2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：相關(guān)定理在解三角形中的綜合應(yīng)用（高階拓展、競(jìng)賽適用）

第11講相關(guān)定理在解三角形中的綜合應(yīng)用

（高階拓展、競(jìng)賽適用）

（8類核心考點(diǎn)精講精練）

考情探究?

命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等，分值為13-15分

【備考策略】1.掌握正余弦定理在三角形中的應(yīng)用、熟練掌握面積公式的應(yīng)用

2能熟練掌握解三角形中的相關(guān)定理公式進(jìn)行綜合應(yīng)用

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是在新高考卷的命題考查為解答題，?？疾橄嚓P(guān)定理公式綜合，需備考綜合復(fù)習(xí)

知識(shí)點(diǎn)1海倫-奉九韶公式

知識(shí)點(diǎn)2三倍角公式

知識(shí)點(diǎn)3射影定理

知識(shí)點(diǎn)4角半分線定理

核心知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)5張角定理

知識(shí)點(diǎn)6倍角定理

知識(shí)點(diǎn)7中線電理

知識(shí)點(diǎn)8三角恒等式

考點(diǎn)1海倫-奉九韶公式及其應(yīng)用

考點(diǎn)2三倍角公式及其應(yīng)用

考點(diǎn)3射影定理及其應(yīng)用

考點(diǎn)4角平分線定理及其應(yīng)用

核心,考點(diǎn)考點(diǎn)5張角定理及其應(yīng)用

考點(diǎn)6倍角定理及其應(yīng)用

考點(diǎn)7中線長(zhǎng)定理及其應(yīng)用

考點(diǎn)8三角恒等式及其應(yīng)用

知識(shí)講解

1.海倫-秦九韶公式

三角形的三邊分別是a、b、c,

則三角形的面積為S=1p(p_aXp_b)(p_c)

其中P';,這個(gè)公式就是海倫公式，為古希臘的幾何學(xué)家海倫所發(fā)現(xiàn)并證明。

我國(guó)南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三邊求三角形面積的秦九韶公式：

2

"62-2、

S-a2b2-

4、2,

2.三倍角公式

sin3a=3sin?-4sin3a,

cos3a=4cos2tz-3cosa

3.射影定理

(3)AD-^ABxAC-BDxCD(庫(kù)斯頓定理)

c

AB口“BD

(4)c

ACQ“CD

5.張角定理

sin/3sintz_sin(a+/)

ABAC~-AD

6.倍角定理

在中，三個(gè)內(nèi)角4B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,

⑴如果/=25,則有^b2+bc

⑵如果C=24,則有:c?-a2+ab

(3)如果3=2C,則有=J+ac

倍角定理的逆運(yùn)用

在△NBC中，三個(gè)內(nèi)角/、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,

⑴如果/=b2+bcM-.A=2Bo

⑵如果c?=a?+ab,則有:C=2Ao

⑶如果〃=°2+或7,則有：8=2。。

7.中線長(zhǎng)定理

AD為的中線，則中線定理:AB2+AC2^2(AD2+DC2)

證明：

在"BD和"DC中，用余弦定理有：

222

3+8。2Ag2AD+DC-AC

<2ADBD+2ADDC-^AB'+AC2=2(AD2+DC2)

BD=DC

8.三角恒等式

在AABC中，

①sinZ+sin5+sinC=4cos—cos—cos—；

222

4B.C

@cosA+cosB+cosC=1+4sin-sin-sin一；

222

(3)sin2A+sin2B+sin2C=2+2cosAcosBcosC；

④cos2A+cos2B+cos2C=1-2cosAcosBcosC；

向.2%.2B.2C.A.B.C

◎sin——Fsm——I-sin一=1-2sin-sin一sm一；

222222

角242B2con.4.B.C

222222

⑦tanA+tanB+tanC=tanA-tanBtanC；

⑧cotA-cotB+cotA-cotC+cotB-cotC=1；

/BCABC

@cot—+cot—+cot—=cot—cot—cot一；

222222

4BBCCA

⑩tan-tan——Ftan-tan——Ftan-tan一二1。

222222

考點(diǎn)一、海倫-秦九韶公式及其應(yīng)用

典例引領(lǐng)

L(2024?浙江湖州?模擬預(yù)測(cè))若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,設(shè)0=g(a+6+c),則該三角形的面

^S=dp(p_a)(p_b)(p_c),這就是著名的“海倫-秦九韶公式"若"BC的三邊長(zhǎng)分別為5,6,7,則該三

角形的面積為.

【答案】676.

【分析】將三邊長(zhǎng)分別代入公式即可求解.

【詳解】解：由題意得

:p=g(a+6+c)=；x(5+6+7)=9

S"BC=]p(P-a)(p-b)(p-c)=79x(9-5)(9-6)(9-7)=676

故答案為：6^/6

2.(2023?江蘇?三模)海倫(Heron,約公元1世紀(jì))是古希臘亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)家，以他的名字命名的"海

倫公式"是幾何學(xué)中的著名公式，它給出了利用三角形的三邊長(zhǎng)。，b,c計(jì)算其面積的公式

1p(p-a)(p-6)5-c),其中p=：,若a=5,b=6,c=7,則借助“海倫公式"可求得△ABC的內(nèi)切

圓的半徑r的值是.

【答案】巫

3

【分析】首先根據(jù)海倫公式求得三角形N8C的面積，然后根據(jù)三角形內(nèi)切圓計(jì)算公式，計(jì)算出三角形N8C

的內(nèi)切圓.

【詳解】p="+：+'=5+："=9,SABC=J9x(9-5)x(9-6)x(9-7)=676,

A

由于%Bc=1g+6+c)/，所以3=2s=2x6^=巫.

2a+b+c5+6+73

故答案為：巫

3

【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角形面積的計(jì)算，考查三角形內(nèi)切圓半徑的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.(2023?遼寧葫蘆島?二模)《數(shù)書九章》是中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，全書十八卷共八十一

個(gè)問題，分為九類，每類九個(gè)問題，《數(shù)書九章》中記錄了秦九韶的許多創(chuàng)造性成就，其中在卷五"三斜求積

”中提出了已知三角形三邊a,b,c求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價(jià)，其求法是："以小斜幕

并大斜幕減中斜塞，余半之，自乘于上，以小斜幕乘大斜幕減上，余四約之，為實(shí)，一為從隅，開平方得

積."若把以上這段文字寫成公式，即S=0/一,現(xiàn)在有周長(zhǎng)為10+2后的。8c滿足

sinN:sin8:sinC=2:3：V7,則用以上給出的公式求得“8C的面積為（）

A.6乖＞B.477C.877D.12

【答案】A

【分析】利用正弦定理結(jié)合三角形的周長(zhǎng)可求得“3C的三邊邊長(zhǎng)，利用題中公式可求得。8c的面積.

【詳解】由題意結(jié)合正弦定理可得：a:6:c=sinN:sin8:sinC=2:3：V7,

???△/BC周長(zhǎng)為10+2萬，即°+6+°=10+2不，

.,.?=4,b=6,c=2A/7.

密+不—修⑺2］

22

所以S=16X4-=6百,

41>

故選：A.

4.（23-24高三下?重慶渝中?階段練習(xí)）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202?1261）獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了與海倫公

式等價(jià)的由三角形三邊求面積的公式，他把這種稱為“三斜求積”的方法寫在他的著作《數(shù)書九章》中.具體

的求法是："以小斜幕并大斜幕減中斜幕，余半之，自乘于上.以小斜幕乘大斜幕減上，余四約之，為實(shí)一

為從隅，開平方得積."如果把以上這段文字寫成公式，就是丘2_「+,一［］現(xiàn)將一根長(zhǎng)為

20cm的木條，截成三段構(gòu)成一個(gè)三角形，若其中有一段的長(zhǎng)度為6cm,則該三角形面積的最大值為（）

cm2.

A.6廂B.4V10C.6A/5D.475

【答案】A

【分析】S=^4a2c2-[(c+a)2-2ac-b2]2,代入后利用基本不等式可求S的得最大值.

【詳解】令6=6,貝gc=14,

S=a2c2-?+；_=l-^4a2c2-[(c+a)2-2ac-Z72]2,

代入得S=：y/[(2ac)2-(160-2ac)2]=；J160(4ac-160),

由基本不等式：14=a+c^2y[ac,所以4ac<196,可得SWGJTU,

當(dāng)且僅當(dāng)。=c=7時(shí)取等號(hào)，

所以a=c=7時(shí)，面積S取得最大值6^/5萬.

故選：A.

即時(shí)檢測(cè)

a+h+c

1.(22-23高三下?河北?期中)已知“8C中角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,p=---,則“3C

的面積$=而｝而二麗二H，該公式稱作海倫公式，最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德得出.若“BC

的周長(zhǎng)為15,(sin+sin5):(sin5+sinC):(sinC+sin^)=4:6:5,則^ABC的面積為.

【答案】電1

4

【分析】先用正弦定理解得〃=3,65,*7,代入海倫公式即可解得.

【詳解】解：可令sinZ+sin8=4%,sin5+sinC=6左，sinC+sin4=5%,

將上式相加：sinZ+sinB+sinC=g左，

357

由此可解的：sin^4=—k.sin5=—k,sinC=—A：,

由正弦定理：a:b:c=3:5:7,

又因?yàn)椋篴+b+c=15,

解得：a=3,b=5,c=7.所以夕="，上■=￡?

代入海倫公式解得：$=”正

4

故答案為：”也

4

2.(2023?浙江?模擬預(yù)測(cè))我國(guó)南宋時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中，提出了已知三角形

三邊長(zhǎng)求三角形面積的公式.在^ABC中，設(shè)。，瓦c分別為^ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，S表示“BC的面積,

a

其公式為5=b=V3,S=,貝U。.

sinC2

【答案】1或理

【分析】由正弦定理結(jié)合題設(shè)推得“=2c,利用條件解方程可得答案.

【詳解】在“BC中，由正弦定理得‘、=告，

SinasinA

而6=百，故衛(wèi)=」，結(jié)合垣=，可得￡=」)，

siri5sinAsinBsinCsinAsinC

艮［1有sin/=2sinC,a=2c,

由6=百,s=等可得冬小⑵2r4c]J

7

整理得3c4-1002+7=0,解得C2=1或02=],

故。=1或,=叵，符合題意，

3

故答案為：1或4

3.(22-23高三上?陜西渭南?階段練習(xí))我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了“三斜”求積公式，即A48C的三個(gè)

內(nèi)角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則A48C的面積S="工八2_--+廠*].若b=行,

142

a+b+c_c

,則A4BC面積S的最大值為()

sin4+sin8+sinC2sinA

D,包

A.V2B.1C

t3

【答案】C

【分析】先利用正弦定理求出。=2〃，代入公式，結(jié)合二次函數(shù)可求答案.

a+b+c

【詳解】因?yàn)樘?hào),所以c=2a；

sin/+sinB+sinC2sin/sinZ

因?yàn)榘薊所以S=W°-1=%-9a4+20/7

當(dāng)/=瞿時(shí)，S有最大值，最大值為_1_9x史Q+20XW_4=2.

94V8193

故選：C.

4.(22-23高三上?山東濱州?期中)三角形的三邊分別為a,b,c,秦九韶公式S=

和海倫公式S=Jo(p-a)(p-6)(p-c),其中”，是等價(jià)的，都是用來求三角形的面積.印度數(shù)學(xué)

家婆羅摩笈多在公元7世紀(jì)的一部論及天文的著作中，給出若四邊形的四邊分別為a,b,c,d,則

S=a){p-b)(p-c)(p-<7)-abedcos20,其中p,8為一組對(duì)角和的一半.已知四邊形四

條邊長(zhǎng)分別為3,4,5,6,則四邊形最大面積為()

A.21B.4710C.10A/5D.6廂

【答案】D

【分析】由題意可得。=3+4[+6=9,由已知可推出s=64Usin。，即可得出答案.

【詳解】??2=3,6=4,c=5,d=6,

°=3+4；5+6=9,又易知0<夕〈兀，sin6>0,

則S=yl(P~~b)(p-c)(p-d)-abedcos120

-V6X5X4X3-3X4X5X6COS20=6&Usin0，

當(dāng)sine=l,即6=1時(shí)，有最大值為6廂.

故選：D.

考點(diǎn)二、三倍角公式及其應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))己知AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c.若/=28,且A為銳

角，則5+」二的最小值為()

bcos^4

A.272+1B.3C.2V2+2D.4

【答案】A

方法一：

c1一1

【分析】將式子：+一;中的邊。都轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，即變?yōu)?COS4+--+1,由于cos/>0,利用均

bcosAcosA

值不等式便可求得其最小值.

【詳解】sinC=sin(/+B)=sinAcosB+cos4sin5=sin2BcosB+cos2BsinB

=2sin5cos2B+QCOS?3-1kinB=sinB(4cos?3_1)=sin5(2cos25+1)

/.sinC=sinBQcos/+1),即c=b(2cosA+l):.—=2cosA+l.

fb

'：A為銳角z.cosA>0f貝U￡+---=2cosA+---+1>2板+1

bcosAcosA

當(dāng)且僅當(dāng)2cos/=—即cos/=我時(shí)，等號(hào)成立，

cosA2

「1

+——7的最小值為2亞+1.

bcos?!

故選：A

方法二：三倍角公式

,/A=2B,sinC=sin（35）=3sinB—4sin3B

3sin5-4sin3B

=3-4sin2B

bsin5

=2cos/+l

,/A為銳角cosA>0f貝Ug+---=2cosA+---+1>2板+1

bcosAcosA

i0

當(dāng)且僅當(dāng)2cos4=-即cosZ=衛(wèi)時(shí)，等號(hào)成立，

cosA2

的最小值為2亞+1.

bcosA

故選：A

即

1.已知A4BC的內(nèi)角48,C的對(duì)邊分別為4,"C,若4=28,則E+［攻］的最小值為

bya)

710

A.-lB.-C.3D.—

33

解析：

因?yàn)?=28,2+8+C=〃，所以由正弦定理，得

二十（%］2;回型+（土］=始吐%*+=3-4sm"+」

b\a）sin5^sin2B）sin5\cosB）cosB

1

=4cos9B+——----1

cos25

TT

因?yàn)?=28,所以0<B<一,

3

所以cos28〉0,所以4cos2Bd----\-----1>2.4cos2Bx—\------1=3,

cos2BVcos2B

當(dāng)且僅當(dāng)4cos2B=——時(shí)，即cosB=—時(shí)等號(hào)成立，

cos2B2

所以二+（四］的最小值為3.

b\a）

故選:C.

考點(diǎn)三、射影定理及其應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.（22-23高三?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí)）在。3。中，角4瓦。所對(duì)的邊分別為。也c,S表示。的面積，

若ccosB+bcosC=Qsiib4,S=——（b2+a2-c2）,則N5=（）

12

A.90°B.60°C.45°D.30°

【答案】B

【分析】利用三角形射影定理求出角4,再利用面積定理求出角。即可計(jì)算作答.

【詳解】在中，由射影定理a=ccosB+bcosC及ccosB+bcosC=asiiL4得：asxnA=a,解得sin/=l,

而00<4<180。，則4=90°,由余弦定理cosC=/+/-°2及s="（/+>一/）得:cosC二空J(rèn)

2ab12ab

]6

而S=wa6sinC,因此，cosC=V3sinC,即tanC=Y-,又0"<C<180°,則C=30°,

23

所以8=180°-N-C=60°.

故選：B

即時(shí)檢測(cè)I

1.（21-22高三上?全國(guó)?階段練習(xí)）在。5C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是〃，b,c,

c=acosB+2cosA,2b=c,若cosC=-4，則AASC的面積為

4

【答案】乎

【分析】由三角形中的射影定理。=“0$8+6??4結(jié)合已知條件求得6的值，進(jìn)而得到c的值，然后利用

余弦定理求得。的值，進(jìn)而利用面積公式求得.

【詳解】由三角形中的射影定理。=acosB+bcos/,結(jié)合已知條件C=QCOS3+2cos4,可得6=2,

2b=c,c=4,由/=/+/一2。6cosC,可得16=/+4—4QX

解得〃=3（負(fù)值舍去），，三角形的面積為L(zhǎng)bsin。=—x3x2x

22

故答案為：當(dāng)

2.（2022?山西臨汾?一模）在中，角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足a=-36cosC,則tarU

的最大值為.

3

【答案】-/0.75

4

【分析】利用三角形射影定理結(jié)合正弦定理可得tanC=-4tan5,再由和角的正切公式，配方變形即可計(jì)算

作答.

【詳解】在中，由射影定理Q=bcosC+ccos5及〃=-3bcosC得：ccosB=-4bcosC,

由正弦定理邊化角為：sinCcosB=-4sin5cosC,于是得tanC=-4tanB,

由Q=-36COSC>0得，cosC<0,即角。是鈍角，tanB>0,

tanB+tanC3tan5

tan/=-tan（5+C）=

1-tanBtanC1+4tan2B

當(dāng)且僅當(dāng)J—「=2而后,即tanB=!時(shí)取J〃,

Vtan52

3

所以tan/的最大值為“

3

故答案為：-

考點(diǎn)四、角平分線定理及其應(yīng)用

■典例_引__領(lǐng)___

1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）Zk/BC中，邊內(nèi)上有一點(diǎn)。，證明：4。是//的角平分線的充要條件

日ABBD

7E—

ACDC

【答案】證明見解析

【分析】證明兩個(gè)命題為真：一個(gè)是由ND是NN的角平分線證明噌=能，一個(gè)是由嚕=黑證明

DC710DC

是一/的角平分線.

【詳解】證明：設(shè)〃：是//的角平分線，q：嚕=黑

如圖，過點(diǎn)3作BE〃/C交的延長(zhǎng)線與點(diǎn)E,

、I

（1）充分性（png）:若N1=N2,貝|JN1=NE,所以N2=NE,所以=又4BDEMCD4,所以

BEBDb,、，ABBD

就=而，所以就=而.

（2）必要性（［=＞。）：反之，若黑=器,則,?,3E//ZC,.?.隼=黑，所以

AOLJx^/J。

AB=BE,所以N2=NE,又BE“AC,所以N1=NE,所以N1=N2.

ADD7~）

由（1）（2）可得，N。是的角平分線的充要條件是喂=黑.

【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的證明，要證明P是夕的充要條件，必須證明兩個(gè)命題為真：即充分性：

png,必要性：qnP.

2.（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）在“8C中，/BAC=60。,AB=2,BC=娓,/8/C的角平分線交8c于

貝UAD=.

【答案】2

【分析】方法一：利用余弦定理求出ZC,再根據(jù)等面積法求出N。；

方法二：利用余弦定理求出4C,再根據(jù)正弦定理求出反C,即可根據(jù)三角形的特征求出.

如圖所示：記4B=c,AC=b,BC=a,

方法一:由余弦定理可得，22+b2-2x2xbxcos600=6,

因?yàn)椋?,解得：6=1+6，

由S“ABC=S^ABD+S&ACD可得，

—x2x6xsin600=—x2xADxsin300+—xADx6xsin30°,

222

26（1+石）

解得：AD=-b=3+^3-2

1+-

2

故答案為：2.

方法二：由余弦定理可得，2?+/一2x2x6xcos60°=6,因?yàn)閎＞0,解得：6=1+6，

由正弦定理可得，-^-=—=^-,解得：sinB=G也,sinC=—,

sin60°sinBsinC42

因?yàn)?+6＞指＞拒，所以C=45°,5=180°-60°-45°=75°,

又NBAD=30。,所以/AD2=75°,BPAD=AB=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題壓軸相對(duì)比較簡(jiǎn)單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義

結(jié)合正弦定理、余弦定理求解，知識(shí)技能考查常規(guī).

3.（2024?河北?三模）中，cos/=』，AB=4,AC=2.則乙4的角平分線的長(zhǎng)為—.

8

【答案】2

【分析】作出圖形，利用余弦定理求得2C,進(jìn)而求得cosB的值，利用正弦定理可求得2。的值，最后在

Z\ABD中利用余弦定理求得的長(zhǎng).

【詳解】在。3c中，cosA=~,AB=4,AC=2,

8

由余弦定理得BC=y/AB2+AC2-2AB-ACcosA=372，

由余弦定理得cosB==述，

2ABBC8

由題意可得/BAD=ACAD,/ADB+/ADC=兀，sinZADB=sin（兀一/ADC）=sinZADC,

由正弦定理得^^AB

在AABD中,①

sinZADB

CDAC

在△/CD中，由正弦定理得②

sinZCAD~sinZACD

—=—=2,:.BD^2CD,則助=2叱=2近,

CDAC3

在△4aD中，由余弦定理得AD=J4B2+BD?-2AB-8。cos2=2.

故答案為：2.

9IT

4.（2023?江蘇?一模）在zUBC中,ZBAC=―,NB/C的角平分線4D交3C于點(diǎn)。，△23。的面積是

△4DC面積的3倍，貝han8=（)

A.走6小

DR3A/3D.

755

【答案】A

【分析】利用面積之比可得c=3b,,作邊上高，垂足為〃，即可求tanB.

【詳解】

<--ABADsinABAD

因?yàn)榍?』----------------AB

~AC

--AC-ADsinCAD

2

即c=3b,在“BC中，作N8邊上高，垂足為a,

且L

?CHbsinNG4HbsinZCAHVV3

則niltan8=——=--------------=----------------------=——=—,

BHAB+AHAB+bcosZCAH77

—b

2

故選:A.

即時(shí)性測(cè)

3

1.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知4。是。3C的角平分線，cosNBAC=—,AB=5,AC=2,則

4

AD=.

【答案】半/刖

【分析】設(shè)N—借助張角定理可得曙=喂+嘿，結(jié)合數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解

【詳解】設(shè)NBAD=/C4D=9,

sin28sin。sin。

則由張角定理可得:---=----1---，

ADABAC

2sin6cosesin。sin?？诳?2cos。11

故--------------=--------1-------,即有-----=——+——,

ADABACADABAC

m2cos611720

所以K=^+5=5'貝U°=Tcos”‘

又因cos20=2cos2d-l=3,COS6=^^

44

所以"=型3"以恒=血

7747

2.（2023高三?全國(guó)?專題練習(xí)）在ABC中，8=120。，N8=后，N的角平分線4。=6,則/C=（）

A.2B.V5C.V6D.g

【答案】C

【分析】由正弦定理求得sinNND8=Y2,則N/OB=45。，從而得到C=30。，再根據(jù)正弦定理即可求出答

2

案.

sinZADB=ABsmB

AD

..8=120°,AB=C,AD=5

5

:.sinZADB=—得NADB=45°,

2f

NADC=135°,/BAD=180°-120°-45°=15°,

/.ZBAC=30°,.\C=30\

ACAB4cABsinB/7

，由正弦定理

sinBsinC

故選：C.

3.（2023秋?山西大同?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）（多選）設(shè)。為的外心，AB=2,AC=4,/A4C的角平

分線4"交5C于點(diǎn)〃，則（）

—?2—?1―?—?1—?2—?

A.AM=-AB+-ACB.AM=-AB+-AC

3333

C.AB-AO=2D.AMAd=6

【答案】AC

【分析】對(duì)于A、B：根據(jù)題意結(jié)合正弦定理可得需=g,結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算求而；對(duì)于C、D：

根據(jù)外心的性質(zhì)結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算求解.

ABBM?曰BMsmABAM

【詳解】在A/BM中，有正弦定理可得------------，可得----=---------

sinZAMBsinZBAMABsinZAMB

ACCMCMsmZCAM

在中，有正弦定理可得-------------，可得——=----------

sinZAMCsinZCAM--------ACsmZAMC

因?yàn)?B=2,AC=4f為/8ZC的角平分線,

可知NBAM=/CAM,ZAMB=7t-ZAMC,

貝Ijsin/BAM=sin/CAM,sinNAMB=sin(兀-ZAMC)=sinZAMC,

一/曰sinNBAMsm/CAM

可得---------=----------，

sinZAMBsinZAMC

bzBMCManBMAB1

ABACCMAC2

n\^AM=AB+BM=AB+-BC=AB+-(AC-AB^=-AB+-AC,

故A正確，B錯(cuò)誤;

分別取/8,/C的中點(diǎn)尸,￡,連接尸，可知OE，/C,O

因?yàn)?。為的外心，則刀?刀=|刀］畫cosNBNO=(1研=2,

就?益=|就卜同C0s/G40=；|可=8,

所以就?而-AO=-AB-AO+-AC-Ad=—2x2.H—1x8。=4,

3333

故C正確；D錯(cuò)誤.

故選：AC.

考點(diǎn)五、張角定理及其應(yīng)用

典例引領(lǐng)

L（內(nèi)蒙古呼和浩特?統(tǒng)考一模）如圖，已知/。是A48c中/A4c的角平分線，交BC邊于點(diǎn)D.

A

ABBD

（1）用正弦定理證明:

ACDC

（2）若N8/C=120。，4B=2,AC=1,求的長(zhǎng).

4

【答案】⑴證明見解析；⑵“

【詳解】試題分析：（1）根據(jù)是的角/A4c平分線，利用正弦定理、三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式，即

可證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)余弦定理，先求出8C的值，再利用角平分線和余弦定理，即可求出的長(zhǎng).

試題解析：（1）「AD是NBAC的角平分線，??2BADZCAD

sinZBADsinZADB

根據(jù)正弦定理，在4ABD中,

sinZ;DACsin/ADC

^EAADC中,

vsinz.ADB=sin(n-ZADC)二sin乙ADC

,sinZBAD^DBsin/DACDC

'sinZADB-AB'sinZADC-AC

,ABDB

AC-DC

222

(2)根據(jù)余弦定理，COSNBAC=BA±AC-BC

2-AB-AC

即…袈等

解得BC=A/7

ABDB

ACDC

.DB_2

"DC~T"

解得CD=Y^,BD=2^7；

33

設(shè)AD=x,貝I］在4ABD-SgAADC中,

根據(jù)余弦定理得，

2"xT

凡2f25,

且cos6CT=/+x（3）

2x2

99

解得x《，即AD的長(zhǎng)為泉

0J

2.在A48C中，角4B、。所對(duì)的邊分別為a、b、c,已知點(diǎn)。在3c邊上,

AD±AC,sinABAC=^^,AB=3后,AD=3，則CD=

3---------

解：如圖

272-cosABAC1

~9~~AC+亞

一1

272-31

--9---A--C-1--30產(chǎn)

AC=342

CD=^AD-+AC~=373

即時(shí)檢測(cè)

1.在AZBC中，角/、8、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,4D是NR4。的角平分線，若

ABAC=-,\AD\=243，則2b+c的最小值為.

3

【解析】如圖:

?/40是/氏4c的角平分線

17V

/BAD=ZCAD=-ABAC=-

26

sin/BNCsinN54DsinNDZC

由張角定理得:

ADACAB

.7C.71.兀

sin—sin—sin—

即

7_=_6_+_6.

2V3c

—1I1=1—

bc2

2b+c=（2b+c）x2

（當(dāng)且僅當(dāng)上=心,即。=J%時(shí)取"=”）

bc

2.（2024?江西宜春?三模）在中，設(shè)角4,B,。所對(duì)的邊分別為eb,c.已知。=120。，A^BC的

周長(zhǎng)為15,面積為竺Yi.

4

⑴求A/8C的外接圓面積；

⑵設(shè)。是邊N8上一點(diǎn)，在①CC?是邊上的中線；②CD是//CB的角平分線這兩個(gè)條件中任選一個(gè),

求線段8的長(zhǎng).

【答案】（1）亍

⑵答案見解析

【分析】（1）由"BC的面積為,求得浦=15,再由。BC的周長(zhǎng)為15,得到a+6=15-c,結(jié)合余

4

弦定理，求得c=7,再由正弦定理，求得外接圓半徑即可求解;

（2）若選擇①：法1：由函=；（而+Q）,結(jié)合向量的運(yùn)算法則，即可求解；

法2：設(shè)&>",列出方程組求得。=3,6=5,結(jié)合cos/4DC+cos/CD2=0,列出方程，即可求解;

若選擇②，設(shè)〃>。，求得。=3,6=5,根據(jù)黑曲；=SZUS+SABO），列出方程，即可求解；

,sinZACBsin/BCDsinZACD

法2：由----------------------1--------------,列出方程，即可求解.

CDACBC

【詳解】（1）解：由。3c的面積為絲可得S7Bc=』a6sinl20o=及8,解得碗=15,

424

又由一8。的周長(zhǎng)為15,可得a+6+c=15,即a+b=15-c,

由余弦定理得。2=/+b2-2abcosC=(a+b)2-lab-labcos120°

=(15-C)2-2X15-2X15X(--),解得0=7,

設(shè)外接圓半徑為R，由正弦定理得一^方=27?,所以尺=述，

sin12003

497r

所以“BC的外接圓面積為成2=子.

(2)解：若選擇①：

法1：由(1)矢口，。+6=15—。=8及〃b=15,

由麗=!(0+Q),B]-^IcoI2=-(c2+CB)2=-(b2+a2+labcos1200)

244

1119

=-[(a+Z))92-3a&]=-x(8?2-3x15)=—,

444

所以|麗|=半，即CD=平.

法2：不妨設(shè)b>%由a+b=15-c=8及ab=15,解得。=3,6=5,

在△4CZ)和△BCD中，可得cos/ZOC+cos/CD5=0,

(-)2+CD2-52(-)2+CD2-32

=0,解得。。=叵.

由余弦定理得4------+-—q--------

2x-xCD2x-xCD2

22

若選擇②，不妨設(shè)b>“，由Q+6=15—。=8及。6=15,角畢得。=3,6=5,

法1：由BC=S/\ACD+S^BCD，

可得"Yl=J_x5xCDsin60o+Lx3xCDsin60。，解得CD=g

4228

sin/ACBsin/BCDsinZACD

法2：由張角定理，得-----1-----

CDACBC

sin120°sin60°sin60°解得CD=?,

即-----=------1-----

CD53o

考點(diǎn)六、倍角定理及其應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.在△ABC中，角4、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,若B=2A,a=1,b=舊，則?=

解B=2A

由倍角定理得：b2=a2+ac,HP(V3)=I2+1Xcc=2

2.(2020高三?全國(guó)?專題練習(xí))設(shè)銳角。8C的三個(gè)內(nèi)角A.3.C的對(duì)邊分別為a.6.。，且c=l,A=2C,

則“BC周長(zhǎng)的取值范圍為()

A.(0,2+V2]B.