新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講練+易錯(cuò)題型第29講 平面向量的基本定理與坐標(biāo)運(yùn)算（解析版）

第29講平面向量的基本定理與坐標(biāo)運(yùn)算【基礎(chǔ)知識(shí)全通關(guān)】1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算a=（x1，y1）b=（x2，y2）a+b=(x1+x2，y1+y2)a-b=(x1-x2，y1-y2)λa=(λx1，λy1)3．平面向量的坐標(biāo)表示如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸方向相同的兩個(gè)單位向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0作為基底，對(duì)于平面上的一個(gè)向量SKIPIF1<0，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0=xSKIPIF1<0+ySKIPIF1<0.這樣，平面內(nèi)的任一向量SKIPIF1<0都可由SKIPIF1<0唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)SKIPIF1<0叫做向量SKIPIF1<0的（直角）坐標(biāo)，記作SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，x叫做SKIPIF1<0在x軸上的坐標(biāo)，y叫做SKIPIF1<0在y軸上的坐標(biāo)．把SKIPIF1<0=SKIPIF1<0叫做向量的坐標(biāo)表示．給出了平面向量的直角坐標(biāo)表示，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都可以用一有序數(shù)對(duì)唯一表示，從而建立了向量與實(shí)數(shù)的聯(lián)系，為向量運(yùn)算數(shù)量化、代數(shù)化奠定了基礎(chǔ)，溝通了數(shù)與形的聯(lián)系．【微點(diǎn)撥】（1）由向量的坐標(biāo)定義知，兩向量相等的充要條件是它們的坐標(biāo)相等，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．（2）要把點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)區(qū)別開(kāi)來(lái)．相等的向量的坐標(biāo)是相同的，但始點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)可以不同．比如，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，顯然A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)各不相同．（3）SKIPIF1<0在直角坐標(biāo)系中有雙重意義，它既可以表示一個(gè)固定的點(diǎn)，又可以表示一個(gè)向量．4．平面向量坐標(biāo)的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算運(yùn)算坐標(biāo)語(yǔ)言加法與減法記SKIPIF1<0=(x1，y1)，SKIPIF1<0=(x2，y2)SKIPIF1<0=(x1+x2，y1+y2)，SKIPIF1<0=(x2-x1，y2-y1)實(shí)數(shù)與向量的乘積記SKIPIF1<0=(x，y)，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0=(SKIPIF1<0x，SKIPIF1<0y)5．如何進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算在進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先將平面向量用坐標(biāo)的形式表示出來(lái)，再根據(jù)向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．在求一個(gè)向量時(shí)，可以首先求出這個(gè)向量的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)．求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo)．但同時(shí)注意以下幾個(gè)問(wèn)題：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)是有區(qū)別的，平面向量的坐標(biāo)與該向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，只有起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，平面向量的坐標(biāo)與終點(diǎn)的坐標(biāo)才相等．（2）進(jìn)行平面向量坐標(biāo)運(yùn)算時(shí)，先要分清向量坐標(biāo)與向量起點(diǎn)、終點(diǎn)的關(guān)系．（3）要注意用坐標(biāo)求向量的模與用兩點(diǎn)間距離公式求有向線段的長(zhǎng)度是一樣的．（4）要清楚向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無(wú)關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)．6．平面向量平行(共線)的坐標(biāo)表示設(shè)非零向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0SKIPIF1<0(x1，y1)=SKIPIF1<0(x2，y2)，即SKIPIF1<0，或x1y2-x2y1=0.【微點(diǎn)撥】若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0不能表示成SKIPIF1<0因?yàn)榉帜赣锌赡転?.7.三點(diǎn)共線的判斷方法判斷三點(diǎn)是否共線，先求每?jī)牲c(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量，然后再按兩向量共線進(jìn)行判定，即已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0=(x2-x1，y2-y1)，SKIPIF1<0=(x3-x1，y3-y1)，若SKIPIF1<0則A，B，C三點(diǎn)共線.【考點(diǎn)研習(xí)一點(diǎn)通】考點(diǎn)一：平面向量的正交分解例1．如下圖，分別用基底SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，并求出它們的坐標(biāo)．【解析】由圖可知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0=（―2，3）．同理可知SKIPIF1<0=3SKIPIF1<0+4SKIPIF1<0=（3，4）．SKIPIF1<0=4SKIPIF1<0―4SKIPIF1<0=（4，―5）．【總結(jié)】向量的坐標(biāo)表示是向量的另一種表示方法，對(duì)此要從兩個(gè)方面加深理解：一是相等向量的坐標(biāo)相同；二是當(dāng)向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．【變式1-1】已知邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC，頂點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn)，AB邊在SKIPIF1<0軸上，C在第一象限，D為AC的中點(diǎn)，分別求向量SKIPIF1<0的坐標(biāo)?！军c(diǎn)撥】可根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，寫出SKIPIF1<0的坐標(biāo)，然后再求題目中相應(yīng)向量的坐標(biāo)?！窘馕觥咳鐖D，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，則頂點(diǎn)A（0，0），B（2，0），C（2cos60°，2sin60°）,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【總結(jié)】向量的坐標(biāo)等于終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)，這是求向量坐標(biāo)的最基本的方法。【變式1-2】已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M在第二象限，SKIPIF1<0，∠x(chóng)OM=120°，求SKIPIF1<0的坐標(biāo)．【解析】設(shè)M（x，y），則SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【變式1-3】已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0求M、N及SKIPIF1<0的坐標(biāo).【點(diǎn)撥】根據(jù)題意可設(shè)出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，然后利用已知的兩個(gè)關(guān)系式，列方程組，求出坐標(biāo).【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0同理可求SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0【總結(jié)】向量的坐標(biāo)是向量的另一種表示形式，它只與起點(diǎn)、終點(diǎn)、相對(duì)位置有關(guān)，三者中給出任意兩個(gè)，可求第三個(gè).在求解時(shí)，應(yīng)將向量坐標(biāo)看做一“整體”，運(yùn)用方程的思想求解.向量的坐標(biāo)運(yùn)算是向量中最常用也是最基本的運(yùn)算，必須熟練掌握.【變式1-4】已知點(diǎn)SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)和SKIPIF1<0的坐標(biāo).【解析】設(shè)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所以點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別是(0，4)，(-2，0)，從而SKIPIF1<0考點(diǎn)二：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2．已知向量SKIPIF1<0，計(jì)算SKIPIF1<0。【點(diǎn)撥】先用向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)公式計(jì)算?！窘馕觥縎KIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0。【變式2-1】已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0求M、N及SKIPIF1<0的坐標(biāo).【點(diǎn)撥】根據(jù)題意可設(shè)出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，然后利用已知的兩個(gè)關(guān)系式，列方程組，求出坐標(biāo).【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0同理可求SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0【總結(jié)】向量的坐標(biāo)是向量的另一種表示形式，它只與起點(diǎn)、終點(diǎn)、相對(duì)位置有關(guān)，三者中給出任意兩個(gè)，可求第三個(gè).在求解時(shí)，應(yīng)將向量坐標(biāo)看做一“整體”，運(yùn)用方程的思想求解.向量的坐標(biāo)運(yùn)算是向量中最常用也是最基本的運(yùn)算，必須熟練掌握.【變式2-2】已知SKIPIF1<0三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（－1，0），（3，－1），（1，2）并且SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0?！军c(diǎn)撥】由于SKIPIF1<0兩點(diǎn)的坐標(biāo)已給出，因此要證SKIPIF1<0，可根據(jù)向量平行的條件，只需對(duì)相應(yīng)的坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算。解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐標(biāo)，從而求出SKIPIF1<0的坐標(biāo)，再作判斷。【解析】設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，依題意有：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0。同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【變式2-3】平面內(nèi)給定三個(gè)向量SKIPIF1<0(1)若SKIPIF1<0求實(shí)數(shù)k；(2)設(shè)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0求SKIPIF1<0.【點(diǎn)撥】(1)由兩向量平行的條件得出關(guān)于k的方程，從而求出實(shí)數(shù)k的值；(2)由兩向量平行及得出關(guān)于x，y的兩個(gè)方程，解方程即可得出x，y的值，從而求出SKIPIF1<0.【解析】(1)SKIPIF1<0SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0【總結(jié)】(1)與平行有關(guān)的問(wèn)題，一般可以考慮運(yùn)用向量平行的充要條件，用待定系數(shù)法求解；(2)向量共線定理的坐標(biāo)表示提供了代數(shù)運(yùn)算來(lái)解決向量共線的方法，也為點(diǎn)共線、線平行問(wèn)題的處理提供了簡(jiǎn)單易行的方法.考點(diǎn)三：平面向量平行的坐標(biāo)表示例3．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，A（0，0）、B（3，1）、C（4，3）、D（1，2），M、N分別為DC、AB的中點(diǎn)，求SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐標(biāo)，并判斷SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是否共線．【解析】已知A（0，0）、B（3，1）、C（4，3）、D（1，2），又M、N分別為DC、AB的中點(diǎn)，∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M（2.5，2.5），N（1.5，0.5），∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其坐標(biāo)滿足2.5×(―2.5)―2.5×(－2.5)=0，∴SKIPIF1<0、SKIPIF1<0共線．【總結(jié)】求出兩向量的坐標(biāo)，驗(yàn)證x1y2－x2y1=0即可．【變式3-1】如圖，已知SKIPIF1<0ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是（―2，1）、（―1，3）、（3，4），試求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．【解析】設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y）．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得（1，2）=（3―x，4―y）．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2）．【變式3-2】向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)k為何值時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線？【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵A、B、C三點(diǎn)共線，∴SKIPIF1<0，即(k―4)(12―k)―(k―10)×7=0．整理，得k2―9k―22=0．解得k1=―2或k2=11．∴當(dāng)k=―2或11時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線．【總結(jié)】以上方法是用了A、B、C三點(diǎn)共線即公共點(diǎn)的兩個(gè)向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共線，本題還可以利用A、B、C三點(diǎn)共線SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即得k=―2或11時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線．【變式3-3】如圖，已知A（4，5），B（1，2），C（12，1），D（11，6），求AC與BD的交點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解析】設(shè)SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，∴4(10SKIPIF1<0―11)+8(4SKIPIF1<0+1)=0，解之，得SKIPIF1<0．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（xP，yP），∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，4）．【總結(jié)】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求線段交點(diǎn)坐標(biāo)的一般方法：（1）設(shè)線段AC、BD交于點(diǎn)P（x，y），并以AC、BD為對(duì)角線作四邊形ABCD；（2）在四邊形中尋找向量的相等或共線關(guān)系；（3）利用向量的坐標(biāo)表示這些關(guān)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程（組）問(wèn)題；（4）解這個(gè)方程（組），可得到問(wèn)題的答案．【考點(diǎn)易錯(cuò)】1.如圖所示，在SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，從而求得SKIPIF1<0，故選B．2.設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一點(diǎn)，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________．【答案】-3【解析】∵SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一點(diǎn),SKIPIF1<0，∴B，C，D三點(diǎn)共線.若SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，化為：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0=?SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，比較可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.即答案為-3.3.已知向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則m=A．?8 B．?6C．6 D．8【答案】D【解析】∵SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．故選D．4.已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角的余弦值為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由題意可知：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.故選：D.5.已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上投影為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上投影為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.本題選B．【鞏固提升】1．已知平面向量SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0（）A．（-2，-1）B．（-2,1）C．（-1，0）D．（-1，2）【答案】D2．已知向量SKIPIF1<0=（1，2），SKIPIF1<0=（x，1）且SKIPIF1<0+2SKIPIF1<0與2SKIPIF1<0―SKIPIF1<0平行，則x等于（）A．4B．2C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0+2SKIPIF1<0=（1+2x，4），2SKIPIF1<0―SKIPIF1<0=（2―x，3），∴SKIPIF1<0.3．若三點(diǎn)SKIPIF1<0共線，則有（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<04．已知SKIPIF1<0分別是方向與SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸正方向相同的單位向量，設(shè)SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0），則向量SKIPIF1<0位于（）。A．第一、二象限B．第三、四象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】D【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<05．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（）。A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．（1，2）D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0則SKIPIF1<0則SKIPIF1<0。6．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則銳角SKIPIF1<0等于（）。A．45°B．30°C．60°D．30°或60°【答案】A【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0。又SKIPIF1<0為銳角，SKIPIF1<0。7．已知向量SKIPIF1<0＝(6,4)，SKIPIF1<0＝(0,2)，＝SKIPIF1<0＋λSKIPIF1<0，若點(diǎn)C在函數(shù)y＝sinSKIPIF1<0x的圖像上，則實(shí)數(shù)λ的值為()A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C．－SKIPIF1<0D．－SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴點(diǎn)C(6,4＋2λ)，∵點(diǎn)C在y＝sinSKIPIF1<0x上．∴4＋2λ＝sinSKIPIF1<0×6＝1，∴λ＝－SKIPIF1<0.8．如圖，點(diǎn)P在∠AOB的對(duì)頂角區(qū)域MON內(nèi)，且滿足：SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）可以是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】在題圖中，作PF∥ON交OM于點(diǎn)F，PE∥OM交ON于點(diǎn)E，得平行四邊形OEPF，則SKIPIF1<0，易知，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0反向，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0反向，所以在SKIPIF1<0中，應(yīng)有x＜0，y＜0。9．已知點(diǎn)M（2，3），N（8，4），點(diǎn)P在線段MN上，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=?！敬鸢浮縎KIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。10．已知a＞0，若平面內(nèi)三點(diǎn)A（1，－a），B（2，a2），C（3，a3）共線，則a=________。【答案】SKIPIF1<0【解析】A、B、C三點(diǎn)共線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴a3+a=2(a2+a)SKIPIF1<0a(a2+1)=2a(a+1)，∴a2―2a―1=0，∴