計量經濟學 第2版 課件 第3、4章 多元線性模型、多重共線性

ECONOMETRICS第三章多元線性回歸模型教學目的和要求0105040302了解多元線性回歸模型及古典假定掌握多元線性回歸模型OLS法的基本原理了解高斯—馬爾柯夫定理掌握多元線性回歸模型統(tǒng)計檢驗的意義和方法掌握多元線性回歸EVIEWS軟件實現課程內容01040302多元線性回歸模型及其經典假定多元線性回歸模型的估計多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗多元線性回歸模型預測引子：什么造就了中國高儲蓄？中國是全球國家總儲蓄水平最高的經濟體之一。1990~2001年，國民儲蓄率約為GDP的35%~40%，2010年達到歷史峰值，約為GDP的50.7%。此后國民儲蓄率出現下降，但相比國際平均水平，中國的儲蓄率仍然高于全球大多數國家。2019-2022年，平均家庭儲蓄率分別為29.9%、34.1%、31.4%、33.5%，疫情導致中國家庭儲蓄率再度上升。是何種原因造就了中國的高儲蓄率呢？傳統(tǒng)的國民儲蓄涉及三大塊，一是家庭部門儲蓄，二是企業(yè)部門儲蓄，三是政府部門儲蓄。每個儲蓄部門均涉及多項原因，如家庭儲蓄更依賴于人口結構變化、社會保障體系、房改等；企業(yè)及政府部門則依賴于進出口貿易、財政收入等。

因此，簡單線性回歸模型無法實現這類多因素問題研究，從而需要引入包含多個解釋變量的回歸分析方法。

3.1多元線性回歸模型及其經典假定

多元總體回歸函數

多元樣本回歸函數

多元線性回歸模型的矩陣形式

B

矩陣形式

偏回歸系數

3.1.2多元線性回歸模型的經典假定

經典假定

經典假定

3.2多元線性回歸模型的估計

普通最小二乘法

普通最小二乘估計表達式

OLS估計統(tǒng)計性質

3.2.2隨機誤差項方差的估計

3.3多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗

多重可決系數

修正的可決系數

修正的可決系數

赤池信息準則、施瓦茨準則和漢南-奎因準則3.3.2偏回歸系數的顯著性檢驗

t檢驗

t檢驗

t檢驗的p值

3.3.3回歸模型的總體顯著性檢驗

F檢驗

統(tǒng)計檢驗間的關系

3.4多元線性回歸模型預測

3.4.1被解釋變量點預測

3.5案例分析

模型估計

模型檢驗思考與練習

參考文獻[1]汪偉.經濟增長、人口結構變化與中國高儲蓄[J].經濟學(季刊),2010,9(01):29-52.[2]Kelley,A.,andR.Schmidt,“Saving,DependencyandDevelopment”,JournalofPopulationE-conomics,1996,9(4),365-386.[3]龐皓.計量經濟學(第四版)[M].北京：科學出版社,2019.1[4]孫敬水.中級計量經濟學[M].上海：上海財經大學出版社,2009.1ECONOMETRICS第四章教學目的和要求0304050102了解多重共線性的含義及其

產生的原因理解多重共線性產生的影響掌握多重共線性的檢驗方法掌握多重共線性的修正方法掌握多重共線性檢驗及修正的EVIEWS軟件實現課程內容03040102多重共線性的含義及成因多重共線性產生的后果多重共線性的檢驗多重共線性的修正引子：工業(yè)增加值會阻礙公共預算收入增加嗎？44財政收入是衡量一國政府財力的重要指標，政府在社會經濟活動中提供公共物品和服務的范圍和數量，在很大程度上取決于財政收入的充裕狀況。大多數相關研究文獻中都把總稅收、國內生產總值這兩個指標作為影響財政收入的基本因素，還有一些文獻中也提出了其他一些變量，比如其他收入、經濟發(fā)展水平、就業(yè)人數等。為了分析各要素對國家財政收入對影響，建立一般公共預算收入（Y）為被解釋變量，國內生產總值（X1）、稅收收入(X2)、就業(yè)人員數(X3)和工業(yè)增長值(X4)作為解釋變量的多元線性回歸模型。建立回歸結果發(fā)現，模型對可決系數為0.9995，修正的可決系數為0.9994，模型擬合效果好。F統(tǒng)計量為7414.819，表明在顯著性水平為0.05條件下，回歸方程整體顯著。t檢驗發(fā)現，X1、X2、X4對Y的影響都是顯著的，但是X4的回歸系數為負值，表明工業(yè)增長值越大，財政收入越少，這與我們對經濟的認識不符合。為什么會出現這個違反常理的結果呢？如果模型設定合理、數據證實，可能是什么原因導致的？4.1

多重共線性的含義及成因454.1.1多重共線性的含義對于多元線性回歸模型：Yi

0

1X1i

k

X

ki

i如果模型的解釋變量之間存在較強的線性相關關系，或者說，存在一組不全為零的常數，……，，使得

1

X1i

2

X

2i

......

k

X

ki

i

0其中是一個隨機誤差項，則稱模型存在著多重共線性（Multi-collinearity）。它可分為兩種情況：若

i

0 ，

模型存在完全多重共線性。若

i

0 ，模型存在不完全多重共線性。1.經濟變量之間內在的聯系。 這是模型產生多重共線性的主要原因。2.經濟變量之間變化的共同趨勢。3.樣本數據的原因。4.引入滯后變量。464.1.2多重共線性的成因4.2.1完全多重共線性產生的后果1.參數的估計值不確定47對于k元線性回歸模型設解釋變量矩陣X為：X4.2 多重共線性產生的后果Yi

0

1

X1i

k

X

ki

i

1

1

1=

Xk1

X12

X

1

1 X

21X

12 X

22

X

1n X2

n

Xkn

2.參數估計值的方差無限大48494.2.2不完全多重共線性下產生的后果如果模型中存在不完全的多重共線性，可以得到參數的估計值，但是對計量經濟分析可能會產生一系列的影響。1.參數估計值的方差增大當增大時也增大2502 2211?=2i 232i 23σ

2Var(

β

2

)

=

σx (1-

r

)x (1-

r2)

23r^2Var(

)2.難以分析每個解釋變量的單獨影響3.檢驗的可靠性降低4.預測失去意義514.3 多重共線性的檢驗524.3.1簡單相關系數法如果解釋變量之間存在相關系數的絕對值大于0.8的現象，則模型中存在多重共線性的可能性則很大。此法只是判斷有無共線性的充分條件，而非必要條件。在EViews軟件中可以直接計算解釋變量間的相關系數矩陣。1.命令方式COR解釋變量1解釋變量2…

解釋變量2.菜單方式將所有解釋變量設置成一個數組，并在數組窗口中點擊View/Correlations.4.3.2輔助回歸模型法53若多元性回歸方程有k個解釋變量，分別建立每一個解釋變量對其它剩余解釋變量的線性回歸方程，可以獲得k個輔助方程。X

f

X ,

X ,

,

X ,

,

X ,

i 1 2 j k i如果其中某些方程F檢驗顯著，則表明存在多重共線性，所對應的原解釋變量可以近似地用其它解釋變量線性表示。4.3.3方差擴大因子法544.3.4經驗判斷法551.當增加或剔除一個解釋變量時，若回歸參數的估計值發(fā)生較大變化，則回歸模型可能存在嚴重的多重共線性。2.定性分析認為某個或某些解釋變量重要，但對其偏回歸系數進行t檢驗不顯著，此時可懷疑是由于模型存在多重共線性所引致。3.當所估計的解釋變量系數的符號與經濟理論分析設定不一致時，則模型可能存在多重共線性。4.4 多重共線性的修正56對于存在多重共線性的回歸方程，為了能獲得較好的分析結果，要設法消除或減弱共線性的不利影響。但并非所有的多重共線性都必須處理。對于下列情況，即使存在多重共線性問題也可不作處理：一是，多重共線性不嚴重，不會從根本上給模型估計帶來非常嚴重的后果；二是如果應用模型進行預測，只要模型的擬合優(yōu)度較高，并且解釋變量的相關類型在預測期內保持不變，則可以忽略多重共線性的問題。4.4.1剔除次要變量57當回歸方程中存在嚴重的多重共線性時，可以刪除引起多重共線性不重要的解釋變量。一般是直接剔除存在如下情況的解釋變量：與被解釋變量的相關系數數絕對值較??；偏回歸參數t檢驗不顯著；方差擴大因子（VIF）較大；估計的回歸參數符號與經濟理論或實際相背離。但在采用此法時要采取審慎態(tài)度，避免產生新的問題，如剔除這些變量后是否影響模型經濟意義的相對完整性、是否會引發(fā)模型產生異方差性或自相關性。4.4.2利用先驗信息先驗信息是指從經濟理論或實際資料中所獲得的關于解釋變量間的關系的信息。把這種先驗信息作為約束條件對原模型進行變形，以間接減少解釋變量個數，進而消除模型中的多重共線性。例如以Cobb-Dauglas

生產函數為基礎建立計量模型Y

AL

K

e

其中勞動投入量L與資金投入量K之間往往是高度相關的，回歸參數α+β的經濟意義為規(guī)模報酬，如果假定規(guī)模報酬不變（即α+β=1），則可變形為

L記 y=Y/L，

k=K/L則C-D生產函數可以表示成：y=AkβA( ) eL

Y

K利用OLS法估計出 A?

，

?

，進而得到58

?

1

?由于 ，變量之間的線性相關性大大減弱，從而差分模型的多重共線性59問題將減輕甚至消除，此時可以估計差分方程。但差分變化會帶來信息損失問題，特別是均值信息損失，另外，差分方程可能會存在自相關性問題，所以，在實際運用中需要謹慎處理。4.4.3變換模型形式1、差分變換法對二元回歸方程Yt

0

1X1t

2X2t

t對各變量進行差分變化，得到差分模型

Yt

1

X1t

2

X2t

t

X1t

、

X2t用宏觀經濟數據建立模型時，可以對變量進行對數變換，建立雙對數模型。對數變換后的新變量之間的相關性大大減弱，用新變量建立的回歸模型的多重共線性程度會大大降低。此外，對數變換還可以降低模型異方差性問題，解決時間序列數據平穩(wěn)性問題，是實際應用中效果比較好的一種數據處理方法602.對數變換處理4.4.4逐步回歸法61逐步回歸法的原理是：先選擇與被釋變量相關關系最為密切的解釋變量建立一元模型，然后再將其它解釋變量逐個引入模型，分別建立二元、三元、

四元模型。每引入一個變量，需對模型進行經濟檢驗和統(tǒng)計顯著性檢驗，并從中選擇一個相對最優(yōu)的模型，這樣逐步引入—剔除—引入，直到模型之外所有變量均不顯著時為止。4.4.5主成分回歸法62主成分分析（PrincipalComponentAnalysis，PCA），

是一種統(tǒng)計方法。該方法通過正交變換將一組可能存在相關性的變量轉換為一組線性不相關的變量，轉換后的這組變量叫主成分。主成分回歸法(principle

component

regression，PCR)是以主成分為自變量進行回歸分析的一種參數估計方法，因為主成分之間沒有線性相關性，可以解決多重共線性問題。主成分回歸的具體步驟如下：63644.5 案例分析654.5.1樣本選取財政收入是衡量一國政府財力的重要指標，

政府在社會經濟活動中提供公共物品和服務的范圍和數量，在很大程度上取決于財政收入的充裕狀況。大多數相關的研究文獻中都把總稅收、國內生產總值這兩個指標作為影響財政收入的基本因素，還有一些文獻中也提出了其它一些變量，比如其它收入、經濟發(fā)展水平、就業(yè)人數等。現以國內生產總值、稅收收入、工業(yè)增長值和就業(yè)人數作為影響財政收入的主要研究因素，建立我國財政收入計量經濟模型，具體數據見表4-1。初步設定了如下形式的計量經濟模型：Yi

0

1X1i

2X2i

3X3i

4X4i

i

利用EViews

軟件，生成Y、X1、X2、X3、X4等數據，采用OLS

法估計模型參數，得到的回歸結果如圖所示。66初建模型分析=0.9994，可決系數很高，F檢驗值7414.819，模型顯著。當顯著性水平

α =0.05時，解釋變量X1、X2、X4系數的t檢驗均顯著，X3系數的t檢驗不顯著。但是從經濟意義上看，X4參數估計值的符號與預期相反，表明城工業(yè)增加值越多，一般公共預算收入將會越少，結果不合理。這表明模型很可能存在嚴重的多重共線性。該模型R2

=

0.9995

，R

2671.簡單相關系數法為證實是否存在多重共線性，計算各解釋變量相互之間的相關系數，在EViews

中選擇X1、X2、X3、X4數據，單擊view/covarianceAnalysis，在對話框中選correlation/ok，即得相關系數矩陣。68為了進一步了解多重共線性的性質，作輔助回歸，即將每個X

變量分別作為被解釋變量都對其余的X變量進行回歸，分別建立各個解釋變量的輔助模型，觀察輔助回歸模型及修正可決系數。建立的4個輔助回歸模型。692、輔助回歸模型法輔助回歸模型X1X2X3X4F檢驗X1=f(X2,X3,X4)

3.7360(1.4458)***-31.9480(-3.0156)***1.6210(0.8778)**827.2328***X2=f(X1,X3,X4)0.0788(2.5841)***

1.0907(0.5717)0.2900(2.4113)***1234.836***X3=f(X1,X2,X4)-0.0113(-3.0156)***0.0184(0.5717)

0.0432(2.9477)***80.7664***X4=f(X1,X2,X3)0.1084(1.8468)**0.9192(2.4114)***8.1211(2.9477)***

1253.651***根據以上輔助回歸模型的R2值和據VIF的計算公式，可以得到VIF1=156.1037、VIF2=232.5581、VIF3=16.1436、VIF4=236.0718，都遠遠大于10，解釋變量X1、X2、X3、X4之間存在較為嚴重的多重共線性。在EViews

中，也可以直接計算解釋變量的方差擴大因子，在Equation

回歸結果中單擊View/Coefficient

Diagnostics/Variance

Inflation

Factors

即可。3.方差膨脹因子法704.5.4多重共線性的修正1.利用逐步回歸法（1）利用Eviews軟件命令COR

Y X1 X2 X3 X4）得到觀察被解釋變量Y與解釋變量的相關系數矩陣，發(fā)現X2是關系最密切的解釋變量，以此建立一元回歸方程。71（2）將X1、X3、X4分別引入一元回歸方程，估計3個二元回歸方程，估計結果。從表中可以看出，回歸方程Y=f(X2，X4)中兩個解釋變量X2和X4的t檢驗都能顯著通過，R2有所提高，此二元回歸方程應該保留。72（3）以Y=f(X2，X4)

為基礎回歸方程，分別引入X1和X3建立2個三元回歸方程，結果發(fā)現這兩個三元回歸方程都不能保證所有解釋變量顯著性檢驗通過。所以，建立的多元回歸模型為：Y?i=474.7738+1.4885X2i

0.1533X4i模型X1X2X3X4

R

2 R

2Y=f(X2)1.2145(133.8733)***0.99900.9989Y=f(X2，X1)0.0169(1.0628)1.1196(12.4726)***0.99900.9989Y=f(X2，X3)1.2406