數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂探究命題與量詞

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一命題及其真假判斷判斷某個(gè)語句是否是命題的方法是先看句型，一般地，疑問句、祈使句、感嘆句都不是命題，其次要看能不能判斷其真假．判定一個(gè)命題真假的方法：判定一個(gè)命題為真，要經(jīng)過證明；判定一個(gè)命題為假，則只需舉一反例即可．【典型例題1】下列語句是不是命題？如果是，說明其真假：(1）函數(shù)f（x)＝ax2＋bx＋c是二次函數(shù)嗎？(2）偶數(shù)的平方仍是偶數(shù)；（3)若空間的兩條直線垂直,則這兩條直線相交;（4)兩個(gè)向量的夾角可以等于π.思路分析:(1）該語句是疑問句，不能判斷其真假,故不是命題;(2)因所有偶數(shù)的平方都是偶數(shù)，無一例外,故該語句是命題且為真命題；(3）根據(jù)空間立體幾何知識(shí)知，垂直的兩條直線不一定相交，故所給語句是命題且為假命題；（4)根據(jù)兩個(gè)向量夾角的定義知，兩個(gè)向量反向時(shí)夾角為π，故所給語句是命題且為真命題．解：（1)不是;(2）是，真命題；(3)是，假命題；(4）是，真命題．探究二全稱命題與存在性命題真假的判定要判定一個(gè)全稱命題是真命題，必須對限定集合中的所有元素x，驗(yàn)證p（x）成立；但要判定全稱命題是假命題，只要能舉出限定集合中的一個(gè)x＝x0，使p（x0)不成立即可（這就是通常所說的“舉一個(gè)反例”)．要判定一個(gè)存在性命題是真命題，只要在限定集合中找到一個(gè)x＝x0，使p(x0)成立即可;否則，這一存在性命題就是假命題．【典型例題2】指出下列命題是全稱命題還是存在性命題,并判斷其真假：(1）p：所有正方形都是矩形；（2）q：x∈R，x2－x＋eq\f(1，4）≥0;(3)r：x∈Z，x2＋2x≤0;（4）s：至少有一個(gè)正整數(shù)x，使x3＋1＝0。思路分析：利用全稱命題和存在性命題的定義判定命題是全稱命題還是存在性命題．（1）利用正方形的定義進(jìn)行判定；（2）將不等式的左邊配方后進(jìn)行判定；（3)將x＝－1代入不等式后進(jìn)行判定;（4)解方程x3＋1＝0后，依據(jù)方程的解進(jìn)行判定．解：(1)命題p是全稱命題，因?yàn)檎叫问青忂呄嗟鹊木匦?所以命題p是真命題；(2）命題q是全稱命題，因?yàn)閤∈R，x2－x＋eq\f(1,4)＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f(1,2)））2≥0，所以命題q是真命題；（3)命題r是存在性命題,因?yàn)椋?∈Z，當(dāng)x＝－1時(shí)，能使x2＋2x≤0成立，所以命題r是真命題；（4）命題s是存在性命題，因?yàn)橛蓌3＋1＝0，得x＝－1，而－1不是正整數(shù)，因此，沒有正整數(shù)滿足x3＋1＝0，所以命題s是假命題．規(guī)律小結(jié)全稱命題與存在性命題的不同表述方法：命題全稱命題“x∈A，p（x）”存在性命題“x∈A，p（x）"實(shí)質(zhì)全稱命題就是陳述某集合所有元素都具有某種性質(zhì)的命題存在性命題就是陳述某集合中有（存在)一些元素都具有某種性質(zhì)的命題表述方式①所有x∈A，p(x)成立②對一切x∈A，p(x)成立③對每一個(gè)x∈A,p（x)成立④任選一個(gè)x∈A，p(x)成立⑤凡x∈A，都有p（x)成立①存在x∈A,使p(x)成立②至少有一個(gè)x∈A，使p（x）成立③對有些x∈A，p（x）成立④對某個(gè)x∈A，p（x）成立⑤有一個(gè)x∈A，使p(x)成立探究三易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)全稱命題理解不全面【典型例題3】若關(guān)于x的不等式ax2＋ax＋1＞0對任意實(shí)數(shù)x都成立，求a的取值范圍．錯(cuò)解：要使ax2＋ax＋1＞0恒成立，則有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a>0,，Δ＝a2－4a<0，)）解得0＜a＜4。錯(cuò)因分析：這是一個(gè)全稱命題，意味著每個(gè)x都滿足ax2＋ax＋1＞0。本題錯(cuò)解中,只考慮了a≠0時(shí)的情況,忽視了a＝0時(shí)的判斷．正解：當(dāng)a＝0時(shí)，1＞0,顯然成立．當(dāng)a≠0