2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)試題專題04 解三角形 （解析版）

專題04解三角形

一、核心先導(dǎo)

b

公式§=2R（R為AABC外接圓的半徑）

sinAsinBsinC

(1)a=2KsinA.b=2KsinB.c=2KsinC

兩角一邊求邊角

使用條件"—

-------兩邊對應(yīng)角來角

LE邊化角：邊的一次方

運用=---------------------

角化邊

ai=b1-\~c2—2bccosA

公式一？1^=<?-\-<^—2cacosB

\c2=^+b2-2abcosC

三邊求角

使用條件W兩邊一角求邊

邊化角，邊的二次方

運用0---------------------

角化邊

S4ABe=g底?高=；abMnC=^bcrinA=；acvinB=；r(a?bty)(i■為內(nèi)切胸的半徑)

二、考點再現(xiàn)

【考點1】正弦定理

卷=磊=薪=2寵依心BC外接圓的半徑）.

(l)〃=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；

正弦定

abc

(2)sinA—2R,sinB—2寵，sinC—?R；

理的常

見變形(3)a:b:c=sinA：sinB：sinC；

_____a+-+c________a_

()sin4+sinB+sinCsinA'

【考點2】余弦定理

=〃2+/-2/?(?C0SA;

b2=c24-?2-2ct/cos&

(r=(r-\-b1—labcosC.

余弦定理的常見變形

從+廿一

⑴cosA-2bc；

/+/一〃

⑵cosB-2ca；

cr+tr-c-

(3)cosC-2ab.

【考點3］三角形的面積公式

(1)S.-.ABC=2a^^為邊〃上的高)；

(2)S.ABC=：a〃sinC=^Z?csinA=；4csinB；

(3)S=^r(a+b+c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑).

三、解法解密

解法L正、余弦定理的適用條件

(1廣已知兩角和一邊”或“已知兩邊和其中一邊的對角''應(yīng)采用正弦定理.

(2)“已知兩邊和這兩邊的夾角”或“已知三角形的三邊”應(yīng)采用余弦定理.

解法2.求三角形面積的方法

(1)若三角形中已知一個角(角的大小或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求解這個角的兩邊或該角的兩邊之

積，代入公式求面積.

(2)若已知三角形的三邊，可先求其一個角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積.總之，結(jié)合圖形

恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵.

解法3.已知三角形面積求邊、角的方法

(1)若求角，就尋求夾這個角的兩邊的關(guān)系，利用面積公式列方程求解?.

⑵若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關(guān)聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解.

解法4.以平面幾何為載體的解三角形問題

解決以平面幾何為載體的問題，主要注意以下幾方面：一是充分利用平面幾何圖形的性質(zhì)；二是出現(xiàn)多

個三角形時，從條件較多的三角形突破求解：三是四邊形問題要轉(zhuǎn)化到三角形中去求解；四是通過三角形

中的不等關(guān)系（如大邊對大角，最大角一定大于等于今確定角或邊的范圍。

四、考點解密

題型一:正、余弦定理的應(yīng)用

例1.⑴、（2022?全國?模擬預(yù)測（文））在"C中，sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC?McosA=（）

B.--C.BD.-3

222

【答案】B

【分由正弦定理化角為邊，然后由余弦定理求解.

【詳解】因為sin?A=sin22?十sin2c十sinfisinC，由正弦定理得/—b~+c2+bc?

tr+c2-a21

2bc-=~2■

故選:B.

（2）、（2019?全國高考真題）AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,ct已知asinA-加inB=4csinC,

cos.A=--,則'=（）

4c

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

【解析】由已知及正弦定理可得片-6=4c?,由余弦定理推論可得

1/r^-=—-=-x4=6,故選A.

——=cosA4=---------------

42bc2bc42Z?4c2

【變式訓(xùn)練1?1】、在A48C中，角4，B,C的對邊分別為。，b,c,若a=i,

GsinAcosC+(GsinC+/?)cosA=0,則角A=()

2乃「乃一〃—5兀

A.—B.-C.-D.—

3366

【答案】D

【解析】*.*a=1?>/3sinAcosC+(>/3sinC+Z?)cosA=0?

**?石sinAcosC+5/3sinCeosA=-Z?cosA，

石sin(A+C)=Gsin8=cosA,

43asinB=-boosA，

由正弦定理可得：V3sinAsinB=-sinBcosA?

出

VsinB>0?A>/3sinA=-cosA?即：tanA=----，

3

???八￡(0,%)，???A=2.故選：D.

6

【變式訓(xùn)練1?2】、(2022?山東濟(jì)南?模擬預(yù)測)/8。的內(nèi)角4B,。的對邊分別為小b,c,已知

(2/?-?)cosC=ccosA,c是a,/?的等比中項，且A8C的面積為26，則。+6=.

【答案】4&

【分析】由正弦定理統(tǒng)一為三角函數(shù)可得cosC,再由三角形面積公式得出a/人再由等比中項及余弦定理即

可求出/+〃，即可得解.

【詳解】(%-a)8SC=coosA

由正弦定理得，2sinBssC-sinAcosC=sinCeos人，

即2sin8cosC=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB,

IA

又sinB/O,所以cosC=7，得sinC=」，

22

由Swe=；"sinC=2百，得;"x當(dāng)=26,得岫=8.

又c是小〃的等比中項，所以。2=必=8.

由余弦定理/=02+〃-2a〃cos。得=+//—ah.

：.a2+b2=2ab=\6^即/+/=16,

M(fl+Z?)2=a2+Z?2+2aZ?=16+16=32,即a+人=4&.

故答案為：4y/2

例2、(2020屆山東省濰坊市高三上期中)在AABC中，內(nèi)角4，B,。所對的邊分別為。，b,C.己

知。+〃=】0,c=5,sin2B+sinB=0.

(1)求。，/7的值：

(2)求sinC的值.

【答案】（I）。=3,b=7、（2）

14

【解析】

（1）由sin23+sin8=0,得2sin8cos3+sinB=0，

因為在AABC中，sinBwO,得cosB=-,，

2

由余弦定理"="+￡2一2碇85區(qū)，得〃=/+52-2xqx5x（—g）,

因為/?=10-。，所以（10-1）?=+52—2x4x5x（—耳），

解得。=3,所以〃=7.

（2）[hcosB=——,得sin8=^^

22

由正弦定理得sinC=—sinB=-x^-=^^-.

b7214

方法總結(jié)：本題考查正弦定理、余弦定理的公式.在解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，

要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，

則要考慮兩個定理都有可能用到.考查基本運算能力和轉(zhuǎn)化與化歸思想.

【變式訓(xùn)練2-1】、（2022.北京師范大學(xué)第三附屬中學(xué)模擬預(yù)測）已知AAC的內(nèi)角4艮。的對邊分別為“也J

且后sin8+1）=一cos（8+^.

⑴求N8的值；

⑵給出以下三個條件:條件①：/-//+c?+3c=0；條件②：〃=6力=1；條件③:SAA8c="，.這三個條件中

僅有兩個正確，請選出正確的條件并回答下面的問題：

（i）求sinA的值；

（ii）求N43。的角平分線8。的長.

【答案】（1）與

（2）??正確，⑴sin4=哼；（ii）BDq

【分析】（1）將原式直接利用輔助角公式，容易求出sin,+訃0,結(jié)合8?0㈤則易知8彳;

(2)結(jié)合8=與，此時。是三邊最大，而條件②中。=lva=G與已知矛盾，故條件①③正確，再結(jié)合面枳公式.

余弦定理以及三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(l)解:由題意知?.Gsin8+g=-cos8+f

I6)V6J

冗

sinBH—+cosIBT—=0

I6；I6)

即2sin(嗚卜。

Z?e(O,/r)、1.B+^=7r

故”與

9^7

(2)由(1)得8=7

J

/.b＞仇故條件②不成立,即條件①?正確,

在cABC中，由余弦定理可得:

A，

a2+c'-2accos

即a2+c2-b2+ac=0,

對干條件①：a2-b2+c2+3c=0.

與上式結(jié)合可得a=3,

對于條件③:LacsinB=B,c=幽,

244

故ac=15，所以c=5、

將a=3,c=5代入//+°2一〃+"=()可得：b=7、

(i)在,ABC中，由正弦定理可得:

ab

sinAsinB

37

即sinA2n,

sin—

3

.,A.13

..sinA=---,cosA=——，

1414

(i.)Q8D是N4BC的角平分線.

ZABD=^CBD.

c4n-AB-BD-sinZABDAD<

.SABD_AD2_AB_5

,BCDCDLBCBD，sinNCBDBC

2

35

,/AC=7,.'.AD=—,

8

在NA8fHi，由余弦定理可得

BD2=AB2+AD2-2ABADcosA

—2x5x更x巨225

814

故BO#.

8

綜上:條件①③正確，sinA=當(dāng)，皿=裝.

題型二:判斷三角形的形狀

例3.（I）、12.（2021?黑龍江?哈爾濱市第三十二中學(xué)校高三期中（理））在/灰；中，=二任互誓，

b-csinA

則/8。是（）

A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】利用正弦定理化簡已知條件，由此確定三角形的形狀.

【詳解】由正弦定理得產(chǎn)=匚也，即。2=〃2_02,"2+。2=凡

b-ca

所以三角形ABC是直角三角形.

故選：C

⑵、（2022?浙江省江山中學(xué)模擬預(yù)測）非直角必BC中，內(nèi)角4,B,。所對的邊分別為小b,c,則

是“tanA>tan8”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分C,充分必要D.既不充分也不必要

【答案】D

【分析】分析由“。>力”能否推出“tanA>tanBA再分析由“tan4>tan8”能否推出根據(jù)充分條件與

必要條件的定義判斷.

【詳解】若.48。滿足45=AC=1,NBAC=120，

由余弦定理可得BC=y]AB2+AC:-2AB-ACcosA=G，

此時，a>b,又tanA=-G〈tan8=M,

所以“a>〃”不能推出“tanA>tan8”，

所以“a"”不是"tanA>tan4”的充分條件，

若，ABC滿足NC4A=NAC8=30，AB=BC=\,

則/A8C=120,所以tanA>〔anB,

-<b=>Ja2+c2-laccosB=0，所以〃>“，

所以“l(fā)anA>tan8”不能推出

所以“〃>b”不是“tanA>lan8”的必要條件，

故選：D.

【變式訓(xùn)練3-1】、（2018?廣東?珠海市第二中學(xué)高二期中（理））在A8C中，若如1=則.A8C為

tanBb'

（）

A.等邊三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】D

【分析】將已知等式化邊為角，億切為弦，結(jié)合二倍角公式，得到sin2A=sin28,再由A4角的范圍，即

可得出結(jié)論.

【詳解】由正弦定理得，±=電立，

b2sin2B

再由tanA_sinAcosB_sin2A

tanBcosAsinBsin'4

又A,Be（0,^,）,sinA>0,sinB>0,

所以sinAcosA=sinAcosB,sin2A=sin2B,

24=28或2A+28=萬，

即A=3或A+B=].

故選:D.

【變式訓(xùn)練3?2】、（2022?山西大附中高一階段練習(xí)）在/BC中，^acosI3+bcosA=a,則/8C的形狀

是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三半形D.等邊三角形

【答案】A

【分析】由正弦定理把已知的等式化邊為角，結(jié)合兩角和的正弦化簡，求出sinC=sinA,進(jìn)一步求得”=c,

即可得解.

【詳解】解：由〃cos3+68sA=。,結(jié)合正弦定理可得:sinAcosB+sinBcosA=sinA,

.?.sin（3+A）=sinA,得：sinC=sinA,

??.〃=c,則的形狀為等腰三角形.

故選：A.

題型三:三角形中的范圍與最值問題

例3.（1）、（2022?安徽?合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知在乂3C中，acosB+bcosA=cs\nC.若

NBAC與/A3C的內(nèi)角平分線交于點/,的外接圓半徑為1,則△44/面積的最大值為（）

A.|+5/2B.1+Vs

C.5/2—1D.V3—1

【答案】C

【分析】由正弦定理結(jié)合已知條件可求得。=三，可得出"+從=4,再利用等面積法可得出，"C內(nèi)切圓

半徑的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式可求得△附面積的最大值.

【詳解】由4cosB+/?cos4=csinC及正弦定我!可得sin?C=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC,

CG（0,^）,所以，sinOO,則sinC=l,所以，c=^,

所以，ABC的外接圓直徑為AB=2,

222

設(shè)內(nèi)角A、B、C的對邊分別記為“、〃、c,則c=2,所以，?+b=c=4,

設(shè)，ABC的內(nèi)切圓半徑為，則&級="〃="（〃+"。），所以，/?=—,

22a+b+2

因亞S二二曲二ab（a+b-2）二=〃+/

'比'2a+h+2（4+〃+2）（々+〃-2）a2+b2-4-i-2ab2,

因為2（/+〃）=（/+/）+（/+6+〃）+2ab=（a+b）2,

所以，Saw=學(xué)-［苜（［+/L=拒7，當(dāng)且僅當(dāng)〃="=及時，等號成立，

因此，△制面積的最大值為0T.

故選：C.

（2）、已知在銳角AABC中，角A，B,C的對邊分別為。，b,c,若乃cosC=c、cos5,則

,++的最小值為（）

tanAtanBtanC

I.亞B.新C.正

D.275

33

【答案】A

［解析］2/78sC=ccosB,；.2sinBcosC=sinCeosB,

tanC=2tanB.乂八1B1C=萬,

tanB+tanC3tanB_3tanB

tanA=tan［,r-（B+C）］=-tan（B+C）=

1-tanBtanCl-2tan2B_2tan2/?-l

-2tan"］」+".二

tanAtanBtanC3tanBtanB2tanB36tanB

又???在銳角中，tanB>O.A-tanB+—^—>2j-tanBx^^=—,當(dāng)且僅當(dāng)

36tanBV36tanB3

tan8=，］時取等號，f-----1------1-----=———?故選A.

2ytanAtanBtanCJinin3

（3）、（2022?全國?模擬預(yù)測（理））如圖,在平面四邊形ABCD中,NBA。=45°，ZBCD=135°>Z5DC=15°,

CD=&,則四邊形人8C。面積的最大值為.

［答案］石+2—+1

2

【分析】在△04。中，由正弦定理得到8。=2；用面積公式求UZXO4C的面積，在明中，由余弦定理

得cos/BADJ叫二日，再由基本不等式得到14川，|4。|45"5^，繼而求出.。射面積的最

大值，然后可得出結(jié)果.

【詳解】在△O4C中，NC8O=30,~^~=.Wn8￡>=2：5DBC=-|BD||CD|sin15=^1-,

sin30sin135DBC211112

在中,

2|44|4￡>|2

4

化簡得：回2=4+陽明.|4^2|他.|明,KP：\AB\-\AD\

-1^2

S所/)=；|"卜|人。設(shè)皿45<x=72+1；

正1+及+1=石+2&+1

???四邊形的面積最大為:

2F

G+2a+1

故答案為:

2

【變式訓(xùn)練4?1】、(2022.安徽省舒城中學(xué)三模(文))我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求

三角形面積的“三斜求積”，設(shè)二4?C的三個內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為〃，江c,面積為5,則“三斜求

積”公式為5=小"“弓嚀若a，sinC=2sinA(4+c『=6+〃，則用“三斜求積”公式求得

人他?的面積為()

A.巫B.73

C.D.I

22

【答案】A

【分析】根據(jù)因為/sinC=2sinA,(a+c)2=6+〃，利用正弦定理得到M+c?-/,",代入體積公式求

解.

【詳解】解：因為sinC=2sinA,(a+c)~=6+/?2,

所以ac=2,a2+c2-b2=6-2ac=2^

故選：A

【變式訓(xùn)練4?2】、已知AA8C的面積為0+1，且滿足——+^—=1,則邊AC的最小值為.

tanAtanB

【答案】

43cosAccosB.

【解析】???——+--=1,:.4A-------+3--------=1,4cosAsinB+3cosBsinA=sinAsinB,

tanAtanBsinAsinB

3cosAsinB+3cosBsinA=sinAsinB-cosAsinB,

即3sin(A+B)=sinB(sinA-cosA)，即3sinC=sinB(sinA-cosA)，

伙sin4-cosA)

/.3c=b(sinA-cosA)即c=

3

2

??'aclmkgcLAZ?(sin>4-cosA)sinA

.AABC的面積S=—bcsinA=-----------------------------

26

/b2

=——(sin2A-cosAsinA)=—(1-sin2A-cos2A)=0+1，

612

12(及+1)_12(及+1)

?,-b2=l-sin2A-cos2A".弓.f>V3c=b(sinA-cosA)>0,且OVAVm

1-<2sinI2An+—j

???￡<Av肛.?.包<2A+工V包，，當(dāng)2人+工=網(wǎng)即A=包時，b?取得最小值口(&(I)=12,

44444281+V2

???b的最小值為26，即AC最小值為2G.

故答案為：2g.

【變式訓(xùn)練4-3】、(2022?江蘇?蘇州外國諾學(xué)校模擬預(yù)測)在銳角.A8C中，角AI,C所對的邊分別為“ScS

為幺5c的面積，且2s=/-(〃-4，則2的取值范圍___________.

C

【答案】d

【分析】利用三角形面積公式與余弦定理，可得28sA=2-sinA,再根據(jù)同角關(guān)系式可得sinA,cos4,umA,

4

然后利用正弦定理與三角恒等變換公式化簡可得出，結(jié)合條件可得的取值范圍，進(jìn)而即

b-=-5--,1—3tanC

ctanC5

得.

【詳解】因為25=/-(》一,『，且S=；Z?csinA,

所以力csinA=a2-(^b-c)2,即b24-c2-a2=bc(2-sinA),

由余弦定理得：cosA='+i-J

2hc

所以28sA=2-siiiA,又cos'A十sin'A=1，

所以sin?A+(\--sinA)2=1,

2

4

解得：sini4=—n￡sinA=0,

因為為銳角三角形，

,sinA4

川l以tanA=------=—,

cosA3

因為A+8+C="，

所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

bsinBsinAcosC+cosAsinC

由正弦定理得:-=------=-----------------------------

csinCsinC

434

-cosC+-sinC—

__=^_2Q

sinCtanC+5

因為A8C為銳角三角形,

0<B<—A+2

2

所以,EP-

0<C<-

2°<Y

所以會4＜。音

所以tanC>tan|四一A=cosA3

12>sin4-4'

14

所以0<-

lanC3

4

所5

以H6

o<<--

tC-5

all-

故答案為:

【變式訓(xùn)練4-4】、（2022?黑龍江?大慶實驗中學(xué)模擬預(yù)測（文））在三角形A8C中，角A,B,C所對的邊

分別為，，b,c,若等二中等

則該三角形周長的最大值為

3瓜

【答案】

【分析】利用止弦定理化簡式子，求出tanB的值，進(jìn)而求出8的大小，由余弦定理結(jié)合基本天等式即可求

出a+cW?，即可求出三角形周長的最大值.

【詳解】由正弦定理變形有：包4=半，又因為包2=如雙=走，所以GcosB=sinB,則

abab2

tanB=5;.B4,又因為底上g=也,所以力_26cos8_#，

3b2b——j=----

又因為//=a'+c2-2^ccosB=(a+c)2-3ac>[a+c)~=；(4+c)?,

所以（a+c）2w4/=4x：=6=a+cK>/S,當(dāng)且僅當(dāng)“〃二c”時取等.

則該三角形周長的最大值為〃+/2+C=6+"=￡￡

22

故答案為：巫.

2

題型四:解三角形的實際應(yīng)用

例5.（1）、（2022?吉林長春?模擬預(yù)測（文））如圖，從高為。的氣球（A）上測量待建規(guī)劃鐵橋（BC）

的長，如果測得橋頭（8）的俯角是〃，橋頭（C）的俯角是夕，則橋8。的長為（）

B,巴色W

sinasinp

C.sin（a"）.D.四七四?

cosacospcoscrcos/?

【答案】A

【分析】分別在直角三角形中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出C。.與80,由CD-BD求出8C的長即可.

【詳解】解：如圖所示：

由題意得：1AD=h、/ABD=a,

在RtAACD中，tanZACD=,即tanp=今,

整理得：。。=丁勺；

tanp

在RtAABD中，tanZ.ABD=,即tana=-^―,

HDBD

h

整理得：BD=

tana

則BC=33±--=j

tanp（anasin0sina

_sinacosft-cosasinft_sin（a-/?）

=ft=fl.

sinasinpsinasinp

故選:A.

（2）、（2019?陜西?安康市教學(xué)研究室二模（理））如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A

處時測得公路北側(cè)一山頂。在西偏北45。（即N84C=45。）的方向上，行駛I公里后到達(dá)8處，測得山頂

。在西偏北75。的方向上，仰角為60。，則此山的高度8=m.

【答案】1000V6

【分析】由已知結(jié)合正弦定理求出BC,然后結(jié)合銳角三角函數(shù)定義，求出OC.

(詳解］在.ABC中，N8AC=45°,N8C4=75°-45°=30°.AB=1000m.

ABBC

由正弦定理，得

sinNBCA-sin/BAC

1000BC

所以一廠=近,

2T

所以8c=10000，

因為NC8O=60。，所以1皿6()。=鋁二/,

所以。C=出BC=l(XX)x/2xx/3=1000V^.

故答案為：1000指

【變式訓(xùn)練5“】、（2022?全國?模擬預(yù)測（文））某學(xué)習(xí)小組的學(xué)習(xí)實踐活動是測量圖示塔48的高度.他

們選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C,D,測得』BDC=],且基點C,。間的

34

距離為CO=（30+10G）m,同時在點。處測得塔頂A的仰角為3，則塔高人8為（）

A

A.20mB.20x/3mC.40mD.15Gm

【答案】A

【分析】設(shè)A8=x，則=利用正弦定理即得解.

【詳解】解:設(shè)AB=x，則3C=向.

由題得/。8。=4一工一生=之）.

3412

5.產(chǎn)巴1&6&V6+V2

sin—7i=sin（—+—）=—x——+——x—=-----------.

126422224

30+106—百x

在八8C。中，由正弦定理得國邁一近‘."一△<

~1~2

所以塔高20m.

故選：A

【變式訓(xùn)練5?2】、（2022?浙江?鎮(zhèn)晦中學(xué)模擬預(yù)測）油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品,至今已有1000多年的歷史，

為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，北京市文化宮于春分時節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動中，某油紙傘撐開后

擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個半徑為2的圓，圓心到傘柄底端距離為2,陽光照射

抽紙傘在地面形成了一個橢圓形影子（春分時，北京的陽光與地面夾角為60）,若傘柄底正好位于該橢圓

的焦點位置，則該橢圓的離心率為.

【答案】2-G##-G+2

【分析】根據(jù)左焦點到右頂點距離可得〃+c：在A8C中，利用正弦定理可求得。，由此可得c,進(jìn)而求得

離心率.

【詳解】如圖所示,

傘柄底端應(yīng)該位于橢圓的左焦點，且左焦點到右頂點的距離為2及，即a+c=2&;

2a4

在，"C中，由正弦定理得：T（60+45）=嬴而，

212222）3叵+限

a=---:------7=---------=---7=——=--------，

BG3

T

...c=2&—逑上巫=/二立，「?該橢圓的離心率為e=￡=蜂邙=2—6.

33a3x/2+V6

故答案為：2-石.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查橢圓離心率的求解，解題關(guān)鍵是能夠提煉出基本圖形，結(jié)合正弦定理可求

得橢圓的〃，c,由此可得離心率.

五、分層訓(xùn)練

A組基礎(chǔ)鞏固

1.（2022?河北?模擬預(yù)測（理））已知“1BC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為的面積為地"=2,

2

c=acosB-1,則。=（）

A.V7B.MC.2x/5D.2癡

【答案】B

【分析】設(shè)三角形A8C外接圓半徑是R,根據(jù)正弦定理和余弦定理即可求解.

【詳解】設(shè)三角形A8C外接圓半徑是R,

因為c=acos4-l,所以sinC=sin人cosB-一—,

2R

sinAcos3+sinBcosA=sinAcos4-----,

2R

：.sin3cosA=艮口力cosA=-1,

因為〃=2,所以cosA=—J,因為A?0㈤，解得A=g,

S=—bcs\nA=—c=^^~,解得c=3,

由222

又cosA="+cT,即」=4+9”,解得〃=

2bc22x2x3

故詵:B.

2.（2023?江西景德鎮(zhèn)?模擬預(yù)測（理））已知MAC中，設(shè)角A、B、C所對的邊分別為。、〃、c,4?C的

面積為S,^3sin2B+2sin2C=sinA（sinA+2sinBsinC）,則*的值為（）

A.-B.gC.ID.2

42

【答案】B

【分析】首先根據(jù)正弦定理將等式中的角轉(zhuǎn)化成邊得：“2+2/=/+2/sinA,通過余弦定理可將等式化簡

整理為2+￡=sinA-co$A=應(yīng)通過三角函數(shù)圖像可知2+三4夜，同時通過基本不等式可知

c2b\47C2b

2+三之夜，即得仁￡=&,通過取等條件可知A=學(xué)，c=、&，將其代入問題中即可求解答案.

c2bc2b4

【詳解】已知3sin28+2sin，C=sin，A+sinA.(2sinBsinC)

由正弦定理可知：勸2+2c2=a2+2如sinA,

/.3z>2+2c2-a2-2Z>csinA，

整理得：(^2+C2-a2)+2b2+c2=2AcsinA,

兩邊同除3c得：從+>2+空心MA

2bc2bc

根據(jù)余弦定理得：cosA+-+^-=sinA,即￡=sin4-cosA=6sin|A,

c2bc2b\4；

?./>(),C>0>[+?2K=當(dāng)且僅當(dāng)g與，即°=同時等號成立.

乂-+^-=sin4-cos4=V2sinfA-^kx/2,當(dāng)且僅當(dāng)A=g時，等號成立.

c2bV4

綜上所述：*三之3且々十三4也，

c2Z;c2b

故得：2+三=血，此時c=H.A=￥,

c2b4

S0=—1p八csi.n——3屬=及—b，e,,..S-7=五---b-=e-五----c-=近---7n2=—1.

244b-4h24b42

故選：B

3.（2022?全國?武功縣普集高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,

113、1

若H-------：—,且sin(C-8)=二sinA,則c?一從=()

tanBtanCZJCSIIIA2

A.1B-1C.2D-i

【答案】B

【分析】利用正弦定珅、余弦定理，結(jié)合三角恒等變換公式，杷已知條件轉(zhuǎn)化為各功的關(guān)系式，即可得出

答案.

113cosBcosC3

【詳解】-----1-----=--------，化簡得----+-----=-----

tanBtanCbesinAsinBsinChesinA

er+C2-b2a2+b2-c2

由正弦定理、余弦定理，得.12ab3,化簡得〃=G，

babc

由sin(C-B)=，sinA=，sin(C+4),展開整理得5訪。0088=3$皿300$。,

22

則c.X二￡=三,即2卜2_")=/=3,

2ac2ab

所以02一〃=:a,

2

故選:B.

4.（2022?四川?模擬預(yù)測（文））在“8C中，角A8,C的對邊分別為a?c,已知三個向量m=,8$^

11=/j.COSylp=fc.COSy共線，則“8c的形狀為（）

乙）\乙）

A.等邊三角形B.鈍角三角形

C.有一個角是g的直角三角形D.等腰直角三角形

6

【答案】A

RA

【分析】由向量共線的坐標(biāo)運算可得acosT=》cos2,利用正弦定理化邊為角，再展開二倍角公式整理可

22

AR

得sin丁s喧，結(jié)合角的范圍求得A3同理可得89見答案可求.

AitnA

【詳解】?向量〃?=(a,cos—),〃=(0,cos—)共線，f/cos—=/?cos—,

2222

BA

由正弦定理得：sinAcos—=sinBcos—,

22

,2sin&os48sO=2sin紇。s&osd,則sid=sinO,

22222

冗A

<一,/.一9，即4=8.

22222

同理可得6=C.

「..ABC形狀為等邊三角形.

故選：A.

5.（2021?山東?日照神州天立高級中學(xué)）在AABC中,sin2A=sin2B+sin2C,則4ABC的形狀是（）.

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】A

【分析】由正弦定理的邊角關(guān)系可得"=從+。2,即可知△A6C的形狀.

【詳解】由正弦定理得，/=/+。2,

???△4BC為直角三角形.

故選:A

6.12022?吉林市教育學(xué)院模擬預(yù)測（理））在二ABC中，4B,C所對的邊分別為a",c,若a2—及=c?—Gbc

且分cosC=asin3,則A8c是（）

A.等腰直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.直角三角形

【答案】A

【分析】由"-記結(jié)合余弦定理可求得八三