高等數(shù)學(xué)（第二版）課件：冪級數(shù)

高等數(shù)學(xué)（第二版）一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念二、冪級數(shù)冪級數(shù)無窮級數(shù)三、冪級數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)如果給定一個定義在區(qū)間I上的函數(shù)列一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念則由該函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式稱為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)無窮級數(shù)，簡稱函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。（1）對于每一個確定的值，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（1）成為常數(shù)項(xiàng)級數(shù)這個級數(shù)（2）可能收斂也可能發(fā)散。如果（1）收斂，我們稱點(diǎn)是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（1）的收斂點(diǎn)；如果（2）發(fā)散，我們稱是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（1）的發(fā)散點(diǎn)。函數(shù)項(xiàng)級數(shù)（1）的所有收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域，所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為它的發(fā)散域。（2）函數(shù)項(xiàng)級數(shù)中簡單而常見的一類級數(shù)就是各項(xiàng)均為冪次函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，即所謂的冪級數(shù)。形如二、冪級數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)我們將其稱之為以為中心的冪級數(shù)，其中常數(shù)稱作冪級數(shù)的第項(xiàng)系數(shù)。（3）我們先來討論冪級數(shù)得收斂域，為了研究方便，不妨設(shè)冪級數(shù)中的=0，即討論形如的冪級數(shù)，我們又稱之為的冪級數(shù)。這不影響討論的一般性，因?yàn)橹恍枳鞔鷵Q，就可將式（3）化成式（4）。幾何級數(shù)（4）是中心在的冪級數(shù)。它的收斂域是以原點(diǎn)為中心的對稱區(qū)間(-1,1)。定理1（阿貝爾定理）(3)若冪級數(shù)在處發(fā)散，則對于滿足不等式

的一切，冪級數(shù)發(fā)散。(2)若冪級數(shù)在處收斂，則對于滿足不等式

的一切，冪級數(shù)絕對收斂。(1)冪級數(shù)在處收斂。阿貝爾定理給出了冪級數(shù)收斂域的結(jié)構(gòu)情況，即若點(diǎn)是冪級數(shù)（4）的收斂點(diǎn)，則到坐標(biāo)原點(diǎn)距離比點(diǎn)近的點(diǎn)都是冪級數(shù)（4）的收斂點(diǎn)；若點(diǎn)是冪級數(shù)的發(fā)散點(diǎn)，則到坐標(biāo)原點(diǎn)距離比點(diǎn)遠(yuǎn)的點(diǎn)都是冪級數(shù)的發(fā)散點(diǎn)。數(shù)軸上的點(diǎn)不是冪級數(shù)（4）的收斂點(diǎn)就是發(fā)散點(diǎn)，假設(shè)冪級數(shù)（4）不僅僅在處收斂，也不是在整個數(shù)軸上收斂，設(shè)想從原點(diǎn)出發(fā)沿數(shù)軸向右行進(jìn)，先遇到的必然都是收斂點(diǎn)，一旦遇到了一個發(fā)散點(diǎn)，那么以后遇到的都是發(fā)散點(diǎn)。自原點(diǎn)向左也有類似情況。因此，它在原點(diǎn)的左右兩側(cè)各有一個臨界點(diǎn)，由定理1可知它們到原點(diǎn)的距離是一樣的，記這個距離為R。有如下推論：推論：如果冪級數(shù)不是僅在一點(diǎn)收斂也不是在整個數(shù)軸上收斂，則必存在惟一的正數(shù)，使得(1)當(dāng)時，冪級數(shù)絕對收斂；(2)當(dāng)時，冪級數(shù)發(fā)散；(3)當(dāng)時，冪級數(shù)可能發(fā)散也可能收斂。我們把滿足推論的實(shí)數(shù)稱為冪級數(shù)的收斂半徑。開區(qū)間稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間。根據(jù)冪級數(shù)在端點(diǎn)處的收斂性，就可以確定其收斂域有四種情形：或。特殊地，如果冪級數(shù)只在處收斂，此時收斂域內(nèi)僅有一點(diǎn)其收斂半徑；如果冪級數(shù)對一切均收斂，則規(guī)定其收斂半徑，此時的收斂域?yàn)?。定?設(shè)為冪級數(shù)，且，為其收斂半徑。(1)若，則。(2)若，則。(3)若，則。例1冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域。解：故收斂半徑為，收斂區(qū)間為(-1,1)。當(dāng)時，級數(shù)為萊布尼茲級數(shù)，是收斂的。當(dāng)時，級數(shù)為調(diào)和級數(shù)，發(fā)散。所以原級數(shù)的收斂域?yàn)?。?求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域。解：記，則有故收斂半徑為，收斂域?yàn)?。?求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域。解記，則有故收斂半徑為，收斂域?yàn)?。例4求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間。解記，則有故收斂半徑為，收斂區(qū)間為，即。三、冪級數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)1．冪級數(shù)的運(yùn)算設(shè)冪級數(shù)與的收斂半徑分別為與。記，則在內(nèi)有(1)(2)

其中。值得注意的是，兩個冪級數(shù)相加減或相乘的冪級數(shù)，其收斂半徑2．和函數(shù)的性質(zhì)則冪級數(shù)的和函數(shù)有如下性質(zhì)設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為，和函數(shù)為，即(1)（連續(xù)性）在內(nèi)連續(xù)，且當(dāng)在（或）處收斂時，在處左連續(xù)（或在處右連續(xù)）。(3)（逐項(xiàng)積分）在內(nèi)任何子區(qū)間上可積，并可逐項(xiàng)積分，即(2)（逐項(xiàng)微分）在內(nèi)可導(dǎo)，并可逐項(xiàng)求導(dǎo)，即且逐項(xiàng)求導(dǎo)后得到的冪級數(shù)與原冪級數(shù)的收斂半徑相同。且逐項(xiàng)積分后得到的冪級數(shù)與原冪級數(shù)的收斂半徑相同。解：所給冪級數(shù)的系數(shù)故收斂半徑為，收斂區(qū)間為(-1,1)。由于幾何級數(shù)所以例5求冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)。且，所以由逐項(xiàng)微分的性質(zhì)，當(dāng)時，解：所給冪級數(shù)的系數(shù)