高等數(shù)學(xué)（第二版）課件：數(shù)列的極限

高等數(shù)學(xué)（第二版）一、數(shù)列的概念二、數(shù)列的極限數(shù)列的極限極限與連續(xù)三、收斂數(shù)列的性質(zhì)一、數(shù)列的概念定義1按一定順序排列的一列數(shù)：稱為數(shù)列，記為。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，第項(xiàng)稱為通項(xiàng)或一般項(xiàng)。數(shù)列也可以理解為定義域?yàn)檎麛?shù)集的函數(shù)，從而可以表示為因此，數(shù)列又可以稱為整變量函數(shù)。由于數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，所以我們下面討論其單調(diào)性和有界性。則稱數(shù)列是單調(diào)增加的。對于數(shù)列，若有成立，則稱數(shù)列是單調(diào)減少的。對于數(shù)列，若有成立，單調(diào)增加或單調(diào)減少的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。對于數(shù)列，若存在正數(shù)，使得對于一切的都有成立，則稱數(shù)列是有界的，否則稱是無界的。例如數(shù)列是有界的，而是無界的。例如數(shù)列是單調(diào)增加的，數(shù)列是單調(diào)減少的。若數(shù)列的項(xiàng)數(shù)無限增大時(shí)，它的一般項(xiàng)無限接近于某個(gè)確定的常數(shù)，則稱是數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于，記為二、數(shù)列的極限從上述各個(gè)數(shù)列可以看到，隨著的逐漸增大，它們有其各自的變化趨勢：數(shù)列無限接近于常數(shù)0，但數(shù)列則不能。下面給出數(shù)列極限的初步定義：或（當(dāng)時(shí)）。若這樣的常數(shù)不存在，就稱數(shù)列沒有極限或稱數(shù)列發(fā)散。當(dāng)無限增大時(shí)，如果無限增大，則該數(shù)列極限不存在。此時(shí)，為方便起見，記為。但是，上述數(shù)列極限是直觀上的觀察結(jié)果，它沒有反映接近的程度與之間的關(guān)系，不能滿足數(shù)學(xué)理論上的推導(dǎo)的需要，為此，對數(shù)列極限需要給以嚴(yán)格的、精確的定義。定義2設(shè)數(shù)列及常數(shù)，如果對于任意給定的正數(shù)，總存在一個(gè)正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則稱常數(shù)為數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于。例1用定義驗(yàn)證。對于任意給定的正數(shù)，要使證：只要，于是取正整數(shù)，則當(dāng)，

恒成立，從而數(shù)列收斂于的幾何意義如下：在數(shù)軸上，對點(diǎn)的任何一個(gè)鄰域，都存在一個(gè)序號(hào)，使得點(diǎn)列的第個(gè)點(diǎn)以后的所有點(diǎn)都在這個(gè)鄰域之內(nèi)，即點(diǎn)列中最多除去前個(gè)點(diǎn)外，都聚集在點(diǎn)的這個(gè)鄰域之內(nèi)，如圖所示。上述幾何意義表明：一個(gè)數(shù)列增加或刪除有限多項(xiàng)不會(huì)影響其斂散性定理1（唯一性）若數(shù)列收斂，則其極限唯一。三、收斂數(shù)列的性質(zhì)利用這個(gè)定理，可以判斷某些數(shù)列沒有極限。例如，數(shù)列，一般項(xiàng)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)等于1；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)等于－1，由收斂數(shù)列極限的惟一性可以判定該數(shù)列一定發(fā)散。定理2（有界性）若數(shù)列收斂，則數(shù)列一定

有界。上述定理的逆否命題表明：無界數(shù)列一定發(fā)散。例如，數(shù)列