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河南省羅山高中老校區(qū)2024屆高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題(一模)數(shù)學(xué)試題請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.,則與位置關(guān)系是()A.平行 B.異面C.相交 D.平行或異面或相交2.若函數(shù)f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)滿足f(1)=,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]3.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),則A. B.C. D.4.若、滿足約束條件,則的最大值為()A. B. C. D.5.若函數(shù)的定義域?yàn)镸={x|-2≤x≤2},值域?yàn)镹={y|0≤y≤2},則函數(shù)的圖像可能是()A. B. C. D.6.已知拋物線的焦點(diǎn)為,對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為,為上任意一點(diǎn),若,則()A.30° B.45° C.60° D.75°7.為研究語(yǔ)文成績(jī)和英語(yǔ)成績(jī)之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系,統(tǒng)計(jì)兩科成績(jī)得到如圖所示的散點(diǎn)圖(兩坐標(biāo)軸單位長(zhǎng)度相同),用回歸直線近似地刻畫(huà)其相關(guān)關(guān)系,根據(jù)圖形,以下結(jié)論最有可能成立的是()A.線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng),b的值為1.25B.線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng),b的值為0.83C.線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng),b的值為-0.87D.線性相關(guān)關(guān)系太弱,無(wú)研究?jī)r(jià)值8.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,則()A.4 B.8 C.16 D.29.已知全集,集合,,則()A. B. C. D.10.設(shè),則(
)A.10 B.11 C.12 D.1311.設(shè)雙曲線的一條漸近線為,且一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同,則此雙曲線的方程為()A. B. C. D.12.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)()A.伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度B.伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D.縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.(x+y)(2x-y)5的展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為_(kāi)_______.14.從編號(hào)為,,,的張卡片中隨機(jī)抽取一張,放回后再隨機(jī)抽取一張,則第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為_(kāi)____________.15.已知直線與圓心為的圓相交于兩點(diǎn),且,則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)________.16.設(shè)變量,滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,在斜三棱柱中,平面平面,,,,均為正三角形,E為AB的中點(diǎn).(Ⅰ)證明:平面;(Ⅱ)求斜三棱柱截去三棱錐后剩余部分的體積.18.(12分)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)(2)19.(12分)在某外國(guó)語(yǔ)學(xué)校舉行的(高中生數(shù)學(xué)建模大賽)中,參與大賽的女生與男生人數(shù)之比為,且成績(jī)分布在,分?jǐn)?shù)在以上(含)的同學(xué)獲獎(jiǎng).按女生、男生用分層抽樣的方法抽取人的成績(jī)作為樣本,得到成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示.(Ⅰ)求的值,并計(jì)算所抽取樣本的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);(Ⅱ)填寫(xiě)下面的列聯(lián)表,并判斷在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下能否認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與女生、男生有關(guān)”.女生男生總計(jì)獲獎(jiǎng)不獲獎(jiǎng)總計(jì)附表及公式:其中,.20.(12分)如圖在直角中,為直角,,,分別為,的中點(diǎn),將沿折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置,連接,,為的中點(diǎn).(Ⅰ)證明:面;(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.21.(12分)已知.(1)已知關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解,求的取值范圍;(2)求不等式的解集.22.(10分)已知橢圓過(guò)點(diǎn),設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為,右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為,,且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線交橢圓于,兩點(diǎn),設(shè)直線與直線的斜率分別為,,若,試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn),求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】結(jié)合圖(1),(2),(3)所示的情況,可得a與b的關(guān)系分別是平行、異面或相交.選D.2、B【解析】由f(1)=得a2=,∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上單調(diào)遞減,在[2,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)在(-∞,2]上單調(diào)遞增,在[2,+∞)上單調(diào)遞減,故選B.3、D【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),所以,則,即.故選D.4、C【解析】
作出不等式組所表示的可行域,平移直線,找出直線在軸上的截距最大時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解,代入目標(biāo)函數(shù)計(jì)算即可.【詳解】作出滿足約束條件的可行域如圖陰影部分(包括邊界)所示.由,得,平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),該直線在軸上的截距最大,此時(shí)取最大值,即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題,考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值,一般利用平移直線的方法找到最優(yōu)解,考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】因?yàn)閷?duì)A不符合定義域當(dāng)中的每一個(gè)元素都有象,即可排除;對(duì)B滿足函數(shù)定義,故符合;對(duì)C出現(xiàn)了定義域當(dāng)中的一個(gè)元素對(duì)應(yīng)值域當(dāng)中的兩個(gè)元素的情況,不符合函數(shù)的定義,從而可以否定;對(duì)D因?yàn)橹涤虍?dāng)中有的元素沒(méi)有原象,故可否定.故選B.6、C【解析】
如圖所示:作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于,則,故,得到答案.【詳解】如圖所示:作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于,則,在中,,故,即.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中角度的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.7、B【解析】
根據(jù)散點(diǎn)圖呈現(xiàn)的特點(diǎn)可以看出,二者具有相關(guān)關(guān)系,且斜率小于1.【詳解】散點(diǎn)圖里變量的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分布在一條直線附近,且比較密集,故可判斷語(yǔ)文成績(jī)和英語(yǔ)成績(jī)之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,且直線斜率小于1,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查散點(diǎn)圖的理解,側(cè)重考查讀圖識(shí)圖能力和邏輯推理的核心素養(yǎng).8、A【解析】
利用等差的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得.【詳解】.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì),考查基本量的計(jì)算,難度容易.9、B【解析】
直接利用集合的基本運(yùn)算求解即可.【詳解】解:全集,集合,,則,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查集合的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
根據(jù)題中給出的分段函數(shù),只要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求x≥10內(nèi)的函數(shù)值,代入即可求出其值.【詳解】∵f(x),∴f(5)=f[f(1)]=f(9)=f[f(15)]=f(13)=1.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)中求函數(shù)的值,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),可得雙曲線方程的漸近線方程為,由題意可得,又,即,解得,,即可得到所求雙曲線的方程.【詳解】解:拋物線的焦點(diǎn)為可得雙曲線即為的漸近線方程為由題意可得,即又,即解得,.即雙曲線的方程為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了求雙曲線的方程,屬于中檔題.12、B【解析】
分析:根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系進(jìn)行判斷即可.詳解:將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),
得到再將得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到故選B.點(diǎn)睛:本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換,結(jié)合和的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、40【解析】
先求出的展開(kāi)式的通項(xiàng),再求出即得解.【詳解】設(shè)的展開(kāi)式的通項(xiàng)為,令r=3,則,令r=2,則,所以展開(kāi)式中含x3y3的項(xiàng)為.所以x3y3的系數(shù)為40.故答案為:40【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理求指定項(xiàng)的系數(shù),意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.14、【解析】
基本事件總數(shù),第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè),由此能求出概率.【詳解】解:從編號(hào)為,,,的張卡片中隨機(jī)抽取一張,放回后再隨機(jī)抽取一張,基本事件總數(shù),第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè),分別為:,,,,,,,.所以第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.15、0或6【解析】
計(jì)算得到圓心,半徑,根據(jù)得到,利用圓心到直線的距離公式解得答案.【詳解】,即,圓心,半徑.,故圓心到直線的距離為,即,故或.故答案為:或.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系求參數(shù),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力。16、-8【解析】
通過(guò)約束條件,畫(huà)出可行域,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線在軸截距最大的問(wèn)題,通過(guò)圖像解決.【詳解】由題意可得可行域如下圖所示:令,則即為在軸截距的最大值由圖可知:當(dāng)過(guò)時(shí),在軸截距最大本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃中的型最值的求解問(wèn)題,關(guān)鍵在于將所求最值轉(zhuǎn)化為在軸截距的問(wèn)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)要證明線面平行,需先證明線線平行,所以連接,交于點(diǎn)M,連接ME,證明;(Ⅱ)由題意可知點(diǎn)到平面ABC的距離等于點(diǎn)到平面ABC的距離,根據(jù)體積公式剩余部分的體積是.【詳解】(Ⅰ)如圖,連接,交于點(diǎn)M,連接ME,則.因?yàn)槠矫?,平面,所以平面.(Ⅱ)因?yàn)槠矫鍭BC,所以點(diǎn)到平面ABC的距離等于點(diǎn)到平面ABC的距離.如圖,設(shè)O是AC的中點(diǎn),連接,OB.因?yàn)闉檎切?,所以,又平面平面,平面平面,所以平面ABC.所以點(diǎn)到平面ABC的距離,故三棱錐的體積為.而斜三棱柱的體積為.所以剩余部分的體積為.【點(diǎn)睛】本題考查證明線面平行,計(jì)算體積,意在考查推理證明,空間想象能力,計(jì)算能力,屬于中檔題型,一般證明線面平行的方法1.證明線線平行,則線面平行,2.證明面面平行,則線面平行,關(guān)鍵是證明線線平行,一般構(gòu)造平行四邊形,則對(duì)邊平行,或是構(gòu)造三角形中位線.18、(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得結(jié)果.(2)同樣根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得結(jié)果.【詳解】(1)令,,則,而,,故.(2)令,,則,而,,故,化簡(jiǎn)得到.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),此類問(wèn)題一般是先把函數(shù)分解為簡(jiǎn)單函數(shù)的復(fù)合,再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得所求的導(dǎo)數(shù),本題屬于容易題.19、(Ⅰ),;(Ⅱ)詳見(jiàn)解析.【解析】
(Ⅰ)根據(jù)概率的性質(zhì)知所有矩形的面積之和等于列式可解得;(Ⅱ)由頻率分布直方圖知樣本中獲獎(jiǎng)的人數(shù)為,不獲獎(jiǎng)的人數(shù)為,從而可得列聯(lián)表,再計(jì)算出,與臨界值比較可得.【詳解】解:(Ⅰ),.(Ⅱ)由頻率分布直方圖知樣本中獲獎(jiǎng)的人數(shù)為,不獲獎(jiǎng)的人數(shù)為,列聯(lián)表如下:女生男生總計(jì)獲獎(jiǎng)不獲獎(jiǎng)總計(jì)因?yàn)?所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下能認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與女生,男生有關(guān).”【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn),以及由頻率分布直方圖求平均數(shù)的問(wèn)題,熟記獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想,以及平均數(shù)的計(jì)算方法即可,屬于常考題型.20、(Ⅰ)詳見(jiàn)解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)取中點(diǎn),連結(jié)、,四邊形是平行四邊形,由,,得,從而,,求出,由此能證明.(Ⅱ)以為原點(diǎn),、、所在直線分別為,,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角的余弦值.【詳解】證明:(Ⅰ)取中點(diǎn),連結(jié)、,∵,,∴四邊形是平行四邊形,∵,,,∴,∴,∴,在中,,又∵為的中點(diǎn),∴,又∵,∴.解:(Ⅱ)∵,,,∴,以為原點(diǎn),、、所在直線分別為,,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,∴,,,設(shè)面的法向量,則,取,得,同理,得平面的法向量,設(shè)二面角的平面角為,則,∴二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直及線面垂直性質(zhì)定理、線面垂直判定與性質(zhì)定理以及利用空間向量求線面角與二面角,考查基本分析求解能力,屬中檔題.21、(1);(2).【解析】
(1)依據(jù)能成立問(wèn)題知,,然后利用絕對(duì)值三角不等式求出的最小值,即求得的取值范圍;(2)按照零點(diǎn)分段法解含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式即可?!驹斀狻恳?yàn)椴坏仁接袑?shí)數(shù)解,所以因?yàn)?,所以故。①?dāng)時(shí),,所以,故②
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