專題01平面向量的運(yùn)算名校重難點(diǎn)題型分類高分必刷題-2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué)下學(xué)期重難點(diǎn)題型分類高分必刷題（人教A版2019）

專題01平面向量的運(yùn)算名校重難點(diǎn)題型分類高分必刷題（解析版）專題簡(jiǎn)介：本份資料包含《平面向量的運(yùn)算》這一節(jié)的七種主流題型，所選題目源自各名校期中、期末試題中的典型考題，與考試的吻合度很高，本份資料具體包含的題型有：向量的概念題、抽象向量的加減法、抽象向量的數(shù)乘與共線、抽象向量的中點(diǎn)與三等分點(diǎn)、抽象向量的數(shù)量積與模、抽象向量的夾角問題、抽象向量的綜合大題。適合于培訓(xùn)機(jī)構(gòu)的老師給學(xué)生作復(fù)習(xí)培訓(xùn)時(shí)使用或者學(xué)生考前刷題時(shí)使用。題型一向量的概念題1.（市實(shí)驗(yàn)）下列說法中錯(cuò)誤的是()A.零向量是沒有方向的 B.零向量的長度為C.零向量與任一向量平行 D.零向量的方向是任意的【解答】解：零向量的方向是任意的、其長度為0，與任意向量共線，因此B，C，D，正確，A錯(cuò)誤．故選：A．2.（明德）下列命題中正確的有.(填序號(hào))①兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；②若，則；③若，則，，，四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形；④在平行四邊形中，一定有；⑤若，，則；【解答】解：兩向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩向量相等；但兩相等向量，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)，故①不正確；，由于與方向不確定，所以與不一定相等，故②不正確；，可能有A，B，C，D在一條直線上的情況，所以③不正確；在平行四邊形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，所以一定有，所以④正確；⑤顯然錯(cuò)誤；故答案為：④．3.（南雅）給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大??；③若(為實(shí)數(shù))，則必為零；④已知，為實(shí)數(shù)，若，則，共線.其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.【解答】解：（1）兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，不一定是共線向量，因此（1）不正確．（2）兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小，正確．（3）λ＝（λ為實(shí)數(shù)），則λ＝0或，因此不正確．（4）若λ，μ都為0，λ＝μ，則與不一定共線，不正確．綜上可知：只有（2）正確．故選：C．題型二抽象向量的加減法4.（市實(shí)驗(yàn)）________.【解答】解：．5.(雅禮)已知平行四邊形，是平行四邊形所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，，，，則向量等于()A. B. C. D.【解答】解：∵O是平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，＝，＝，＝，則∴＝+＝+＝+﹣＝，故選：C．6.（明德）如圖，在平行四邊形中，下列計(jì)算正確的是()（多選）A. B.C. D.【解答】解：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和向量加法的幾何意義，，∴A正確；，∴B錯(cuò)誤；，∴C錯(cuò)誤；，∴D正確．故選：BC．7.（明德）如圖，向量﹣等于（）A．﹣2e1﹣4e2 B．﹣4e1﹣2e2 C．e1﹣3e2 D．﹣e1+3e2【解答】解：設(shè)連接，起點(diǎn)的向量為，則+＝，∴＝﹣，又得＝﹣+3，∴﹣＝﹣+3，故選：D．8.（雅禮）下列運(yùn)算中正確的是（）（多選）A． B． C． 【解答】解：由向量減法定義知，故A正確；由向量加法定義知，故錯(cuò)誤；由向量加法定義知，故正確．故選：．題型三抽象向量的數(shù)乘與共線9.（市實(shí)驗(yàn)）已知向量，是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，那么下面四組向量中，不能作為一組基底的是()A.， B.，C.， D.，【解答】解：選C．10.（聯(lián)考）已知，是兩個(gè)不共線的單位向量，，，若與共線，則()A. B. C. D.【解答】解：與共線，且，存在，使，即，且不共線，根據(jù)平面向量基本定理，，解得．故選：．11.（一中）設(shè)，為兩個(gè)不共線的向量，若與共線，則________.【解答】解：。12.(一中)如圖，在中，點(diǎn)、是線段上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為．【解答】解：設(shè)，，，，共線，，，，則，點(diǎn)，是線段上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；所以的最小值為8．故答案為：8．13.（一中）如圖，在中，為的中點(diǎn)，，，與交于，，則()A. B.C. D.【解答】解：由中，為的中點(diǎn)，，，與交于，，則，由點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，則，解得，故選：D．14.（明德）如圖，在平行四邊形中，，相交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，若，則.【解答】解：根據(jù)條件：；∴；∴．故選：B．15.（師大）已知向量，是兩個(gè)非零向量，在下列四個(gè)條件中，一定能使，共線的是()（多選）A.且 B.存在相異實(shí)數(shù)，，使C.，其中實(shí)數(shù)，滿足 D.已知梯形，其中，【解答】解：A．聯(lián)立和消去向量可得出，∴，且，∴，共線；B．∵都是非零向量，且λ≠μ，，∴λ，μ都不為0，∴，∴共線；C．當(dāng)x＝y(tǒng)＝0時(shí)，滿足x+y＝0，此時(shí)對(duì)任意的向量都有，∴得不出共線；D．∵AB與CD不一定平行，∴得不出共線．故選：AB．16.（周南）如圖，四邊形是正方形，延長至，使得，連接.若動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，按如下路線運(yùn)動(dòng)：，其中，(1)當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，求的值；(2)滿足的點(diǎn)有幾個(gè)【解析】(1)連接，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，①因?yàn)椋裕?，因?yàn)椋?，②因?yàn)椋还簿€，由①②可得，解得，所以.(2)若，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，，三點(diǎn)共線，所以動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)，及與邊交點(diǎn)時(shí)滿足條件，即滿足的點(diǎn)有個(gè).17.（長郡）（1）如圖，，不共線，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，證明：存在實(shí)數(shù)，，使得，并且.（2）用向量法證明下列結(jié)論：三角形的三條中線交于一點(diǎn).【解析】（1）因?yàn)槭侵本€上的動(dòng)點(diǎn)，所以不妨設(shè)（為實(shí)數(shù)），則，，令，，則有，并且.所以存在實(shí)數(shù)，，使得，并且.（2）如圖，中，D、E、F分別是邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，求證：AD、BE、CF交于一點(diǎn).（注：此處對(duì)定理的已知和求證必須說明（符號(hào)化），不書寫該步驟不給分.）證明：不妨設(shè)BE、CF交于一點(diǎn)G，連接AG，因?yàn)镈、E、F分別是邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，所以，，，根據(jù)（1）的結(jié)論得，在中，，，，為實(shí)數(shù).在中，，，，為實(shí)數(shù).所以解得所以，即，，A、G、D三點(diǎn)共線，所以AD、BE、CF交于一點(diǎn).18.（市實(shí)驗(yàn)）設(shè)為的重心，過作直線分別交線段，(不與端點(diǎn)重合)于，.若，.(1)求的值；(2)求的取值范圍.【解析】(1)連續(xù)并延長交于，則是的中點(diǎn)，設(shè)，，則，，①又，，②∴，，∵，，三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)，使，∴，∴，消得：，即；或者另一種解法由②式得，，③把③代入①得，∵，，三點(diǎn)共線，故，即.∵，∴，∴，即，，其中時(shí)，有最大值，或時(shí)，，于是，的取值范圍是.題型四抽象向量的中點(diǎn)與三等分點(diǎn)19.（雅禮）在中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則等于()A. B.C. D.【解答】解：因?yàn)橹?，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，所以，故選：．20．(師大)在中，，．若邊上一點(diǎn)滿足，則A． B． C． D．【解答】解：因?yàn)椋?，且上一點(diǎn)滿足，所以．故選：．21.（雅禮）在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則A. B.C. D.【詳解】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，所以，故選A.22.（聯(lián)考）在中，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，則()A. B. C. D.【解答】解：如圖：為的中點(diǎn)，，．故選：．23.（市實(shí)驗(yàn)）若點(diǎn)，，分別為的邊，，的中點(diǎn)，且，，則下列結(jié)論正確的是()（多選）A. B.C. D.【解答】解：如圖，因?yàn)辄c(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，且，，所以＝+＝﹣﹣＝﹣﹣，故A錯(cuò)誤；＝（+）＝﹣+＝﹣+，故B正確；＝﹣＝﹣﹣＝﹣﹣，故C正確；＝﹣＝﹣﹣＝﹣﹣，故D錯(cuò)誤．故選：BC．24.（長郡梅溪湖）如圖，在中，，，若，則的值為()A.B.C.D.【解答】解：，，；又，，；．故選：．25.（師大）如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交直線，于不同的兩點(diǎn)，.設(shè)，，則()A. B.C. D.【解答】解：由已知得，結(jié)合，，所以．又因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線，所以，所以．故選：．題型五抽象向量的數(shù)量積與模26.（市實(shí)驗(yàn)）已知單位向量與的夾角為，則向量在向量方向上的投影為()A. B. C. D.【解答】解：因?yàn)閱挝幌蛄颗c的夾角為，所以向量在向量方向上的投影為||cos＝；故選：B．27.（南雅）已知向量與的夾角為，若，且，則_________.【解答】解：根據(jù)條件，＝；∴．故答案為：4．28.（一中）已知在中，，，，則()A. B. C. D.【解答】解：，故選：．29.（市實(shí)驗(yàn)）在邊長為的等邊三角形中，，則()A. B.C. D.【解答】解：如圖，，，∵，∴，∴＝．故選：D．30.（雅禮）在等腰直角中，，，則的值等于()A.2 B.2 C. D.【解答】解：如圖，是等腰直角三角形，且，，，，．．故選：．31.（雅禮）已知正方形的邊長為2，為的中點(diǎn)，則的值為__________.【解答】解：已知正方形的邊長為2，為的中點(diǎn)，則，32.（明德）已知菱形的邊長為，，，則的值為()A. B. C. D.【解答】解：如圖，,∴,∴＝,且,,∴＝＝＝．故選：B．33.（長郡梅溪湖）若、、是非零向量，則下列命題中的真命題是()A. B.若，則C.若，則 D.若，則【解答】解：向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，不正確，即不正確；，，，，故正確；，則，或，故不正確；，則，故不正確．故選：．34.（市實(shí)驗(yàn)）設(shè)平面向，，均為非零向量，則下列命題中正確的是()（多選）A.若，則 B.若，則與同向C.若，則 D.若，則【解答】解：當(dāng)時(shí)，可得，顯然不一定成立，A錯(cuò)誤；若，則向量夾角θ＝0或π，與同向或反向，B錯(cuò)誤；若，兩邊平方得，＝0，即，C正確；若，則＝，其中，，根據(jù)向量共線定理得，，D正確．故選：CD．35.（一中）在中，，，若為內(nèi)部的一點(diǎn)，且滿足，則()A. B. C. D.【解答】解：，點(diǎn)是三角形的重心，，，故選：．36.（聯(lián)考）已知單位向量，滿足，則的最小值為()A. B. C. D.【解答】解：由向量，為單位向量，則，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，即的最小值為，故選：．37.（雅禮）點(diǎn)P是所在平面內(nèi)一點(diǎn),滿足,則的形狀不可能是（）（多選）A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等邊三角形【詳解】∵P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，∴，即，∴，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，∴，∴，則一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，故不可能是鈍角三角形，等邊三角形，故選：AD.38.（一中）已知的面積為，在所在的平面內(nèi)有兩點(diǎn)，，滿足，，記的面積為，則下列說法正確的是()（多選）A. B.C. D.【解答】解：由，可知點(diǎn)為的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為延長線的點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，如圖所示：對(duì)于，點(diǎn)為的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以與不平行，故錯(cuò)誤；對(duì)于，故正確；對(duì)于，，故正確；對(duì)于，設(shè)的高為，即，則的面積，故正確；故選：．39.（炎德聯(lián)考）在中，為鈍角，，且，函數(shù)的最小值為，則|的最小值為________.【解答】解：在△ABC中，∠ACB為鈍角，AC＝BC＝1，函數(shù)f（m）的最小值為．∴函數(shù)＝＝，化為4m2﹣8mcos∠ACB+1≥0恒成立．當(dāng)且僅當(dāng)m＝＝cos∠ACB時(shí)等號(hào)成立，代入得到，∴．∴＝＝＝x2+（1﹣x）2﹣x（1﹣x）＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝＝y(tǒng)時(shí)，取得最小值，∴的最小值為．故答案為：．40.(雅禮)已知，，.(1)求；(2)求.【解析】①②題型六抽象向量的夾角問題41.（雅禮）若向量，滿足，，，則與的夾角為()A. B. C. D.【解答】解：選：C．42.（明德）已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為__________.【解答】解：．43.（師大）已知單位向量，滿足，若向量，則()A. B.C. D.【解答】解：由已知有，又，則，，故選：．44.（聯(lián)考）已知非零向量，滿足.(1)求，的夾角的余弦值；(2)若，求. 【解析】(1)因?yàn)?，所以，化?jiǎn)可得.因?yàn)椋?故，的夾角的余弦值為.(2)因?yàn)?，所以，?45.（長郡）已知向量，滿足，，.（1）求與的夾角；（2）若，求的值.【解析】（1）∵，∴，∴，∴.∵，∴，∴與的夾角為.（2）∵，∴，，，解得.46.（市實(shí)驗(yàn)）已知，，，的夾角為.(1)求的值；(2)求與夾角.【解析】(1)；。(2)，，，.夾角為題型七抽象向量的綜合大題47.（炎德聯(lián)考）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)、、分別在邊，，上，且滿足，，，設(shè)，.(1)用，表示，；(2)若，，求角的值.【解析】(1)，.(2)若，則，即，∴，又，∴，∴，即，∴.48.（師大）已知單位向量，的夾角為，向量，向量.(1)若，求的值；(2)若，求.【解析】(1)因?yàn)?，所以存在買數(shù)，使得，即，則有，，解得.(2)由，有，即，解得，故，所以.49.（長郡梅溪湖）已知，，.(1)求與的夾角；(2)求；(3)若，