2024屆湖南省益陽箴言中學高三一診數(shù)學試題試卷

2023屆湖南省益陽箴言中學高三一診數(shù)學試題試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等差數(shù)列滿足，公差，且成等比數(shù)列，則A．1 B．2 C．3 D．42．如圖所示點是拋物線的焦點，點、分別在拋物線及圓的實線部分上運動，且總是平行于軸，則的周長的取值范圍是（）A． B． C． D．3．在平面直角坐標系中，已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在直線上，則（）A． B． C． D．4．若雙曲線的一條漸近線與圓至多有一個交點，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．5．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a(chǎn)＞b＞c D．b＞a＞c6．設為虛數(shù)單位，為復數(shù)，若為實數(shù)，則（）A． B． C． D．7．的展開式中的系數(shù)是（）A．160 B．240 C．280 D．3208．下列說法正確的是（）A．命題“，”的否定形式是“，”B．若平面，，，滿足，則C．隨機變量服從正態(tài)分布（），若，則D．設是實數(shù)，“”是“”的充分不必要條件9．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且當時，函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，則，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．10．過直線上一點作圓的兩條切線，，，為切點，當直線，關(guān)于直線對稱時，（）A． B． C． D．11．函數(shù)的定義域為（）A． B． C． D．12．在正項等比數(shù)列{an}中，a5-a1=15，a4-a2=6，則a3=（）A．2 B．4 C． D．8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．數(shù)學家狄里克雷對數(shù)論，數(shù)學分析和數(shù)學物理有突出貢獻，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一.函數(shù)，稱為狄里克雷函數(shù).則關(guān)于有以下結(jié)論:①的值域為;②;③;④其中正確的結(jié)論是_______(寫出所有正確的結(jié)論的序號)14．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是__15．在平面五邊形中，，，，且.將五邊形沿對角線折起，使平面與平面所成的二面角為，則沿對角線折起后所得幾何體的外接球的表面積是______.16．已知(2x-1)7=ao+a1x+a2x2+…+a7x7，則a2=____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)的導函數(shù)的兩個零點為和．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若的極小值為，求在區(qū)間上的最大值．18．（12分）已知數(shù)列滿足，且.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.19．（12分）某公園有一塊邊長為3百米的正三角形空地，擬將它分割成面積相等的三個區(qū)域，用來種植三種花卉.方案是：先建造一條直道將分成面積之比為的兩部分（點D，E分別在邊，上）；再取的中點M，建造直道（如圖）.設，，（單位：百米）.（1）分別求，關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）試確定點D的位置，使兩條直道的長度之和最小，并求出最小值.20．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）若數(shù)列前n項和為，且滿足（t為常數(shù)，且）（1）求數(shù)列的通項公式：（2）設，且數(shù)列為等比數(shù)列，令，.求證：.22．（10分）在中，角、、所對的邊分別為、、，且.（1）求角的大??；（2）若，的面積為，求及的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

先用公差表示出，結(jié)合等比數(shù)列求出.【詳解】,因為成等比數(shù)列，所以，解得.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式.屬于簡單題，化歸基本量，尋求等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.2．B【解析】

根據(jù)拋物線方程求得焦點坐標和準線方程，結(jié)合定義表示出；根據(jù)拋物線與圓的位置關(guān)系和特點，求得點橫坐標的取值范圍，即可由的周長求得其范圍.【詳解】拋物線，則焦點，準線方程為，根據(jù)拋物線定義可得，圓，圓心為，半徑為，點、分別在拋物線及圓的實線部分上運動，解得交點橫坐標為2.點、分別在兩個曲線上，總是平行于軸，因而兩點不能重合，不能在軸上，則由圓心和半徑可知，則的周長為，所以，故選：B.【點睛】本題考查了拋物線定義、方程及幾何性質(zhì)的簡單應用，圓的幾何性質(zhì)應用，屬于中檔題.3．C【解析】

利用誘導公式以及二倍角公式，將化簡為關(guān)于的形式，結(jié)合終邊所在的直線可知的值，從而可求的值.【詳解】因為，且，所以.故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)中的誘導公式以及三角恒等變換中的二倍角公式，屬于給角求值類型的問題，難度一般.求解值的兩種方法：（1）分別求解出的值，再求出結(jié)果；（2）將變形為，利用的值求出結(jié)果.4．C【解析】

求得雙曲線的漸近線方程，可得圓心到漸近線的距離，由點到直線的距離公式可得的范圍，再由離心率公式計算即可得到所求范圍．【詳解】雙曲線的一條漸近線為，即，由題意知，直線與圓相切或相離，則，解得，因此，雙曲線的離心率.故選：C.【點睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運用圓心到漸近線的距離不小于半徑，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．5．A【解析】

利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解．【詳解】∵x∈（0，1），∴a＝lnx＜0，b＝（）lnx＞（）0＝1，0＜c＝elnx＜e0＝1，∴a，b，c的大小關(guān)系為b＞c＞a．故選：A．【點睛】本題考查三個數(shù)的大小的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．6．B【解析】

可設，將化簡，得到，由復數(shù)為實數(shù)，可得，解方程即可求解【詳解】設，則.由題意有，所以.故選：B【點睛】本題考查復數(shù)的模長、除法運算，由復數(shù)的類型求解對應參數(shù)，屬于基礎題7．C【解析】

首先把看作為一個整體，進而利用二項展開式求得的系數(shù)，再求的展開式中的系數(shù)，二者相乘即可求解.【詳解】由二項展開式的通項公式可得的第項為，令，則，又的第為，令，則，所以的系數(shù)是.故選：C【點睛】本題考查二項展開式指定項的系數(shù)，掌握二項展開式的通項是解題的關(guān)鍵，屬于基礎題.8．D【解析】

由特稱命題的否定是全稱命題可判斷選項A；可能相交，可判斷B選項；利用正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷選項C；或，利用集合間的包含關(guān)系可判斷選項D.【詳解】命題“，”的否定形式是“，”，故A錯誤；，，則可能相交，故B錯誤；若，則，所以，故，所以C錯誤；由，得或，故“”是“”的充分不必要條件，D正確.故選：D.【點睛】本題考查命題的真假判斷，涉及到特稱命題的否定、面面相關(guān)的命題、正態(tài)分布、充分條件與必要條件等，是一道容易題.9．D【解析】

利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，再根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性可得正確的選項.【詳解】因為，，故.又，故.因為當時，函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，所以.因為為偶函數(shù)，故，所以.故選：D.【點睛】本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在大小比較中的應用，比較大小時注意選擇合適的中間數(shù)來傳遞不等關(guān)系，本題屬于中檔題.10．C【解析】

判斷圓心與直線的關(guān)系，確定直線，關(guān)于直線對稱的充要條件是與直線垂直，從而等于到直線的距離，由切線性質(zhì)求出，得，從而得．【詳解】如圖，設圓的圓心為，半徑為，點不在直線上，要滿足直線，關(guān)于直線對稱，則必垂直于直線，∴，設，則，，∴,．故選：C．【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線的對稱性，解題關(guān)鍵是由圓的兩條切線關(guān)于直線對稱，得出與直線垂直，從而得就是圓心到直線的距離，這樣在直角三角形中可求得角．11．C【解析】

函數(shù)的定義域應滿足故選C.12．B【解析】

根據(jù)題意得到，，解得答案.【詳解】，，解得或（舍去）.故.故選：.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的計算，意在考查學生的計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．②【解析】

根據(jù)新定義，結(jié)合實數(shù)的性質(zhì)即可判斷①②③，由定義求得比小的有理數(shù)個數(shù)，即可確定④.【詳解】對于①，由定義可知，當為有理數(shù)時；當為無理數(shù)時，則值域為，所以①錯誤；對于②，因為有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù)，所以滿足，所以②正確；對于③，因為，當為無理數(shù)時，可以是有理數(shù)，也可以是無理數(shù)，所以③錯誤；對于④，由定義可知，所以④錯誤；綜上可知，正確的為②.故答案為：②.【點睛】本題考查了新定義函數(shù)的綜合應用，正確理解題意是解決此類問題的關(guān)鍵，屬于中檔題.14．【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，即可求出的取值范圍.【詳解】當時，，，當時，，所以，故的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)，已知分段函數(shù)解析式求參數(shù)范圍，還涉及對數(shù)和指數(shù)的運算，屬于基礎題.15．【解析】

設的中心為，矩形的中心為，過作垂直于平面的直線，過作垂直于平面的直線，得到直線與的交點為幾何體外接球的球心，結(jié)合三角形的性質(zhì)，求得球的半徑，利用表面積公式，即可求解.【詳解】設的中心為，矩形的中心為，過作垂直于平面的直線，過作垂直于平面的直線，則由球的性質(zhì)可知，直線與的交點為幾何體外接球的球心，取的中點，連接，，由條件得，，連接，因為，從而，連接，則為所得幾何體外接球的半徑，在直角中，由，，可得，即外接球的半徑為，故所得幾何體外接球的表面積為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以及多面體的外接球的表面積的計算，其中解答中熟記空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，求得外接球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力與運算求解能力，屬于中檔試題.16．【解析】

根據(jù)二項展開式的通項公式即可得結(jié)果.【詳解】解：(2x-1)7的展開式通式為：當時，，則.故答案為：【點睛】本題考查求二項展開式指定項的系數(shù)，是基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是和；（2）最大值是．【解析】

（1）求得，由題意可知和是函數(shù)的兩個零點，根據(jù)函數(shù)的符號變化可得出的符號變化，進而可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）由（1）中的結(jié)論知，函數(shù)的極小值為，進而得出，解出、、的值，然后利用導數(shù)可求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值.【詳解】（1），令，因為，所以的零點就是的零點，且與符號相同．又因為，所以當時，，即；當或時，，即.所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是和；（2）由（1）知，是的極小值點，所以有，解得，，，所以．因為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是和.所以為函數(shù)的極大值，故在區(qū)間上的最大值取和中的最大者，而，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值是．【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最值，考查計算能力，屬于中等題.18．（1）證明見解析，；（2）.【解析】

（1）將等式變形為，進而可證明出是等差數(shù)列，確定數(shù)列的首項和公差，可求得的表達式，進而可得出數(shù)列的通項公式；（2）利用錯位相減法可求得數(shù)列的前項和.【詳解】（1）因為，所以，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列，且公差，其首項所以，解得；（2），①，②①②，得，所以.【點睛】本題考查利用遞推公式證明等差數(shù)列，同時也考查了錯位相減法求和，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.19．（1），.，.（2）當百米時，兩條直道的長度之和取得最小值百米.【解析】

（1）由，可解得.方法一：再在中，利用余弦定理，可得關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；在和中，利用余弦定理，可得關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.方法二：在中，可得，則有，化簡整理即得；同理，化簡整理即得.（2）由（1）和基本不等式，計算即得.【詳解】解：（1），是邊長為3的等邊三角形，又，，.由，得.法1：在中，由余弦定理，得.故直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，.在和中，由余弦定理，得①②因為M為的中點，所以.由①②，得，所以，所以.所以，直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，.法2：因為在中，，所以.所以，直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，.在中，因為M為的中點，所以.所以.所以，直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，.（2）由（1）得，兩條直道的長度之和為（當且僅當即時取“”）.故當百米時，兩條直道的長度之和取得最小值百米.【點睛】本題考查了余弦定理和基本不等式，第一問也可以利用三角形中的向量關(guān)系進行求解，屬于中檔題.20．（1）（2）【解析】

（1）按絕對值的定義分類討論去絕對值符號后解不等式；（2）不等式轉(zhuǎn)化為，求出在上的最小值即可，利用絕對值定義分類討論去絕對值符號后可求得函數(shù)最