2024年中考數(shù)學沖刺復習十大類型壓軸題復習匯編

2024年中考數(shù)學沖刺復習十大類型壓軸題復習匯

編（精品）

數(shù)學綜壓軸題是為考察考生綜合運用知識的能力而設計的，集中體現(xiàn)知識的綜合

性和方法的綜合性，多數(shù)為函數(shù)型綜合題和幾何型綜合題。

函數(shù)型綜合題：是給定直角坐標系和幾何圖形，先求函數(shù)的解析式，再進行圖形

的研究，求點的坐標或研究圖形的某些性質。求已知函數(shù)的解析式主要方法是待定系

數(shù)法，關鍵是求點的坐標，而求點的坐標基本方法是幾何法（圖形法）和代數(shù)法（解

析法）。

幾何型綜合題：是先給定幾何圖形，根據已知條件進行計算，然后有動點（或動

線段）運動，對應產生線段、面積等的變化，求對應的（未知）函數(shù)的解析式，求函

數(shù)的自變量的取值范圍，最百根據所求的函數(shù)關系進行探索研究。一般有：在什么條

件下圖形是等腰三角形、直角三角形，四邊形是平行四邊形、菱形、梯形等，或探索

兩個三角形滿足什么條件相似等，或探究線段之間的數(shù)量、位置關系等，或探索面積

之間滿足一定關系時求X的直等，或直線（圓）與圓的相切時求自變量的值等。求未

知函數(shù)解析式的關鍵是列出包含自變量和因變量之間的等量關系（即列出含有X、y的

方程），變形寫成y=f（x）的形式。找等量關系的途徑在初中主要有利用勾股定理、

平行線截得比例線段、三角形相似、面積相等方法。求函數(shù)的自變量的取值范圍主要

是尋找圖形的特殊位置（極端位置）和根據解析式求解。而最后的探索問題千變萬化，

但少不了對圖形的分析和研究，用幾何和代數(shù)的方法求出x的值。

解中考壓軸題技能：中考壓軸題大多是以坐標系為橋梁，運用數(shù)形結合思想，通

過建立點與數(shù)即坐標之間的對應關系，一方面可用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質，另

一方面又可借助幾何直觀，得到某些代數(shù)問題的解答。關鍵是掌握幾種常用的數(shù)學思

想方法。

一是運用函數(shù)與方程思想。以直線或拋物線知識為載體，列（解）方程或方程組

求其解析式、研究其性質。

二是運用分類討論的思想。對問題的條件或結論的多變性進行考察和探究。

三是運用轉化的數(shù)學的思想。由已知向未知，由復雜向簡單的轉換。中考壓軸題

它是對考生綜合能力的一個全面考察，所涉及的知識面廣，所使用的數(shù)學思想方法也

較全面。因此，可把壓軸題分離為相對獨立而又單一的知識或方法組塊去思考和探究。

解中考壓軸題技能技巧：

一是對自身數(shù)學學習狀況做一個完整的全面的認識。根據自己的情況考試的時候

重心定位準確，防止“撿芝麻丟西瓜二所以，在心中一定要給壓軸題或幾個“難點”

一個時間上的限制，如果超過你設置的上限，必須要停止，回頭認真檢查前面的題，

盡量要保證選擇、填空萬無一失，前面的解答題盡可能的檢查一遍。

二是解數(shù)學壓軸題做一問是一問。第一問對絕大多數(shù)同學來說，不是問題；如果

第一小間不會解，切忌不可輕易放棄第二小問。過程會多少寫多少，因為數(shù)學解答題

是按步驟給分的，寫上去的東西必須要規(guī)范，字跡要工整，布局要合理；過程會寫多

少寫多少，但是不要說廢話，計算中盡量回避非必求成分：盡量多用幾何知識，少用

代數(shù)計算，盡量用三角函數(shù)，少在直角三角形中使用相似三角形的性質。

三是解數(shù)學壓軸題一般可以分為三個步驟。認真審題，理解題意、探究解題思路、

正確解答。審題要全面審視題目的所有條件和答題要求，在整體上把握試題的特點、

結構，以利于解題方法的選擇和解題步驟的設計。解數(shù)學壓軸題要善于總結解數(shù)學壓

軸題中所隱含的重要數(shù)學思想，如轉化思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想及方程的

思想等。認識條件和結論之間的關系、圖形的幾何特征與數(shù)、式的數(shù)量、結構特征的

關系，確定解題的思路和方法.當思維受阻時，要及時調整思路和方法，并重新審視

題意，注意挖掘隱蔽的條件和內在聯(lián)系，既要防止鉆牛角尖，又要防止輕易放棄。

中考壓軸題是為考察考生綜合運用知識的能力而設計的題目，其特點是知識點多,

覆蓋面廣，條件隱蔽，關系復雜，思路難覓，解法靈活。所以，解數(shù)學壓軸題，一要

樹立必勝的信心，要做到：數(shù)形結合記心頭，大題小作來轉化，潛在條件不能忘，化

身為靜多畫圖，分類討論要嚴密，方程函數(shù)是工具，計算推理要嚴謹，創(chuàng)新品質得提

另I。

目錄

第一講中考壓軸題十大類型之動點問題

第二講中考壓軸題十大類型之函數(shù)類問題

第三講中考壓軸題十大類型之面積問題

第四講中考壓軸題十大類型之三角形存在性問題

第五講中考壓軸題十大類型之四邊形存在性問題

第六講中考壓軸題十大類型之線段之間的關系

第七講中考壓軸題十大類型之定值問題

第八講中考壓軸題十大類型之幾何三大變換問題

第九講中考壓軸題十大類型之實踐操作、問題探究

第十講中考壓軸題十大類型之圓

第十一講中考壓軸題綜合訓練一

第十二講中考壓軸題綜合訓練二

第一講中考壓軸題十大類型之動點問題.

1.（2008河北）如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AB=5Qf力仁30,D,E,6分別是AC,

AB,式的中點.點P從點。出發(fā)沿折線止小心⑦以每秒7個單位長的速度勻速

運動；點Q從點8出發(fā)沿8A方向以每秒4個單位長的速度勻速運動，過點Q作射線

QKA.AB,交折線旗。于點G.點P,Q同時出發(fā)，當點?繞行一周叵到點。時停

止運動，點Q也隨之停止.設點尸，Q運動的時間是，秒（r>0）.

（1）D,尸兩點間的距離是；

（2）射線QK能否把四邊形CQ）分成面積相等的兩部分？若能，求出f的值.若不

能，說明理由；

（3）當點P運動到折線即-小上，且點P又恰好落在射線QK上時，求/的值；

（4）連結PG,當PG〃/18時，請直?接?寫出/的值.

備用圖

2.（2011山西太原）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形的州是平行四邊形.直線/

經過。、。兩點.點力的坐標為（8,0）,點夕的坐標為（11,4）,動點P在線段處

上從點。出發(fā)以每秒1個單位的速度向點力運動，同時動點。從點A出發(fā)以每秒2

個單位的速度沿月一8一。的方向向點。運動，過點尸作4V垂直于x軸，與折線O~C-B

相交于點機當只0兩點中有一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設點只

0運動的時間為「秒（f>0）,△/幽的面積為￡

（1）點。的坐標為，直線/的解析式為.

（2）試求點0與點材相遇前S與t的函數(shù)關系式，并寫出相應的1的取值范圍.

（3）試求題⑵中當「為何值時，S的值最大，并求出S的最大值.

（4）隨著￡0兩點的運動，當點."在線段"上運動時，設門/的延長線與直線/相

交于點M試探究：當Z為何值時，△Q%V為等腰三角形？請直接寫出6的值.

3.（2011四川重慶）如圖，矩形/陽9中，四=6,BC=2y[3,點。是力8的中點，點〃

在A8的延長線上，且鰭=3.一動點￡從〃點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿

辦勻速運動，到達4點后，立即以原速度沿力。返回；另一動點/從一點出發(fā)，以

每秒1個單位長度的速度沿射線⑸勻速運動，點反/同時出發(fā)，當兩點相遇時停

止運動.在點￡、Q的運動過程中，以用為邊作等邊△跖。，使△如。和矩形/比》

在射線力的同側，設運動的時間為方秒（[20）.

（1）當?shù)冗叺倪叀梗デ『媒涍^點。時，求運動時間方的值；

（2）在整個運動過程中，設等邊△￡/心和矩形/比力重疊部分的面積為S,請直接

寫出S與t之間的函數(shù)關系式和相應的自變量。的取值范圍；

（3）設￡G與矩形力比?的對角線4。的交點為〃，是否存在這樣的Z,使△40〃是等

腰三角形？若存在，求出對應的「的值；若不存在，請斗明理由.0

DDC.

FofP

400B至PP

備用圖1備用圖2

三、測試提高

1.(2011山東煙臺)如圖，在直角坐標系中，梯形力四的底邊相在x軸上，底

邊⑦的端點〃在y軸上.直線3的表達式為廣-加爭點?!、〃的坐標分別為

(-4,0),(0,4).動點2自/點出發(fā)，在47上勻速運動.動點。自點8出發(fā)，

在折線讖?上勻速運動，速度均為每秒1個單位.當其中一個動點到達終點時，它

們同時停止運動.設點P運動￡(秒)時，△。戶。的面積為S(不能構成△〃國的動

點除外).

(1)求出點反。的坐標；

(2)求S隨f變化的函數(shù)關系式；

(3)當方為何值時S有最大值？并求出最大值.

Ay

備用圖

第二講中考壓軸題十大類型之函數(shù)類問題

（2011浙江溫州）如圖，在平面直角坐標系中，。是坐標原點，點/的坐標為（-4,

0）,點夕的坐標為（0,力（0>0）.〃是直線/山上的一個動點，作尸CLx軸，垂足

為乙記點P關于y軸的對稱點為〃（點〃不在y軸上），連結4〃Q

設點尸的橫坐標為a.

（1）當爐3時,

①直線14的解析式；

②若點戶的坐標是（-1,///）,求/〃的值；

（2）若點〃在第一象限，記直線/區(qū)與U。的交點為〃當P'〃:屐1:3時，求d

的值;

（3）是否同時使^〃。為等

腰直角三角請求出所有滿

足要求的a,3的值；若不存在，請說明理由.

2.（2010武漢）如圖，拋物線凹="2一2批+/,經過力（一1,0）,C（2,|）兩點，與x

軸交于另一點自

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若拋物線的頂點為加點〃為線段仍上一動點（不與點8重合），點0在線段

物上移動，且乙冊045°,設線段。尸x,J船等為,求必與x的函數(shù)關系式，并

直接寫出自變量x的取值范圍；

（3）在同一平面直角坐標系中，兩條直線產/〃，產〃分別與拋物線交于點反G,與

（2）中的函數(shù)圖象交于點色"問四邊形力粉能否為平行四邊形？若能，求創(chuàng)〃

之間的數(shù)量關系；若不能，請說明理由.

備用圖

3.（20H江蘇鎮(zhèn)江）在平面直角坐標系x分中，直線4過點力（1,0）且與y軸平行，直

線過點4（0,2）且與*軸平行，直線4與&相交于點R點少為直線4二一點，反比

例函數(shù)），=人6>0）的圖象過點方且與直線乙相交于點〃

x

（1）若點與與點尸重合，求A的值；

（2）連接施、OF、EF.若上2,且△。跖的面積為△陽1的面積2倍，求點少的坐

標；

（3）是否存在點月及y軸上的點也使得以點以E、尸為頂點的三角形與△時全

等？若存在，求￡點坐標；若不存在，請說明理由.

4.（2010浙江舟山）中，ZJ=ZZ^30°，力氏26.把△/回放在平面直角坐標系

中，使月8的中點位于坐標原點。（如圖），和可以繞點。作任意角度的旋轉.

（1）當點8在第一象限，縱坐標是如時，求點夕的橫坐標；

2

（2）如果拋物線），=<"+法+c（a/0）的對稱軸經過點。，請你探究：

①當〃=立，人」，八一至時，46兩點是否都在這條拋物線上？并說明理由；

425

②設為—2明，是否存在這樣的/〃值，使小〃兩點不可能同時在這條拋物線上？若

存在，直接寫出力的值；若不存在,、,請說明理由.

B

1

C

OI

5.（湖北黃岡）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示.

（1）求二次函數(shù)的解析式及拋物線頂點"的坐標；

（2）若點N為線段8"上的一點，過點A，作x軸的垂線，垂足為點0.當點N在線

段以上運動時（點N不與點幾點必重合）,設0Q的長為t,四邊形AQ1C面積為S,

求S與寸之間的函數(shù)關系式及自變量方的取值范圍；

（3）在對稱軸右側的拋物線上是否存在點只使△陽。為直角三角形？若存在，求

出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（4）將△小。補成矩形，使得△勿。的兩個頂點成為矩形一邊的兩個頂點，第三個

頂點落在矩形這一邊的對邊上，試直接寫出矩形的未知的頂點坐標（不需要計算過

（2011山東東營）如圖所示，四邊形力外是矩形，點力、。的坐標分別為（-3,o）,

(0,1),點〃是線段外上的動點(與端點反。不重合)，過點〃作直線)，=/十交

折線如夕于點E.

⑴記△。龍的面積為￡求S與6的函數(shù)關系式；

⑵當點月在線段以上時，且tan/〃小L若矩形以回關于直線小的對稱圖形

2

為四邊形試探究四邊形QA旦G與矩形十回的重疊部分的面積是否發(fā)生變

化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由.

第三講中考壓軸題十大類型之面積問題

(2011遼寧大連)如圖，拋物線戶c經過力(一1,0)、8(3,0)、C(0,

3)三點，對稱軸與拋物線相交于點只與直線相相交于點機連接處.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)拋物線上是否存在一點0,使△◎的與△冏7的面積相等，若存在，求點。的

坐標；若不存在，說明理由；

(3)在第一象限、對稱軸右側的拋物線上是否存在一點必使△/次獷與△發(fā)監(jiān)的面

y

p

積相等，若存在，直接寫出點A的坐標；若不存在，說明理由.

2.（2011湖北十堰）如圖，己知拋物線片V+H+C與*軸交于點/（1,0）和點B,

與y軸交于點。（0,-3）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖（1）,己知點〃（0,T）.問在拋物線上是否存在點G（點G在y軸的

左側），使得△刖？若存在，求出點。的坐標，若不存在，請說明理由：

（3）如圖（2）,拋物線上點〃在x軸上的正投影為點￡（-2,0）,尸是”的中點,

連接。EP為線段做上的一點,若/EP六/BDF,求線段形的長.

一\\L

BV\IEoA二

3.（2010天津）在平面直角坐標系中，已知拋物線），=-/+法

+c與x軸交于點4、B（點A在點5的左側），與），軸的正半軸交于點C,頂點為從

（1）若6=2,c=3,求此時拋物線頂點￡的坐標；

（H）將（I）中的拋物線向下平移，若平移后，在四邊形力跳右中滿足S

△夠二SfBC，求此時直線歌的解析式；

（III）將（I）中的拋物線作適當?shù)钠揭?，若平移后，在四邊?中滿足S卡2s

△他，且頂點E恰好落在直線》=-4?3上，求此時拋物線的解析式.

4.(2011山東聊城)如圖，在矩形⑦中，H8=12cm,BC=8cm,點、E、F、G分別從點

A.B、。同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向移動，點區(qū)G的速度均為2cm/s,點

廠的速度為4cm/s,當點/追上點G(即點/與點G重合)時，三個點隨之停止移動.設

移動開始后第笈時，的面積為余iR

(1)當方=ls時\S的值是多少？

(2)寫出S與1之間的函數(shù)解析式，并指出自變量1的取值范圍：

⑶若點尸在矩形的邊龍上移動，當［為何值時，以點從E、尸為頂點的三角形與

以C、F、G為頂點的三角形相似？請說明理由.

5.(2011江蘇淮安)如圖，在中，Z6^90°,力仁8,B小6,點P在AB上,A六2,

點區(qū)尸同時從點尸出發(fā)，分別沿為、處以每秒1個單位長度的速度向點力、B勻

速運動，點夕到達點力后立刻以原速度沿四向點8運動，點6運動到點夕時停止，

點少也隨之停止.在點從夕運動過程中，以即為邊作正方形砒洱,使它與△相。

在線段4?的同側.設昆方運動的時間為1秒(r>0),正方形EFGH與4ABe重疊

部分面積為S.

(1)當G時，正方形￡/右〃的邊長是.當片3時，正方形〃的邊長是.

(2)當0VZW2時，求S與￡的函數(shù)關系式；

(3)直接答出：在整個運動過程中，當力為何值時，S最大？最大面積是多少？

AEPFB

c

G

AEPFB

備用圖

三、測試提高

1.(2010山東東營)如圖，在銳角三角形力仇?中，冊12,仇?的面積為48,〃，E

分別是邊力其力。上的兩個動點(〃不與凡”重合)，且保持龐〃應；以以為邊，

在點A的異側作正方形DEFG.

(1)當正方形分尸G的邊6F在歐上時，求正方形〃￡7&的邊長；

(2)設施二x,△28。與正方形比FG重疊部分的面積為外試求y關于x的函數(shù)

關系式，寫出x的取值范圍，并求出y的最大值.

第四講中考壓軸題十大類型之

三角形存在性問題

板塊一、等腰三角形存在性

1.（2011江蘇鹽城）如圖，己知一次函數(shù)），=:十7與正比例函數(shù)），='的圖象交于點

4

4且與x軸交于點自

（1）求點力和點8的坐標；

（2）過點力作力入y軸于點G過點8作直線/〃y軸.動點〃從點0出發(fā)，以每

秒1個單位長的速度，沿"?力的路線向點4運動；同時直線/從點一出發(fā)，以

相同速度向左平移，在平移過程中，直線/交一軸于點兄交線段以或線段力。于

點。.當點P到達點力時，點尸和直線/都停止運動.在運動過程中，設動點產

運動的時間為Z秒.是否存在以4A。為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，

求「的值；若不存在，請說明理由.

（備用圖）

2.（2009湖北黃岡）如圖，在平面直角坐標系矛?中，拋物線產與x軸

的交點為點力，與p軸的交點為點8,過點方作片軸的平行線與。，交拋物線于點C,

連結力C.現(xiàn)有兩動點只0分別從。，C兩點同時出發(fā)，點P以每秒4個單位的速度

沿以向終點力移動，點。以每秒1個單位的速度沿以向點片移動，點〃停止運動

時，點。也同時停止運動，線段%,u。相交于點〃，過點〃作/應〃以，交。于點

E,射線0公交x軸于點￡設動點R。移動的時間為六單位：秒）

⑴求4B,。三點的坐標和拋物線的頂點的坐標；

⑵當t為何值時，四邊形血勿為平行四邊形？請寫出計算過程；

⑶當0</<2時<△/於的面積是否總為定值？若是，求出此定值，若不是，請說明

2

理由；

⑷當方為何值時，△，沙為等腰三角形？請寫出解答過程.

板塊二、百角二角形

3.（2009四川眉山）如圖，已知直線y=gx+l與），軸交于點4與x軸交于點〃，拋物

線y=gf+笈+c與直線交于/、￡兩點，與x軸交于反。兩點，且夕點坐標為（1,

0）.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）動點〃在x軸上移動，當△必“是直角三角形時，求點，的坐標.

4.(2010廣東中山)如圖所示，矩形⑶的邊長/斤6,除4,點b在加上，上2.動

點"、"分別從點〃、5同時出發(fā)，沿射線為、線段胡向點力的方向運動(點，"可

運動到%的延長線上)，當動點N運動到點力時?，欣N兩點同時停止運動.連接

FM、FN,當尺M」獷不在同一直線上時，可得△月價；過『三邊的中點作△見口設

動點KN的速度都是1個單位/杪，雙”運動的時間為x秒.試解答下列問題：

(1)說明

(2)設0W4(即材從〃到力運動的時間段).試問x為何值時，△尸檢為直角三

角形？當x在何范圍時，△戶0『不為直角三角形？

(3)問當x為何值時,線段批最短?求此時脈的值.

板塊三、相似三角形存在性

5.（2011湖北天門）在平面直角坐標系中，拋物線），=奴?+法

+3與x軸的兩個交點分別為4（-3,0）、B（1,0）,過頂點。作"Lx軸于點//.

（1）直接填寫：4，b=,頂點。的坐標為；

（2）在），軸上是否存在點〃，使得△力切是以力。為斜邊的直角三角形？若存在，求

出點〃的坐標；若不存在，說明理由；

（3）若點P為x軸上方的拋物線上一動點（點尸與頂點。不重合），于點Q,

當△/T0與△力）相似時，求點〃的坐標.

（備用圖）

三、測試提高

1.（2009廣西欽州）如圖，已知拋物線），=3/十歷十,與坐標軸交于爾B、C三點，A

4

點的坐標為（-1,0）,過點。的直線），3與x軸交于點0,點夕是線段%上

4f

的一個動點，過P作PH1OB于點、H.若PB=5t,且

（1）填空：點。的坐標是，b=,。=；

（2）求線段。〃的長（用含方的式子表示）；

（3）依點戶的變化，是否存在C的值，使以鼻〃、。為頂點的三角形與△口。相似？

若存在，求出所有「的值；若不存在，說明理由.

第五講中考壓軸題十大類型之

四邊形存在性問題

1.（2009黑龍江齊齊哈爾）直線y=-3x+6與坐標軸分別交于力、8兩點，動點只Q

4

同時從。點出發(fā)，同時到達/I點，運動停止.點。沿線段如運動，速度為每秒1

個單位長度，點，沿路線運動.

(1)直接寫出/、〃兩點的坐標;

(2)設點0的運動時間為￡秒，△"V的面積為S,求出S與t之間的函數(shù)關系式;

(3)當5=翌時、求出點P的坐標，并直接寫出以點。、只0為頂點的平行四邊形

5

的第四個頂點,"的坐標.

2.(2010河南)在平面直角坐標系中，已知拋物線經過4(-4,0),8(0,-4),。(2,0)三

占

八、、?

(1)求拋物線的解析式：

(2)若點必為第三象限內拋物線上一動點，點M的橫坐標為明,協(xié)的面積為S.求

S關于/〃的函數(shù)關系式，并求出S的最大值.

(3)若點尸是拋物線上的動點，點。是直線y=-x上的動點，判斷有幾個位置能夠

使得點只0、B、。為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點。的坐標.

M

3.（2011黑龍江雞西）已知直線），=Gx+46與x軸、y軸分別交于東夕兩點，

/力除60°,%與x軸交于點U

（1）試確定直線式、的解析式；

（2）若動點，從/點出發(fā)沿力。向點。運動（不與力、。重合），同時動點。從。點

出發(fā)沿M向點力運動（不與C、力重合），動點戶的運動速度是每秒1個單位長度，

動點。的運動速度是每秒2個單位長度.設的面積為S,尸點的運動時間為力

秒，求S與方的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，當△力國的面積最大時，y軸上有一點肌平面內是否存在

一點M使以4Q、欣川為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出1點的坐標；

若不存在，請說明理由.

7

4.(2007河南)如圖，對稱軸為直線x=5的拋物線經過點A(6,0)和B(0,4).

(1)求拋物線解析式及頂點坐標；

(2)設點夕(x,y)是效物線上一動點，且位于第四象限，四邊形困〃足以勿

為對角線的平行四邊形，求四邊形隔尸的面積S與x之間的函數(shù)關系式，并寫出

自變量x的取值范圍；

(3)①當四邊形?？谙Φ拿娣e為24時，，請判斷四/是否為菱形？

②是否存在點區(qū)使四邊形陽修為正方形？若存在，求出點￡的坐標；若不

存在，請說明理由.

y

5.(2010黑龍江大興安嶺)如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù))'=2x+i2的圖象分別交

x軸、y軸于A、B兩點.過點A的直線交y軸正半軸于點M,且點M為線段0B的中

/占、、、?

(1)求直線4"的解析式；

(2)試在直線4V上找一點尸，使得叢叱=叢」如，請直接寫出點〃的坐標；

(3)若點〃為坐標平面內任意一點，在坐標平面內是否存在這樣的點"使以人

B、M、〃為頂點的四邊形是等腰梯形？若存在，請直接寫出點〃的坐標；若不存在,

請說明理由.

三、測試提高

1.(2009遼寧撫順)已知：如圖所示，關于x的拋物線

產小+x+c?力0)與x軸交于點/(-2,0)、點8(6,0),與y軸交于點C

(1)求出此拋物線的解析式，并寫出頂點坐標；

(2)在拋物線上有一點〃，使四邊形相〃C為等腰梯形，寫出點〃的治標，并求出

直線力〃的解析式；

(3)在(2)中的直線助交拋物線的對稱軸于點機拋物線上有一動點Rx軸上

有一動點Q.是否存在以小秋P、。為頂點的平行四邊形？如果存在，請直接寫

出點。的坐標；如果不存在，請說明理由.

第六講中考壓軸題十大類型之

線段之間的關系

（2010天津）在平面直角坐標系中，矩形OAC8的頂點。在坐標原點，頂點/I、B

分別在x軸、），軸的正半地上，Q4=3,08=4,〃為邊陽的中點.

（I）若E為邊OA上的一個動點，當△CQE的周長最小時，求點E的坐標；

溫馨提示：如圖，可以作點。關于X軸

的對稱點連接8'與X軸交于點E,

此時△CDE的周長是最小的.這樣，你只需

求出的長，就可以確定點E的坐標了.

y

B

（II）若七、尸為邊Q4上的兩個動點，且"=2,當四邊形CD環(huán)的周長最小時，

求點E、b的坐標.

2.（2011四川廣安）四邊形力四是直角梯形，BC//AD,

ZBAD=9Q°,9與y軸相交于點機且"是比的中點，力、B、〃三點的坐標分別是

力（-1,0）,>7（-1,2）,〃（3,0）.連接〃隊并把線段〃獷沿以方向平移到〃M若

拋物線）=加+法+c經過點〃、欣M

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線上是否存在點R使得若存在，求出點戶的坐標；若不存在，

請說明理由；

（3）設拋物線與x軸的另一個交點為2點0是拋物線的對稱軸上的一個動點，當

點0在什么位置時有最大？并求出最大值.

3.（2011四川眉山）如圖，在直角坐標系中，已知點/（0,1）,方（T,4）,將點夕繞

點/順時針方向旋轉90°得到點G頂點在坐標原點的拋物線經過點B.

（1）求拋物線的解析式和點。的坐標；

（2）拋物線上有一動點R設點尸到x軸的距離為4,點Q到點力的距離為試

說明W=4+1；

（3）在⑵的條件下，請?zhí)骄慨旤c〃位于何處時，△處。的周長有最小值，并求出△

陽。的周長的最小值.

4.（2011福建福州）已知，如圖,二次函數(shù)y=a/+2ov-3am00）圖象的頂點為〃，與

X釉交于/、夕兩點（8在/點右側），點從8關于直線=對稱.

（1）求力、〃兩點坐標，并證明點力在直線/上；

（2）求二次函數(shù)解析式；

（3）過點8作直線以〃/〃交直線/于4點，機N分別為直線/1〃和直線/上的兩個

動點,連接HN、NM、MK,求〃牝W/U必和的最小值.

5.(2009湖南郴州)如圖L已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經過點"(一2,

-1),且P(—1,—2)為雙曲線上的一點，0為坐標平面上一動點，為垂直于x

軸，垂直于y軸，垂足分別是4B.

(1)寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關系式；

(2)當點0在直線加上運動時，直線加上是否存在這樣的點0,使得△。掰與△以〃

面積相等？如果存在，請求出點。的坐標，如果不存在，請說明理由；

(3)如圖2,當點。在第一象限中的雙曲線上運動時，作以利、。。為鄰邊的平行四

圖1圖2

6.（2010江蘇蘇州）如圖，以A為頂點的拋物線與），軸交于點夕.已知力、〃兩點的坐

標分別為（3,0）.（0,4）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）設例（加小是拋物線上的一點（加、〃為正整數(shù)），且它位于對稱軸的右側.若

以〃、B、O、A為頂點的四邊形四條邊的長度是四個連續(xù)的正整數(shù)，求點M的坐標；

（3）在（2）的條件下，試問：對于拋物線對稱軸上的任意一點2,必2+。笈+加2>28

是否總成立？請說明理由.

三、測試提高

1.（2009浙江舟山）如圖，已知點力（-4,8）和點8（2,〃）在拋物線），=加上.

（1）求a的值及點〃關于x軸對稱點〃的坐標，并在x軸上找一點0,使得力仆Q4

最短，求出點0的坐標；

(2)平移拋物線)，-辦2,記平移后點力的對應點為"，點〃的對應點為ZT,點

C(-2,0)和點〃(-4,0)是x軸上的兩個定點.

①當拋物線向左平移到某個位置時,"aCB'最短，求此時拋物線的函數(shù)解析式;

②當拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形/B9切的周長最

短？若存在，求出此時拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請說明理由.

第七講中考壓軸題十大類型之定值問題

1.（2011天津）己知拋物線G；），［=3"2-X十1,點尸（1,1）.

（I）求拋物線G的頂點坐標；

（H）①若拋物線G與y軸的交點為力，連接力兄并延長交拋物線G于點〃，求證:

11c

--+---=2;

AFBF

②拋物線G上任意一點〃（/，?）（0<xp<i）,連接用并延長交拋物線G

于點。（與，為），試判斷工+±=2是否成立？請說明理由；

PFQF

cm）將拋物線&作適當?shù)钠揭?，得拋物線a：

2

y2=^（x-//）,若時，），24x恒成立，求力的最大值.

2.（2009湖南株洲）如圖，已知△/1/%為直角三角形，Z4CB=90°,AC=8C,點A、

。在x軸上，點3坐標為（3,m）（加>0）,線段A3與y軸相交于點。，以P（1,0）

為頂點的拋物線過點8、D.

（1）求點A的坐標（用用表示）;

（2）求拋物線的解析式：

（3）設點Q為拋物線上點尸至點B之間的一動點，連結PQ并延長交8c于點連

結3Q并延長交4c于點F，試證明：R7（AC+EC）為定值.

3.(2008山東濟南)已知：拋物線廣加+bx+c(aW0),頂點。(1,-3),與x軸交于

48兩點，A(-1,O).

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)如圖，以4?為直徑作圓，與拋物線交于點D與拋物線對稱軸交于點區(qū)依次連

接小D、B、￡,點P為線段位?上一個動點(〃與/、夕兩點不重合)，過點夕作加J_/￡

于機PN1DB于N,請判斷也+型是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說

BEAD

明理由；

(3)在(2)的條件下，若點S是線段露上一點，過點S作尸鰭，分別與

邊力尺在相交于點尺G"與兒夕不重合，G與E、〃不重合)，請判斷2=竺是

?PBEG

否成立.若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

4.（2011湖南株洲）孔明是?個喜歡探究鉆研的同學，他在和同學們?起研究某條拋

物線），=?（〃<0）的性質時.，將一把直角三角板的直角頂點置于平面直角坐標系的原

點.0,兩直角邊與該拋物線交于A、B兩點，請解答以下問題：

（1）若測得OA=O3=2后（如圖1）,求。的值；

（2）對同一條拋物線，孔明將三角板繞點。旋轉到如圖2所示位置時，過B作“_Lx

軸于點尸，測得。尸=1,寫出此時點8的坐標，并求點A的橫?坐?標?；

（3）對該拋物線，孔明將三角板繞點。旋轉任意角度時驚奇地發(fā)現(xiàn)，交點A、3的

連線段總經過一個固定的點，試說明理由并求出該點的坐標.

5.（2009湖北武漢）如圖,拋物線），=?+法-4〃經過A.L0）、C（0,4）兩點,與x軸交

于另一點B.

（1）求拋物線的解析式：

（2）已知點。（皿〃?+1）在第一象限的拋物線上，求點〃關于直線回對稱的點的坐

標；

（3）在（2）的條件下，連接協(xié)，點，為拋物線上一點，且NZW>=45。，求點〃的

坐標.

三、測試提高

1.(2009湖南湘西)在直角坐標系x%中，拋物線)，=/+以+c

與x軸交于兩點從反與y軸交于點C,其中力在8的左側，8的坐標是(3,0).將

直線)，二履沿y軸向上平移3個單位長度后恰好經過點B、C.

(1)求〃的值；

(2)求直線比和拋物線的解析式；

(3)求的面積：

(4)設拋物線頂點為〃，點，在拋物線的對稱軸上，且

/APD-/ACB,求點〃的坐標.

4

3

2

-4-3-2-11234-v

-1

-2

-3

-4

第八講中考壓軸題十大類型之

幾何三大變換問題

1.（2009山西太原）問題解決：如圖（1）,將正方形紙片A3CO折疊，使點B落在8

邊上一點E（不與點C,Q重合），壓平后得到折痕A/N.當。=」時，求4”的值.

CD2BN

方法指導：

為了求得處的值,可先求BN、AM的長，不妨設：AB=2

類比歸納：在圖（1）中，若里=則理的值等于；

CDBN-------

若學』則—的值于__________;若烏=!（〃

BNCDn

為整數(shù)），則4”的值于.（用含〃的式

BN

子表示）

聯(lián)系拓廣：如圖（2）,將矩形紙片A3CQ折疊，使點3落在CZ）邊上一點E（不與點

CE1

C,加重合），壓平后得到折痕MN,設—=

BC）CDn

貝嚼的值等于含"?，〃的式子表示）

2.（2011陜西）如圖①，在矩形力靦中，將矩形折疊，使夕落在邊力〃（含端點）上,

落點記為￡,這時折痕與邊隙或邊切（含端點）交于點凡然后再展開鋪平，則以

B、E、/為頂點的△〃跖稱為矩形力版的“折痕三角形”.

（1）由“折痕三角形”的定義可知，矩形ABCD的任意一個“折痕△斯’是一個

________三角形；

（2）如圖②，在矩形力及力中，A即2,叱4.當它的“折痕△麻尸’的頂點/位于

邊力〃的中點時，畫出這個“折痕△弼'，并求出點6的坐標；

（3）如圖③，在矩形ABCD中,力廬2,除4,該矩形是否存在面積最大的“折痕

△BEF9'2若存在，說明理由，并求出此時點￡的坐標；若不存在，為什么？

圖①

3.（2010江西南昌）課題：兩個重疊的正多邊形，其中的一個繞某一個頂點旋轉所形

成的有關問題.

實驗與論證

設旋轉角N448=。。VN444）,%，％,°3,夕“展，娛所表示的角如

（2）圖1一圖4中,連接4〃時，在不添加其他輔助線的情況下，是否存在與直線

4〃垂直且被它平分的線段？若存在，請選擇其中的一個圖給出證明；若不存在，請

說明理由；歸納與猜想

設正〃邊形444…4H與正〃邊形AoBB…重合（其中,4與5重合）,現(xiàn)將正n

邊形4區(qū)民…嬴繞頂點4逆時針旋轉。（0。＜白（空）.

n

（3）設明與上述“夕3,%，…”的意義一樣，請直接寫出明的度數(shù)；

（4）試猜想在〃邊形且不添加其他輔助線的情形下，是否存在與直線4〃垂直且被

它平分的線段？若存在，請將這條線段用相應的頂點字母表示出來（不要求證明）；

若不存在，請說明理由.

4.（2009山東德州）已知正方形力8⑦中，￡為對角線劭上一點，過￡點作比1劭

交〃C于凡連接〃RG為以中點，連接面，CG.

（1）求證：E"G,,

（2）將圖①中△*繞8點逆時針旋轉45。，如圖②所示，取原中點G,連接a7,

夕.問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理

由.

（3）將圖①中△⑸如繞￡點旋轉任意角度，如圖③所示，再連接相應的線段，問（1）

中的結論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結論？（均不要求證明）

圖①圖②圖③

5.（2010江蘇蘇州）劉衛(wèi)同學在一次課外活動中，用硬紙片做了兩個直角三角形，見

圖①、②.圖①中，=90°,ZA=3O°,8C=6cm；圖②中，ZD=90°,ZE=45°,

力匹=4cm.圖③是劉衛(wèi)同學所做的一個實驗：他將△力E尸的直角邊與△/%的斜邊

力。重合在一起，并將△。瓦'沿力。方向移動.在移動過程中，〃、夕兩點始終在NC

邊上（移動開始時點。與點A重合）.

（1）在△。歷沿力。方向移動的過程中，劉衛(wèi)同學發(fā)現(xiàn)：R。兩點間的距離逐漸

.（填“不變”、“變大”或“變小”）

（2）劉衛(wèi)同學經過進一步地研究，編制了如下問題：

問題①：當△。所移動至什么位置，即A力的長為多少時，RC的連線與平行？

問題②：當△3EF移動至什么位置，即AO的長為多少時，以線段A。、小、的長

度為三邊長的三角形是直角三角形？

問題③：在△。所的移動過程中，是否存在某個位置，使得NFCO=15。?如果存在，

求出的長度；如果不存在，請說明理由.

請你分別完成上述三個問題的解答過程.

(圖②)

三、測試提高

1.(2009湖南常德)如圖1,若△位和△血力為等邊三角形，亂4分別以，⑦的中

點，易證：CD二BE,△4,哪是等邊三角形.

(1)當把△被繞力點旋轉到圖2的位置時，①二班'是否仍然成立？若成立請證明，

若不成立請說明理由；

(2)當△3'繞/I點旋轉到圖3的位置時，△/施V是否還是等邊三角形？若是，請

給出證明，并求出當力廬24〃時，△/M與及帆的面積之比：若不是，請說

明理由.

圖2第九講中考壓軸題十大類型之

實踐操作、問題探究

1.(2009陜西)問題探究

(1)請在圖①的正方形AACO內，畫出使N/陽力0。的一?個?點P,并說明理由.

(2)請在圖②的正方形A8C。內(含邊)，畫出使N4處與0°的所?有?的點P，并說

明理由.

問題解決

(3)如圖③，現(xiàn)在一塊矩形鋼板ABC。，AB=4,除3.工人師傅想用它裁出兩塊

全等的、面積最大的△川叨和4

CP1〃鋼板，且/APF/CP'介60°,請你在圖③中畫出符合要求的點尸和尸'，

并求出aAPB的面積（結果保留根號）.

11r?I1r

J1_①_1LJ②LJ_③_L

2.（2011江西）某數(shù)學興趣小組開展了一次活動，過程如下：

誼NBAeo（00<^<90°）.現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線力以力。之間，并使小棒兩

端分別落在兩射線上.

活動一：

如圖甲所示，從點4開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在端點處互相垂直，

A4為第1根小棒.

圖甲

數(shù)學思考：

（1）小棒能無限擺下去嗎？答：.（填“能”或“不能”）

（2）設4Al二A&二4&二1.

①。二______度；

②若記小棒的長度為4(〃為正整數(shù)，如44=%，4&=%，),求出

此時的,%的值，并直接寫出/(用含〃的式子表示).

活動二：

如圖乙所示，從點A開始，用等長的小棒依次向右擺放，其中為第1根小棒，

且4A2二AA.

數(shù)學思考：

(1)若已經向右擺放了3根小棒，則4二，0=,%=；(用含

八82

e的式子表示)

(2)若只能擺放4根小棒，"本飛么____

,?AA，A,C

圖乙

求。的范圍.

3.(2009浙江義烏)已知點4、3分別是x軸、y軸上的動點，點。、〃是某個函數(shù)圖

象上的點，當四邊形45⑦(力、B、a〃各點依次排列)為正方形時，稱這個正方

形為此函數(shù)圖象的伴侶正方形.例如：如圖，正方形48徵是一次函數(shù))，=犬+1圖象

的其中一個伴侶正方形.

(1)若某函數(shù)是一次函數(shù))，=x+l,求它的圖象的所有伴侶正方形的邊長；

(2)若某函數(shù)是反比例函數(shù)y=》Z>0),它的圖象的伴侶正方形為力比〃點〃(2,

x

而(m<2)在反比例函數(shù)圖象上，求力的值及反比例函數(shù)解析式；

(3)若某函數(shù)是二次函數(shù)y二小+以〃，。)，它的圖象的伴侶正方形為/a〃aD

中的一個點坐標為(3,4).寫出伴侶正方形在拋物線上的另一個頂點坐標，

寫出符合題意的其中一條拋物線解析式，并判斷你寫出的拋物線的伴侶正

方形的個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？.(本小題只需直接寫出答案)

4..................1（3,4）

2

1

-2D_1~~2~3^x

4.（2011江蘇南京）

問題情境

已知矩形的面積為a（d為常數(shù)，a>0）,當該矩形的長為多少時，它的周長最??？

最小值是多少？

數(shù)學模型

設該矩形的長為筋周長為y,則y與x的函數(shù)關系式為），=21+%>0）.

探索研究

⑴我們可以借鑒以前研究函數(shù)的經驗，先