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文檔簡介
第4章正弦交流電的基本概念4.1引言4.2正弦交流電的三要素4.3正弦電量的相量表示法4.4正弦交流電路中的元件
4.1引言
電路中的電量有周期性變化和非周期性變化兩類。我們把波形的大小和方向隨時(shí)間作正弦周期性變化的電量稱為正弦交流電,如圖4.1所示。圖4.1正弦交流電正弦交流電的數(shù)學(xué)表達(dá)式為
i=Imsin(ωt+j)
(4.1)
式中,i表示正弦交流電的瞬時(shí)值;ω表示正弦交流電變化的快慢,稱為角速度;Im表示正弦交流電的最大值,稱為幅值;j表示正弦交流電的起始位置,稱為初相位。
正弦交流電比恒定直流電更容易產(chǎn)生、傳輸和分配,使用正弦交流電的電機(jī)、電器等用電設(shè)備可獲得較好的性能,并且正弦交流電的信號經(jīng)過各種數(shù)學(xué)運(yùn)算(如四則運(yùn)算、微積分)后仍是正弦函數(shù),這些特性使得正弦交流電成為最基本、最重要的電量形式,其應(yīng)用非常廣泛。正弦交流電也可簡稱交流電。
4.2正弦交流電的三要素
4.2.1變化的快慢
正弦交流電變化的快慢可用三種方式表示。
1.周期T
交流電量往復(fù)變化一周所需的時(shí)間叫一個(gè)周期,用字母T表示,單位是秒(s),如圖4.1所示。
2.頻率f
每秒內(nèi)波形重復(fù)變化的次數(shù)稱為頻率,用字母f表示,單位是赫茲(Hz)。頻率和周期互為倒數(shù),即(4.2)我國電網(wǎng)所供給的交流電頻率是50Hz,周期為0.02s。
3.電角頻率ω
交流電量角度的變化率稱為角頻率,用字母ω表示,單位是弧度/秒(rad/s),即(4.3)上式表明,周期T、頻率f和角頻率ω三者之間可以互相換算。它們都從不同角度表示了正弦交流電的同一物理實(shí)質(zhì),即變化的快慢。4.2.2相位
1.相位和初相位
正弦電量的表達(dá)式中,(ωt+j)叫做交流電的相位。t=0時(shí),ωt+j=j稱為初相位(簡稱初相),它是確定交流電量初始狀態(tài)的物理量。在波形上,j表示在計(jì)時(shí)前交流電量由負(fù)值向正值增長的零點(diǎn)到t=0的計(jì)時(shí)起點(diǎn)之間所對應(yīng)的最小電角度,如圖4.1所示。不知道j就無法畫出交流電量的波形圖,也寫不出完整的表達(dá)式。
2.相位差
相位差是指兩個(gè)同頻率的正弦電量在相位上的差值。由于我們討論的是同頻正弦交流電,因而相位差實(shí)際上等于兩個(gè)正弦電量的初相之差。例如:
u=Umsin(ωt+j1)
i=Imsin(ωt+j2)
則相位差
Δj=(ωt+j1)-(ωt+j2)=j1-j2(4.4)
當(dāng)j1>j2時(shí),u比i先達(dá)到正的最大值或先達(dá)到零值,此時(shí)它們的相位關(guān)系是u超前于i(或i滯后于u)。
當(dāng)j1<j2時(shí),u滯后于i(或i超前于u)。
當(dāng)j1=j2時(shí),u與i同相。
當(dāng)Δj=±π/2時(shí),稱u與i正交;而Δj=±π時(shí),稱u與i反相。
以上五種情況分別如圖4.2中(a)、(b)、(c)、(d)和(e)所示。圖4.2正弦量的相位關(guān)系(a)u超前;(b)u滯后;(c)同相;(d)正交;(e)反相4.2.3交流電的大小
交流電的大小有三種表示方式。
1.瞬時(shí)值
瞬時(shí)值指任一時(shí)刻交流電量值的大小,如i、u和e,用小寫字母表示,它們都是時(shí)間的函數(shù)。
2.最大值
最大值指交流電量在一個(gè)周期中最大的瞬時(shí)值,它是交流電波形的振幅,如Im、Um和Em,通常用大寫字母并加注下標(biāo)m表示。
3.有效值
引入有效值的概念是為了研究交流電量在一個(gè)周期中的平均效果。它的定義是:讓正弦交流電和直流電分別通過兩個(gè)阻值相等的電阻,如果在相同時(shí)間T內(nèi)(T可取為正弦交流電的周期)兩個(gè)電阻消耗的能量相等,則我們把該直流電稱為交流電的有效值,如圖4.3所示。
當(dāng)直流電流I流過電阻R時(shí),該電阻在時(shí)間T內(nèi)消耗的電能為
W直=I2RT
(4.5)
當(dāng)正弦電流i流過電阻R時(shí),在相同時(shí)間T內(nèi)電阻消耗的電能為
(4.6)圖4.3有效值的概念(a)交流;(b)直流根據(jù)有效值的定義
W直=W交
則有此式叫均方根值,即有效值的定義式。設(shè)i=Imsin(ωt+j),并帶入上式得到(4.7)(4.8)同理有(4.9)(4.10)即正弦量的最大值等于有效值的倍。有效值是一個(gè)非常重要的概念,所有用電設(shè)備銘牌上標(biāo)注的都是有效值。
4.3正弦電量的相量表示法
由于復(fù)數(shù)可用來表示矢量,矢量可用來表示正弦量,因而復(fù)數(shù)也就可以表示正弦量。為了與一般的復(fù)數(shù)及表示空間矢量的復(fù)數(shù)相區(qū)別,我們把表示正弦時(shí)間函數(shù)的復(fù)數(shù)叫做相量,并用在大寫字母上方加點(diǎn)表示。
設(shè)正弦電量是i=Imsin(ωt+j),現(xiàn)在討論復(fù)數(shù)指數(shù)函數(shù)Imej(ωt+j)的展開式:
Imej(ωt+j)=Im[cos(ωt+j)+jsin(ωt+j)]
=Imcos(ωt+j)+jImsin(ωt+j)
上式的虛部恰好就是正弦電流的表達(dá)式,即
i=Im[Imej(ωt+j)]=Imsin(ωt+j)
(4.11)因?yàn)檎译娏渴怯烧穹?、頻率和相位這三要素決定的,在頻率相同的正弦電量激勵下,電路中的各個(gè)電量都具有相同的頻率,所以確定一個(gè)正弦電量就只需振幅和相位兩個(gè)要素,則
i=Im[Imej(ωt+
)]=Im[Imejjejwt]=Im[?mejωt]
(4.12)
式中
?m=Imej
(4.13)
?m叫做電流的最大值相量,它由振幅和初相位確定;ej
叫旋轉(zhuǎn)因子,它是模為1、輻角為ωt且隨時(shí)間不斷旋轉(zhuǎn)的單位相量。
相量也可以畫在復(fù)平面上,用有向線段表示,叫相量圖,如圖4.4所示。圖4.4相量圖利用相量圖,??墒瓜嗔恐g的關(guān)系更加清楚。
同理,電壓相量的最大值表示為
(4.14)
電流和電壓的有效值相量表示為
(4.15)
(4.16)
【例4.1】
已知
試畫出它們的相量圖,求出u=u1+u2及其有效值。解
u1和u2的有效值相量為故的相量圖如圖4.5所示。
圖4.5例4.1相量圖
4.4正弦交流電路中的元件
4.4.1電阻元件
對線性電阻,在正弦交流電的激勵下,其伏安關(guān)系在任一瞬間都服從歐姆定律,故有(4.17)其參考正方向如圖4.6(a)所示。圖4.6電阻元件(a)電路;(b)波形;(c)相量圖;(d)模型電路設(shè)i=Imsin(ωt+
),則
u=Ri=RImsin(ωt+
)=Umsin(ωt+
)
其中
(4.18)
有效值
(4.19)
上式表明電阻的電壓和電流是兩個(gè)同頻率、同相位的正弦量,如圖4.6(b)所示。
將電流、電壓分別用相量式表示:(4.20)(4.21)則4.4.2電感元件
設(shè)一電感元件,其電壓、電流和電感電勢采用關(guān)聯(lián)參考方向,如圖4.7(a)所示。
圖4.7電感元件(a)電路;(b)XL的頻率特性;(c)相位關(guān)系;(d)相量關(guān)系;(e)電路模型設(shè)通過電感的電流為
i=Imsin(ωt+ji)
則(4.22)式中:ULm=ωLIm或UL=ωLI。定義XL=ωL=2πfL,稱XL為感抗,則(4.23)感抗XL所呈現(xiàn)的物理意義是:對于一定的電感L,當(dāng)頻率增高時(shí),其所呈現(xiàn)的感抗增大;反之亦然,如圖4.7(b)所示。又有(4.24)由式(4.22)可知電感上的電壓和電流同頻,如圖4.7(c)所示。由式(4.24)可知電感上電壓的相位超前電流90°,如圖4.7(d)所示。由于(4.25)因而(4.26)4.4.3電容元件
若一電容元件上的電壓和電流采用關(guān)聯(lián)參考方向,如圖4.8(a)所示。設(shè)電容電壓為
u(t)=Umsin(ωt+ju)
則電容電流為
(4.27)上式中UmωC=Im或(4.28)XC稱為電容的容抗。它的物理意義是:當(dāng)電容C一定時(shí),頻率越高,電容對交流電流所呈現(xiàn)的阻礙作用越小,即容抗越小。當(dāng)f=0時(shí),XC→∞,電容相當(dāng)于開路。XC的頻率特性如圖4.8(b)所示。
又有(4.29
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