數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂探究距離（選學(xué)）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一用向量求兩點間的距離用向量法求兩點間距離的方法主要是坐標法和基向量法,設(shè)A（x1，y1，z1)，B（x2,y2，z2）,則dAB＝｜eq\o（AB,\s\up6(→））|＝eq\r（x2－x12＋y2－y12＋z2－z12），或利用｜a｜＝eq\r（a·a)求解．【典型例題1】已知矩形ABCD中，AB＝4,AD＝3，沿對角線AC折疊,使平面ABC與平面ADC垂直，求B,D間的距離．思路分析：本題既可利用向量模求解，也可建立坐標系利用距離公式求解．解法一：過D和B分別作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，則由已知條件可知AC＝5，∴DE＝eq\f(3×4，5)＝eq\f(12,5），BF＝eq\f(3×4,5）＝eq\f(12,5）.∵AE＝eq\f（AD2,AC）＝eq\f（9，5)＝CF，∴EF＝5－2×eq\f(9,5）＝eq\f(7，5）.∵eq\o(DB，\s\up6（→)）＝eq\o(DE,\s\up6(→））＋eq\o(EF，\s\up6（→））＋eq\o(FB，\s\up6（→)），∴|eq\o（DB，\s\up6(→))｜2＝(eq\o（DE，\s\up6(→))＋eq\o（EF,\s\up6(→））＋eq\o(FB，\s\up6（→))）2＝eq\o(DE,\s\up6(→))2＋eq\o（EF，\s\up6(→）)2＋eq\o（FB，\s\up6(→））2＋2eq\o（DE,\s\up6(→）)·eq\o(EF,\s\up6（→）)＋2eq\o（DE，\s\up6(→)）·eq\o(FB，\s\up6（→)）＋2eq\o（EF,\s\up6(→））·eq\o（FB,\s\up6(→）).∵平面ADC⊥平面ABC,DE⊥AC，∴DE⊥平面ABC，∴DE⊥BF，即eq\o(DE，\s\up6（→)）⊥eq\o(FB，\s\up6（→))，∴|eq\o(DB，\s\up6（→)）|2＝eq\o（DE,\s\up6(→)）2＋eq\o(EF,\s\up6（→）)2＋eq\o（FB，\s\up6(→)）2＝eq\f（144，25)＋eq\f（49，25）＋eq\f(144，25)＝eq\f(337,25)，∴|eq\o（DB，\s\up6（→））｜＝eq\f(\r（337）,5)。故B，D間距離是eq\f(\r(337),5).解法二：過D作DE⊥AC于E,過B作BF⊥AC于F,過E作FB的平行線EP,以E為坐標原點，EP,EC,ED所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖．由解法一知DE＝FB＝eq\f（12,5），EF＝eq\f(7，5)，∴Deq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，0,\f（12,5）)),Beq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(12，5)，\f(7，5），0))，∴eq\o(DB,\s\up6(→））＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（12，5），\f(7，5),－\f(12，5））），∴|eq\o(DB,\s\up6(→）)|＝eq\r（\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(12,5）））2＋\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（7,5）））2＋\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（12，5）))2)＝eq\f(\r（337），5）.探究二求點到平面的距離利用點到平面的距離定義，求點到平面的距離，就是過點作平面的垂線，點與垂足間的線段長就是點到平面的距離，從而轉(zhuǎn)化到可解三角形中求解．用向量法求點到平面的距離的方法：求出平面的一個法向量n的坐標，再求出已知點P與平面內(nèi)任一點M構(gòu)成的向量eq\o（MP,\s\up6(→)）的坐標，那么P到平面的距離d＝|eq\o(MP，\s\up6（→)）｜·｜cos〈n，eq\o（MP，\s\up6(→）)〉｜.【典型例題2】直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱AA1＝eq\r(3），在底面△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，求點B1到平面A1BC的距離．思路分析：直接作平面的垂線較困難，故可考慮建立平面直角坐標系求解．解：如圖，建立空間直角坐標系，由已知得直三棱柱各頂點坐標：A(1,0,0),B（0,1,0)，C（0,0，0)，A1（1,0,eq\r(3))，B1（0,1,eq\r（3）)，C1(0,0，eq\r（3）)，則eq\o（A1B1,\s\up6(→））＝（－1，1,0),eq\o(BC,\s\up6(→))＝（0，－1，0），eq\o（A1C，\s\up6（→））＝（－1,0，－eq\r（3））．設(shè)平面A1BC的法向量為n＝（x,y,z)，則n·eq\o（A1C，\s\up6（→)）＝0，n·eq\o(BC，\s\up6（→))＝0,即－x－eq\r(3)z＝0,－y＝0。令x＝－eq\r(3），則y＝0，z＝1，所以平面A1BC的一個法向量為n＝(－eq\r(3）,0，1），所以點B1到平面A1BC的距離d＝eq\f（|n·\o（A1B1,\s\up6（→)）｜,|n｜）＝eq\f（\r(3),2).探究三求平行平面之間的距離當兩個平面互相平行時，其中一個平面內(nèi)任一點到另一個平面的距離都相等，且都等于這兩個平行平面間的距離，因此，兩平行平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點到平面的距離求解．【典型例題3】如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，求平面A1BD與平面B1CD1間的距離思路分析：平面A1BD與平面B1CD1間的距離就等于平面A1BD內(nèi)任意一點到平面B1CD1的距離，即轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離．解：以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則A1(1，0,1)，B(1,1，0)，D1(0,0，1)，eq\o（A1B，\s\up6（→)）＝(0，1，－1），eq\o（A1D，\s\up6（→))＝（－1，0，－1）,eq\o（A1D1，\s\up6(→))＝(－1,0,0）．設(shè)平面A1BD的一個法向量為n＝（x，y，z），則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（n·\o(A1B，\s\up6（→））＝0，,n·\o（A1D，\s\up6(→）)＝0)）eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y－z＝0，,－x－z＝0，））令z＝1,得y＝1,x＝－1,∴n＝(－1,1，1)，∴點D