第19章 幾何證明 壓軸題（解析版）-A4

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第頁第19章幾何證明壓軸題一、單選題1．（24-25八年級(jí)上·上海徐匯·期中）如圖，在中，，角平分線BD，CE交于點(diǎn)O，于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①BE；②；③；④；其中正確結(jié)論是（

）A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①③【答案】A【分析】如圖1過作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式得到，故①正確；根據(jù)角平分線的定義得到，，求得，于是得到，故②錯(cuò)誤；在上截取，連接，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，，于是得到，故③正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，于是得到，故④正確．【詳解】解：如圖1過作于，平分，，，，故①正確；，，、分別平分、，且、相交于點(diǎn)，，，，，，，，，故②錯(cuò)誤；在上截取，連接，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，故③正確；，，，，，，故④正確，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及其推論等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確地作出所需要的輔助線，構(gòu)造全等三角形，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)解決問題．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)B、O分別落在點(diǎn)、處，點(diǎn)在x軸上，再將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)在x軸上，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)在x軸上，依次進(jìn)行下去……，若點(diǎn)，．則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)已知求出三角形三邊長度，然后通過旋轉(zhuǎn)發(fā)現(xiàn)，…，由圖象可知點(diǎn)在x軸上，，根據(jù)這個(gè)規(guī)律可以求得的坐標(biāo)．【詳解】解：由圖象可知點(diǎn)在x軸上，，，，，，．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形的變化-旋轉(zhuǎn)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是從特殊到一般探究規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用規(guī)律解決問題，屬于中考?？碱}型．二、填空題3．（22-23八年級(jí)上·上海長寧·期末）我們把不等邊三角形一條邊上的中線與這條邊上的高的夾角叫做該三角形的“偏離角度”．已知直角三角形的“偏離角度”為，斜邊長為4，那么它的面積等于．【答案】或【分析】本題考查了直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，三角形中線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．分情況討論：①如圖，當(dāng)直角三角形斜邊上的中線與它高夾角為時(shí)，可知，再利用直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半，得到，利用勾股定理求得，即可得到答案；②如圖，當(dāng)直角三角形直角邊上的中線與它高夾角為時(shí)，可得到，利用勾股定理求得，即可得到答案．【詳解】解：①如圖，在中，為斜邊的高，為斜邊的中線，,為斜邊的中線，又，，即②如圖，在中，為直角邊的中線，根據(jù)題意，為直角邊邊的中線，即解得：綜上，直角三角形的面積為或故答案為：或．4．（2023·上海虹口·一模）我們規(guī)定：如果一個(gè)三角形一邊上的高等于這條邊，那么這個(gè)三角形叫做“等高底”三角形，這條邊叫做這個(gè)三角形的“等底”．如圖，已知直線，與之間的距離是3，“等高底”的“等底”在直線上（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），點(diǎn)在直線上，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，那么的長為．【答案】或【分析】根據(jù)題意分情況畫出相應(yīng)圖，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)找到線段對(duì)應(yīng)關(guān)系求解即可．【詳解】解：當(dāng)如下圖所示時(shí)，，，點(diǎn)到直線的距離為，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，；當(dāng)如下圖所示時(shí)，，，點(diǎn)到直線的距離為，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，在中，，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、勾股定理、二次根式的運(yùn)算等知識(shí)，分情況討論并畫出相應(yīng)圖像是解題關(guān)鍵．5．（20-21八年級(jí)上·上海普陀·期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，將△ACD沿直線AD翻折得到△AED，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)BE，如果△BDE是以BD為直角邊的等腰直角三角形，那么BC的長等于．【答案】12或【分析】根據(jù)題意可知，需要分兩種情況，，，畫出對(duì)應(yīng)的圖形，再根據(jù)折疊的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，如圖，此時(shí)，四邊形是正方形，則，又是等腰直角三角形，屬于，所以；②當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)，則，，由折疊可知，，由題意可知，，，，即是等腰直角三角形，，，，，解得，．故答案為：12或．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換、勾股定理、解直角三角形、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想解決問題．6．（上海金山·期末）已知,在△ABC中,BC=3,∠A=22.5°,將△ABC翻折使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合,折痕與邊AC交于點(diǎn)P,如果AP=4,那么AC的長為【答案】【分析】過B作BF⊥CA于F，構(gòu)造直角三角形，分兩種情況討論，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)，即可得到AC的長．【詳解】分兩種情況：①當(dāng)∠C為銳角時(shí)，如圖所示，過B作BF⊥AC于F，由折疊可得，折痕PE垂直平分AB，∴AP=BP=4，∴∠BPC=2∠A=45°，∴△BFP是等腰直角三角形，∴BF=DF=，又∵BC=3，∴Rt△BFC中，CF=，∴AC=AP+PF+CF=5+；②當(dāng)∠ACB為鈍角時(shí)，如圖所示，過B作BF⊥AC于F，同理可得，△BFP是等腰直角三角形，∴BF=FP=，又∵BC=3，∴Rt△BCF中，CF=，∴AC=AF-CF=3+.故答案為：5+或3+．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問題以及勾股定理的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是分兩種情況畫出圖形進(jìn)行求解．解題時(shí)注意：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．7．（上海閔行·期末）在中，，，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)在上，，將沿著翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，那么的面積．【答案】或【分析】通過計(jì)算E到AC的距離即EH的長度為3，所以根據(jù)DE的長度有兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)D在H點(diǎn)上方時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)D在H點(diǎn)下方時(shí)，兩種情況都是過點(diǎn)E作交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)G作交AB于點(diǎn)Q，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出AH,DH的長度，進(jìn)而可求AD的長度，然后利用角度之間的關(guān)系證明，再利用等腰三角形的性質(zhì)求出GQ的長度，最后利用即可求解．【詳解】①當(dāng)點(diǎn)D在H點(diǎn)上方時(shí)，過點(diǎn)E作交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)G作交AB于點(diǎn)Q，，點(diǎn)是中點(diǎn)，．∵，．，，．，，，，

，．由折疊的性質(zhì)可知，，，，．又，．，．，即，．，；②當(dāng)點(diǎn)D在H點(diǎn)下方時(shí)，過點(diǎn)E作交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)G作交AB于點(diǎn)Q，，點(diǎn)是中點(diǎn)，．∵，．，，．，，，，

，．由折疊的性質(zhì)可知，，，，．又，．，．，即，．，，綜上所述，的面積為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，含30°的直角三角形的性質(zhì)，能夠作出圖形并分情況討論是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在中，，于點(diǎn)，平分，且于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②；③；④、都是等腰三角形．其中正確的是．【答案】①②④【分析】證明即可判斷①，證明即可判斷②；過作于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，結(jié)合，可得，又可得，即可判斷③，證明、，可判斷④．【詳解】解：①∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，在和△FBD中，，∴，∴，故①正確；②∵平分，，∴，，在和中，，∴，∴，∴，又∵，∴，故②正確；③如圖所示，過作于點(diǎn)，∵是邊的中點(diǎn)，，∴，即，∴，又∵平分，，∴，∴，又∵，∴，∵，，∴，故③錯(cuò)誤；④∵，，，∴，又∵，∴，∴，∴為等腰三角形，∵，∴，∴為等腰三角形，即、都為等腰三角形，故④正確，∴正確的是①②④．故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查等腰三角形的判定性質(zhì)，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，第三個(gè)問題難度比較大，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在等腰梯形中，，，，，直角三角板含角的頂點(diǎn)放在邊上移動(dòng)，直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)，斜邊與交于點(diǎn)，若為等腰三角形，則的長為．

【答案】或或2【分析】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，易證四邊形是矩形，進(jìn)而證明，得到，的長，由勾股定理求得，然后證明是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求出的長；②當(dāng)時(shí)，利用等腰梯形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，求得，進(jìn)而得到，再利用，即可求出得長；③當(dāng)時(shí)，利用等腰梯形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，求得，進(jìn)而利用勾股定理，得出的長，再利用三角形內(nèi)角和定理，易證是等腰直角三角形，得到，最后由勾股定理即可求出的長．【詳解】解：①如圖1，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，

等腰梯形中，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，在和中，，，，，，，在中，，，，，，，是等腰直角三角形，，在中，，；②如圖2，當(dāng)時(shí)，

，等腰梯形中，，，，，，，，，，，；③如圖3，當(dāng)時(shí)，

等腰梯形中，，，，，，在中，，，，，是等腰直角三角形，，在中，；綜上所述，CF的長為或或2．故答案為：或或2．10．（2023·江蘇蘇州中考）如圖，．過點(diǎn)作，延長到，使，連接．若，則．（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】/【分析】如圖，過作，交CA的延長線于點(diǎn)，設(shè)，可得，證明，，為等腰直角三角形，，，由勾股定理可得：，再解方程組可得答案．【詳解】解：如圖，過作，交CA的延長線于點(diǎn)，

設(shè)，∵，，∴，∵，∴，，為等腰直角三角形，∴，∴，由勾股定理可得：，整理得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)不符合題意；∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．11．如圖，在等邊中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動(dòng)，連接，以為邊，在的右側(cè)按如圖所示的方式作等邊，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長是．【答案】8【分析】連接，作于，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，過點(diǎn)作，則，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，所以，，接著證明得到，于是可判斷點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為一條線段，此線段到的距離為2，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，作等邊三角形，則，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，作等邊三角形，作于，則△，所以，所以，于是得到當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長為8．【詳解】解：連接，作于，如圖所示：為等邊三角形，，過點(diǎn)作，則，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，為等邊三角形，，，，，，在和中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為一條線段，此線段到的距離為2，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，作等邊三角形，，則，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，作等邊三角形，作于，則△，，，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長為8．故答案是：8．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，也考查了等邊三角形的性質(zhì)．在解決問題時(shí)，關(guān)鍵要掌握點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，利用代數(shù)或幾何方法確定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律．12．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，過A作AEBC，且AE＝AB，AB上有一點(diǎn)F，連接EF．若EF＝AC，CD＝4BD，則＝．【答案】【分析】在CD上取一點(diǎn)G，使GD=BD，連接AG，作EH⊥AB交BA的延長線于點(diǎn)H，先證明△AEH≌△GAD，得EH=AD，AH=GD，再證明Rt△EHF≌Rt△ADC，得FH=CD，于是得AF=GC，則，得S△AEF=S△GAC，設(shè)GD=BD=m，則CD=4BD=4m，所以CG=4m-m=3m，BC=4m+m=5m，則，，得，于是得到問題的答案．【詳解】解：如圖，在CD上取一點(diǎn)G，使GD=BD，連接AG，作EH⊥AB交BA的延長線于點(diǎn)H，∵AD⊥BC于點(diǎn)D，∴AG=AB，∠H=∠ADG=90°∴∠AGD=∠B，∵AE//BC，∴∠EAH=∠B，∴∠EAH=∠AGD，∵AE=AB，∴AE=AG，在△AEH和△GAD中，，∴△AEH≌△GAD（AAS），∴EH=AD，AH=GD，在Rt△EHF和Rt△ADC中，，∴Rt△EHF≌Rt△ADC（HL），∴FH=CD，∴FH-AH=CD-GD，∴AF=GC，∴，∴S△AEF=S△GAC，設(shè)GD=BD=m，則CD=4BD=4m，∴CG=4m-m=3m，BC=4m+m=5m，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、有關(guān)面積比問題的求解等知識(shí)與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題13．（22-23八年級(jí)上·上海長寧·期末）在中，已知，，點(diǎn)在射線上，連接，．(1)如圖1，若的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)，求的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，求證：；(3)若，，請(qǐng)直接寫出的長．【答案】(1)(2)見解析(3)或【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可推出，得到，再利用三角內(nèi)角和可得到，求出，最后由，即可得到答案；（2）取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得到，從而推出，再由，推出，從而得到，得證；（3）①當(dāng)在邊上時(shí)，作于，由，推出，設(shè)，用表示出、、、、，然后在中和在中利用勾股定理建立方程，求解即可；②當(dāng)在的延長線上時(shí)，連接，作于，再取的中點(diǎn)，連接，先證明，同①，設(shè)，然后在中和在中利用勾股定理建立方程，求解即可．【詳解】（1）解：的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)又又，（2）證明：如圖1，取的中點(diǎn)，連接又（3）解：如圖2，當(dāng)在邊上時(shí)，作于，由（2）可知，設(shè)，，，在中，在中，解得：，即如圖3，當(dāng)在的延長線上時(shí)，連接，作于，再取的中點(diǎn)，連接．由題意，又設(shè)，．在中，在中，解得：，即綜上，的長為或．故答案為：的長為或．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并能作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．14．（23-24八年級(jí)上·上海長寧·期末）已知在，，點(diǎn)P在邊上，連接．(1)如圖1，如果點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，求證：；(2)過點(diǎn)P作，交邊于點(diǎn)D，①如圖2，如果點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，且，求的度數(shù)；②填空：如果，，且是以為腰的等腰三角形，那么的長等于．【答案】(1)見解析(2)①30°；②或【分析】（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)得，則，再證，得，即可得出結(jié)論；（2）①取BD的中點(diǎn)E，連接，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得，再證，得，則，即可解決問題；②分兩種情況，a、時(shí)，b、時(shí)，由直角三角形的性質(zhì)和勾股定理分別求出的長即可．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴；（2）解：①如圖2，取BD的中點(diǎn)E，連接，則，，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∵，點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴，即的度數(shù)為30°；②∵，，，∴，分兩種情況：a、如圖3，時(shí)，由（1）可知，，過點(diǎn)P作于點(diǎn)M，則，∴，設(shè)，則，在和中，由勾股定理得：，即，解得：，∴，∴；b、如圖4，時(shí)，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，即，解得：，∴；綜上所述，的長等于或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理以及分類討論等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．15．（21-22八年級(jí)下·上?！て谀┨菪沃?，，，，，點(diǎn)是中點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交射線于點(diǎn)，的角平分線交射線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的長；(2)若點(diǎn)在線段上，，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)定義域；(3)聯(lián)結(jié)、，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，求的長．【答案】(1)(2)(3)的長為或或．【分析】（1）聯(lián)結(jié)，過作于，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，在中，由勾股定理可得，然后證明四邊形ABHD是矩形，求出DH＝AB＝4，CH＝2，在中，由勾股定理可得CD的長；（2）聯(lián)結(jié)，過點(diǎn)作于，求出，，在中，由勾股定理可得，整理后可得答案；分情況討論：當(dāng)在線段上時(shí)，當(dāng)時(shí)，可證≌，過作于，在中，求出，即可求得；當(dāng)時(shí)，設(shè)，可證≌（ASA），求出，然后在中，利用勾股定理可求AD；當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，如圖4，此時(shí)，同理可得≌，過作交BC的延長線于，在中，求出CH即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖，聯(lián)結(jié)，過作于，，平分，，，，，∴在中，，∵，，∴∠A＝180°－90°＝90°，又∵∠DHB＝90°，∴四邊形ABHD是矩形，∴DH＝AB＝4，AD＝BH＝3，∴CH＝5－3＝2，∴在中，；（2）如圖，聯(lián)結(jié)，過點(diǎn)作于，是的垂直平分線，，，，，，，，，在中，由得：，整理得：，∵點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，AD＝3，∴，∴；（3）如圖，當(dāng)在線段上時(shí)，當(dāng)時(shí)，是的垂直平分線，，，∴∠PED＝∠PDE，∠PDC＝∠PCD，∵∠PED＋∠PDE＋∠PDC＋∠PCD＝180°，，平分，，又∵CE＝CE，≌（AAS），，，，過作于，在中，，；當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，，，，，，，又∵，≌（ASA），，，，，∴在中，，（負(fù)值已舍去）；當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，如圖4，此時(shí)，，同理可得：≌（AAS），，過作交BC的延長線于，在中，，，；綜上所述：的長為或或．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．16．（21-22八年級(jí)上·上海松江·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），EF垂直平分BD，分別交邊AB、BC于點(diǎn)E、F，聯(lián)結(jié)DE、DF．(1)如圖1，當(dāng)BD⊥AC時(shí)，求證：EF=AB；(2)如圖2，設(shè)CD=x，CF=y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；(3)當(dāng)BE=BF時(shí)，求線段CD的長．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）先證明再證明是等邊三角形，結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)求解再求解即可得到結(jié)論；（2）如圖，當(dāng)過點(diǎn)，是的垂直平分線，求解如圖，當(dāng)過點(diǎn)則所以分別在AB、BC上時(shí)，則如圖，過作于再利用勾股定理與線段的和差寫函數(shù)關(guān)系式，整理后可得答案；（3）先畫出符合題意的圖形，再證明設(shè)則由再列方程解方程即可.【詳解】（1）解：∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，是的垂直平分線，是等邊三角形，而（2）解：如圖，當(dāng)過點(diǎn)，是的垂直平分線，則如圖，當(dāng)過點(diǎn)則所以分別在AB、BC上時(shí)，則如圖，過作于同理：整理得：（3）解：當(dāng)同理可得：設(shè)則【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的混合運(yùn)算，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練的掌握以上知識(shí)是解本題的關(guān)鍵.17．（21-22八年級(jí)上·上海松江·期末）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，正比例函數(shù)的圖像與一個(gè)反比例函數(shù)圖像在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為點(diǎn)B，AB=3．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)在直線AB上是否存在點(diǎn)C，使點(diǎn)C到直線OA的距離等于它到點(diǎn)B的距離？若存在，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)已知點(diǎn)P在直線AB上，如果△AOP是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或(3)的坐標(biāo)為：或或或【分析】（1）先求解的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式，從而可得答案；（2）分兩種情況討論：如圖，作的角平分線交于過作于而軸，則如圖，作的角平分線交于過作于交軸于則再利用角平分線的性質(zhì)與全等三角形的性質(zhì)，勾股定理可得答案；（3）畫出圖形，分4種情況討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)與勾股定理可得答案.【詳解】（1）解：AB⊥x軸，AB=3，則設(shè)反比例函數(shù)為所以反比例函數(shù)為（2）解：存在，或；理由如下：如圖，作的角平分線交于過作于而軸，則則而如圖，作的角平分線交于過作于交軸于則而而設(shè)解得：綜上：或（3）解：如圖，為等腰三角形，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，設(shè)解得：綜上：的坐標(biāo)為：或或或【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)的解析式，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的化簡(jiǎn)與二次根式的除法運(yùn)算，熟練的運(yùn)用以上知識(shí)解題是關(guān)鍵.18．（20-21八年級(jí)上·上海浦東新·期末）已知：如圖，在△ABC紙片中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，按圖所示的方法將△ACD沿AD折疊，使點(diǎn)C恰好落在邊AB上的點(diǎn)C′處，點(diǎn)P是射線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求折痕AD長．(2)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)AP＝x，DP＝y(tǒng)．求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出此函數(shù)的定義域．(3)當(dāng)△APD是等腰三角形時(shí)，求AP的長．【答案】(1)(2)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為(3)PA的值為或或6【分析】（1）根據(jù)題意由翻折可知：CD=DC′，AC=AC′=3，設(shè)CD=DC′=x，在Rt△BDC中，根據(jù)BD2=C′D2+C′B2，構(gòu)建方程即可解決問題；（2）根據(jù)題意直接利用勾股定理進(jìn)行分析即可解決問題；（3）根據(jù)題意分三種情形：①PA=PD，②AP=AD，③當(dāng)PD=AD時(shí)，分別求解即可．【詳解】（1）解：如圖1中，由翻折可知：CD=DC′，AC=AC′=3，設(shè)CD=DC′=x，在Rt△BDC中，∵BD2=C′D2+C′B2，∴（4-x）2=x2+22，解得：x=，∴．（2）如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P在C'D左側(cè)，AC=AC'=3，則PC'=3-x，∵，∴．當(dāng)點(diǎn)P在C'D右側(cè)，同理可得．∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為．（3）如圖3中，①當(dāng)PA=PD時(shí)，設(shè)PA=PD=m，在Rt△PCD中，∵PD2=DC′2+C′P2，∴，解得：，∴PA=．②當(dāng)AD=AP′=時(shí)，即P在P′時(shí)，△ADP是等腰三角形，③當(dāng)PD=AD時(shí)，點(diǎn)P在AB的延長線上．如圖4，AP=2AC'=6．綜上所述，滿足條件的PA的值為或或6．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查翻折變換，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)由分類討論的思想思考問題．19．（19-20八年級(jí)上·上海奉賢·期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，CB=CD，點(diǎn)E、F分別在AB、AD上，AE=AF．連接CE、CF．（1）求證：CE=CF；（2）如果∠BAD=60°，CD=．①當(dāng)AF=時(shí)，設(shè)，求與的函數(shù)關(guān)系式；（不需要寫定義域）②當(dāng)AF=2時(shí)，求△CEF的邊CE上的高．【答案】（1）見解析；（2）①；②．【分析】（1）先證明△ACD≌△ACB，再證明△CAF≌△CAE即可；（2）①分別求出AO，EO和CO的長，再根據(jù)三角形面積公式求解即可；②先求出CE的長，再求出△CEF的面積即可．【詳解】（1）證明：連接AC，∵∠ADC=∠ABC=90°，在Rt△ACD和RT△ACB中，，∴△ACD≌△ACB（HL），∴∠CAF=∠CAE，在△CAF和△CAE中，，∴△CAF≌△CAE(SAS)，∴CE=CF；（2）①設(shè)AC與EF交于點(diǎn)O，∵AE=AF，∠BAD=60°∴△AFE是等邊三角形，由（1）知∠CAF=∠CAE=30°，∴AC⊥FE，∵AF=x，∴EF=x，F(xiàn)O=，AO=，∵∠ADC=90°，∠CAF=30°，CD=，∴AC=，∴CO=-，∵，∴；②作FH⊥EC于H，∵△ACD≌△ACB，∠DAB=60°，∴AD=AB，∠CAD=∠CAB=30°，在Rt△ACD中，∠D=90°，CD=2，∴AC=2CD=4，AD=，∴DF=AD-AF=4，CE=CF==，由（2）①可得：當(dāng)AF=2時(shí)，S△EFC=，又∵S△EFC=CE?FH，∴3=×2FH，∴FH=，∴△CEF的邊CE上的高為．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，求高想到求面積，屬于中考常考題型．20．（19-20八年級(jí)上·上海浦東新·期末）已知：如圖，，是上一點(diǎn)，以為圓心，長為半徑作弧，交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié).求證：.【答案】見解析【分析】解法一：取的中點(diǎn),聯(lián)結(jié)，證得AC=AF,由得到是等邊三角形，求出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，結(jié)論得到證明.解法二：過作邊上的高，設(shè)，由求出，AC=2m，由AB=2AC=4m，求出BH、BC，利用勾股定理求得BC，由此即可利用勾股定理的逆定理證得△ABC是直角三角形，且.【詳解】解法一：取的中點(diǎn),聯(lián)結(jié).∵∴∵,∴是等邊三角形，∴∵∴∴∵∴∴解法二：過作邊上的高.設(shè).中，,∴,∴,∴∵,∴,∴△ABC是直角三角形，且.【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理的逆定理，判斷一個(gè)角是直角時(shí)，可以用勾股定理的逆定理，證明該角所在的三角形是直角三角形，由此證明結(jié)論.21．（22-23九年級(jí)上·廣東清遠(yuǎn)·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形是矩形，且，，．反比例函數(shù)（）的圖象分別交、于點(diǎn)E、點(diǎn)F．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)連接、、，求的面積；(3)是否存在x軸上的一點(diǎn)P，使得是不以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）根據(jù)題意得到點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)待定系數(shù)法可得的值，即可；（2）求出點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式即可求出；（3）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，求出點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用分類討論思想結(jié)合勾股定理解決問題．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，，，，，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在反比例函數(shù)上，代入，得到，故反比例函數(shù)解析式為；（2）如圖，，，時(shí)，，，即，，，，；（3）如圖，

，設(shè)所求點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，，當(dāng)時(shí)，，即，，解得，，故；當(dāng)時(shí)，，即，，解得，，故，綜上所述；存在點(diǎn)，坐標(biāo)為，．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與矩形的綜合性問題，涉及到反比例函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、坐標(biāo)表與圖形的關(guān)系、勾股定理等知識(shí)，分類討論思想的運(yùn)用是解決最后一問的關(guān)鍵．22．（21-22八年級(jí)上·上海·期末）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，連接BD、EC，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)，連接BM、DM．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D、E分別在AC、AB上時(shí)，求證：△BMD為等腰直角三角形；(2)如圖2，將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，使點(diǎn)D落在AB上，此時(shí)（1）中的結(jié)論“△BMD為等腰直角三角形”還成立嗎？請(qǐng)對(duì)你的結(jié)論加以證明；(3)如圖3，將圖2中的△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，△BMD為等腰直角三角形的結(jié)論是否仍成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)見解析；(2)成立，證明見解析；(3)成立，理由見解析【分析】（1）根據(jù)∠ABC=∠CDE=90°，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可得BM=DM=MC，即有∠MBC=∠MCB，∠MDC=∠MCD，則可得∠MBC+∠MDC=∠MCB+∠MCD=∠ACB，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，∠BMD=∠EMB+∠EMD=2∠ACB=245=90，即可證得△BMD為等腰直角三角形；（2）延長DM交BC于N，先證明△EMD≌△CMN，即有DM=MN，ED=CN，進(jìn)而有AD=CN，BD=BN，則有BM=DN=DM，可得BM⊥DN，即∠BMD=90，則有△BMD為等腰直角三角形；（3）作交DM延長線于N，連接BN，先證明△EMD≌△CMN，根據(jù)（2）的方法同理可證得△BMD為等腰直角三角形．【詳解】（1）∵∠ABC=∠CDE=90°，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)，∴BM=MC=EC，DM=MC=EC，∴BM=DM，∠MBC=∠MCB，∠MDC=∠MCD，∴∠MBC+∠MDC=∠MCB+∠MCD=∠ACB，∵∠EMB=∠MBC+∠MCB，∠EMD=∠MDC+∠MCD，∴∠BMD=∠EMB+∠EMD=∠MBC+∠MCB+∠MDC+∠MCD=2∠ACB=245=90，∴△BMD為等腰直角三角形；（2）成立；如圖1，延長DM交BC于N，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，∴BA=BC，DE=DA，∠EDB=90，∴∠EDB=∠DBC，∴，∴∠DEM=∠NCM，∵M(jìn)為EC中點(diǎn)，∴EM=CM，又∠EMD=∠CMN，∴△EMD≌△CMN，∴DM=MN，ED=CN，∴AD=CN，∴BD=BN，∴BM=DN=DM，∴BM⊥DN，即∠BMD=90，∴△BMD為等腰直角三角形；（3）成立；如圖2，作交DM延長線于N，連接BN，∵，∴∠BAC=∠MCN=45，∴∠E=∠MCN=45，∵∠DME=∠NMC，EM=CM，∴△EMD≌△CMN，∴CN=DE=AD，MN=DM，又∵∠DAB=180-45-45=90，∠BCN=45+45=90，∴∠DAB=∠BCN，又BA＝BC，∴△DBA≌△NBC(SAS)，∴∠DBA=∠NBC，BD=BN；∴∠DBN=∠ABC=90，∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底邊中線，∴BM⊥DM，∠DBM=∠BDM=45，BM=DM=MN，即△BMD為等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題是一道三角形的綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行的性質(zhì)等知識(shí)，充分利用直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．23．（23-24八年級(jí)上·上?！るA段練習(xí)）若在中，，，，，則試用兩種方法證明．【答案】見解析【分析】方法一：用4個(gè)全等的拼成如圖所示的“弦圖”，由圖可得：大正方形的面積為，小正方形的面積為，直角三角形的面積為，根據(jù)大正方形的面積建立等式即可得到答案；方法二：用兩個(gè)全等的和一個(gè)等腰直角三角形構(gòu)成直角梯形，由全等三角形的性質(zhì)可得，，，，，用兩種方法表示出梯形的面積，建立等式即可得出答案．【詳解】證明：方法一：如圖，用4個(gè)全等的拼成如圖所示的“弦圖”，，由圖可得：大正方形的面積為，小正方形的面積為，直角三角形的面積為，，；方法二：如圖，用兩個(gè)全等的和一個(gè)等腰直角三角形構(gòu)成直角梯形，，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明、全等三角形的性質(zhì)、掌握正方形、三角形、梯形的面積的計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．24．（20-21八年級(jí)下·上?！るA段練習(xí)）在直角梯形中，，，，聯(lián)結(jié)，如圖（a）．點(diǎn)沿梯形的邊，按照點(diǎn)移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)移動(dòng)的距離為，．（1）當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，與的函數(shù)關(guān)系如圖（b）中折線所示．則______，_____，_____．（2）在（1）的情況下，點(diǎn)按照點(diǎn)移動(dòng)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），是否能為等腰三角形？若能，請(qǐng)求出所有能使為等腰三角形的的值；若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）5，3，1；（2）2或或或【分析】（1）由圖（b）得：AB＝5，作DE⊥AB于E，則DE＝BC＝3，CD＝BE，由勾股定理求出AE＝4，得出CD＝BE＝AB?AE＝1；（2）分情況討論：①點(diǎn)P在AB邊上時(shí)；②點(diǎn)P在BC上時(shí)；③點(diǎn)P在AD上時(shí)；由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得出答案．【詳解】解：（1）由圖（b）得：AB＝5，AB＋BC＝8，∴BC＝3，作DE⊥AB于E，如圖1所示：則DE＝BC＝3，CD＝BE，∵AD＝AB＝5，∴AE＝＝4，∴CD＝BE＝AB?AE＝1，故答案是：5，3，1；（2）解：可能；理由如下：分情況討論：①點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，當(dāng)DP＝DB時(shí)，BP＝2BE＝2，當(dāng)BP＝BD時(shí)，BP＝BD＝；②點(diǎn)P在BC上時(shí)，存在PD＝PB，設(shè)PD=BP=m，則CP=3-m，∴，解得：m=，∴BP=；③點(diǎn)P在AD上時(shí)，當(dāng)BP＝BD時(shí)，則BP＝BD=，當(dāng)時(shí)，則AP=5-，過點(diǎn)P作PM⊥AB，則sinA=，cosA=，∴PM=（5-）=3-，AM=（5-）=4-，∴BM=5-（4-）=1+，∴PB==，綜上所述：△BDP可能為等腰三角形，能使△BDP為等腰三角形的的值為：2或或或．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了梯形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．25．（24-25九年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）已知如圖，點(diǎn)D是外一點(diǎn)，，．(1)如圖（1），若，，求證：；(2)如圖（2），若，，，，求證：；(3)如圖（3），若，，，，則__________．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）通過證明，即可求證；（2）延長交于，連接，通過證明，即可求證；（3）過在的上方作，，連接，，利用前面的結(jié)論以及勾股定理建立方程求解即可．【詳解】（1）證明：，∴，又∵，，∴，∴．（2）證明：延長交于，連接，如下圖：∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴；（3）解：過在的上方作，，連接，，如下圖：則，設(shè)，交于點(diǎn)，，交于點(diǎn)，由（1）可得，則，，∵，∴，又∵，∴，，∴，∴，由勾股定理可得：，，∴，解得：或（不符合題意，舍去），∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程的解法，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．26．（23-24八年級(jí)上·浙江寧波·期中）在等邊的邊上各取一點(diǎn)P、Q，相交于點(diǎn)O．(1)若，求證；(2)在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，求的邊長；(3)連接，若，，求的值．【答案】(1)見解析(2)1+(3)或【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，利用高相等的兩個(gè)三角形面積之比等于底之比是解題的關(guān)鍵，（1）利用證明，再利用全等三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論；（2）由（1）知，則，作于H，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到即可解答；（3）分或兩種情形，利用高相同的兩個(gè)三角形面積之比等于底之比求解即可．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，在與中，，∴，∴．（2）解：由（1）知，，∴，∴，如圖：作于H，∵，∴，∴，∴的邊長為．（3）解：如圖，當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴，此時(shí)，∴，則，∴，∴，∴的值為；如圖，當(dāng)時(shí)，由等邊三角形的對(duì)稱性知，當(dāng)時(shí)，仍然有，同理可得的值為．綜上所述：的值為或．27．（24-25八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）在中，，．若點(diǎn)D在的平分線所在的直線上．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在的外部時(shí)，過點(diǎn)D作于E，作交的延長線于F，且．①求證：點(diǎn)D在的垂直平分線上；②________；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，若，平分，交于點(diǎn)E，交與點(diǎn)F，過點(diǎn)F作，交于點(diǎn)G．①________；②若，，求的長度；(3)如圖3，過點(diǎn)A的直線，若，，點(diǎn)D到三邊所在直線的距離相等，則點(diǎn)D到直線l的距離是________．【答案】(1)①見解析；②1(2)①；②(3)2或6．【分析】本題考查了線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)，以及三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練使用各性質(zhì)定理是解決問題的關(guān)鍵．（1）①點(diǎn)D在的平分線所在的直線上,過點(diǎn)D作于E，作交的延長線于F，得出，借助，得到，即可證明點(diǎn)D在的垂直平分線上；②通過證出，從而有，即可得出；（2）①先利用角平分線的定義求得，再利用三角形的外角性質(zhì)求得，即可求解；②延長交于H，證明，得到，再由，即可求解；（3）分2種情況討論，分別畫出圖形利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合圖形求解即可．【詳解】（1）①證明：連接，∵點(diǎn)D在的平分線所在的直線上,過點(diǎn)D作于E，作交的延長線于F，∴，在和中，，∴，∴，∴點(diǎn)D在的垂直平分線上；②由①知：，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：1；（2）①∵平分，平分，，∴，即，∴，∵，即，∴；故答案為：；②延長交于H，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）當(dāng)點(diǎn)D在內(nèi)部時(shí)，如圖：∵，∴，∴，點(diǎn)D到直線l的距離是；當(dāng)點(diǎn)D在的下方時(shí)，如圖：設(shè)點(diǎn)D到三邊的距離為x，由題意得：，∴，∴，點(diǎn)D到直線l的距離是；綜上，點(diǎn)D到直線l的距離是2或6．故答案為：2或6．28．（20-21八年級(jí)上·浙江杭州·期末）如圖，在中，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），把沿過點(diǎn)的直線折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，折痕為．

(1)若點(diǎn)恰好在邊上．①如圖1，當(dāng)時(shí)，連接，求證：．②如圖2，當(dāng)，且，，求與的周長差．(2)如圖3，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若直線始終垂直于，的面積是否變化？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)①證明見解析；②(2)定值，理由見解析【分析】（1）①如圖1中，連接，．交于．證明點(diǎn)是的中點(diǎn)，即可解決問題．②設(shè)，則，，在中，利用勾股定理構(gòu)建方程求出即可解決問題．（2）如圖3中，連接，證明，利用等高模型解決問題即可．【詳解】（1）解：①如圖1中，連接，．交于．

是由翻折得到，垂直平分線段，，，，，，，，，，．②如圖2中，設(shè)，則，，

，，，，，解得，，的周長的周長．（2）解：如圖3中，結(jié)論：定值．理由：連接，

與關(guān)于直線對(duì)稱，，，，定值．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，翻折變換，平行線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)．29．（22-23八年級(jí)上·河北邯鄲·期中）已知和，其中，．

(1)將和按如圖1所示位置擺放，點(diǎn)落在上，的延長線交于點(diǎn)，連接，且平分．①求證；②猜想，與之間的數(shù)量關(guān)系是__________；(2)若將圖1中的按如圖2所示位置擺放，交于點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，，連接，且平分．試判斷（1）中②猜想的結(jié)論還成立嗎？并說明理由；(3)若將圖1中的按如圖3所示位置擺放，，分別交的延長線于點(diǎn)，，連接，且平分．你認(rèn)為（1）中②猜想的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)直接寫出，與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①證明見解析，②，證明見解析；(2)結(jié)論成立，證明見解析(3)②的結(jié)論不成立，結(jié)論為：，證明見解析【分析】（1）①由角平分線的性質(zhì)可得結(jié)論；②先證明，證明，可得，從而可得結(jié)論；（2）證明，再證明，可得．證明，可得，從而可得結(jié)論；（3）證明，，可得，證明，可得．再證明，可得，結(jié)合，而，從而可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：①∵平分，，∴，．②∵，，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，而，∴；（2）∵平分，，∴，，∵，∴，∴．∵，，∴，∴，∵，而，∴；（3）②的結(jié)論不成立，結(jié)論為：，理由如下：∵平分，，∴，，∵，∴，∴．∵，，∴，∴，∵，而，∴；【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．30．（21-22八年級(jí)下·山西運(yùn)城·期末）如圖，在和中，，，，CE的延長線交BD于點(diǎn)F．(1)求證：．(2)若，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．(3)過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，求證：．【答案】(1)見解析(2)50°(3)見解析【分析】(1)根據(jù)SAS可證得；（2）由，可得，故，即可得出的度數(shù)；（3）連接AF，過點(diǎn)A作于點(diǎn)J．由可得：，，即可得出．可證得，得：，由，可得出，即可證得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵．∴．在和中，，∴．（2）∵，∴，∴．∴，∵，∴．故答案為：50°．（3）證明：如圖，連接AF，過點(diǎn)A作于點(diǎn)J．∵，∴，，∵，．∴，∴．在和中，，∴，∴．在和中，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等的證明和性質(zhì)，掌握全等的證明和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．31．（20-21八年級(jí)下·四川達(dá)州·期末）如圖，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）如圖①，連接BE、CD，求證：BE＝CD；（2）如圖②，連接BD、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝5，求BD的長；（3）如圖③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C點(diǎn)恰好落在DE上，試探究CD、CE和CA之間的數(shù)量關(guān)系，并加以說明．【答案】（1）見解析；（2）；（3）2AC2＝CD2+CE2，理由見解析【分析】（1）先判斷出∠BAE＝∠CAD，進(jìn)而得出△ACD≌△ABE，即可得出結(jié)論；（2）先求出∠CDA＝∠ADE＝30°，進(jìn)而求出∠BED＝90°，最后用勾股定理即可得出結(jié)論；（3）連接BE，由等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可得BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，由勾股定理可得2AC2＝CD2+CE2．【詳解】證明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD；又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE；（2）如圖②，連接BE，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴DE＝AD＝3，∠ADE＝∠AED＝60°，∵CD⊥AE，∴∠CDA＝∠ADE＝×60°＝30°，∵由（1）得△ACD≌△ABE，∴BE＝CD＝5，∠BEA＝∠CDA＝30°，∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°，即BE⊥DE，∴．（3）2AC2＝CD2+CE2，理由如下：連接BE，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠D＝∠AED＝45°，由（1）得△ACD≌△ABE，∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE，在Rt△BEC中，BC2＝BE2+CE2，在Rt△ABC中，AB2+AC2＝BC2，∴2AC2＝CD2+CE2．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰直角三角形、全等三角形的性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．32．（20-21七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）在中，．（1）如圖1、求證：：（2）如圖2，D為AB上一點(diǎn)，連接CD，E為CD中點(diǎn)，過點(diǎn)E作于點(diǎn)E，連接，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，連接AF，若AF∥BC，F(xiàn)H=4，CH=20，BD=10，求的面積【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）30【分析】（1）過點(diǎn)A作于點(diǎn)，只需要證明即可得到答案；（2）只需要證明即可得到答案；（3）過點(diǎn)作延長線于點(diǎn)，然后證明，，然后計(jì)算求解即可得到答案.【詳解】解：（1）證明：過點(diǎn)A作于點(diǎn)，，，在和中，（2）證明：，，為中點(diǎn)，在和中，（3）過點(diǎn)作延長線于點(diǎn)，，，，，在和中，在和中，，，，的面積．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定.33．（19-20八年級(jí)上·北京海淀·期中）如圖，在中，，平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，過作直線于，分別交直線AB、、于點(diǎn)、、．（1）當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)（如圖2），求證：；（2）當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，寫出線段CE和線段CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）請(qǐng)直接寫出、CE和CD之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）CD=2CE，證明見解析；（3）當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)，CD=BN+CE；當(dāng)點(diǎn)M在BC的延長線上時(shí)，CD=BN-CE；當(dāng)點(diǎn)M在CB的延長線上時(shí)，CD=CE-BN．【分析】（1）連接ND，先由已知條件證明DN=DC，再證明BN=DN即可；（2）當(dāng)M是BC中點(diǎn)時(shí)，CE和CD之間的等量關(guān)系為CD=2CE，過點(diǎn)C作CN'⊥AO交AB于N'．過點(diǎn)C作CG∥AB交直線l于G，再證明△BNM≌△CGM問題得證；（3）BN、CE、CD之間的等量關(guān)系要分三種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)M在BC的延長線上時(shí)；③當(dāng)點(diǎn)M在CB的延長線上時(shí)；由（2）即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接ND，如圖2所示：∵AO平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵直線l⊥AO于H，∴∠AHN=∠AHE=90°，∴∠ANH=∠AEH，∴AN=AC，∴NH=CH，∴AH是線段NC的中垂線，∴DN=DC，∴∠DNH=∠DCH，∴∠AND=∠ACB，∵∠AND=∠B+∠BDN，∠ACB=2∠B，∴∠B=∠BDN，∴BN=DN，∴BN=DC；（2）解：當(dāng)M是BC中點(diǎn)時(shí)，CE和CD之間的數(shù)量關(guān)系為CD=2CE，理由如下：過點(diǎn)C作CN'⊥AO交AB于N'，過點(diǎn)C作CG∥AB交直線l于點(diǎn)G，如圖3所示：由（1）得