第06講 函數(shù)的單調(diào)性與最值（秋季講義）（人教A版2019必修第一冊(cè)）

第06講函數(shù)的單調(diào)性與最值【人教A版2019】模塊一模塊一函數(shù)單調(diào)性的判斷1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)遞增、單調(diào)遞減：名稱定義圖形表示幾何意義單調(diào)遞增一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間DI：如果x1,x2∈D，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增.

函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的圖象從左到右是上升的.單調(diào)遞減一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間DI：如果x1,x2∈D，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的圖象從左到右是下降的.)在區(qū)間D上單調(diào)遞減.(2)函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間：①當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增(減)時(shí),我們就稱它是增(減)函數(shù).

②如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.(3)常見函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)單調(diào)性一次函數(shù)y=ax+b

(a≠0)a>0時(shí)，在R上單調(diào)遞增；

a<0時(shí)，在R上單調(diào)遞減.

反比例函數(shù)a>0時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間是(,0)和(0,)；

a<0時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間是(,0)和(0,).二次函數(shù)y=a(x-m)2+n(a≠0)a>0時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間是(,m]，單調(diào)遞增區(qū)間是[m,)；

a<0時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間是[m,)，單調(diào)遞增區(qū)間是(,m].2．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.3．判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：(1)定義法；(2)圖象法；(3)簡(jiǎn)單函數(shù)單調(diào)性；(4)單調(diào)性的四則運(yùn)算：增+增=增；減+減=減；增-減=增；減-增=減；(5)復(fù)合函數(shù)：“同增異減”.【題型1函數(shù)單調(diào)性的判斷及單調(diào)區(qū)間的求解】【例1.1】（23-24高一上·重慶渝中·階段練習(xí)）函數(shù)f(x)=?x2A．(?∞,3] B．3,4 C．2,3 D．[3,+∞)【例1.2】（23-24高一上·廣東廣州·期中）已知函數(shù)fx=x+2x?1，則函數(shù)fA．在?2,+∞上單調(diào)遞增 B．在?2,+C．在1,+∞上單調(diào)遞增 D．在1,+∞上單調(diào)遞減【變式1.1】（23-24高一上·河南安陽(yáng)·期中）若定義在R上的函數(shù)fx滿足fx=3fA．?∞,?10和0,1 B．?C．?10,0和1,+∞ D．?5,0和【變式1.2】（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）下列命題正確的是（

）A．函數(shù)y=x2在R上是增函數(shù) B．函數(shù)y=1C．函數(shù)y=x2和函數(shù)y=x的單調(diào)性相同 D．函數(shù)y=模塊模塊二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用1．函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的主要應(yīng)用有以下幾個(gè)方面：(1)利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)；(2)利用函數(shù)的單調(diào)性比較大??；(3)利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式.2．利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的方法(1)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法是視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性的定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù).(2)借助常見函數(shù)(如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等)的單調(diào)性求解.需注意，若一個(gè)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的.3．利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小的方法利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量的大小.在解決比較函數(shù)值的問題時(shí)，要注意將對(duì)應(yīng)的自變量的值轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上.

4．利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的方法解關(guān)于的不等式時(shí)，可利用函數(shù)的單調(diào)性脫去“f”，轉(zhuǎn)化不等式，進(jìn)行求解即可.【題型2已知單調(diào)性求參】【例2.1】（23-24高一上·河北邯鄲·期末）已知函數(shù)fx=1?ax在區(qū)間?1,2上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)aA．?∞,0 C．?∞,12 D．0,12【例2.2】（24-25高三上·江蘇南通·開學(xué)考試）已知函數(shù)fxA．?3≤a≤0 B．?3≤a≤?2 C．a(chǎn)≤?2 D．a(chǎn)≤0【變式2.1】（23-24高一上·海南?？凇るA段練習(xí)）若函數(shù)f(x)=x2+2x+ax+1在[1,+∞A．(?∞,4] B．[0,1] C．【變式2.2】（23-24高二下·河南·期末）已知函數(shù)f(x)=ax2+x?3，若對(duì)任意的x1,x2A．(?∞,1) B．(?∞,1] C．【題型3利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小】【例3.1】（2024高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知f2?x=fx+2，且fx在0,2上單調(diào)遞減，則f1，fA．f52<fC．f72<f【例3.2】（23-24高三上·廣東湛江·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx在3,+∞上單調(diào)遞減，且fx的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱，則a=f0.2，A．a(chǎn)>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．b>a>c【變式3.1】（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=4?x2，若0<x1<xA．fx1xC．fx3x【變式3.2】（23-24高一上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足f1+x=f1?x，且?x1,x2>1，x1A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b【題型4利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式】【例4.1】（23-24高一下·黑龍江大慶·開學(xué)考試）定義在(0,+∞)上的函數(shù)y=f(x)滿足：?x1,x2∈(0,+∞A．(12,+∞) B．(0,12) C．(0,4) 【例4.2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)?1，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1，且f(2)=5，則關(guān)于x的不等式f(x)+f(4?3x)<6的解集為（

A．1,+∞ B．2,+∞ C．?∞，【變式4.1】（23-24高一上·安徽·期末）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)?,+∞，?x，y∈0,+∞，總有fx(1)判斷并證明函數(shù)fx(2)若f12=3，求解關(guān)于x【變式4.2】（23-24高二下·福建福州·期中）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)?,+∞，對(duì)任意正實(shí)數(shù)x1，x2都有fx(1)求f1(2)試判斷fx(3)若f6x2模塊模塊三函數(shù)的最值1．利用函數(shù)單調(diào)性求最值的常用結(jié)論(1)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減，那么函數(shù)y=f(x),x[a,c]在x=b處有最大值f(b)，如圖(1)所示；

(2)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增，那么函數(shù)y=f(x),x[a,c]在x=b處有最小值f(b)，如圖(2)所示.2．求函數(shù)最值的三種基本方法：(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.(3)基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.【題型5求函數(shù)的最值】【例5.1】（23-24高一下·廣東廣州·期中）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，規(guī)定y取4?x,x+2,136?x三個(gè)值中的最小值，則函數(shù)yA．有最大值2，無最小值 B．有最大值2，最小值1C．有最大值1，無最小值 D．無最大值，無最小值【例5.2】（23-24高一上·湖南衡陽(yáng)·期中）若x≥4，則函數(shù)fx=x+3A．23 B．23+1 【變式5.1】（23-24高三·河南鄭州·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx滿f2?x=f2+x，當(dāng)（1）求fx（2）求fx在2,4【變式5.2】（23-24高一上·寧夏銀川·期末）設(shè)函數(shù)fx=x2?2ax+3.(1)當(dāng)a=1(2)設(shè)函數(shù)fx在區(qū)間?2,3的最小值為ga，求【題型6根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)】【例6.1】（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函數(shù)?y=3x+2x?1,x∈(1,m]?A．-1 B．1 C．2 D．3【例6.2】（23-24高一上·浙江·期中）已知函數(shù)fx=x?2x,gx=ax+2,x∈R，用Mx表示fA．0 B．±12 C．±2【變式6.1】（23-24高一上·河南周口·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx（1）求證：fx在0,+∞（2）若fx在[1，3]上的最大值是最小值的2倍，求a【變式6.2】（23-24高一上·寧夏吳忠·期中）已知f(x)=(1)根據(jù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,+∞(2)若函數(shù)g(x)=2x+1x?2,x∈[3,a]（a>3一、單選題1．（23-24高一上·湖北十堰·期中）函數(shù)y=1??x2A．0,3 B．?∞,3 C．3,6 2．（23-24高一上·湖北·期中）已知函數(shù)fx=2x?1，x∈?2,1A．有最小值，無最大值 B．有最大值，無最小值C．既有最小值又有最大值 D．既無最小值，又無最大值3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函數(shù)fx=x2+2ax+3,x≤1A．?3,?1 B．?C．?1,0 D．?3,04．（23-24高一上·江蘇無錫·期中）已知函數(shù)fx=x2?1,x≤1axA．112,+∞C．112,15．（23-24高二下·江蘇徐州·期末）已知函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，當(dāng)x1≠x2且x1，x2∈(1,+∞)時(shí)，fx2?fx1A．c>a>b B．c>b>a C．a(chǎn)>c>b D．b>a>c6．（23-24高一上·重慶·期末）已知函數(shù)f(x)=x+4x(x>0)，記該函數(shù)在區(qū)間[t?1,t](t>1)上的最大值與最小值的差值為g(t)，則g(t)A．17?2 B．1 C．13 7．（23-24高一上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知定義在0,+∞上的函數(shù)fx滿足f2=4，對(duì)任意的x1,x2∈A．3,7 B．?∞,5 C．5,+∞8．（23-24高三上·江西·期中）已知函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞)，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0，且對(duì)任意正數(shù)x，y，都有f(x?y)=f(x)+f(y)，f4=?1，給出下列四個(gè)說法：①f1=0；②函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；③f2+f12A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題9．（23-24高一上·吉林白山·階段練習(xí)）下列命題正確的是（

）A．若對(duì)于?x1，x2∈R，x1≠B．若對(duì)于?x1，x2∈R，x1≠C．若對(duì)于?x∈R，都有fx+1<fx成立，則函數(shù)D．若對(duì)于?x∈R，都有fx，gx為增函數(shù)，則函數(shù)y=f10．（23-24高一上·湖北武漢·期中）已知定義在0,+∞的函數(shù)fx滿足：當(dāng)x1≠xA．3fB．函數(shù)y=fxxC．函數(shù)y=xfx在區(qū)間0,+D．f11．（23-24高一上·江蘇·單元測(cè)試）已知fx=3?2x，gx=A．最大值為3，最小值為?1B．最大值為7?27C．單調(diào)遞增區(qū)間為?∞,2?7和1,3D．單調(diào)遞增區(qū)間為?∞,0和1,3，單調(diào)遞減區(qū)間為三、填空題12．（23-24高一上·河北保定·期末）若函數(shù)fx=x2?4ax?3在區(qū)間?4,+∞上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)13．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知mina,b=a,a≤bb,a>b，設(shè)f(x)=minx?2,?x2+4x?2，則函數(shù)f(x)的最大值是．14．（23-24高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）定義在0,+∞上的函數(shù)fx滿足x四、解答題15．（23-24高一上·北京·期中）已知函數(shù)fx(1)證明：fx在2,6(2)求fx在2,616．（23-24高一上·河北邯鄲·期中）已知函數(shù)f(x)=ax?bx+1(a,b∈R)(1)求a,b的值；(2)用定義法證明函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(?1,+∞17．（23-24高一上·北京順義·期中）已知函數(shù)fx(1)利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明函數(shù)f