2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)解三角形第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式學(xué)案理含解析

PAGE其次節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式[最新考綱][考情分析][核心素養(yǎng)]1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cos2x＝1，eq\f(sinx,cosx)＝tanx.2.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出eq\f(π,2)±α，π±α，－α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用和誘導(dǎo)公式的應(yīng)用仍將是2024年高考考查的熱點(diǎn)，題型仍將是選擇題與填空題，分值為5分.1.數(shù)學(xué)運(yùn)算2.邏輯推理‖學(xué)問梳理‖1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝eq\x(1)1.(2)商數(shù)關(guān)系：tanα＝eq\x(2)eq\f(sinα,cosα)．2．誘導(dǎo)公式組數(shù)一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦eq\x(3)sin_αeq\x(4)－sin_αeq\x(5)－sin_αeq\x(6)sin_αeq\x(7)cos_αeq\x(8)cos_α余弦eq\x(9)cos_αeq\x(10)－cos_αeq\x(11)cos_αeq\x(12)－cos_αeq\x(13)sin_αeq\x(14)－sin_α正切eq\x(15)tan_αeq\x(16)tan_αeq\x(17)－tan_αeq\x(18)－tan_α口訣函數(shù)名不變符號看象限函數(shù)名變更符號看象限?常用結(jié)論(1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的幾種變形①sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.②sinα＝tanαcosα.(2)誘導(dǎo)公式的記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變更．‖基礎(chǔ)自測‖一、疑誤辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)對隨意的角α，β，都有sin2α＋cos2β＝1.()(2)若α∈R，則tanα＝eq\f(sinα,cosα)恒成立．()(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的條件是α為銳角．()(4)若cos(nπ－θ)＝eq\f(1,3)(n∈Z)，則cosθ＝eq\f(1,3).()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×二、走進(jìn)教材2．(必修4P21A12改編)已知tanα＝－3，則cos2α－sin2α＝()A．eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5)C．eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)答案：B3．(必修4P29B2改編)已知α為銳角，且sinα＝eq\f(4,5)，則cos(π＋α)＝()A．－eq\f(3,5) B．eq\f(3,5)C．－eq\f(4,5) D．eq\f(4,5)答案：A三、易錯自糾4．已知sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，|θ|<eq\f(π,2)，則θ等于()A．－eq\f(π,6) B．－eq\f(π,3)C．eq\f(π,6) D．eq\f(π,3)解析：選D∵sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，∴－sinθ＝－eq\r(3)cosθ，∴tanθ＝eq\r(3).∵|θ|<eq\f(π,2)，∴θ＝eq\f(π,3).5．已知sin(3π－α)＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))，則sinαcosα＝________.解析：∵sin(3π－α)＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))，∴sinα＝－2cosα，∴tanα＝－2，∴sinαcosα＝eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tanα,tan2α＋1)＝eq\f(－2,（－2）2＋1)＝－eq\f(2,5).答案：－eq\f(2,5)6．已知sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，則tanθ＝________．解析：sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，平方得2sinθcosθ＝－eq\f(24,25)，則eq\f(2sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝－eq\f(24,25)，分子分母同時除以cos2θ，得eq\f(2tanθ,1＋tan2θ)＝－eq\f(24,25)，所以12tan2θ＋25tanθ＋12＝0，解得tanθ＝－eq\f(4,3)或tanθ＝－eq\f(3,4).因為θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)>0，故sinθ>|cosθ|>0，所以tanθ＝－eq\f(4,3).答案：－eq\f(4,3)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)\a\vs4\al(誘導(dǎo)公式的應(yīng)用))|題組突破|1．若cosα＝－eq\f(1,3)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝()A．eq\f(2\r(2),3) B．－eq\f(2\r(2),3)C．eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)解析：選D∵cosα＝－eq\f(1,3)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα＝－eq\f(1,3).2．(2025屆江西上饒模擬)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)))＝eq\f(1,3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(17π,12)))的值等于()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(2\r(2),3)解析：選A由coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(17π,12)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)＋\f(3π,2)))＝sinα－eq\f(π,12)＝eq\f(1,3).3．化簡：eq\f(sin（π－α）＋sinαcosα,\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))))tanα)＝________．解析：eq\f(sin（π－α）＋sinαcosα,\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))))tanα)＝eq\f(sinα＋sinαcosα,（1＋cosα）tanα)＝cosα.答案：cosα4．sineq\f(4,3)π·coseq\f(5,6)π·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)π))的值是________．解析：原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))·tan－π－eq\f(π,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－sin\f(π,3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,6)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－tan\f(π,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))×(－eq\r(3))＝－eq\f(3\r(3),4).答案：－eq\f(3\r(3),4)?名師點(diǎn)津應(yīng)用誘導(dǎo)公式的思路與技巧(1)運(yùn)用誘導(dǎo)公式的一般思路①化大角為小角．②角中含有加減eq\f(π,2)的整數(shù)倍時，用公式去掉eq\f(π,2)的整數(shù)倍．(2)常見的互余和互補(bǔ)的角①常見的互余的角：eq\f(π,3)－α與eq\f(π,6)＋α；eq\f(π,3)＋α與eq\f(π,6)－α；eq\f(π,4)＋α與eq\f(π,4)－α等．②常見的互補(bǔ)的角：eq\f(π,3)＋θ與eq\f(2π,3)－θ，eq\f(π,4)＋θ與eq\f(3π,4)－θ等．(3)三角函數(shù)式化簡的方向①切化弦，統(tǒng)一名．②用誘導(dǎo)公式，統(tǒng)一角．③用因式分解將式子變形，化為最簡．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)\a\vs4\al(同角三角函數(shù)基本關(guān)系式——多維探究))●命題角度一公式的干脆應(yīng)用【例1】(1)已知cosα＝k，k∈R，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，則sinα＝()A．－eq\r(1－k2) B．eq\r(1－k2)C．±eq\r(1－k2) D．eq\r(1＋k2)(2)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________．[解析](1)∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sinα>0.∵cosα＝k，∴sinα＝eq\r(1－k2).(2)因為sin1°＝cos89°，所以sin21°＋sin289°＝cos289°＋sin289°＝1，同理sin22°＋sin288°＝1，…，sin244°＋sin246°＝1，而sin245°＝eq\f(1,2)，故原式＝44＋eq\f(1,2)＝eq\f(89,2).[答案](1)B(2)eq\f(89,2)●命題角度二sinα，cosα齊次式問題【例2】(1)已知tan(π－α)＝－eq\f(2,3)，則eq\f(cos（－α）＋3sin（π＋α）,cos（π－α）＋9sinα)＝________．(2)若3sinα＋cosα＝0，則eq\f(1,cos2α＋2sinαcosα)的值為________．[解析](1)由tan(π－α)＝－eq\f(2,3)，得tanα＝eq\f(2,3)，則eq\f(cos（－α）＋3sin（π＋α）,cos（π－α）＋9sinα)＝eq\f(cosα－3sinα,－cosα＋9sinα)＝eq\f(1－3tanα,－1＋9tanα)＝eq\f(1－2,－1＋6)＝－eq\f(1,5).(2)由3sinα＋cosα＝0?tanα＝－eq\f(1,3)，則eq\f(1,cos2α＋2sinαcosα)＝eq\f(cos2α＋sin2α,cos2α＋2sinαcosα)＝eq\f(1＋tan2α,1＋2tanα)＝eq\f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))\s\up12(2),1－\f(2,3))＝eq\f(10,3).[答案](1)－eq\f(1,5)(2)eq\f(10,3)●命題角度三sinα±cosα，sinαcosα之間的關(guān)系【例3】已知x∈(－π，0)，sinx＋cosx＝eq\f(1,5).(1)求sinx－cosx的值；(2)求eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)的值．[解](1)由sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝eq\f(1,25)，整理得2sinxcosx＝－eq\f(24,25).∴(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝eq\f(49,25).由x∈(－π，0)，知sinx<0.又sinx＋cosx>0，∴cosx>0，∴sinx－cosx<0，故sinx－cosx＝－eq\f(7,5).(2)eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)＝eq\f(2sinx（cosx＋sinx）,1－\f(sinx,cosx))＝eq\f(2sinxcosx（cosx＋sinx）,cosx－sinx)，由(1)及題意得，原式＝eq\f(－\f(24,25)×\f(1,5),\f(7,5))＝－eq\f(24,175).?名師點(diǎn)津在高考中，常給出角α的一個三角函數(shù)值，求其他異名三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵就是敏捷駕馭同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的正用、逆用及變形應(yīng)用．(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實現(xiàn)角α的正弦與余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以實現(xiàn)角α的弦切互化．(2)應(yīng)用公式時留意方程思想的應(yīng)用，對于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα這三個式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα可以實現(xiàn)知一求二．(3)對于齊次式問題要把式子中的常數(shù)化為cos2α＋sin2α的形式．|跟蹤訓(xùn)練|1．若sinθcosθ＝eq\f(1,2)，則tanθ＋eq\f(cosθ,sinθ)的值是()A．－2 B．2C．±2 D．eq\f(1,2)解析：選Btanθ＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(1,cosθsinθ)＝2.故選B．2．已知－eq\f(π,2)<α<0，sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，則eq\f(1,cos2α－sin2α)＝()A．eq\f(7,5) B．eq\f(25,7)C．eq\f(7,25) D．eq\f(24,25)解析：選B∵sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，即1＋2sinαcosα＝eq\f(1,25)，∴2sinαcosα＝－eq\f(24,25)，∴(cosα－sinα)2＝1＋eq\f(24,25)＝eq\f(49,25).又∵－eq\f(π,2)<α<0，∴cosα>0>sinα，∴cosα－sinα＝eq\f(7,5)，∴eq\f(1,cos2α－sin2α)＝eq\f(1,（cosα＋sinα）（cosα－sinα）)＝eq\f(1,\f(1,5)×\f(7,5))＝eq\f(25,7).故選B．3．(2025屆鄭州質(zhì)檢)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))，則eq\f(sin3（π－α）＋cos（α＋π）,5cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α))＋3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)－α)))的值為________．解析：因為coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))，所以－sinα＝－2cosα，則sinα＝2cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝eq\f(1,5).所以eq\f(sin3（π－α）＋cos（α＋π）,5cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α))＋3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)－α)))＝eq\f(sin3α－cosα,5sinα－3cosα)＝eq\f(8cos3α－cosα,7cosα)＝eq\f(8,7)cos2α－eq\f(1,7)＝eq\f(3,35).答案：eq\f(3,35)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)\a\vs4\al(同角三角函數(shù)關(guān)系式的創(chuàng)新交匯應(yīng)用))【例】(2024年全國卷Ⅰ)已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝eq\f(2,3)，則|a－b|＝()A．eq\f(1,5) B．