第03講函數(shù)的奇偶性對稱性與周期性-2022年高考數(shù)學(xué)六大考點全面解讀檢測(原卷版)

第03講函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性高中教材對函數(shù)性質(zhì)這塊只講述了奇偶性和單調(diào)性，但奇偶性其實是對稱性的特殊情況，奇函數(shù)是點對稱的特殊化，偶函數(shù)是軸對稱的特殊化。隨著三角函數(shù)的學(xué)習(xí)大家認(rèn)識到了周期性，但是周期性并不是三角函數(shù)特有性質(zhì).在高考題中對對稱性和周期性的考察比較頻繁，多出現(xiàn)在選填題中，難度由簡到難跨度比較大，本節(jié)將詳細(xì)總結(jié)函數(shù)常用的性質(zhì)以及涉及到的題型奇函數(shù)偶函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱解析式與互為相反數(shù)與相等圖像關(guān)于原點對稱關(guān)于y軸對稱特殊值有意義時單調(diào)性在對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同若為奇函數(shù)，則；設(shè)則在對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反左減右增時由可得左增右減時由可得軸對稱函數(shù)：若對任意的，都有則為軸對稱函數(shù)，對稱軸是反之若函數(shù)關(guān)于軸對稱則點對稱函數(shù)：若對任意的，都有則為點對稱函數(shù)，對稱點是反之若函數(shù)關(guān)于點對稱則反函數(shù)：互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱(除上海學(xué)生外其它地區(qū)學(xué)生只掌握指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)這一對反函數(shù)即可)反函數(shù)求法：1.由解出2.將中的互換位置，得3.求的值域得的定義域函數(shù)周期：若對任意的，都有，則為周期函數(shù)，周期為（可正可負(fù)，題目中的周期一般指的是最小正周期）常見結(jié)論：若對任意的，都有，則為周期函數(shù)，周期證明：將看作整體帶入得若對任意的，都有，則為周期函數(shù)，周期證明：將看作整體帶入得若對任意的，都有，則為周期函數(shù)，周期證明：將看作整體帶入得若對任意的，都有，則為周期函數(shù)，周期證明：將看作一個整體則，所以若為偶函數(shù)且關(guān)于軸對稱則為周期函數(shù)，周期法一：關(guān)于軸對稱所以，又為偶函數(shù)即法二：畫圖若為偶函數(shù)且關(guān)于點對稱則為周期函數(shù)，周期法一：關(guān)于點對稱所以，即又為偶函數(shù)即由前面第1個結(jié)論可知法二：畫圖若為奇函數(shù)且關(guān)于點對稱則為周期函數(shù)，周期法一：關(guān)于點對稱所以，即又為奇函數(shù)即法二：畫圖若為奇函數(shù)且關(guān)于軸對稱則為周期函數(shù)，周期法一：關(guān)于軸對稱所以，又為奇函數(shù)即由前面第1個結(jié)論可知法二：畫圖 若函數(shù)的周期為，的周期為，則的周期為與的最小公倍數(shù)，但此時并不一定是最小正周期，需要驗證1.1以函數(shù)奇偶性為主的專題【例題】1.若函數(shù)為偶函數(shù)，則.【例題】2.已知函數(shù)是奇函數(shù)，，且當(dāng)時，是減函數(shù)，，則的取值范圍是.【例題】3.已知定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時若對任意實數(shù)，都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.【例題】4.已知是奇函數(shù)且是上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)只有一個零點，則實數(shù)的值是.【例題】5.設(shè)定義在上的偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，若，則實數(shù)的取值范圍是.【例題】6.已知函數(shù)則的解集為（）A.B.C.D.【例題】7.設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，.1.2函數(shù)性質(zhì)與解析式的結(jié)合【例題】1.已知為奇函數(shù)，當(dāng)時，則當(dāng)時，.【例題】2.已知，當(dāng)時，則當(dāng)時，.【例題】3.已知是定義在上周期為4的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則當(dāng)時，.1.3以點對稱為主的專題【例題】1.已知函數(shù)滿足：對任意的,，若函數(shù)與圖像的交點為，則的值為.1.4以軸對稱為主的專題【例題】1.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且，若，則.【例題】2.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，滿足，若則.【例題】3.已知函數(shù)的定義域為,當(dāng)時，單調(diào)遞減，且函數(shù)為偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.BCD.1.5以函數(shù)周期性為主的專題【例題】1.已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時則.【例題】2.函數(shù)滿足，若，則.【例題】3.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則的值為.【例題】4.已知定義在上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則，【例題】5.函數(shù)對任意實數(shù)滿足條件若，則.【例題】6.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，若對，都有，且當(dāng)時，則.1.6反函數(shù)【例題】設(shè)函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于直線對稱，且，則.1.7周期性與零點問題【例題】1.已知函數(shù)滿足且當(dāng)時，，則與的圖像的交點個數(shù)為.【例題】2.已知定義在上的偶函數(shù)滿足且在區(qū)間上若關(guān)于的方程有三個不同的實數(shù)根，求的取值范圍【例題】3.已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，若函數(shù)在區(qū)間上有8個零點（互不相同）則實數(shù)的取值范圍是.1.8三角函數(shù)的周期性與對稱性【例題】1.（多選題）已知函數(shù)則下列說法正確的是（）A.函數(shù)關(guān)于軸對稱B.函數(shù)關(guān)于點對稱C.函數(shù)周期為D.函數(shù)