數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂探究集合的運算第課時

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一兩個集合的交集運算求兩個集合的交集時，首先要識別所給集合，其次要簡化集合，即明確集合中的元素，使集合中的元素明朗化,最后再依據(jù)交集的定義寫出結(jié)果．有時要借助于Venn圖或數(shù)軸寫出交集．【典型例題1】設(shè)A＝{x|x2－7x＋6＝0},B＝｛x|4<x<9，x∈N},求A∩B.思路分析：首先明確集合A,B中的元素，集合A是一元二次方程x2－7x＋6＝0的解集,集合B是滿足不等式4〈x〈9的自然數(shù)集,直接觀察或借助于Venn圖寫出交集．解:A＝{1，6｝，B＝{5，6，7，8},用Venn圖表示集合A，B，如圖所示，依據(jù)交集的定義,觀察可得A∩B＝{6}．探究二兩個集合的并集運算求兩個集合的并集時，若用描述法給出的集合，要先明確集合中的元素是什么性質(zhì),有時直接觀察可寫出并集，有時則需借助圖示寫出并集；若用列舉法給出集合，則依據(jù)并集的定義,可直接觀察或借助于Venn圖寫出并集．【典型例題2】設(shè)集合A＝{x|x＋1>0｝，B＝｛x｜－2〈x<2｝，求A∪B.思路分析:首先明確集合A中的元素，集合A是不等式x＋1>0的解集,再借助于數(shù)軸寫出A∪B.解：A＝｛x|x〉－1｝，在數(shù)軸上分別表示集合A,B，如圖所示，由數(shù)軸可知A∪B＝｛x|x〉－2}．探究三集合運算性質(zhì)的運用1．A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B，這兩個性質(zhì)常常作為“等價轉(zhuǎn)化"的依據(jù)，要特別注意當(dāng)A?B時，往往需要按A＝?和A≠?兩種情況分類討論，而這一點卻很容易在解題時被忽視，因此當(dāng)題目中有A?B這一條件時，應(yīng)有分類討論的思想意識,以免造成漏解或增解．2．要注重集合語言與數(shù)學(xué)文字語言之間的轉(zhuǎn)化．【典型例題3】集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，B＝｛x｜mx－1＝0}，若A∪B＝A,則實數(shù)m構(gòu)成的集合為________．思路分析：解答此題，第一是先利用性質(zhì)A∪B＝A?B?A來轉(zhuǎn)化；二是要弄清楚B＝｛x|mx－1＝0}≠，要注意對m是否為0進行討論．解析:A＝｛x｜x2－3x＋2＝0｝＝{1,2}，A∪B＝A?B?A。因此集合B只能為單元素集或?.（1）當(dāng)B＝{1}時，即1∈B＝{x|mx－1＝0},得m＝1；同理，當(dāng)B＝{2}時,得m＝.（2）當(dāng)B＝?時,即mx－1＝0無解，得m＝0.綜上（1）（2）可知,實數(shù)m構(gòu)成的集合為。答案:探究四集合的交、并綜合運算集合的交、并綜合運算一般需要將所給集合進行求解，有方程問題、不等式問題、點集等，把集合明確后，根據(jù)集合的特點及集合的交集、并集運算的定義，選取合適的方法進行運算，如:可結(jié)合數(shù)軸、Venn圖或初中所學(xué)函數(shù)的圖象等．【典型例題4】已知集合A＝｛y|y＝x2－2x－3,x∈R｝，B＝{y|y＝－x2＋2x＋13,x∈R｝，求A∩B,A∪B.思路分析：先利用配方法確定集合A與B，再利用數(shù)軸進行集合的交、并運算．解:∵A＝{y｜y＝(x－1）2－4，x∈R｝，∴A＝｛y|y≥－4｝．∵B＝｛y｜y＝－(x－1)2＋14,x∈R}，∴B＝｛y｜y≤14}．將集合A，B分別表示在數(shù)軸上，如圖所示,∴A∩B＝｛y｜－4≤y≤14}，A∪B＝R.點評本題在求A∩B時，極易出現(xiàn)由得y＝5,近而得出A∩B＝{5｝的錯誤．探究五易錯辨析易錯點忽視A不為空集的情況而致誤【典型例題5】設(shè)集合A＝{x∈R｜x2＋2x＋2－p＝0}，B＝｛x|x>0}，且A∩B＝?，求實數(shù)p滿足的條件．錯解:由于A∩B＝?，則A＝?，所以關(guān)于x的方程x2＋2x＋2－p＝0沒有實數(shù)根,所以Δ＝22－4(2－p)<0,解得p<1.所以實數(shù)p滿足的條件為p〈1.錯因分析：當(dāng)A∩B＝?時,若B≠?，則A＝?或A≠?且A與B沒有公共元素，錯解忽視了B≠?,且A與B沒有公共元素的情況，導(dǎo)致出現(xiàn)錯誤．正解：由A∩B＝?，且B≠?，得A＝?或A≠?且A與B沒有公共元素．當(dāng)A＝?時,Δ＝22－4（2－p)<0，解得p<1