4，0），∴2(x?1)2化簡(jiǎn)得：x2+y2＝4，則動(dòng)點(diǎn)P軌跡W方程為x2+y2＝4；5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)B（2，0），C（﹣2，0），設(shè)直線AB，AC的斜率分別為k1，k2，且k1k2=?12，記點(diǎn)A的軌跡為（1）求E的方程；【解答】解：（1）設(shè)A（x，y），則k1k2=y整理，得x2+2y2＝4（x≠±2），即E的方程為x2+2y2＝4（x≠±2）；6．若AB=2，AC=2BC，則S△ABC的最大值2【解答】解：設(shè)BC＝x，則AC=2x根據(jù)面積公式得S△ABC=12AB?BCsinB=12又根據(jù)余弦定理得cosB=A代入上式得：S△ABC＝x1?(由三角形三邊關(guān)系有：2x+x＞2解得：22?2＜x＜22所以當(dāng)x＝23時(shí)，x2﹣12＝0，此時(shí)S△ABC取得最大值12816=8故答案為：22題型二.直線與圓的位置關(guān)系1．已知點(diǎn)M（a，b）在圓O：x2+y2＝1外，則直線ax+by＝1與圓O的位置關(guān)系是（）A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定【解答】解：∵M(jìn)（a，b）在圓x2+y2＝1外，∴a2+b2＞1，∴圓O（0，0）到直線ax+by＝1的距離d=1a2則直線與圓的位置關(guān)系是相交．故選：B．2．若過(guò)點(diǎn)A（4，0）的直線l與曲線（x﹣2）2+y2＝1有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍為[?33【解答】解：設(shè)直線l的方程為y＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k＝0∵直線l與曲線（x﹣2）2+y2＝1有公共點(diǎn)，∴圓心到直線l的距離小于等于半徑即|2k?4k|k2∴直線l的斜率的取值范圍為[?故答案為[?3．已知直線l：x﹣y+4＝0與圓C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，則C上各點(diǎn)到l距離的最小值為（）A．2?1 B．2+1 C．2 【解答】解：由于圓心C（1，1）到直線l：x﹣y+4＝0的距離為d=|1?1+4|2=而圓的半徑為2，故C上各點(diǎn)到l距離的最小值為22?故選：C．題型三.切線問(wèn)題1．已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，﹣1），過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為A，B．（1）求切線PA，PB的方程；（2）求過(guò)P點(diǎn)的圓的切線長(zhǎng)；（3）求直線AB的方程．【解答】解：（1）根據(jù)題意，分析易得切線斜率存在，則設(shè)切線的斜率為k，又由切線過(guò)點(diǎn)P（2，﹣1），則切線方程為：y+1＝k（x﹣2）即：kx﹣y﹣2k﹣1＝0，又圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2的圓心坐標(biāo)為（1，2），半徑r=2則有|k?2?2k?1|1+解可得k＝7或k＝﹣1，則所求的切線方程為：x+y﹣1＝0和7x﹣y﹣15＝0；（2）根據(jù)題意，圓心C到P的距離d=(2?1則切線長(zhǎng)為(10)2（3）以P為圓心，切線長(zhǎng)為半徑的圓的方程為：（x﹣2）2+（y+1）2＝8…①由圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2，…②②﹣①可得AB的方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2﹣（x﹣2）2﹣（y+1）2＝﹣6，可得x﹣3y+3＝0．2．（2008?山東）若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x﹣3y＝0和x軸相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．(x?3)2+(y?73)2=1 B．（x﹣2）C．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1 D．(【解答】解：設(shè)圓心為（a，1），由已知得d=|4a?3|5=1，故選：B．3．（2014?大綱版）直線l1和l2是圓x2+y2＝2的兩條切線．若l1與l2的交點(diǎn)為（1，3），則l1與l2的夾角的正切值等于43【解答】解：設(shè)l1與l2的夾角為2θ，由于l1與l2的交點(diǎn)A（1，3）在圓的外部，且點(diǎn)A與圓心O之間的距離為OA=10圓的半徑為r=2∴sinθ=2∴cosθ=2210，tan∴tan2θ=1故答案為：434．（2014?新課標(biāo)Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（x0，1），若在圓O：x2+y2＝1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN＝45°，則x0的取值范圍是（）A．[﹣1，1] B．[?12，12] C．[?2，2] D．[【解答】解：由題意畫出圖形如圖：點(diǎn)M（x0，1），要使圓O：x2+y2＝1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN＝45°，則∠OMN的最大值大于或等于45°時(shí)一定存在點(diǎn)N，使得∠OMN＝45°，而當(dāng)MN與圓相切時(shí)∠OMN取得最大值，此時(shí)MN＝1，圖中只有M′到M″之間的區(qū)域滿足MN＝1，∴x0的取值范圍是[﹣1，1]．故選：A．5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+（y﹣3）2＝2，點(diǎn)A是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AP，AQ分別切圓C于P，Q兩點(diǎn)，則線段PQ長(zhǎng)的取值范圍是（）A．[273，22） B．[2143，22） C．[253，23）【解答】解：設(shè)AC＝x，則x≥3，由PC⊥AP可知AP=A∵AC垂直平分PQ，∴PQ＝2PC?APAC=2?2?x2∴當(dāng)x＝3時(shí)，PQ取得最小值22?1?2又1?2∴PQ＜22∴2143≤PQ故選：B．6．（2002?北京）已知P是直線3x+4y+8＝0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值為22【解答】解：∵圓的方程為：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0∴圓心C（1，1）、半徑r為：1根據(jù)題意，若四邊形面積最小當(dāng)圓心與點(diǎn)P的距離最小時(shí)，距離為圓心到直線的距離時(shí)，切線長(zhǎng)PA，PB最小圓心到直線的距離為d＝3∴|PA|＝|PB|=∴s故答案為：2題型四.弦長(zhǎng)問(wèn)題1．直線l：kx+y+4＝0（k∈R）是圓C：x2+y2+4x﹣4y+6＝0的一條對(duì)稱軸，過(guò)點(diǎn)A（0，k）作斜率為1的直線m，則直線m被圓C所截得的弦長(zhǎng)為（）A．22 B．2 C．6 D．2【解答】解：∵圓C：x2+y2+4x﹣4y+6＝0，即（x+2）2+（y﹣2）2＝2，表示以C（﹣2，2）為圓心、半徑等于2的圓．由題意可得，直線l：kx+y+4＝0經(jīng)過(guò)圓C的圓心（﹣2，2），故有﹣2k+2+4＝0，∴k＝3，點(diǎn)A（0，3）．直線m：y＝x+3，圓心到直線的距離d=|?2?2+3|∴直線m被圓C所截得的弦長(zhǎng)為22?1故選：C．2．直線y＝kx+3與圓（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N兩點(diǎn)，若MN＜23，則k的取值范圍是{k|?3?265＜k≤?34，或0【解答】解：設(shè)圓心（3，2）到直線y＝kx+3的距離為d，則d=|3k?2+3|由于(MN2)2=4﹣d2，且MN＜23，求得d≥1，∴1≤由d≥1求得k≤?34，k≥0，由d＜2求得?3?26即k的取值范圍是{k|?3?265＜k≤?34故答案為：{k|?3?265＜k≤?343．已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，則直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)的最小值為（）A．25 B．45 C．63 D．83【解答】解：圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25的圓心坐標(biāo)為C（1，2），半徑為5．由直線l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，得m（2x+y﹣7）+x+y﹣4＝0，聯(lián)立2x+y?7=0x+y?4=0，解得x=3∴直線l過(guò)定點(diǎn)P（3，1），點(diǎn)P（3，1）在圓內(nèi)部，則當(dāng)直線l與線段PC垂直時(shí)，直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最小．此時(shí)|PC|=(1?3∴直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)的最小值為252故選：B．4．已知AC、BD為圓O：x2+y2＝4的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，2），則四邊形ABCD的面積的最大值為5．【解答】解：如圖連接OA、OD作OE⊥ACOF⊥BD垂足分別為E、F∵AC⊥BD∴四邊形OEMF為矩形已知OA＝OC＝2OM=3設(shè)圓心O到AC、BD的距離分別為d1、d2，則d12+d22＝OM2＝3．四邊形ABCD的面積為：s=12?|AC|（|BM|+|從而：s=1當(dāng)且僅當(dāng)d12＝d22時(shí)取等號(hào)，故答案為：5．題型五.圓與圓之間的位置關(guān)系1．（多選）以下四個(gè)命題表述正確的是（）A．直線（3+m）x+4y﹣3+3m＝0（m∈R）恒過(guò)定點(diǎn)（﹣3，﹣3） B．圓x2+y2＝4上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線l：x﹣y+2=C．曲線C1：x2+y2+2x＝0與曲線C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0恰有三條公切線，則m＝4D．已知圓C：x2+y2＝1，點(diǎn)P為直線x4+y2=1上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向圓C引兩條切線PA，PB，A，【解答】解：由（3+m）x+4y﹣3+3m＝0，得3x+4y﹣3+m（x+3）＝0，聯(lián)立x+3=03x+4y?3=0，解得x=?3∴直線（3+m）x+4y﹣3+3m＝0（m∈R）恒過(guò)定點(diǎn)（﹣3，3），故A錯(cuò)誤；∵圓心（0，0）到直線l：x﹣y+2=0的距離等于1，故到直線距離為1的兩條直線，一條與圓相切，一條與圓相交，因此圓上有三個(gè)點(diǎn)到直線l：x﹣y+2=0的距離等于1，故兩圓有三條公切線，則兩圓外切，曲線C1：x2+y2+2x＝0化為標(biāo)準(zhǔn)式（x+1）2+y2＝1，曲線C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0化為標(biāo)準(zhǔn)式（x﹣2）2+（y﹣4）2＝20﹣m＞0，圓心距為(2+1)2+42=5=1設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），∴m4+n2=1，以O(shè)P為直徑的圓的方程為x2+y2兩圓的方程作差得直線AB的方程為：mx+ny＝1，消去n得，m（x?y2）+2y令x?y2=0，2y﹣1＝0，解得x=14，y=12，故直線AB故選：BCD．2．已知圓C1：x2+（y﹣a2）2＝a4的圓心到直線x﹣y﹣2＝0的距離為22，則圓C1與圓C2：x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0的位置關(guān)系是（）A．相交 B．內(nèi)切 C．外切 D．相離【解答】解：圓C1：x2+(y?a2)2=a4的圓心為C1（0，由圓C1：x2+(y?a2)可得|0?a2?2|2=22，解得可得圓C1的圓心為（0，2），半徑為2，而圓C2：x2由|C1C2|＝1＝r1﹣r2＝2﹣1，可得兩圓的位置關(guān)系為內(nèi)切．故選：B．3．已知圓C1：(x?a)2+(y+2A．2 B．17 C．94 【解答】解：圓C1：（x﹣a）2+（y+2）2＝4的圓心為C1（a，﹣2），半徑r1＝2；圓C2：（x+b）2+（y+1）2＝1的圓心為C2（﹣b，﹣1），半徑r2＝1；由圓C1與圓C2相外切，得|C1C2|＝r1+r2，即(a+b)2∴（a+b）2＝8；由基本不等式，得ab≤(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝±2時(shí)取“＝”，∴ab的最大值為2．故選：A．4．已知圓C1：(x?2)2+(y?3)2=1，圓C2：(x?3)2+(y?4)2=9，M，N分別是圓A．52+4 B．2 C．52【解答】解：圓C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1的圓心為C1：（2，3），半徑等于1，C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9的圓心C2（3，4），半徑等于3，則|PN|﹣|PM|≤（|PC2|+3）﹣（|PC1|﹣1）＝4+|PC2|﹣|PC1|．則4+|PC2|﹣|PC1|≤|C1C2|+4＝4+(3?2故選：D．題型六.直線與圓綜合問(wèn)題1．直線x﹣y+m＝0與圓x2+y2﹣2x﹣1＝0有兩個(gè)不同交點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是（）A．﹣3＜m＜1 B．﹣4＜m＜2 C．0＜m＜1 D．m＜1【解答】解：聯(lián)立直線與圓的方程得：x?y+m=0x消去y得：2x2+（2m﹣2）x+m2﹣1＝0，由題意得：△＝（2m﹣2）2﹣8（m2﹣1）＝﹣4（m+1）2+16＞0，變形得：（m+3）（m﹣1）＜0，解得：﹣3＜m＜1，∵0＜m＜1是﹣3＜m＜1的一個(gè)真子集，∴直線與圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是0＜m＜1．故選：C．2．過(guò)直線y＝x上一點(diǎn)作圓（x﹣5）2+（y﹣1）2＝2的兩條切線l1，l2，當(dāng)l1，l2關(guān)于直線y＝x對(duì)稱時(shí)，l1，l2的夾角的大小為π3【解答】解：圓（x﹣5）2+（y﹣1）2＝2的圓心（5，1），過(guò)（5，1）與y＝x垂直的直線方程：x+y﹣6＝0，它與y＝x的交點(diǎn)N（3，3），N到（5，1）距離是22，兩條切線l1，l2，它們之間的夾角為60°．故答案為：60°．3．若圓x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線l：ax+by＝0的距離為22．則直線l的傾斜角的取值范圍是[π12，5π【解答】解：圓x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得（x﹣2）2+（y﹣2）2＝18，∴圓心坐標(biāo)為C（2，2），半徑r＝32，∵在圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：ax+by＝0的距離為22∴圓心到直線的距離應(yīng)小于或等于r?22由點(diǎn)到直線的距離公式，得|2a+2b|a∴（2a+2b）2≤2（a2+b2），整理得(?a解之得2?3≤?∵直線l：ax+by＝0的斜率k=?ab∈[2?3∴設(shè)直線l的傾斜角為α，則tanα∈[2?3，2+3]，即tanπ12≤tanα由此可得直線l的傾斜角的取值范圍是[π12，5π故答案為：[π12，5π4．（2014?北京）已知圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和兩點(diǎn)A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則m的最大值為（）A．7 B．6 C．5 D．4【解答】解：圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圓心C（3，4），半徑為1，∵圓心C到O（0，0）的距離為5，∴圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)O的距離的最大值為6．再由∠APB＝90°可得，以AB為直徑的圓和圓C有交點(diǎn)，可得PO=12AB＝m，故有m故選：B．5．已知直線x+y﹣k＝0（k＞0）與圓x2+y2＝4交于不同的兩點(diǎn)A，B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有OA→?OB→≥?A．（3，+∞） B．[2，22） C．[2，+∞） D．[3，22）【解答】解：根據(jù)題意，圓x2+y2＝4的圓心為（0，0），半徑r＝2，設(shè)圓心到直線x+y﹣k＝0的距離為d；若直線x+y﹣k＝0（k＞0）與圓x2+y2＝4交于不同的兩點(diǎn)A，B，則d=|k|1+1=k2設(shè)OA→與OB→的夾角即∠OAB＝若OA→?OB→≥?2，即|OA|×|OB|×cosθ≥﹣2，變形可得cosθ≥?1當(dāng)θ=2π3時(shí)，若θ≤2π3，則d=k2則k的取值范圍為[2，22）；故選：B．6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣3＝0與x軸交于A，B兩點(diǎn)，若動(dòng)直線l與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，且△CMN的面積為4，若P為MN的中點(diǎn)，則△PAB的面積最大值為8．【解答】解：當(dāng)y＝0時(shí)，x2﹣2x﹣3＝0得x＝﹣1或x＝3，即A（﹣1，0），B（3，0），圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2＝8，則圓心C（1，2），半徑R=8=2△CMN的面積為4，即S=12×2則sin∠MCN＝1，即∠MCN＝90°，則MN=2CN=2×22=要使△PAB的面積最大，則CP⊥AB，此時(shí)三角形的高為PD＝2+2＝4，AB＝3﹣（﹣1）＝4，則△PAB的面積S=1故答案為：8．7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知半徑為2的圓C，圓心在x軸正半軸上，且與直線x?3y（1）求圓C的方程；（2）在圓C上，是否存在點(diǎn)P，滿足|PQ|=22|PO|，其中，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是Q（（3）若在圓C上存在點(diǎn)M（m，n），使得直線l：mx+ny＝1與圓O：x2+y2＝1相交不同兩點(diǎn)A，B，求m的取值范圍．并求出使得△OAB的面積最大的點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB的面積．【解答】解：（1）設(shè)圓心是（a，0），（a＞0），它到直線x?3y+2＝0的距離是d=解得a＝2或a＝﹣6（舍去），所以，所求圓C的方程是（x﹣2）2+y2＝4．（4分）（2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P（x，y），則由PA=22PO，得x2+y2即，點(diǎn)P在圓D：（x+2）2+y2＝2上，點(diǎn)P也在圓C：（x﹣2）2+y2＝4上．因?yàn)閨CD|=4＞rc+rd=2+2，所以圓所以，不存在點(diǎn)P滿足條件．（8分）（3）存在，理由如下：因?yàn)辄c(diǎn)M（m，n），在圓C上，所以（m﹣2）2+n2＝4，即n2＝4﹣（m﹣2）2＝4m﹣m2且0≤m≤4．因?yàn)樵c(diǎn)到直線l：mx+ny＝1的距離h=1m2+n而|AB|＝21??所以S△OAB=12|AB|h因?yàn)?16≤14m＜1，所以當(dāng)14m=12，即此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（12，72）或（12，?72），8．如圖，已知⊙C的圓心在原點(diǎn)，且與直線x+3y+42=（1）求⊙C的方程；（2）點(diǎn)P在直線x＝8上，過(guò)點(diǎn)P引⊙C的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B．①求四邊形OAPB面積的最小值；②求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)．【解答】（1）解：依題意得：圓心（0，0）到直線x+3y+42=0的距離d＝r∴r＝d=|4∴圓C的方程為x2+y2=16（2）①解：連接OA，OB，∵PA，PB是圓C的兩條切線，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴S=2∴當(dāng)PO取最小值為8時(shí)，(S②證明：由①得，A，B在以O(shè)P為直徑的圓上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，b），b∈R，則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為（4，b2∴以O(shè)P為直徑的圓方程為(x?4)即x2+y2﹣8x﹣by＝0．∵AB為兩圓的公共弦，∴聯(lián)立x2+y2=165x2+y2?8x?by=0得：直線AB的方程為8x則直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（259．（2017?新課標(biāo)Ⅲ）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2+mx﹣2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1），當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問(wèn)題：（1）能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說(shuō)明理由；（2）證明過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值．【解答】解：（1）曲線y＝x2+mx﹣2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，可設(shè)A（x1，0），B（x2，0），由韋達(dá)定理可得x1x2＝﹣2，若AC⊥BC，則kAC?kBC＝﹣1，即有1?00?x1即為x1x2＝﹣1這與x1x2＝﹣2矛盾，故不出現(xiàn)AC⊥BC的情況；（2）證明：設(shè)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），由題意可得y＝0時(shí)，x2+Dx+F＝0與x2+mx﹣2＝0等價(jià)，可得D＝m，F(xiàn)＝﹣2，圓的方程即為x2+y2+mx+Ey﹣2＝0，由圓過(guò)C（0，1），可得0+1+0+E﹣2＝0，可得E＝1，則圓的方程即為x2+y2+mx+y﹣2＝0，另解：設(shè)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓在y軸上的交點(diǎn)為H（0，d），則由相交弦定理可得|OA|?|OB|＝|OC|?|OH|，即有2＝|OH|，再令x＝0，可得y2+y﹣2＝0，解得y＝1或﹣2．即有圓與y軸的交點(diǎn)為（0，1），（0，﹣2），則過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值3．10．（2015?廣東）已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓C1：x2+y2﹣6x+5＝0相交于不同的兩點(diǎn)A，B．（1）求圓C1的圓心坐標(biāo)；（2）求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程；（3）是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線L：y＝k（x﹣4）與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．【解答】解：（1）∵圓C1：x2+y2﹣6x+5＝0，整理，得其標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x﹣3）2+y2＝4，∴圓C1的圓心坐標(biāo)為（3，0）；（2）設(shè)當(dāng)直線l的方程為y＝kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），聯(lián)立方程組(x?3)消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5＝0，由△＝36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韋達(dá)定理，可得x1+x2=6∴線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的參數(shù)方程為x=31+k2y=∴線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程為：（x?32）2+y2=94，其中（3）結(jié)論：當(dāng)k∈（?257，257）∪{?34，34}時(shí)，直線L：y理由如下：聯(lián)立方程組(x?3消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2＝0，令△＝（3+8k2）2﹣4（1+k2）?16k2＝0，解得k＝±34又∵軌跡C的端點(diǎn)（53，±253）與點(diǎn)（4，0）決定的直線斜率為∴當(dāng)直線L：y＝k（x﹣4）與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍為[?257，257]∪11．如圖，圓C：x2﹣（1+a）x+y2﹣ay+a＝0．（Ⅰ）若圓C與x軸相切，求圓C的方程；（Ⅱ）已知a＞1，圓C與x軸相交于兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)）．過(guò)點(diǎn)M任作一條直線與圓O：x2+y2＝4相交于兩點(diǎn)A，B．問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)a，使得∠ANM＝∠BNM？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】（Ⅰ）因?yàn)橛蓎=0x2?(1+a)x+y2?ay+a=0可得x2﹣（1+由題意得△＝（1+a）2﹣4a＝（a﹣1）2＝0，所以a＝1，故所求圓C的方程為x2﹣2x+y2﹣y+1＝0．（Ⅱ）令y＝0，得x2﹣（1+a）x+a＝0，即（x﹣1）（x﹣a）＝0，求得x＝1，或x＝a，所以M（1，0），N（a，0）．假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝k（x﹣1），代入x2+y2＝4得，（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣4＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），從而x1因?yàn)镹A、NB的斜率之和為y1而（x1﹣1）（x2﹣a）+（x2﹣1）（x1﹣a）＝2x1x2﹣（a+1）（x2+x1）+2a=2k因?yàn)椤螦NM＝∠BNM，所以，NA、NB的斜率互為相反數(shù)，y1x1?a+當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，仍然滿足∠ANM＝∠BNM，即NA、NB的斜率互為相反數(shù)．綜上，存在a＝4，使得∠ANM＝∠BNM．課后作業(yè).直線與圓1．已知圓C的圓心在x軸上，點(diǎn)M(0，5)在圓C上，圓心到直線2x﹣y＝0的距離為45A．（x﹣2）2+y2＝3 B．（x+2）2+y2＝9 C．（x±2）2+y2＝3 D．（x±2）2+y2＝9【解答】解：設(shè)圓C的圓心（a，0）在x軸正半軸上，則圓的方程為（x﹣a）2+y2＝r2（a＞0），由點(diǎn)M（0，5）在圓上，且圓心到直線2x﹣y＝0的距離為45得a2+5=r2|2a|∴圓C的方程為：（x﹣2）2+y2＝9．同理設(shè)圓C的圓心（a，0）在x軸負(fù)半軸上，則圓的方程為（x+a）2+y2＝r2（a＜0），∴圓C的方程為：（x+2）2+y2＝9．綜上，圓C的方程為：（x±2）2+y2＝9．故選：D．2．已知?jiǎng)又本€l與圓O：x2+y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，且滿足|AB|＝2，點(diǎn)C為直線l上一點(diǎn)，且滿足CB→=52CA→，若A．3 B．23 C．2 D．﹣【解答】解：動(dòng)直線l與圓O：x2+y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，且滿足|AB|＝2，則△OAB為等邊三角形，于是可設(shè)動(dòng)直線l為y=3（x根據(jù)題意可得B（﹣2，0），A（﹣1，3），∵M(jìn)是線段AB的中點(diǎn)，∴M（?32，設(shè)C（x，y），∵CB→∴（﹣2﹣x，﹣y）=52（﹣1﹣x，3∴?2?x=5解得x=?1∴C（?13，∴OC→?OM→=（?13，533故選：A．3．已知兩圓x2+y2+4ax+4a2﹣4＝0和x2+y2﹣2by+b2﹣1＝0恰有三條公切線，若a∈R，b∈R，且ab≠0，則1aA．3 B．1 C．49 D．【解答】解：兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+2a）2+y2＝4和x2+（y﹣b）2＝1，圓心為（﹣2a，0），和（0，b），半徑分別為2，1，若兩圓恰有三條公切線，則等價(jià)為兩圓外切，則滿足圓心距(?2a)即4a2+b2＝9，則49a2+19則1a2+1b2=（1a2+1b故選：B．4．已知點(diǎn)P（x，y）是直線kx+y+4＝0（k＞0）上一動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓C：x2+y2﹣2y＝0的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為（）A．3 B．212 C．22【解答】解：圓C：x2+y2﹣2y＝0的圓心（0，1），半徑是r＝1，由圓的性質(zhì)知：S四邊形PACB＝2S△PBC，四邊形PACB的最小面積是2，∴S△PBC的最小值＝1=12rd（d是切線長(zhǎng)）∴d圓心到直線的距離就是PC的最小值，1∵k＞0，∴k＝2故選：D．5．已知點(diǎn)P（x，y）是直線kx+y+4＝0（k＞0）上一動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓C：x2+y2﹣2y＝0的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為多少？【解答】解：圓C：x2+y2﹣2y＝0?x2+（y﹣1）2＝1，圓心C（0，1），半徑為1；…（2分）如圖，∵PA＝PB，CB⊥PB，CA⊥PA，∴SPACB∵SPACD≥2，∴PA≥2…（6分）．∵PC2＝PA2+CA2＝PA2+1，∴PC2≥5即點(diǎn)C到直線的距離為5?所以d=|1+4|k2解得：k＝±2（負(fù)舍）…（12分）所以k＝2…（13分）6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為直線x＝3上一動(dòng)點(diǎn)，以M為圓心的圓記為圓M，若圓M截x軸所得的弦長(zhǎng)恒為4，過(guò)點(diǎn)O作圓M的一條切線，切點(diǎn)為P，則點(diǎn)P到直線2x+y﹣10＝0距離最大值為35．【解答】解：設(shè)M（3，t），P（x0，y0），因?yàn)镺P⊥PM，所以O(shè)P→可得x02+y02﹣3x0﹣ty0＝0①又圓M截x軸所得的弦長(zhǎng)為4，所以4+t2＝（x0﹣3）2+（y0﹣t）2，整理得x02+y02﹣6x0﹣2ty0+5＝0②由①②得x02+y02＝5，即點(diǎn)P在圓x2+y2＝5上，于是P到直線2x+y﹣10＝0距離的最大值為105故答案為：35．7．已知圓C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，圓心坐標(biāo)C（t，2t）（t∈R，t≠（1）求證：△AOB的面積為定值；（2）直線2x+y﹣4＝0與圓C交于點(diǎn)M，N，若|OM|＝|ON|，求圓C的方程；（3）在（2）的條件下，設(shè)P，Q分別是直線l：x+y+2＝0和圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求|PB|+|PQ|的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】（1）證明：由題設(shè)知，圓C的方程為（x﹣