數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂探究空間中的垂直關(guān)系第課時

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一線面垂直的判定(1)利用直線與平面垂直的判定定理來判定直線與平面垂直的步驟：①在這個平面內(nèi)找兩條直線,使它們和這條直線垂直；②確定這個平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線；③根據(jù)判定定理得出結(jié)論．（2)利用直線與平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的技巧：證明線面垂直時要注意分析幾何圖形，尋找隱含的和題目中推導(dǎo)出的線線垂直關(guān)系，進(jìn)而證明線面垂直．三角形全等、等腰三角形、菱形、正方形的對角線、三角形中的勾股定理等都是找線線垂直的方法．【典型例題1】如圖所示，直角△ABC所在平面外有一點S,且SA＝SB＝SC，點D為斜邊AC的中點．（1)求證：SD⊥平面ABC;(2）若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC．思路分析：由于D是AC的中點，SA＝SC，則SD是△SAC的高,連接BD,可證△SDB≌△SDA．由于AB＝BC,所以Rt△ABC是等腰直角三角形，則BD⊥AC，利用線面垂直的判定定理即可得證．證明：（1）因為SA＝SC，D為AC的中點，所以SD⊥AC．在Rt△ABC中，連接BD．則AD＝DC＝BD．又因為SB＝SA，SD＝SD，所以△ADS≌△BDS．所以SD⊥BD．又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC．（2）因為BA＝BC，D為AC的中點，所以BD⊥AC．又由（1）知SD⊥BD,AC∩SD＝D，所以BD⊥平面SAC．探究二線面垂直的判定定理與推論的應(yīng)用(1)平面內(nèi)證明線線平行的四種方法:①兩條直線被第三條直線所截,若同位角相等(或內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ))，則兩直線平行．②三角形中位線、梯形中位線的性質(zhì)．③平行四邊形對邊平行的性質(zhì)．④平行線分線段成比例定理．（2）空間中證明線線平行的四種方法：①（基本性質(zhì)4)平行于同一條直線的兩條直線平行．②（線面平行的性質(zhì)定理）如果一條直線與一個平面平行,那么過該直線的任意一個平面與已知平面的交線與該直線平行．③（面面平行的性質(zhì)定理)如果兩個平行平面同時與第三個平面相交,那么它們的交線平行．④(線面垂直的性質(zhì)定理)如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行．【典型例題2】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC．求證：MN∥AD1．證明:因為ADD1A1為正方形，所以AD1⊥A1D．又因為CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1．因為A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC．又因為MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1．探究三距離問題求點到平面距離的基本步驟是：①找到或作出要求的距離;②使所求距離在某一個三角形中;③在三角形中根據(jù)三角形的邊角關(guān)系求出距離．【典型例題3】如圖所示，已知P為△ABC外一點，PA，PB，PC兩兩垂直，PA＝PB＝PC＝a,求點P到平面ABC的距離．思路分析：作出點到平面的垂線，進(jìn)一步求出垂線段的長．證明：過P作PO⊥平面ABC于點O,連接AO,BO，CO,所以PO⊥OA，PO⊥OB,PO⊥OC．因為PA＝PB＝PC＝a，所以△PAO≌△PBO≌△PCO．所以O(shè)A＝OB＝OC,所以O(shè)為△ABC的外心．因為PA，PB，PC兩兩垂直，所以AB＝BC＝CA＝,所以△ABC為正三角形,所以O(shè)A＝AB＝,所以PO＝＝．所以點P到平面ABC的距離為．探究四易錯辨析易錯點：忘記分類討論而致誤【典型例題4】已知:線段AB的中點為O，O∈平面α．求證：A，B兩點到平面α的距離相等．錯解:如圖所示,過點A，B作平面α的垂線,垂足分別為A1，B1,則AA1，BB1分別是點A、點B到平面α的距離．在Rt△AA1O和Rt△BB1O中，AO＝BO，∠B1OB＝∠A1OA，所以Rt△AOA1≌Rt△BOB1，所以AA1＝BB1，即A，B兩點到平面α的距離相等．錯因分析：錯誤的原因有兩種：一是忽略了AB?α的情況；二是認(rèn)為∠AOA1和∠BOB1為對頂角而相等，其實應(yīng)說明B1，O,A1三點共線才行．正解:(1)當(dāng)線段AB?平面α?xí)r，顯然A，B到平面α的距離均為0，相等．(2）當(dāng)AB平面α?xí)r，如圖，分別過點A，B作平面α的垂線，垂足分別為A1，B1,則AA1,BB1分別是點A、點B到平面α的距離,且AA1∥BB1．所以AA1與BB1確定一個平面，設(shè)為β,則α∩β＝A1B1．因為O∈AB，AB?β,所以O(shè)∈β．又