2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.3.2極大值與極小值課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析蘇教版選修2-2

PAGE課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)七極大值與微小值(25分鐘·60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,它的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的部分圖象如圖所示,則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是 ()A.在(1,2)上函數(shù)f(x)為增函數(shù)B.在(3,4)上函數(shù)f(x)為減函數(shù)C.在(1,3)上函數(shù)f(x)有極大值D.x=3是函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,5]上的微小值點(diǎn)【解析】選D.由題圖可知,當(dāng)1<x<2時(shí),f′(x)>0,當(dāng)2<x<4時(shí),f′(x)<0,當(dāng)4<x<5時(shí),f′(x)>0,所以x=2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),x=4是函數(shù)f(x)的微小值點(diǎn),故A,B,C正確,D錯(cuò)誤.【拓展延長(zhǎng)】圖象信息題的處理思路(1)給出函數(shù)圖象探討函數(shù)性質(zhì)的題目,要分清給的是f(x)的圖象還是f′(x)的圖象.(2)若給的是f(x)的圖象,應(yīng)先找出f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn),若給的是f′(x)的圖象,應(yīng)先找出f′(x)的正負(fù)區(qū)間及由正變負(fù)還是由負(fù)變正,然后結(jié)合題目特點(diǎn)分析求解.2.函數(shù)f(x)=2-x2-x3的極值狀況是 ()A.有極大值,沒有微小值B.有微小值,沒有極大值C.既無極大值也無微小值D.既有極大值又有微小值【解析】選D.f′(x)=-2x-3x2,令f′(x)=0有x=0或x=-QUOTE.當(dāng)x<-QUOTE時(shí),f′(x)<0;當(dāng)-QUOTE<x<0時(shí),f′(x)>0;當(dāng)x>0時(shí),f′(x)<0,從而在x=0時(shí),f(x)取得極大值,在x=-QUOTE時(shí),f(x)取得微小值.3.下列結(jié)論中,正確的是 ()A.導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)肯定是極值點(diǎn)B.假如f′(x0)=0且在x0旁邊的左側(cè)f′(x)>0,右側(cè)f′(x)<0,那么f(x0)是極大值C.假如f′(x0)=0且在x0旁邊的左側(cè)f′(x)>0,右側(cè)f′(x)<0,那么f(x0)是微小值D.假如f′(x0)=0且在x0旁邊的左側(cè)f′(x)<0,右側(cè)f′(x)>0,那么f(x0)是極大值【解析】選B.依據(jù)極值的概念,在x0旁邊的左側(cè)f′(x)>0,單調(diào)遞增;右側(cè)f′(x)<0,單調(diào)遞減,f(x0)為極大值.4.函數(shù)f(x)=ax3+bx在x=1處有極值-2,則a,b的值分別為 ()A.1,-3 B.1,3C.-1,3 D.-1,-3【解析】選A.f′(x)=3ax2+b,由題意可知QUOTE解得QUOTE5.對(duì)于函數(shù)f(x)=x3-3x2,給出命題:①f(x)是增函數(shù),無極值;②f(x)是減函數(shù),無極值;③f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0),(2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2);④f(0)=0是極大值,f(2)=-4是微小值.其中正確的命題有 ()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【解析】選B.f′(x)=3x2-6x.令f′(x)=3x2-6x>0,得x>2或x<0;令f′(x)=3x2-6x<0,得0<x<2,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)和(2,+∞)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減.當(dāng)x=0和x=2時(shí),函數(shù)分別取得極大值0和微小值-4.所以③④正確.二、填空題(每小題5分,共15分)6.函數(shù)f(x)=x2e-x的極大值為____________,微小值為____________.

【解析】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.f′(x)=2xe-x+x2e-x(-x)′=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x.令f′(x)=0,得x=0或x=2.當(dāng)x改變時(shí),f′(x),f(x)的改變狀況如表:x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f′(x)-0+0-f(x)↘0↗↘從表中可以看出,當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)f(x)有微小值,且f(0)=0;當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)f(x)有極大值,且f(2)=QUOTE.答案:QUOTE0【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.已知函數(shù)f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1時(shí)有極值為0,則m+n=____________.

【解析】因?yàn)閒′(x)=3x2+6mx+n,依題意有QUOTE即QUOTE解得QUOTE或QUOTE檢驗(yàn)知當(dāng)QUOTE時(shí),函數(shù)沒有極值.所以m+n=11.答案:112.已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-4在x=2處取得極值,若m∈[-1,1],則f(m)的最小值為_______________.

【解析】因?yàn)閒′(x)=-3x2+2ax,由f(x)在x=2處取得極值得f′(2)=0,即-3×4+2a×2=0,故a=3.所以f(x)=-x3+3x2-4,f′(x)=-3x2+6x.由此可得f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減,在(0,1)上單調(diào)遞增,所以對(duì)m∈[-1,1]時(shí),f(m)min=f(0)=-4.答案:-47.已知三次函數(shù)f(x),當(dāng)x=1時(shí),有極大值4,當(dāng)x=3時(shí),有微小值0,且函數(shù)過原點(diǎn),則f(x)的解析式為f(x)=____________.

【解析】設(shè)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),則f′(x)=3ax2+2bx+c,由題意知QUOTE解得QUOTE所以f(x)=x3-6x2+9x.答案:x3-6x2+9x8.若函數(shù)f(x)=x3-3x2+mx在區(qū)間(0,3)內(nèi)有極值,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________.

【解析】f′(x)=3x2-6x+m,有對(duì)稱軸為x=1.若函數(shù)f(x)=x3-3x2+mx在(0,3)內(nèi)有極值,則QUOTE解得-9<m<3.答案:(-9,3)三、解答題(每小題10分,共20分)9.求下列函數(shù)的極值.(1)f(x)=x3-12x.(2)f(x)=xe-x.【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2).令f′(x)=0,得x=-2或x=2.當(dāng)x改變時(shí),f′(x),f(x)的改變狀況如表:x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗極大值↘微小值↗從表中可以看出,當(dāng)x=-2時(shí),函數(shù)f(x)有極大值,且f(-2)=(-2)3-12×(-2)=16;當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)f(x)有微小值,且f(2)=23-12×2=-16.(2)f′(x)=(1-x)e-x.令f′(x)=0,解得x=1.當(dāng)x改變時(shí),f′(x),f(x)的改變狀況如表:x(-∞,1)1(1,+∞)f′(x)+0-f(x)↗極大值↘從表中可以看出,函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值,且f(1)=QUOTE.【拓展延長(zhǎng)】求函數(shù)y=f(x)的極值的方法前提條件結(jié)論解方程f′(x0)=0,當(dāng)f′(x0)=0時(shí)在x0旁邊的左側(cè)f′(x)>0,右側(cè)f′(x)<0f(x0)是極大值在x0旁邊的左側(cè)f′(x)<0,右側(cè)f′(x)>0f(x0)是微小值10.已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex-QUOTEx2+x+2.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.(2)證明:當(dāng)x≥1時(shí),f(x)>QUOTEx3-QUOTEx.【解析】(1)f′(x)=(x-1)(ex-1),當(dāng)x<0或x>1時(shí),f′(x)>0,當(dāng)0<x<1時(shí),f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減,當(dāng)x=0時(shí),f(x)有極大值f(0)=0,當(dāng)x=1時(shí),f(x)有微小值f(1)=QUOTE-e.(2)設(shè)g(x)=f(x)-QUOTEx3+QUOTEx,則g′(x)=(x-1)ex-QUOTE-QUOTE,令u(x)=ex-QUOTE-QUOTE,則u′(x)=ex-QUOTE,當(dāng)x≥1時(shí),u′(x)=ex-QUOTE>0,u(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,u(x)≥u(1)=e-2>0,所以g′(x)=(x-1)QUOTE≥0,g(x)=f(x)-QUOTEx3+QUOTEx在[1,+∞)上單調(diào)遞增.g(x)=f(x)-QUOTEx3+QUOTEx≥g(1)=QUOTE-e>0,所以f(x)>QUOTEx3-QUOTEx.(20分鐘·40分)1.(5分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若x=-1為函數(shù)y=f(x)·ex的一個(gè)極值點(diǎn),則下列圖象不行能為y=f(x)的圖象是 ()【解析】選D.因?yàn)閥′=[f(x)ex]′=f′(x)ex+f(x)(ex)′=[f(x)+f′(x)]ex,且x=-1為函數(shù)y=f(x)ex的一個(gè)極值點(diǎn),所以f(-1)+f′(-1)=0;圖象D中,f(-1)>0,f′(-1)>0,不滿意f′(-1)+f(-1)=0.2.(5分)(多選題)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx,其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0),(2,0),如圖所示,則下列結(jié)論正確的是 ()A.當(dāng)x=QUOTE時(shí)函數(shù)取得微小值;B.f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn);C.當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)取得微小值;D.當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)取得極大值.【解析】選BCD.由題圖可以看到:當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),f′(x)>0;當(dāng)x∈(1,2)時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),f′(x)>0,所以f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)1和2,且當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)取得微小值,當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)取得極大值.只有A不正確.3.(5分)函數(shù)f(x)=x2ex在區(qū)間(a,a+1)上存在極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____________.

【解析】函數(shù)f(x)=x2ex的導(dǎo)數(shù)f′(x)=2xex+x2ex=xex(2+x).令f′(x)=0,得x=0或x=-2.f(x)在(-2,0)上單調(diào)遞減,在(-∞,-2),(0,+∞)上單調(diào)遞增.所以0和-2是函數(shù)的極值點(diǎn).因?yàn)閒(x)=x2ex在區(qū)間(a,a+1)上存在極值點(diǎn),所以a<-2<a+1或a<0<a+1,解得-3<a<-2或-1<a<0.答案:(-3,-2)∪(-1,0)4.(5分)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+1,g(x)=lnx-a(a∈R).則當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的微小值為____________.

【解析】函數(shù)h(x)的定義域?yàn)?0,+∞),當(dāng)a=1時(shí),h(x)=f(x)-g(x)=x2+x-lnx+2,所以h′(x)=2x+1-QUOTE=QUOTE,所以當(dāng)0<x<QUOTE時(shí),h′(x)<0,當(dāng)x>QUOTE時(shí),h′(x)>0,所以函數(shù)h(x)在區(qū)間QUOTE上單調(diào)遞減,在區(qū)間QUOTE上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=QUOTE時(shí),函數(shù)h(x)取得微小值為QUOTE+ln2.答案:QUOTE+ln25.(10分)設(shè)f(x)=a(x-5)2+6lnx,其中a∈R,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與y軸相交于點(diǎn)(0,6).(1)確定a的值.(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.【解析】(1)因?yàn)閒(x)=a(x-5)2+6lnx(x>0),故f′(x)=2a(x-5)+QUOTE.令x=1,得f(1)=16a,f′(1)=6-8a,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-16a=(6-8a)(x-1).由點(diǎn)(0,6)在切線上可得6-16a=8a-6,故a=QUOTE.(2)由(1)知,f(x)=QUOTE(x-5)2+6lnx(x>0),f′(x)=x-5+QUOTE=QUOTE.令f′(x)=0,解得x1=2,x2=3.當(dāng)0<x<2或x>3時(shí),f′(x)>0,故f(x)在(0,2),(3,+∞)上為增函數(shù);當(dāng)2<x<3時(shí),f′(x)<0,故f(x)在(2,3)上為減函數(shù).由此可知f(x)在x=2處取得極大值f(2)=QUOTE+6ln2,在x=3處取得微小值f(3)=2+6ln3.6.(10分)已知函數(shù)f(x)=QUOTE圖象上斜率為3的兩條切線間的距離為QUOTE,f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x),函數(shù)g(x)=f(x)-QUOTE+3.(1)若函數(shù)g(x)在x=1處有極值,求g(x)的解析式.(2)若函數(shù)g(x)在[-1,1]上是增函數(shù),且b2-mb+4≥g(x)在[-1,1]上恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】因?yàn)閒′(x)=QUOTE·x2,所以由QUOTE·x2=3得x=±a,即切點(diǎn)坐標(biāo)為(a,a),(-a,-a),所以切線方程為y-a=3(x-a)或y+a=3(x+a),整理得3x-y-2a=0或3x-y+2a=0.所以QUOTE=QUOTE解得:a=±1,所以f(x)=x3,f′(x)=