電子技術(shù)基礎(chǔ)項目化教程課件 項目六 邏輯代數(shù)與邏輯門電路6.2.2 邏輯代數(shù)的基本概念、公式和定理

6.2相關(guān)知識6.2.2邏輯代數(shù)的基本概念、公式和定理總目錄下頁下頁上頁首頁6.2.2邏輯代數(shù)的基本概念、公式和定理

1.三種基本邏輯關(guān)系（1）基本概念1）邏輯常量與變量：邏輯常量只有兩個，即0和1，用來表示兩個對立的邏輯狀態(tài)。邏輯變量與普通代數(shù)一樣，也可以用字母、符號、數(shù)字及其組合來表示，但它們之間有著本質(zhì)區(qū)別，因為邏輯變量的取值只有兩個，即0和1，而沒有中間值。

2）邏輯運(yùn)算：在邏輯代數(shù)中，有與、或、非三種基本邏輯運(yùn)算。表示邏輯運(yùn)算的方法有多種，如語句描述、邏輯代數(shù)式、真值表、卡諾圖等。

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3）邏輯函數(shù)：邏輯函數(shù)是由邏輯變量、常量通過運(yùn)算符連接起來的代數(shù)式。同樣，邏輯函數(shù)也可以用表格和圖形的形式表示。

4）邏輯代數(shù)：邏輯代數(shù)是研究邏輯函數(shù)運(yùn)算和化簡的一種數(shù)學(xué)系統(tǒng)。邏輯函數(shù)的運(yùn)算和化簡是數(shù)字電路課程的基礎(chǔ)，也是數(shù)字電路分析和設(shè)計的關(guān)鍵。

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（2）“與”運(yùn)算

“與”運(yùn)算又叫“邏輯乘”，它所對應(yīng)的邏輯關(guān)系為：只有當(dāng)一件事情（燈L亮）的幾個條件（開關(guān)A與B都接通）全部具備之后，這件事情才會發(fā)生，這種關(guān)系稱與運(yùn)算。

下頁上頁首頁用如圖6-1所示開關(guān)串聯(lián)控制電路來描述“與”邏輯關(guān)系。設(shè)開關(guān)A、B閉合為1，打開為0；燈Y亮為1，滅為0。Y是A、B的函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)A=B=1(都閉合)時，Y才等于1(亮)，真值表如表6-4所示。

圖6-1開關(guān)串聯(lián)控制電路表6-4與運(yùn)算真值表

下頁上頁首頁根據(jù)表6-4可以得出與運(yùn)算邏輯表達(dá)式為：Y=A·B邏輯符號如圖6-2所示。

（a）曾用符號（b）國際符號圖6-2與運(yùn)算邏輯符號表6-4與運(yùn)算真值表

下頁上頁首頁（3）“或”運(yùn)算“或”運(yùn)算又稱為“邏輯加”，它所對立的邏輯關(guān)系為：當(dāng)一件事情（燈L亮）的幾個條件（開關(guān)A、B接通）中只要有一個條件得到滿足，這件事就會發(fā)生，這種關(guān)系稱為或運(yùn)算。下頁上頁首頁用如圖6-3開關(guān)并聯(lián)控制電路來描述“或邏輯”關(guān)系。設(shè)開關(guān)A、B閉合為“1”狀態(tài)，打開為“0”狀態(tài)；燈Y亮為“1”狀態(tài)，滅為“0”狀態(tài)。當(dāng)A=1或B=1或A=B=1，燈都會亮。真值表同表6-5所示。

圖6-3并聯(lián)控制電路表6-5或運(yùn)算真值表下頁上頁首頁表6-5或運(yùn)算真值表根據(jù)表6-5可以得出或運(yùn)算邏輯表達(dá)式為：Y=A+B邏輯符號如圖6-4所示。

（a）常用符號（b）國際符號圖6-4或運(yùn)算邏輯符號下頁上頁首頁

（4）“非”運(yùn)算“非”運(yùn)算又稱求反運(yùn)算。它所對應(yīng)的邏輯關(guān)系為：一件事情（燈亮）的發(fā)生是以其相反的條件為依據(jù)。這種邏輯關(guān)系為非運(yùn)算。

下頁上頁首頁用如圖6-5燈與開關(guān)并聯(lián)電路來描述“非”邏輯關(guān)系。設(shè)A閉合為1狀態(tài)，打開為0狀態(tài)；燈Y亮為1狀態(tài)，燈滅為0狀態(tài)。當(dāng)A等于1時，燈被旁路，Y=0；而A等于0時，電流流過燈，Y=1。真值表同表6-6所示。

圖6-5燈與開關(guān)并聯(lián)電路表6-6或運(yùn)算真值表下頁上頁首頁表6-6或運(yùn)算真值表

根據(jù)表6-6可以得出非運(yùn)算邏輯表達(dá)式為：邏輯符號如圖6-6所示。

（a）常用符號（b）國際符號圖6-6非運(yùn)算邏輯符號下頁上頁首頁2.邏輯代數(shù)的基本公式（1）常量之間的關(guān)系

因為邏輯變量的取值是0和1，而邏輯代數(shù)中只有0和1兩個常量，最基本的邏輯運(yùn)算是與、或、非三種，因而常量之間的關(guān)系也只有與、或、非三種。

公式1:0·0=0

公式2:0·1=0

公式3:1·0=0

公式4:1·1=1

公式5:0＋0=0

公式6:0＋1=1

公式7:1＋0=1

公式8:1＋1=1

公式9:

公式10:

下頁上頁首頁（2）常量和變量之間的關(guān)系

公式11:A·1=A

公式12:A·0=0

公式13:A＋1=1

公式14:A＋0=A

公式15:

公式16:

公式17:A＋A=A

公式18:A·A=A

公式19:

公式20:

公式21:

公式22:

公式23:

下頁上頁首頁

（3）邏輯代數(shù)的基本定律0-1律：A·1=AA+0=AA·0=0A+1=1

交換律：A·B=B·AA＋B=B＋A

結(jié)合律：(A·B)·C=A·(B·C)(A＋B)＋C=A＋(B＋C)

分配律：A·(B＋C)=A·B＋A·CA＋B·C=(A＋B)·(A＋C)

互補(bǔ)律：

重疊律：A·A=AA+A=A

反演律(德·摩根定理)：

吸收律：A·(A+B)=AA+A·B=A(A+B)·(A+C)=A+BC

還原律：

需要注意的是，上述基本公式只反映邏輯關(guān)系，而不是數(shù)量之間的關(guān)系，因此，初等代數(shù)中的移項規(guī)則不能使用?？筛鶕?jù)邏輯代數(shù)基本運(yùn)算規(guī)則從上述定律中可以得到更多的公式，從而擴(kuò)充基本定律的使用范圍。下頁上頁首頁3.邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算規(guī)則（1）代入規(guī)則在任何邏輯等式中，如果等式兩邊所有出現(xiàn)某一變量的地方，都代之以一個函數(shù)，則等式仍然成立。這個規(guī)則稱為代入規(guī)則。利用代入規(guī)則可以擴(kuò)展公式和證明恒等式，從而擴(kuò)大了等式的應(yīng)用范圍。下頁上頁首頁

例6-7

證明：

證：因為

，

若用Y=B·C根據(jù)代入規(guī)則，

則有

所以

下頁上頁首頁（2）反演規(guī)則

對于任何一個邏輯函數(shù)式Y(jié)，若將式中所有的“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，0換成1，1換成0，原變量換成反變量，反變量換成原變量，那么所得到的結(jié)果為

。這一規(guī)則稱為反演規(guī)則。利用反演規(guī)則可以很方便的求出一個邏輯函數(shù)的反函數(shù)。在使用反演規(guī)則時應(yīng)保持原來的運(yùn)算順序，而且不屬于單個變量上的反號保持不變。

在使用反演規(guī)則求反函數(shù)時，應(yīng)需要注意的問題

注意運(yùn)算的順序：先括號，再與，再或；不是一個變量上的反號保持不變。

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例6-8

求

的反函數(shù)。解：根據(jù)反演規(guī)則

下頁上頁首頁（3）對偶規(guī)則對于任何一個邏輯函數(shù)式Y(jié)，若將式中所有的“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，0換成1，1換成0，就可以得到一個新的邏輯式Y(jié)′，則Y和Y?互為對偶式.如果兩個邏輯式相等，那么它們的對偶式也一定相等，這就是對偶規(guī)則.利用對偶規(guī)則可以證明恒等式。

例6-9求

的對偶式

解：根據(jù)對偶規(guī)則

Y′

下頁上頁首頁4.邏輯代數(shù)的復(fù)合運(yùn)算復(fù)合邏輯運(yùn)算是