《1 數(shù)學(xué)建模活動的準(zhǔn)備》（同步訓(xùn)練）高中數(shù)學(xué)必修-北師大版-2024-2025學(xué)年

《1數(shù)學(xué)建?；顒拥臏?zhǔn)備》同步訓(xùn)練(答案在后面)一、單選題（本大題有8小題，每小題5分，共40分）1、在數(shù)學(xué)建?；顒又?，以下哪項不是準(zhǔn)備階段的工作內(nèi)容？A、確定問題背景B、收集數(shù)據(jù)C、編寫程序D、進(jìn)行模型驗證2、在數(shù)學(xué)建?；顒又?，以下哪個步驟是確保模型能夠反映現(xiàn)實問題的關(guān)鍵？A.收集數(shù)據(jù)B.建立模型C.模型驗證D.模型推廣3、在數(shù)學(xué)建?；顒又?，以下哪個步驟是首要的？（）A、數(shù)據(jù)收集與處理B、建立數(shù)學(xué)模型C、模型求解與驗證D、撰寫論文報告4、在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模活動時，以下哪個步驟是首先需要完成的？A.收集數(shù)據(jù)B.建立模型C.驗證模型D.分析結(jié)果5、在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模活動時，以下哪個步驟是首先需要完成的？A.數(shù)據(jù)分析B.建立模型C.模型驗證D.模型求解6、在數(shù)學(xué)建?；顒又?，以下哪項不是模型準(zhǔn)備階段的必要步驟？（）A.收集數(shù)據(jù)B.建立模型C.分析模型D.驗證模型7、在數(shù)學(xué)建?；顒又?，以下哪種方法不是常用的數(shù)據(jù)處理方法？（）A、統(tǒng)計分析法B、圖像分析法C、文字描述法D、實驗法8、某市為了研究居民用水量與季節(jié)的關(guān)系，收集了一年的數(shù)據(jù)，并決定使用數(shù)學(xué)模型來預(yù)測未來的用水量。在建立模型前，研究小組需要確定影響用水量的主要因素。下列選項中，哪一項最不可能是主要影響因素？A.季節(jié)變化B.氣溫高低C.市民的年齡結(jié)構(gòu)D.降雨量多少二、多選題（本大題有3小題，每小題6分，共18分）1、在數(shù)學(xué)建模活動中，以下哪些工具或方法可以幫助我們更好地進(jìn)行數(shù)據(jù)的收集和分析？（）A、問卷調(diào)查B、統(tǒng)計分析軟件C、在線數(shù)據(jù)平臺D、實地考察E、文獻(xiàn)研究2、在數(shù)學(xué)建模過程中，下列哪些步驟是必要的？A.定義問題B.收集數(shù)據(jù)C.建立模型D.模型求解E.結(jié)果分析F.模型檢驗3、以下哪些方法可以幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)建?；顒又刑岣呓鉀Q問題的能力？（）A.分析問題，明確問題本質(zhì)B.收集和整理數(shù)據(jù)C.學(xué)習(xí)并運用數(shù)學(xué)模型D.與他人合作交流E.進(jìn)行模擬實驗三、填空題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）1、假設(shè)某城市居民使用手機(jī)上網(wǎng)的比例為70%，現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查了該市100名居民，則預(yù)計使用手機(jī)上網(wǎng)的人數(shù)大約為______人。2、若函數(shù)y=2x+3的圖像向上平移3、在數(shù)學(xué)建?；顒又?，為了確保模型的準(zhǔn)確性，通常需要先對數(shù)據(jù)進(jìn)行________，然后再進(jìn)行模型建立和求解。四、解答題（第1題13分，第2、3題15，第4、5題17分，總分：77）第一題已知某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本函數(shù)為Cx=10x+（1）求該產(chǎn)品的利潤函數(shù)Lx（2）若要使得利潤最大，工廠應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？第二題題目：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本函數(shù)為Cx=100+3（1）求該產(chǎn)品的利潤函數(shù)Lx（2）若要使利潤最大，工廠應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？最大利潤是多少？第三題已知某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本函數(shù)為Cx=2000+3x，其中x表示生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量，且（1）求該產(chǎn)品的利潤函數(shù)Px（2）若要使利潤最大，工廠應(yīng)該生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？第四題已知某城市的居民出行需求量與居民收入水平之間存在以下關(guān)系：居民出行需求量=a*居民收入水平^b（1）若已知當(dāng)居民收入水平為10000元時，居民出行需求量為2000人次，求參數(shù)a和b的值；（2）若居民收入水平每增加1000元，居民出行需求量增加400人次，求參數(shù)a和b的值。第五題已知某城市居民在一年內(nèi)的消費情況如下表所示：項目消費金額（元）百分比食品500030%衣物300020%居住400025%交通200015%其他100010%（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，建立消費金額與各項目百分比之間的關(guān)系模型；（2）計算居民在食品、衣物、居住、交通和其他五個項目中消費金額的期望值；（3）分析居民消費結(jié)構(gòu)是否合理，并給出改進(jìn)建議?！?數(shù)學(xué)建?；顒拥臏?zhǔn)備》同步訓(xùn)練及答案解析一、單選題（本大題有8小題，每小題5分，共40分）1、在數(shù)學(xué)建?；顒又校韵履捻棽皇菧?zhǔn)備階段的工作內(nèi)容？A、確定問題背景B、收集數(shù)據(jù)C、編寫程序D、進(jìn)行模型驗證答案：C解析：數(shù)學(xué)建?；顒拥臏?zhǔn)備階段主要包括確定問題背景、收集數(shù)據(jù)、建立模型等步驟。編寫程序通常屬于模型實施階段的工作內(nèi)容。因此，C選項不屬于準(zhǔn)備階段的工作內(nèi)容。2、在數(shù)學(xué)建?；顒又?，以下哪個步驟是確保模型能夠反映現(xiàn)實問題的關(guān)鍵？A.收集數(shù)據(jù)B.建立模型C.模型驗證D.模型推廣答案：B解析：在數(shù)學(xué)建?；顒又校⒛Ｐ褪谴_保模型能夠反映現(xiàn)實問題的關(guān)鍵步驟。收集數(shù)據(jù)是建立模型的基礎(chǔ)，但僅僅收集數(shù)據(jù)并不能確保模型準(zhǔn)確反映現(xiàn)實問題。模型驗證和模型推廣是在模型建立之后進(jìn)行的步驟，它們是為了檢驗?zāi)Ｐ偷臏?zhǔn)確性和適用性。因此，正確答案是B。3、在數(shù)學(xué)建?；顒又?，以下哪個步驟是首要的？（）A、數(shù)據(jù)收集與處理B、建立數(shù)學(xué)模型C、模型求解與驗證D、撰寫論文報告答案：A解析：在數(shù)學(xué)建?；顒又?，首要的步驟是數(shù)據(jù)收集與處理。因為只有收集到準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)，才能為后續(xù)的模型建立和求解提供依據(jù)。而建立數(shù)學(xué)模型、模型求解與驗證以及撰寫論文報告都是在數(shù)據(jù)收集與處理之后進(jìn)行的。4、在進(jìn)行數(shù)學(xué)建?；顒訒r，以下哪個步驟是首先需要完成的？A.收集數(shù)據(jù)B.建立模型C.驗證模型D.分析結(jié)果答案：A解析：在數(shù)學(xué)建模活動中，首先需要完成的是收集數(shù)據(jù)。這是因為數(shù)據(jù)是建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)，沒有數(shù)據(jù)就無法進(jìn)行建模。在收集到足夠的數(shù)據(jù)之后，才能進(jìn)行模型的建立、驗證和分析。因此，選項A是正確的。5、在進(jìn)行數(shù)學(xué)建?；顒訒r，以下哪個步驟是首先需要完成的？A.數(shù)據(jù)分析B.建立模型C.模型驗證D.模型求解答案：D解析：在數(shù)學(xué)建?；顒又?，首先需要完成的步驟是建立模型。這是因為只有建立了模型，才能進(jìn)一步進(jìn)行數(shù)據(jù)分析、模型驗證和模型求解等后續(xù)步驟。建立模型是數(shù)學(xué)建模活動的核心，它為后續(xù)的各項工作奠定了基礎(chǔ)。數(shù)據(jù)分析、模型驗證和模型求解都是在模型建立之后才進(jìn)行的。6、在數(shù)學(xué)建?；顒又?，以下哪項不是模型準(zhǔn)備階段的必要步驟？（）A.收集數(shù)據(jù)B.建立模型C.分析模型D.驗證模型答案：B解析：在數(shù)學(xué)建?；顒拥臏?zhǔn)備階段，首先需要收集與問題相關(guān)的數(shù)據(jù)（選項A），然后根據(jù)數(shù)據(jù)和分析結(jié)果建立模型（選項C），最后對模型進(jìn)行驗證以確保其有效性和準(zhǔn)確性（選項D）。選項B“建立模型”實際上是數(shù)學(xué)建?；顒拥囊粋€重要步驟，但題目要求選擇“不是”模型準(zhǔn)備階段的必要步驟，因此正確答案是B。7、在數(shù)學(xué)建?；顒又校韵履姆N方法不是常用的數(shù)據(jù)處理方法？（）A、統(tǒng)計分析法B、圖像分析法C、文字描述法D、實驗法答案：C解析：在數(shù)學(xué)建模活動中，常用的數(shù)據(jù)處理方法包括統(tǒng)計分析法、圖像分析法和實驗法。統(tǒng)計分析法用于對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和總結(jié)，圖像分析法通過圖形直觀地展示數(shù)據(jù)特征，實驗法則通過實際操作獲取數(shù)據(jù)。文字描述法通常不作為數(shù)據(jù)處理方法，因為它更多的是對數(shù)據(jù)結(jié)果的描述而非分析。因此，C選項文字描述法不是常用的數(shù)據(jù)處理方法。8、某市為了研究居民用水量與季節(jié)的關(guān)系，收集了一年的數(shù)據(jù)，并決定使用數(shù)學(xué)模型來預(yù)測未來的用水量。在建立模型前，研究小組需要確定影響用水量的主要因素。下列選項中，哪一項最不可能是主要影響因素？A.季節(jié)變化B.氣溫高低C.市民的年齡結(jié)構(gòu)D.降雨量多少答案：C.市民的年齡結(jié)構(gòu)解析：在研究居民用水量與季節(jié)關(guān)系的問題中，季節(jié)變化、氣溫高低以及降雨量多少都是直接影響用水量的因素。比如，夏季高溫會導(dǎo)致更多的生活用水和灌溉用水；而降雨量的增加則可能減少某些類型的用水需求。相比之下，市民的年齡結(jié)構(gòu)雖然對特定類型的服務(wù)（如學(xué)校、醫(yī)院等）用水有影響，但它不是直接導(dǎo)致用水量隨季節(jié)變化的主要因素。因此，選項C最不可能是主要影響因素。二、多選題（本大題有3小題，每小題6分，共18分）1、在數(shù)學(xué)建?；顒又?，以下哪些工具或方法可以幫助我們更好地進(jìn)行數(shù)據(jù)的收集和分析？（）A、問卷調(diào)查B、統(tǒng)計分析軟件C、在線數(shù)據(jù)平臺D、實地考察E、文獻(xiàn)研究答案：A、B、C、D、E解析：在數(shù)學(xué)建模活動中，數(shù)據(jù)的收集和分析是至關(guān)重要的環(huán)節(jié)。問卷調(diào)查可以幫助我們收集大量的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計分析軟件可以對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和分析，在線數(shù)據(jù)平臺可以提供豐富的數(shù)據(jù)資源，實地考察可以獲取第一手?jǐn)?shù)據(jù)，文獻(xiàn)研究可以借鑒前人的研究成果。因此，以上五個選項都是數(shù)學(xué)建模活動中常用的工具或方法。2、在數(shù)學(xué)建模過程中，下列哪些步驟是必要的？A.定義問題B.收集數(shù)據(jù)C.建立模型D.模型求解E.結(jié)果分析F.模型檢驗答案：A,B,C,D,E,F解析：數(shù)學(xué)建模是一個系統(tǒng)的過程，它包括但不限于定義問題、收集數(shù)據(jù)、建立模型、模型求解、結(jié)果分析以及模型檢驗等環(huán)節(jié)。每個步驟都是為了確保模型能夠準(zhǔn)確反映實際情況，并且能夠有效地解決實際問題。因此，選項A至F所列的步驟都是數(shù)學(xué)建模過程中必不可少的組成部分。3、以下哪些方法可以幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)建?；顒又刑岣呓鉀Q問題的能力？（）A.分析問題，明確問題本質(zhì)B.收集和整理數(shù)據(jù)C.學(xué)習(xí)并運用數(shù)學(xué)模型D.與他人合作交流E.進(jìn)行模擬實驗答案：ABCD解析：在數(shù)學(xué)建模活動中，學(xué)生需要通過分析問題、明確問題本質(zhì)（A），收集和整理數(shù)據(jù)（B），學(xué)習(xí)并運用數(shù)學(xué)模型（C），以及與他人合作交流（D）來提高解決問題的能力。雖然模擬實驗（E）也是一種提高能力的方法，但在高中數(shù)學(xué)必修《1數(shù)學(xué)建模活動的準(zhǔn)備》中并未提及，故排除選項E。三、填空題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）1、假設(shè)某城市居民使用手機(jī)上網(wǎng)的比例為70%，現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查了該市100名居民，則預(yù)計使用手機(jī)上網(wǎng)的人數(shù)大約為______人。答案：70人解析：根據(jù)題目給出的信息，某城市居民使用手機(jī)上網(wǎng)的比例為70%。如果從這個城市中隨機(jī)抽取100名居民作為樣本，那么可以預(yù)期這100人中有70%的人會使用手機(jī)上網(wǎng)。計算方法為100×2、若函數(shù)y=2x+3的圖像向上平移答案：y=2x+3解析：根據(jù)函數(shù)圖象平移的規(guī)則，當(dāng)函數(shù)y=fx向上平移a個單位時，其新的函數(shù)表達(dá)式為y=fx+a。在本題中，原函數(shù)3、在數(shù)學(xué)建?；顒又校瑸榱舜_保模型的準(zhǔn)確性，通常需要先對數(shù)據(jù)進(jìn)行________，然后再進(jìn)行模型建立和求解。答案：清洗解析：在數(shù)學(xué)建?；顒又校瑪?shù)據(jù)是建立模型的基礎(chǔ)。由于實際收集到的數(shù)據(jù)往往存在缺失、異常、重復(fù)等問題，因此在正式建立模型之前，需要先對數(shù)據(jù)進(jìn)行清洗，即對數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選、整理和修正，以確保數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和可靠性。這樣可以避免因數(shù)據(jù)問題而導(dǎo)致的模型錯誤或不準(zhǔn)確。四、解答題（第1題13分，第2、3題15，第4、5題17分，總分：77）第一題已知某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本函數(shù)為Cx=10x+（1）求該產(chǎn)品的利潤函數(shù)Lx（2）若要使得利潤最大，工廠應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？答案：（1）利潤Lx等于總收入減去總成本，即LLx=20（2）為了求利潤最大值，需要找到利潤函數(shù)Lx的最大值點。由于Lx是一個二次函數(shù)，其開口向下（因為?0.1x2的系數(shù)為負(fù)），其最大值出現(xiàn)在頂點處。二次函數(shù)a在本題中，a=?0.1x=?10因此，工廠應(yīng)生產(chǎn)50件產(chǎn)品以實現(xiàn)利潤最大化。解析：（1）利潤函數(shù)Lx通過將售價函數(shù)和成本函數(shù)相減得到。注意，這里的售價函數(shù)Px是每件產(chǎn)品的售價，而x是銷售的產(chǎn)品數(shù)量，所以總收入是（2）通過求導(dǎo)數(shù)找到利潤函數(shù)的極值點，或者直接使用二次函數(shù)頂點公式求解。由于利潤函數(shù)是一個二次函數(shù)且開口向下，最大值出現(xiàn)在頂點處。通過計算得到頂點的x值為50，即工廠應(yīng)生產(chǎn)50件產(chǎn)品以獲得最大利潤。第二題題目：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本函數(shù)為Cx=100+3（1）求該產(chǎn)品的利潤函數(shù)Lx（2）若要使利潤最大，工廠應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？最大利潤是多少？答案：（1）利潤Lx為銷售收入減去成本，即代入Px和Cx的表達(dá)式，得Lx=（2）要使利潤最大，需要找到Lx的最大值。由于Lx是一個開口向下的二次函數(shù)，其最大值出現(xiàn)在頂點處。二次函數(shù)ax2+對于Lx=?0.1x2+47x?因此，工廠應(yīng)生產(chǎn)235件產(chǎn)品以實現(xiàn)最大利潤。將x=235代入Lx中，得最大利潤為L235=?解析：（1）通過定義利潤函數(shù)Lx，我們得到了一個關(guān)于x的二次函數(shù)。這個函數(shù)的系數(shù)a（2）通過求導(dǎo)或者直接使用頂點公式，我們找到了利潤函數(shù)的頂點，即利潤最大化的產(chǎn)品數(shù)量。將這個數(shù)量代入利潤函數(shù)中，我們得到了最大利潤的數(shù)值。這個方法利用了二次函數(shù)的性質(zhì)，是解決此類問題的有效方法。第三題已知某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本函數(shù)為Cx=2000+3x，其中x表示生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量，且（1）求該產(chǎn)品的利潤函數(shù)Px（2）若要使利潤最大，工廠應(yīng)該生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？答案：（1）利潤函數(shù)Px為產(chǎn)品總收入減去總成本，即Px=x×售價（2）要使利潤最大，需要找到利潤函數(shù)Px的最大值。由于Px是關(guān)于x的一次函數(shù)，其最大值發(fā)生在x的取值范圍的端點，即x=當(dāng)x=0時，當(dāng)x=150時，因此，要使利潤最大，工廠應(yīng)該生產(chǎn)150件產(chǎn)品。解析：本題考查了函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用。首先，根據(jù)題意建立利潤函數(shù)Px；其次，求出利潤函數(shù)的最大值，即找到使利潤最大化的x第四題已知某城市的居民出行需求量與居民收入水平之間存在以下關(guān)系：居民出行需求量=a*居民收入水平^b（1）若已知當(dāng)居民收入水平為10000元時，居民出行需求量為2000人次，求參數(shù)a和b的值；（2）若居民收入水平每增加1000元，居民出行需求量增加400人次，求參數(shù)a和b的值。答案：（1）代入已知條件，得：2000=a*10000^b由于10000^b=(104)b=10^(4b)，所以上式可寫為：2000=a*10^(4b)又因為當(dāng)居民收入水平為10000元時，居民出行需求量為2000人次，所以：a=2000/10^(4b)將a的表達(dá)式代入原方程，得：2000=(2000/10^(4b))*10^(4b)2000=2000由此可知，無論b取何值，方程都成立，因此參數(shù)a和b的值無法唯一確定。（2）根據(jù)題意，當(dāng)居民收入水平每增加1000元，居民出行需求量增加400人次，可以列出以下方程組：2000=a*10000^b2400=a*(10000+1000)^b將第二個方程中的10000+1000替換為10100，得：2400=a*10100^b接下來，將第一個方程中的a表示為2000/10^(4b)，代入第二個方程，得：2400=(2000/10^(4b))*10100^b化簡得：2400=2000*(10100/10(4b))b進(jìn)一步化簡，得：1.2=(10100/10(4b))b兩邊取對數(shù)，得：ln(1.2)=b*(ln(10100)-4b*ln(10))這是一個關(guān)于b的一元二次方程，可以通過求解一元二次方程來得到b的值。解得：b≈0.0168或b≈-0.0168將b的值代入第一個方程，得：2000=a*10^(4*0.0168)或2000=a*10^(4*-0.0168)解得：a≈0.0145或a≈2.736綜上所述，當(dāng)居民收入水平每增加1000元，居民出行需求量增加400人次時，參數(shù)a和b的值分別為a≈0.0145，b≈0.0168或a≈2.736，b≈-0.0168。解析：本題主要考查了指數(shù)函數(shù)和指數(shù)方程的應(yīng)用。通過代入已知條件，我們可以建立關(guān)于參數(shù)a和b的方程，進(jìn)而求解出a和b的值。需要注意的是，在求解過程中，需要對方程進(jìn)行化簡和轉(zhuǎn)換，以便于求解。此外，本題的解答過程還涉及到了一元二次方程的求解，需要掌握一元二次方程的解法。第五題已知某城市居民在一年內(nèi)的消費情況如下表所示：項目消費金額（元）百分比食品500030%衣物300020%居住400025%交通200015%其他100010%（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，建立