湘教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題攻略專題11難點(diǎn)探究專題：整式中的規(guī)律探究問題壓軸題七種模型全攻略(原卷版+解析)

專題11難點(diǎn)探究專題：整式中的規(guī)律探究問題壓軸題七種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一數(shù)字類規(guī)律探索之單項(xiàng)式問題】 1【類型二數(shù)字類規(guī)律探索之排列問題】 3【類型三數(shù)字類規(guī)律探索之末尾數(shù)字問題】 6【類型四數(shù)字類規(guī)律探索之新運(yùn)算問題】 8【類型五數(shù)字類規(guī)律探索之等式問題】 12【類型六圖形類規(guī)律探索之?dāng)?shù)字問題】 17【類型七圖形類規(guī)律探索之?dāng)?shù)量問題】 19【典型例題】【類型一數(shù)字類規(guī)律探索之單項(xiàng)式問題】例題：（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）觀察這一系列單項(xiàng)式的特點(diǎn)：，，，，…那么第8個(gè)單項(xiàng)式為（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：，，，，…，第n個(gè)單項(xiàng)式是（

）A． B． C． D．2.（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)校考期中）一組數(shù)據(jù)，，，，…請(qǐng)按這種規(guī)律寫出第十個(gè)數(shù)是．3．（2023秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）觀察下列單項(xiàng)式：．解決下列問題：(1)這組單項(xiàng)式的系數(shù)依次為多少？系數(shù)的絕對(duì)值的規(guī)律是什么？(2)這組單項(xiàng)式的次數(shù)的規(guī)律是什么？(3)根據(jù)上面的歸納，你可以猜想出第n個(gè)單項(xiàng)式是什么嗎？(4)請(qǐng)你根據(jù)猜想，寫出第2022個(gè)、第2023個(gè)單項(xiàng)式．【類型二數(shù)字類規(guī)律探索之排列問題】例題：（2022秋·浙江金華·七年級(jí)?？计谥校?開始的連續(xù)奇數(shù)按右圖的規(guī)律排列，其余位置數(shù)字均為．

（1）第行第列的數(shù)字是．（2）數(shù)字在圖中的第行，第列．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）填在下面各正方形中的四個(gè)數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)規(guī)律，m的值是（）

A．86 B．52 C．38 D．742．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）觀察下列三行數(shù)：，4，，16，，64，……0，6，，18，，66，……，1，，4，，16……(1)第①行數(shù)第七個(gè)數(shù)是，那么第二行數(shù)第七個(gè)數(shù)是_____，第三行第七個(gè)數(shù)是_____．(2)列式計(jì)算：取每行的第9個(gè)數(shù)，求這三個(gè)數(shù)的和．【類型三數(shù)字類規(guī)律探索之末尾數(shù)字問題】例題：（2022秋·江蘇連云港·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）觀察下列算式：，，，，，，，…歸納各計(jì)算結(jié)果中個(gè)位數(shù)字的規(guī)律，可得的個(gè)位數(shù)字是（

）A．1 B．3 C．9 D．7【變式訓(xùn)練】1.（2023春·江蘇南京·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）觀察下列算式：①；②；③尋找規(guī)律，并判斷的值的末位數(shù)字為（）A．1 B．3 C．5 D．72.（2023春·江蘇連云港·七年級(jí)統(tǒng)考期末）生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測(cè)種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)學(xué)模型．在營(yíng)養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型來表示，即：，，，，，……，請(qǐng)你推算的個(gè)位數(shù)字是（

）A．8 B．6 C．4 D．23．（2023春·黑龍江綏化·七年級(jí)?？计谀┯^察下列算式：，，，，，，根據(jù)上述算式中的規(guī)律，你認(rèn)為的末位數(shù)字是．【類型四數(shù)字類規(guī)律探索之新運(yùn)算問題】例題：（2022·湖南株洲·統(tǒng)考二模）定義一種關(guān)于整數(shù)n的“F”運(yùn)算：（1）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為；（2）當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，結(jié)果是（其中k是使是奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行．例如：取，第一次經(jīng)F運(yùn)算是29，第二次經(jīng)F運(yùn)算是92，第三次經(jīng)F運(yùn)算是23，第四次經(jīng)F運(yùn)算是74，……；若，則第2020次運(yùn)算結(jié)果是（

）A．1 B．2 C．7 D．8【變式訓(xùn)練】1.（2022秋·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）a是不為2的有理數(shù)，我們把稱為a的“哈利數(shù)”．如：3的“哈利數(shù)”是，的“哈利數(shù)”是，已知，是的“哈利數(shù)”，是的“哈利數(shù)”，是的“哈利數(shù)”，．．．，依此類推，則（

）A． B． C． D．2．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）一列數(shù)，，…，其中，，，…，，則（

）A． B．1 C．2020 D．3.（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知整數(shù)，，，，……滿足下列條件：，，，…，以此類推，則的值為，的值為4．（2023春·江蘇連云港·七年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于正整數(shù)a，我們規(guī)定：若a為奇數(shù)，則；若a為偶數(shù)，則，例如，，若，，，，…，依此規(guī)律進(jìn)行下去，得到一列數(shù)（n為正整數(shù)），則．【類型五數(shù)字類規(guī)律探索之等式問題】例題：（2023春·安徽安慶·七年級(jí)統(tǒng)考期末）觀察下列等式：第1個(gè)等式：．第2個(gè)等式：．第3個(gè)等式：．……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)請(qǐng)直接寫出第4個(gè)等式：．(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的等式表示），并說明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，觀察下列等式；；；；…(1)猜想：________；(2)應(yīng)用：根據(jù)你的猜想請(qǐng)你計(jì)算下列式子的值：①________；②________．(3)求的值是多少？2．（2023春·云南昭通·七年級(jí)統(tǒng)考期中）小明計(jì)算：的過程如下：解：令則得∴請(qǐng)參照小明的方法，計(jì)算：．3．（2023秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）找規(guī)律，完成下列各題：

(1)如圖①，把正方形看作，．(2)如圖②，把正方形看作，．(3)如圖③，把正方形看作，．(4)計(jì)算：．(5)計(jì)算：．【類型六圖形類規(guī)律探索之?dāng)?shù)字問題】例題：（2022秋·湖北黃岡·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，根據(jù)圖形中數(shù)的規(guī)律，可推斷出a的值為（

）A．128 B．216 C．226 D．240【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東濟(jì)南·六年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）填在下面各方框中的三個(gè)數(shù)之間都具有相同的規(guī)律．根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，（

）2468512177237228A．450 B．463 C．465 D．5262.（2023春·貴州畢節(jié)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第n個(gè)圖中的值為196，則（

）

A．12 B．13 C．14 D．153.（2022秋·河南周口·七年級(jí)校考期中）如圖所示，下列各三角形中的三個(gè)數(shù)之間均具有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，則第（為正整數(shù)）個(gè)三角形中，用表示的式子為（

）

A． B． C． D．【類型七圖形類規(guī)律探索之?dāng)?shù)量問題】例題：（2023·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）用火柴棒按如圖的方式搭圖形．(1)按圖示規(guī)律完成下表：圖形標(biāo)號(hào)①②③④⑤……火柴棒根數(shù)59__________________……(2)按照這種方式搭下去，搭第n個(gè)圖形需要多少根火柴棒？(3)搭第15個(gè)圖形需要多少根火柴棒？【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·河北張家口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）觀察下列“蜂窩圖”，按照這樣的規(guī)律，則第2023個(gè)圖案中的“”的個(gè)數(shù)是（

）A．6074 B．6072 C．6070 D．60682．（2023春·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，擺第一個(gè)圖形需要4根火柴，擺第二個(gè)圖形需要7根火柴，……，以此類推．那么擺第八個(gè)圖形需要（

）根火柴．

A．24 B．27 C．25 D．283．（2023春·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，某品牌自行車每節(jié)鏈條的長(zhǎng)度為，交叉重疊部分的圓的直徑為．（1）觀察圖形，填寫如表；鏈條節(jié)數(shù)/（節(jié)）…鏈條長(zhǎng)度/（）…（2）如果一輛自行車的鏈條（安裝以后）共由節(jié)鏈條組成，那么鏈條的總長(zhǎng)度是．4．（2023秋·山東淄博·六年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長(zhǎng)相等的等邊三角形組合而成，第1個(gè)圖案有4個(gè)三角形，第2個(gè)圖案有7個(gè)三角形，第3個(gè)圖案有10個(gè)三角形，……(1)按此規(guī)律擺下去，第6個(gè)圖案有多少個(gè)三角形(2)按此規(guī)律擺下去，第n個(gè)圖案有多少個(gè)三角形（用含n的代數(shù)式表示）．(3)按此規(guī)律擺下去，第2022個(gè)圖案有多少個(gè)三角形？

專題11難點(diǎn)探究專題：整式中的規(guī)律探究問題壓軸題七種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一數(shù)字類規(guī)律探索之單項(xiàng)式問題】 1【類型二數(shù)字類規(guī)律探索之排列問題】 3【類型三數(shù)字類規(guī)律探索之末尾數(shù)字問題】 6【類型四數(shù)字類規(guī)律探索之新運(yùn)算問題】 8【類型五數(shù)字類規(guī)律探索之等式問題】 12【類型六圖形類規(guī)律探索之?dāng)?shù)字問題】 17【類型七圖形類規(guī)律探索之?dāng)?shù)量問題】 19【典型例題】【類型一數(shù)字類規(guī)律探索之單項(xiàng)式問題】例題：（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）觀察這一系列單項(xiàng)式的特點(diǎn)：，，，，…那么第8個(gè)單項(xiàng)式為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，，，，…可推導(dǎo)一般性規(guī)律為：第個(gè)單項(xiàng)式為：，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：由，，，，…可推導(dǎo)一般性規(guī)律為：第個(gè)單項(xiàng)式為，∴第8個(gè)單項(xiàng)式為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式的規(guī)律探究．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意推導(dǎo)一般性規(guī)律．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：，，，，…，第n個(gè)單項(xiàng)式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)所給的式子，分別找出分式的分母和分子的規(guī)律，從而求出第n個(gè)單項(xiàng)式.【詳解】解：，，，，第n個(gè)單項(xiàng)式是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查的是探索數(shù)字規(guī)律，解題的關(guān)鍵要利用已知式子找出所存在的規(guī)律.2.（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)校考期中）一組數(shù)據(jù)，，，，…請(qǐng)按這種規(guī)律寫出第十個(gè)數(shù)是．【答案】【分析】由所給的單項(xiàng)式可得第個(gè)單項(xiàng)式為，當(dāng)時(shí)即可求解．【詳解】∵，，，，…，∴第個(gè)式子的指數(shù)是，系數(shù)是，則第個(gè)單項(xiàng)式為，當(dāng)時(shí)，，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，通過所給的單項(xiàng)式，探索出系數(shù)與次數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）觀察下列單項(xiàng)式：．解決下列問題：(1)這組單項(xiàng)式的系數(shù)依次為多少？系數(shù)的絕對(duì)值的規(guī)律是什么？(2)這組單項(xiàng)式的次數(shù)的規(guī)律是什么？(3)根據(jù)上面的歸納，你可以猜想出第n個(gè)單項(xiàng)式是什么嗎？(4)請(qǐng)你根據(jù)猜想，寫出第2022個(gè)、第2023個(gè)單項(xiàng)式．【答案】(1)，系數(shù)的絕對(duì)值的規(guī)律是(2)這組單項(xiàng)式的次數(shù)的規(guī)律是從1開始的連續(xù)自然數(shù)(3)(4)第2022個(gè)單項(xiàng)式是，第2023個(gè)單項(xiàng)式是【分析】（1）根據(jù)單項(xiàng)式系數(shù)的含義進(jìn)行求解，再觀察其絕對(duì)值的規(guī)律即可；（2）觀察次的變化，從而可求解；（3）結(jié)合（1）（2）進(jìn)行分析即可；（4）根據(jù)（3）進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：這組單項(xiàng)式的系數(shù)依次是，系數(shù)的絕對(duì)值為，是從1開始的奇數(shù)，∴系數(shù)的絕對(duì)值的規(guī)律是．（2）解：這組單項(xiàng)式的次數(shù)的規(guī)律是從1開始的連續(xù)自然數(shù)．（3）解：由（1）問得：符合規(guī)律是，∵這組單項(xiàng)式的次數(shù)的規(guī)律是從1開始的連續(xù)自然數(shù)，∴第個(gè)單項(xiàng)式是．（4）解：第2022個(gè)單項(xiàng)式是，第2023個(gè)單項(xiàng)式是．【點(diǎn)睛】本題主要考查找規(guī)律，能夠通過觀察題中的單項(xiàng)式找出規(guī)律是解題關(guān)鍵．【類型二數(shù)字類規(guī)律探索之排列問題】例題：（2022秋·浙江金華·七年級(jí)?？计谥校?開始的連續(xù)奇數(shù)按右圖的規(guī)律排列，其余位置數(shù)字均為．

（1）第行第列的數(shù)字是．（2）數(shù)字在圖中的第行，第列．【答案】【分析】（1）根據(jù)第行的第1至第列是非零數(shù)字，可得第行第列的數(shù)字是；（2）觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)第行第1個(gè)數(shù)字為，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．【詳解】解：（1）觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)根據(jù)第（為奇數(shù)）行第1至第列有非零數(shù)字，可得第行第列的數(shù)字是；故答案為：0．（2）第1行第1個(gè)數(shù)字為第3行第1個(gè)數(shù)字為第5行第1個(gè)數(shù)字為……∴第行的第1個(gè)數(shù)字為∵∴第行第1個(gè)數(shù)字為，∴數(shù)字在圖中的第行，第列故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律，有理數(shù)的乘方運(yùn)算，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）填在下面各正方形中的四個(gè)數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)規(guī)律，m的值是（）

A．86 B．52 C．38 D．74【答案】A【分析】先看每個(gè)圖形中的左上的數(shù)字：0，2，4，6，依次增加2；同理得出每個(gè)圖形右上角和左下角的數(shù)字也是依次增加2；有以上規(guī)律可以求出第四個(gè)圖形的右上角和左下角的數(shù)；再看右下角的數(shù)與其它三個(gè)數(shù)的關(guān)系：；，；右下角的數(shù)=右上角的數(shù)×左下角的數(shù)+左上角的數(shù)；由此求解即可．【詳解】解：第四圖右上角的數(shù)是：；左下角的數(shù)是：；那么右下角的數(shù)就是：；即

故選：A．【點(diǎn)睛】本題稍復(fù)雜，不但要考慮相鄰兩個(gè)圖形中數(shù)字的變化規(guī)律，還要找出每個(gè)圖形中四個(gè)數(shù)之間的規(guī)律．2．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）觀察下列三行數(shù)：，4，，16，，64，……0，6，，18，，66，……，1，，4，，16……(1)第①行數(shù)第七個(gè)數(shù)是，那么第二行數(shù)第七個(gè)數(shù)是_____，第三行第七個(gè)數(shù)是_____．(2)列式計(jì)算：取每行的第9個(gè)數(shù)，求這三個(gè)數(shù)的和．【答案】(1)，(2)這三個(gè)數(shù)的和是【分析】（1）根據(jù)各行數(shù)的特點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)第二行和第一行對(duì)應(yīng)數(shù)字的關(guān)系，第三行和第一行對(duì)應(yīng)數(shù)字的關(guān)系，即可得到第二行第七個(gè)數(shù)和第三行第七個(gè)數(shù)；（2）根據(jù)（1）發(fā)現(xiàn)的關(guān)系，可以寫出每行的第九個(gè)數(shù)，然后相加即可解答本題．【詳解】（1）解：由題目中的數(shù)據(jù)可知，第二行中的每個(gè)數(shù)是第一行對(duì)應(yīng)數(shù)字加2，第三行中的每個(gè)數(shù)是第一行對(duì)應(yīng)數(shù)字的，∵第①行第七個(gè)數(shù)是，∴第二行第七個(gè)數(shù)是，第三行第七個(gè)數(shù)是，故答案為：，；（2）∵第①行第一個(gè)數(shù)是，第一個(gè)數(shù)是，第一個(gè)數(shù)是，…，∴第一行第9個(gè)數(shù)是第二行第9個(gè)數(shù)是第一行第9個(gè)數(shù)是這三個(gè)數(shù)的和是：答：這三個(gè)數(shù)的和是．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，找出規(guī)律解答．【類型三數(shù)字類規(guī)律探索之末尾數(shù)字問題】例題：（2022秋·江蘇連云港·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）觀察下列算式：，，，，，，，…歸納各計(jì)算結(jié)果中個(gè)位數(shù)字的規(guī)律，可得的個(gè)位數(shù)字是（

）A．1 B．3 C．9 D．7【答案】D【分析】先由前面8個(gè)具體的計(jì)算歸納得到個(gè)位數(shù)每四次循環(huán)，再利用規(guī)律解題即可．【詳解】解：，，，，，，，…，歸納可得：個(gè)位數(shù)每四次循環(huán)，∵，∴與的個(gè)位數(shù)相同，是7；故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)字變化規(guī)律的探究，乘方的含義，掌握探究的方法并靈活應(yīng)用規(guī)律解決問題是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2023春·江蘇南京·七年級(jí)校考階段練習(xí)）觀察下列算式：①；②；③尋找規(guī)律，并判斷的值的末位數(shù)字為（）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】根據(jù)題意找出規(guī)律，當(dāng)時(shí)代入規(guī)律求解，再找出2的次方末尾數(shù)字規(guī)律即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，，當(dāng)時(shí)，，∴，∵，，，，，∴尾數(shù)是4個(gè)一循環(huán)，∵，∴尾數(shù)為：，故選C；【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到式子的規(guī)律，再根據(jù)冪的運(yùn)算得到尾數(shù)的規(guī)律．2.（2023春·江蘇連云港·七年級(jí)統(tǒng)考期末）生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測(cè)種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)學(xué)模型．在營(yíng)養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型來表示，即：，，，，，……，請(qǐng)你推算的個(gè)位數(shù)字是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】利用已知得出數(shù)字個(gè)位數(shù)的變化規(guī)律，丙求出每一個(gè)循環(huán)4個(gè)數(shù)相加后的個(gè)位數(shù)字為0，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵，，，，，……，∴尾數(shù)每4個(gè)一循環(huán)，∵，又∵，∴每一組的4個(gè)數(shù)相加以后個(gè)位數(shù)字為0，∴505組相加后個(gè)位數(shù)字為0，∵，∴的個(gè)位數(shù)字為4，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了尾數(shù)特征，根據(jù)題意得出數(shù)字變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．3．（2023春·黑龍江綏化·七年級(jí)?？计谀┯^察下列算式：，，，，，，根據(jù)上述算式中的規(guī)律，你認(rèn)為的末位數(shù)字是．【答案】7【分析】根據(jù)，，，，，，得出末位數(shù)字以3、9、7、1，四個(gè)數(shù)字為一循環(huán)，由得出的末尾數(shù)字與的末位數(shù)字相同是7，從而得到答案．【詳解】解：，末位數(shù)字為3，，末位數(shù)字為9，，末位數(shù)字為7，，末位數(shù)字為1，，末位數(shù)字為3，，3的1，2，3，4，5，6，7，，次冪的末位數(shù)字以3、9、7、1，四個(gè)數(shù)字為一循環(huán)，，的末尾數(shù)字與的末位數(shù)字相同是7，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題主要考查了尾數(shù)特征及數(shù)字規(guī)律類探索，通過觀察得出3的乘方的末位數(shù)字以3、9、7、1，四個(gè)數(shù)字為一循環(huán)，是解題的關(guān)鍵．【類型四數(shù)字類規(guī)律探索之新運(yùn)算問題】例題：（2022·湖南株洲·統(tǒng)考二模）定義一種關(guān)于整數(shù)n的“F”運(yùn)算：（1）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為；（2）當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，結(jié)果是（其中k是使是奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行．例如：取，第一次經(jīng)F運(yùn)算是29，第二次經(jīng)F運(yùn)算是92，第三次經(jīng)F運(yùn)算是23，第四次經(jīng)F運(yùn)算是74，……；若，則第2020次運(yùn)算結(jié)果是（

）A．1 B．2 C．7 D．8【答案】A【分析】由題意所給的定義新運(yùn)算可得當(dāng)時(shí)，第一次經(jīng)F運(yùn)算是32，第二次經(jīng)F運(yùn)算是1，第三次經(jīng)F運(yùn)算是8，第四次經(jīng)F運(yùn)算是1，，由此規(guī)律可進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意時(shí)，第一次經(jīng)F運(yùn)算是，第二次經(jīng)F運(yùn)算是，第三次經(jīng)F運(yùn)算是，第四次經(jīng)F運(yùn)算是，；從第二次開始出現(xiàn)1、8循環(huán)，奇數(shù)次是8，偶數(shù)次是1，∴第2020次運(yùn)算結(jié)果1，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，關(guān)鍵是從題中所給新運(yùn)算得出數(shù)字的一般規(guī)律，然后可進(jìn)行求解．【變式訓(xùn)練】1.（2022秋·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）a是不為2的有理數(shù)，我們把稱為a的“哈利數(shù)”．如：3的“哈利數(shù)”是，的“哈利數(shù)”是，已知，是的“哈利數(shù)”，是的“哈利數(shù)”，是的“哈利數(shù)”，．．．，依此類推，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)每四次運(yùn)算結(jié)果循環(huán)出現(xiàn)，由此可求．【詳解】解：∵，∴，，，，，∴每四次運(yùn)算結(jié)果循環(huán)出現(xiàn)，∵，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過計(jì)算，探索出運(yùn)算結(jié)果的循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）一列數(shù)，，…，其中，，，…，，則（

）A． B．1 C．2020 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出這列數(shù)的前幾個(gè)數(shù)據(jù)，從而可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，然后即可求得所求式子的值．【詳解】解：由題意可得，，，，，，即這列數(shù)依次以，，2循環(huán)出現(xiàn)，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化特點(diǎn)，明確題意、發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3.（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知整數(shù)，，，，……滿足下列條件：，，，…，以此類推，則的值為，的值為【答案】【分析】先求出前4個(gè)值，從而得出這一列整數(shù)兩個(gè)循環(huán)，第奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)為0，第偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)為，據(jù)此可得答案．【詳解】解：由題意得：，，，…，∴整數(shù)，，，，……，∴這一列整數(shù)兩個(gè)循環(huán)，第奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)為0，第偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)為∴，；故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是計(jì)算出前幾個(gè)數(shù)值，從而得出這一列整數(shù)兩個(gè)循環(huán)，第奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)為0，第偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)為的規(guī)律．4．（2023春·江蘇連云港·七年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于正整數(shù)a，我們規(guī)定：若a為奇數(shù)，則；若a為偶數(shù)，則，例如，，若，，，，…，依此規(guī)律進(jìn)行下去，得到一列數(shù)（n為正整數(shù)），則．【答案】4750【分析】由所給的規(guī)定，分別求出，，，，再分析其中的規(guī)律，從而可求解．【詳解】解：，，，，，，，，，從第5個(gè)數(shù)開始，以4，2，1，這三個(gè)數(shù)循環(huán)出現(xiàn)，，．故答案為：4750．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的條件總結(jié)出存在的規(guī)律．【類型五數(shù)字類規(guī)律探索之等式問題】例題：（2023春·安徽安慶·七年級(jí)統(tǒng)考期末）觀察下列等式：第1個(gè)等式：．第2個(gè)等式：．第3個(gè)等式：．……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)請(qǐng)直接寫出第4個(gè)等式：．(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的等式表示），并說明理由．【答案】(1)(2)第n個(gè)等式為，理由見解析【分析】（1）觀察等式，即可求解；（2）由各個(gè)等式結(jié)構(gòu)即可得出規(guī)律．【詳解】（1）解：∵第1個(gè)等式為，第2個(gè)等式為，第3個(gè)等式為，∴第4個(gè)等式為，故答案為：；（2）解：第n個(gè)等式為，∵第1個(gè)等式為，第2個(gè)等式為，第3個(gè)等式為，第4個(gè)等式為，……，∴第n個(gè)等式為．【點(diǎn)睛】本題是與分式有關(guān)的規(guī)律問題．確定各分式分子、分母的規(guī)律即可．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，觀察下列等式；；；；…(1)猜想：________；(2)應(yīng)用：根據(jù)你的猜想請(qǐng)你計(jì)算下列式子的值：①________；②________．(3)求的值是多少？【答案】(1)(2)①；②(3)【分析】（1）根據(jù)所列等式所呈現(xiàn)的規(guī)律得出答案；（2）①利用（1）中得到的結(jié)論得出結(jié)果為即可；②將原式變?yōu)?，再利用?）中的結(jié)論即可得出結(jié)果；（3）將原式化為，再利用（1）中得到的結(jié)論得出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：由已知條件可得：；故答案為：；（2）①，②，，，，故答案為：；（3），，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了整式運(yùn)算的應(yīng)用和規(guī)律，做題的關(guān)鍵是讀懂題意，能夠利用規(guī)律解決問題，能夠在一系列運(yùn)算中發(fā)現(xiàn)規(guī)律．2．（2023春·云南昭通·七年級(jí)統(tǒng)考期中）小明計(jì)算：的過程如下：解：令則得∴請(qǐng)參照小明的方法，計(jì)算：．【答案】【分析】仿照例子，令，等式兩邊同時(shí)乘以得，，兩者作差除以即可得出結(jié)論．【詳解】解：令，等式兩邊同時(shí)乘以得，，得，，，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字的規(guī)律和有理數(shù)的乘方，結(jié)合題目中的例子進(jìn)行計(jì)算是解本題的關(guān)鍵．3．（2023秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）找規(guī)律，完成下列各題：

(1)如圖①，把正方形看作，．(2)如圖②，把正方形看作，．(3)如圖③，把正方形看作，．(4)計(jì)算：．(5)計(jì)算：．【答案】(1)(2)(3)，(4)(5)【分析】（1）根據(jù)圖示規(guī)律，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則即可求解；（2）根據(jù)圖示規(guī)律，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則即可求解；（3）根據(jù)圖示規(guī)律，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則即可求解；（4）根據(jù)（1），（2），（3）的運(yùn)算規(guī)律，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則即可求解；（5）根據(jù)（1），（2），（3）的運(yùn)算規(guī)律，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則即可求解；【詳解】（1）解：如圖①，把正方形看作把正方形看作，，故答案為：．（2）解：如圖②，把正方形看作把正方形看作，，故答案為：．（3）解：如圖③，把正方形看把正方形看作，，故答案為：，．（4）解：，故答案為：．（5）解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形規(guī)律，有理數(shù)的混合運(yùn)算的綜合，理解圖示規(guī)律，掌握有理數(shù)的混合方法是解題的關(guān)鍵．【類型六圖形類規(guī)律探索之?dāng)?shù)字問題】例題：（2022秋·湖北黃岡·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，根據(jù)圖形中數(shù)的規(guī)律，可推斷出a的值為（

）A．128 B．216 C．226 D．240【答案】C【分析】根據(jù)圖形得出右下角三角形中的數(shù)字等于左下角與中間三角形中數(shù)字的積再加2，然后計(jì)算即可．【詳解】解：由圖可得：，，，，即右下角三角形中的數(shù)字等于左下角與中間三角形中數(shù)字的積再加2，所以，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型—數(shù)字的變化類，解決本題的關(guān)鍵是觀察數(shù)字的變化尋找規(guī)律，總結(jié)規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東濟(jì)南·六年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）填在下面各方框中的三個(gè)數(shù)之間都具有相同的規(guī)律．根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，（

）2468512177237228A．450 B．463 C．465 D．526【答案】B【分析】結(jié)合表格找出其中的規(guī)律，求出，，再計(jì)算即可．【詳解】解：由表可得：，；，；，；∴，；∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字規(guī)律題，解題的關(guān)鍵是找出其中的規(guī)律：，．2.（2023春·貴州畢節(jié)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第n個(gè)圖中的值為196，則（

）

A．12 B．13 C．14 D．15【答案】C【分析】通過觀察可知，若第n個(gè)圖中A位置上的數(shù)是，B位置上的數(shù)是，C位置上的數(shù)是，D位置上的數(shù)是，所以，帶入數(shù)值求出即可．【詳解】解：通過觀察可知，若第n個(gè)圖中A位置上的數(shù)是，B位置上的數(shù)是，C位置上的數(shù)是，D位置上的數(shù)是，所以，當(dāng)時(shí)，，是正整數(shù)，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形中有關(guān)數(shù)字的變化規(guī)律，能準(zhǔn)確觀察到相關(guān)規(guī)律是解決問題關(guān)鍵．3.（2022秋·河南周口·七年級(jí)校考期中）如圖所示，下列各三角形中的三個(gè)數(shù)之間均具有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，則第（為正整數(shù)）個(gè)三角形中，用表示的式子為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得各三角形中下邊第三個(gè)數(shù)是上邊兩個(gè)數(shù)字的和，而上邊第一個(gè)數(shù)的數(shù)字規(guī)律為1，2，3，，，第二個(gè)數(shù)的數(shù)字規(guī)律為：2，，，，，由此即可得到答案．【詳解】解：由題意可得：三角形上邊第一個(gè)數(shù)的數(shù)字規(guī)律為：1，2，3，，，三角形上邊第二個(gè)數(shù)的數(shù)字規(guī)律為：2，，，，，三角形下邊的數(shù)的數(shù)字規(guī)律為：，，，，第個(gè)三角形中的數(shù)的規(guī)律為：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，根據(jù)題意得出：第個(gè)三角形中的數(shù)的規(guī)律為：，是解題的關(guān)鍵．【類型七圖形類規(guī)律探索之?dāng)?shù)量問題】例題：（2023·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）用火柴棒按如圖的方式搭圖形．(1)按圖示規(guī)律完成下表：圖形標(biāo)號(hào)①②③④⑤……火柴棒根數(shù)59__________________……(2)按照這種方式搭下去，搭第n個(gè)圖形需要多少根火柴棒？(3)搭第15個(gè)圖形需要多少根火柴棒？【答案】(1)13，17，21(2)(3)61【分析】（1）根據(jù)所給的圖形進(jìn)行分析即可得出結(jié)果；（2）由（1）進(jìn)行總結(jié)即可；（3）根據(jù)（2）所得的式子進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：第1個(gè)圖形的火柴棒根數(shù)為：5，第2個(gè)圖形的火柴棒根數(shù)為：，第3個(gè)圖形的火柴棒根數(shù)為：，第4個(gè)圖形的火柴棒根數(shù)為：，第5個(gè)圖形的火柴棒根數(shù)為：，故答案為：13，17，21；（2）解：由（1）得：搭第個(gè)圖形需要火柴棒根數(shù)為：．答：第個(gè)圖形需要火柴棒根數(shù)為：；（3）解：當(dāng)時(shí)，，所以搭第15個(gè)圖形需要61根火柴棒．【點(diǎn)睛】本題主要考查規(guī)律型：圖形的變化類，解答的關(guān)鍵是根據(jù)所給的圖形分析出其規(guī)律．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·河北張家口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）觀察下列“蜂窩圖”，按照這樣的規(guī)律，則第2023個(gè)圖案中的“”的個(gè)數(shù)是（

）A．6074