高中數(shù)學 第三章 三角恒等變換 新人教版必修4

【創(chuàng)新設計】(浙江專用)2016-2017高中數(shù)學第三章三角恒等變換新人教版必修4目標定位1.了解學習兩角和與差的三角函數(shù)公式的必要性.2.理解用三角函數(shù)線、向量推導名稱簡記符號公式適用條件兩角差的余弦α,β為任意角即時自測(3)以0x為始邊作角α,終邊與單位圓交于點A,則A點的坐標為(3)A(cosa,sin4.計答案類型一運用公式求值【例1】求下列各式的值：解(1)原式=cos40°cos70°+sin70°sin40°【訓練1】求下列各式的值：解(1)原式=sin(90°-44°)cos類型二給值求值問題中,,,,解,,,,規(guī)律方法三角變換是三角運算的靈魂與核心，它包括角的變換、函數(shù)名稱的變換、三角函數(shù)式結(jié)構的變換.其中角的變換是最基本的變換.常見的有：α=(α+β)-β,α=β-(β事且解,,又∵β=(a+β)-a,類型三給值求角問題(互動探究)【例3】已知α、β均為銳角，且,cos探究點一要求α-β的值，可以先求什么?提示可以先求cos(α-β)的值.提示還需求sinα,sinβ.提示應注意α-β的范圍.解∵α、β均為銳角，規(guī)律方法解給值求角問題的一般步驟(1)求角的某一個三角函數(shù)值.(2)確定角的范圍.(3)根據(jù)角的范圍寫出所求的角.中【訓練3】已知中事求β的值.由0<又因為由β=α-(α-β)得所以1.公式的結(jié)構特點公式的左邊是差角的余弦，右邊的式子是含有同名函數(shù)之積的和式，可用口訣“余余正正號相反”記憶公式.2.公式的適用條件公式中的α,β不僅可以是任意具體的角，也可以是一個“團體”,如中的相當于公式中的角相當于公式中的角β.3.公式的“活”用公式的運用要“活”,體現(xiàn)在順用、逆用、變用.而變用又涉及兩個方面：(1)公式本身的變用，如cos(α-β)-cosαcosβ=sina(2)角的變用，也稱為角的變換，如cosa=cos[(α+β)-β],cos2β=cos[(α+β)-(α-β)].故選A.答案A2.cos165°等于()B答案14.已知sin,sin且180°<α<270°,90°<β<180°,求cos(α-β)的值.答案B2.化簡cos(45°-α)cos(α+15°)-sin(45°-α)sin(α+15°)的結(jié)果為()答案A3.若事事,并且α、β均為銳角且a<β,則α+β的值為()口解析答案C5.若垂垂,事事甲,又∵β為銳角，∴0<a+β<π.,,解于y軸對稱，則m的最小值是()個單位長度后，得到此時關于y軸對稱，則,k∈Z,所以m x=cos(x+φ),則φ的一個可能值為()解析故φ的一個可能值為是--_----①2+②2得：(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=1,整理得：2+2cos(a-β)=1,12.若解析12.若解析則cos(a-β)的值為--------.即答案事事cos(a+β).事所所 所以=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(214.已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sin(2)若ka+b與a-kb的長度相等，求β-α的值(k為非零的常數(shù)).所以a+b與a-b互相垂直.(2)解因為ka+b=(kcosα+cosβ,ksina+sinβ),=√k+1-2kcos(β-α).所以cos(β-α)=0,又因為0<a<β<π,所以0<β-a<π,3.1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(一)目標定位1.能利用兩角差的余弦公式推導出兩角和與差的正弦、余弦公式.2.能應用兩角和與差的正弦、余弦公式解決有關問題.3.理解和、差角的相對性，能對角進行合理、正確的拆分.4.能對公式進行簡單的逆用.1.兩角和與差的余弦公式C(a-a:cos(α-β)=cos--C(a+8:cos(α+β)=cos--2.兩角和與差的正弦公式 3.兩角互余或互補(1)若其α、β為任意角，我們就稱α、β互余.例如：與互余.(2)若α+β=π,其α,β為任意角，我們就稱α、β互補.例如：補，互補. 互(1)cos(α+β)=cosα+cosβ對任意角都不成立.(×)事,等式成立.心口答案A則sinC等于()解析sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+=sinAcosB+cosAsinB答案A類型一利用和(差)角公式化簡【例1】化簡下列各式：(3)sin(54°-x)cos(36°+x)+c=0.(2)原式=sin14°cos16°+sin(90°-14°)·cos(90°-16°)(3)原式=sin[(54°-x)+(36°+x)]=sin90°=1.(4)法一原規(guī)律方法化簡三角函數(shù)式的標準和要求(2)使三角函數(shù)式的種數(shù)、項數(shù)及角的種類盡可能少(3)使三角函數(shù)式的次數(shù)盡可能低.(4)使分母中盡量不含三角函數(shù)式和根式.【訓練1】化簡：類型二利用和(差)角公式求值【例2】若■垂垂甲.事規(guī)律方法在解決此類題目時，一定要注意已知角與所求角之間的關系，恰當?shù)剡\用拆角事···,,,=cos(a+β)cos(α-β)-sin=cos(a+β)cos(a-β)+sin(類型三兩角和與差的正弦、余弦公式在解三角形中的應用(互動探究)【例3】在△ABC中，si,co求cosC.[思路探究]探究點一A、B、C之間有怎樣的關系?提示A+B+C=π.求cosA的值，由求sinB的值，值確定嗎?提示應注意由三角函數(shù)值的符號，確定角A、B的范圍.解若,,則且規(guī)律方法在應用公式時，要注意角的范圍，特別在三角形中，A+B+C=π,A,B,C∈(0,【訓練3】(1)(2015·常州高一檢測)在△ABC中，若sinAsinB<cosAcosB,則△ABC的形狀為--------.A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形解析(1)∵sinAsinB<cosAcosB∴cos∴C為鈍角.(2)由條件sin(A-B)cosB+cos(A-BsinB≥1得sinA≥1,即sinA=1.A為直角.故選答案(1)鈍角三角形(2)C1.公式Ca+與S=0的聯(lián)系、結(jié)構特征和符號規(guī)律我們只要牢固掌握”中心”公式cos(α一β)的由來及表達方式，也就掌握了其他三個公式.對于公式S-,與Sa-p,可記為“異名相乘，符號同”.2.使用和差公式時不僅要會正用，還要能夠逆用公式，如化簡sinβcos(α+β)-cosβsin(α+β)時，不要將cos(α+β)和sin(α+β)展開，而應采用整體思想，作如下變形：3.運用和差公式求值、化簡、證明時要注意靈活進行三角變換，有效地溝通條件中的角與問題結(jié)論中的角之間的聯(lián)系，選用恰當?shù)墓娇旖萸蠼?課堂達標自主反煙區(qū)答案C2.已知sin7B口重重答案B3.化簡sin(45°+A)-sin(45°的值.,,的值.,,②②,,由①,②解得sin答案B垂解析垂事事事事重,。,。答案CA.-1B.0C.1解析cosacosβ-sinasinβ=cos(α+β)=0.答案D4.已知銳角α、β滿足,cos,則α+β=---_.解析∵α,β為銳角，,cos答案5.化簡的結(jié)果是-----_.答案cosa6.求下列各式的值.=cos(90°+15°)cos15°-sin(9=sin45°cos母(2)由事事又∵aa9.若函數(shù)f(x)=(1+√3tanx)cosx,則f(x)的最大值為()C.1+√3答案B10.在三角形ABC中，三內(nèi)角分別是A、B、C,若sinCA.直角三角形B.正三角形∴sinAcosB-cosAsinB=0.答案C解析12.已知α,β為銳角，且S----所所以所甲0且sin又∵=sin(a-β)·cosβ+cos(α-β)·14.證明：sin(a+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β,并利用該式計算sin220°+=sin2a-sin2asin2β-si=sin220°+sin(60°+20°)·目標定位1.能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導出兩角和與差的正切公式.tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanatan_-β).(1)公式Ta+p中，只有α,β滿時，(1+tanα)(1+tanβ)=-2.(×)時，(1+tanα)(1+tanβ)=2.2.若解析答案BA.1C.-2D.不確定解析(1+tanA)·(1+tanB)=1+(tanA+tanB)+tanAtanB=1+tan(A+B)(1-tanAtanB)+ta=1+1-tanAtanB+tanAtanB=2.答案B,解得tanβ=3.類型一利用和(差)角的正切公式求值【例1】求下列各式的值：∴原式=1-tan15°tan30°+tan15°tan30°=1.β(或tana-tanβ),tan(a+β)(或tan(a-β))三者知二可表示或求出第三個.【訓練1】求下列各式的值.類型二給值求角問題爭【例2】已知tan且α,β為銳角，求a+2β的值.爭.3ma)-規(guī)律方法此類題是給值求角題，解題步驟如下：①求所求角的某一個三角函數(shù)值，②確定所求角的范圍.此類題常犯的錯誤是對角的范圍不加討論，范圍討論的程度過大或過小，會使求出的角不合題意或者漏解求角α+β.解由已知得類型三和(差)角的正切公式的綜合應用(互動探究)B-1,試判斷△ABC的形狀.結(jié)論?提示條件可變形為：提示條件可變形為：,,,規(guī)律方法三角形中的問題，A+B+C=π肯定要用，有時與誘導公式結(jié)合，有時利用它尋找1.公式Ta±g)的適用范圍由正切函數(shù)的定義可知α、β、a+β(或α-β)的終邊不能落在y軸上，即不為(k∈Z).入求解便可.利用整體思想代入求解.(3)角的配湊：公式Ta±g中α,β只代表了角的某一形式，其可能是單純的α,β,也可能是某些小團體3.公式T(a±g)的逆用一方面要熟記公式的結(jié)構，另一方面要注意常值代換.如等于()等于()事解析由已知：s,解析答案D解析4.已知A,B都是銳角，且,sin事求A+B的值.,,事課時作業(yè)班提升區(qū)1.在△ABC中，若tanAtanB=tanA+tanB+1,則cosC的值是()日事人,那么等于()解析答案C事則α+β的值是()B口解析事答案C4.已知a、β均為銳角，且解析a+tana+tan5.在△ABC中，CostanB=2,則tan2C=_-----_.,解析.'C,0<A<π,6.已知,,(1)求tanα的值；(2)求2α-β的值.而事(2)原式=1-tan59°-tan76°+tan59°tan76°=1+1-tan59°tan76°+tan8.如圖，在平面直角坐標系x0y中，以0x軸為始邊作兩個銳角α、β,它們的終邊分別與單(1)求tan(α+β)的值；(2)求α+2β的值.∵α、β為銳角，重重又∵α,β為銳角，A.1答案A10.A,B,C是△ABC的三個內(nèi)角，且tanA,tanB是方程3x-5x+1=0的兩個實數(shù)根，則△ABC是()A.鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.無法確定解析∴C為鈍角.解析答案.解(1)∵m·n=1,解由已知3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式目標定位1.能利用兩角和的正弦、余弦、正切公式推導出倍角公式.2.能利用這些公式進行和、差、倍角的求值和簡單的化簡.3.理解和、差、倍角的相對性，能對角進行合理、正確的拆分.4.能對公式進行簡單的逆用.1.倍角公式2.倍角公式常用變形事事3,重重1.思考判斷(正確的打“√”,錯誤的打“×”)提示(1)α=2kπ,k∈Z,成立.(2)cos2α=cos(α+α)=c故適用.2.cos275°+cos215°+cos75°cos答案C等于()答案B答案類型一給角求值問題【例1】求下列各式的值：解(2)原式=cos(2×750°)=cos1500°(3)原式=tan(2×150°)=tan規(guī)律方法此類題型(1)(2)(3)小題直接利用公式或逆用公式較為簡單，而(4)小題分式一般發(fā)現(xiàn)其特征(二倍角形式),逆用正弦二倍角公式，使得問題中可連用正弦二倍角公式，所以【訓練1】求下列各式的值：解類型二給值求值問題(互動探究)的值.【例2】已知的值.■探究點一已知角與未知角之間有怎樣的聯(lián)系?提示探究點二以上兩種角的變換思路哪種更簡單?提示本著先化簡再求值的思路更簡單.解規(guī)律方法在解題過程中要注意抓住角的特點解題，同時要注意挖掘題目中的隱含條件：十x與存在互余關系.特別要注意利用這些條件來確定某些三角函數(shù)值的符號.""相減得而所以事且α,β∈(0,π),求2α-β的值.類型三給值求角問題【例3】已知事且α,β∈(0,π),求2α-β的值.解,規(guī)律方法在給值求角時，一般選擇一個適當?shù)娜呛瘮?shù)，根據(jù)題設確定所求角的范圍，然【訓練3】已知,,,,又又8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3αα的二倍；的二倍；2.二倍角的余弦公式的運用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最為靈活多樣，應用廣泛.二倍角的常用形式：①1+cos21.函數(shù)A.最小正周期為π的奇函數(shù)B.最小正周期為的奇函數(shù)C.最小正周期為π的偶函數(shù)D.最小正周期的偶函數(shù)解析答案A的值等于()4.已知,事1.如圖，圓0的半徑為1,A是圓上的定點，P是圓上的動點，角x的始邊為射線0A,終邊為射線OP,過點P作直線0A的垂線，垂足為M,將點M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)f(x),則y=f(x)在[0,π]的圖象大致為()AC解析如圖所示，當時，則P(cosx,sinx),M(cosx,0),作MM⊥OP,M;X符合.答案B的值是()只有B選項的圖象答案C3.若則的值為()答案B4.設sin2α=-sinα,則tan2α的值是--_-----.則5.若則tanα的值等于------_曲,(2)若cOs,解事所以sin爭爭所以sin2θ=2sinθcoscos2θ解(1)原式=sin6°cos48°cos24°cos12°,(1)求sinx的值.則(2)因為答案C解析。)口答案A所以周期解析事事13.設(1)當m=0時，求f(x)(2)若f(x)的最大值求m的值.解(1)因為所以于是于是得(1)求f(x)的最小正周期.最小正周期習題課兩角和與差的正弦、余弦和正切公式目標定位1.會用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式；2.能利用兩角差的余弦公式導出兩角差的正弦、正切公式；3.能利用兩角差的余弦公式導出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；4.能運用上述公式進行簡單的恒等變換.1.已知1.已知解析答案B則tan2α等于()等式左邊分子、分母同除cosα等式左邊分子、分母同除cosα得，解得tan答案B3.設θ為第二象限，若則sinθ+cosθ=---解析即解得sin,cos且θ為第二象限角，答案4.若t事事則的值為()····,答案A之85D.-1答案B6.函數(shù)f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值為--_-----=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sinφ-2=sin(x+φ)cosφ-cos(x+φ)sinφ=sin[(x+φ)-φ]=sinx,∴f(x)的最大值為1.答案1題型一利用和、差、倍角公式求值化簡【例1】(1)sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)·cos(110°-x)的值為()A.√2解析(1)原式=sin(65°-x)·cos(x-20°)+cos(65°-x)cos[90°-(x-20°)]=sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)sin(x-20(3)原規(guī)律方法運用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟練、準確，而且要熟悉公式的逆用及變形，如tanα+tanβ=tan(α+β)·(1-tanatanβ)和二倍角的余弦公式的多種變形等.公式的逆用和變形應用更能開拓思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力。【訓練1】(1)若,口又∵答案(1)A(2)題型二形如asinx+bcosx的三角式的化簡及應用(互動探究)【例2】(1)函數(shù)y=sinx+cosx+sinxcOsx的值域為--_----_(2)已知函數(shù)[思路探究]探究點一(1)中sinx+cosx與sinx·cosx,x∈R有怎樣的關系?提示令t=sinx+cosx,則特別要注意t的范圍.探究點二(2)中函數(shù)可以怎樣化簡?提示f(x)解析式可以化成asinx+bcosx的形式.則從而x=π+2kπ,或,k∈Z.答案,,。,∴函數(shù)f(x)的值域為[1,2].tanφ為輔助角即即解②求使成立的x的取值集合.所以函數(shù)f(x)的最大值為2,最小值為-2,即實數(shù)a的取值范圍是(2,+0).于是k∈Z.故使成立的x的取值集合為題型三角的變換【例3】(1)已知α,β均為銳角，且--------,cosβ=-------_.爭事事重重,選A.規(guī)律方法1.解決三角形函數(shù)的求值問題的關鍵是把“所求角”用“已知角”表示.(1)當把“所求角”變成“已知角”2.常見的配角技巧：2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,事【訓練3】(1)設α、β都是銳角，且則cosβ等于()解析(1)依題意得s又α,β均為銳角，所以于是cosβ=cos[(α+β)-α]和差角公式變形：tanx±tany=tan(x±y)·(1Ftanx·tany);倍角公式變形：降冪公,,2.重視三角函數(shù)的“三變”:“三變”是指“變角、變名、變式”;變角：對角的分拆要盡化、整式化、降低次數(shù)等.在解決求值、化簡、證明問題時，一般是觀察角度、函數(shù)名、所求(或所證明)問題的整體形式中的差異，再選擇適當?shù)娜枪胶愕茸冃?3.運用公式時要注意審查公式成立的條件，要注意和、差、倍角的相對性，要注意升次、降次的靈活運用，要注意“1”的各種變通.4.在(0,π)范圍內(nèi)，所對應的角α+β不是唯一的.5.在三角求值時，往往要估計角的范圍后再求值.事事B口,22答案C,得答案C解得sin2α=0或當sin2α=0時，代入2sin2α=1+cos2α,解析∵tana=4,∴cosα≠0,分子、分母都除以cos2α解析6.在銳角三角形ABC中，若B=2A,取值范圍.又C為銳角，且C=π-B-A=π-3A,,,,,所所又手(1)求cos手兩邊同時平方，得(2)因事(1)求f(x)的最小正周期及最值.(2)令判斷函數(shù)g(x)的奇偶性，并說明理由.∴g(x)為偶函數(shù).口得答案A10.若則的值為()解析答案B,11.若t,又由答案解析=-2sin2B+2sinB-(1-2sin2B)=2sinB-1,(1)求f(x)的最小正周期；所以函數(shù)f(x)的最小正周期當3.2簡單的三角恒等變換目標定位1.了解和、差、倍角公式的特點，并進行變形應用.2.理解三角變換的基本特點和基本功能.3.了解三角變換中蘊含的數(shù)學思想和方法. 1.二倍角余弦公式cos2α3.半角公式(有理形式)4.輔助角公式其中其中,φ稱為輔助角，它的終邊所在象限由點(a,b)決定.1.思考判斷(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(3)y=sinx-cosx,x∈R的值域為[-2,2].(×)提示(4)三角恒等變換主要指角的變換與函數(shù)名稱的變換.答案D3.若Cos且α∈(0,π),則的值為()解析答案B4.已知α是第二象限角，且解析α是第二象限角，且cOS類型一降冪公式的應用【例1】(1)求sin22.5°的值.解,用用規(guī)律方法(1)對于特殊角的一半求函數(shù)值，可以通過降冪，轉(zhuǎn)化為特殊角.(2)對于式子中含有1+cosθ,1-cosθ形式時，可以逆用降冪公式，消去常數(shù)1.類型二輔助角公式【例2】將下列三角式化成Asin(wx+φ)的形式.(2)√3sinx+cosx.(3)sinx-√3cosx.解(1)原式其中φ、θ稱為應用.【訓練2】化簡【例3】求證：探究點一由左到右證明，應采取什么變換?提示弦化切.探究點二由右到左證明，應采取什么變換?提示切化弦，規(guī)律方法在三角恒等式的證明中，化繁為簡是化簡三角函數(shù)式的一般原則，按照目標確定【訓練3】求證：證明原式可變形為=2sin2θ(cos2θ+sin=2sin2θcos2θ+2sin22θ=sin4θ+1-cos4θ=左邊.1.學習三角恒等變換，千萬不要只顧死記硬背公式，而忽視對思想方法的理解，要學會借助前面幾個有限的公式來推導后繼公式，立足于在公式推導過程中記憶公式和運用公式.3.研究形如f(x)=asinx+bcosx的函數(shù)性質(zhì)，都要運用輔助角公式化為一個整體角的正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的形式.因此輔助角公式是三角函數(shù)中應用較為廣泛的一個重要公式，也是高考?？嫉目键c之一.對一些特殊的系數(shù)a、b應熟練掌握，例如sin;心心解析答案Bα∈(π,2π),故答案C解析答案-14.已知sinθ+2cos所,,,的值分別為()A之之用口442,,,答案B口當答案D由由得所以令k=0得單調(diào)遞增區(qū)間答案D答案5.函數(shù)的最小正周期是-----.解析答案π(1)求f(x)的最小正周期.(2)g(x)與f(x)的圖象關于直線x=1對稱，求當時，g(x)的最大值.解;∴y=g(x)的最大值為由已知得8.已知α為鈍角，β為銳角，且sin,sin求的值.解因為α為鈍角，β為銳角，sin,sin,cos重重因,,所以9.當y=2cosx-3sinx取得最大值時，tanx的值是()·答案B4解析∵α是第三象限角，cos4答案A11.若8sinα+5cosβ=6,8cosα+5sinβ=10,則sin(α+β)=答案12.函數(shù)f(x)=cos1x+sinxcosx的最大值是--------解析所以當答案(2)設函數(shù)f(x)=a·b,求f(x)的最大值.又從而所以當時，取最大值1,所以f(x)的最大值(2)設函數(shù)g(x)對任意x∈R,有g(x)在區(qū)間[-π,0]上的解析式.解且當求故f(x)的最小正周期為π.故①當由于對任意x∈R,從而②當從而綜合①,②得g(x)在[-π,0]上的解析式為習題課簡單的三角恒等變換目標定位1.能利用和、差、倍角的公式進行基本的變形，并證明三角恒等式；2.能利用三角恒等變換研究三角函數(shù)的性質(zhì)；3.能把一些實際問題轉(zhuǎn)化為三角問題，通過三角變換解決.2.若cos(α-β)cosα+sin(α-β)sin又則的值為,答案C,故選C.,事事那么等于()事的平移得到()解析可由y=2sinx的圖象向左平個單位得到C.最小正周期為2π的偶函數(shù)解析所以最小正周期為答案D6.函數(shù)y=1-2cos22x的最小正周期是------- 題型一三角變換中角的統(tǒng)一【例1】(1)化簡：④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;∴原式sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)法二規(guī)律方法三角變換包括角的變換與函數(shù)名稱的變換，而角的變換是內(nèi)因，起決定性作用；其中角的變換的主要形式，就是角的統(tǒng)一，這是三角變換的精粹.【訓練1】證明：證明故原式成立.題型二用輔助角公式研究三角函數(shù)性質(zhì)(互動探究)【例2】已知函數(shù)f(x)=cos?x-2sinxcosx-sin?x.(2)當時，求f(x)的最小值及取得最小值時x的集合.探究點一什么形式的函數(shù)可以直接求周期，最值，單調(diào)區(qū)間等.提示y=Asin(wx+φ)或y=Acos(wx+φ)的形式.探究點二高次的三角式如何化簡?提示常見方法①因式分解，②降冪公式.=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x∴f(x)的最小正周期為π.規(guī)律方法將函數(shù)解析式化為y=Asin(wx+φ)的形式，才可以將問題化歸為y=sinx或+φ)的形式，是解決問題的關鍵.(2)若f(α)=2,且求α的值.即所以時，函數(shù)f(x)min=-1所以(2)若f(α)=2,即或題型三三角變換在實際中的應用(2)若要求實驗室溫度不高于11℃,則在哪段時間實驗室需要降溫?解(1)因為又0≤t<24,所于是f(t)在(0,24)上取得最大值12,取得最小值8.故實驗室這一天最高溫度為12℃,最低溫度為8℃,最大溫差為4℃.(2)依題意，當f(t)>11時實驗室需要降溫.故有又0≤t<24,因即10<t<18.故在10時至18時實驗室需要降溫.規(guī)律方法三角函數(shù)是描述具有周期性的現(xiàn)象的重要數(shù)學模型；通過三角變換，將復雜的三角式化為規(guī)范的三角式，是解決問題的關鍵.【訓練3】點P在直徑AB=1的半圓上移動，過P作圓的切線PT且PT=1,∠PAB=α,問α為何值時，四邊形ABTP面積最大?解如圖所示，∴∠APB=90°,又AB=1,又PT切圓于P點，∠TPB=∠PAB=α,,。,。2.利用三角函數(shù)值求角要考慮角的范圍3.與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)相結(jié)合的綜合問題.借助三角恒等變換將已知條件中的函數(shù)解析5.計算形如y=sin(wx+φ),x∈[a,b]形式的函數(shù)最值時，不要將wx+φ的范圍和x的范圍混淆. 答案B2.若sin4則解析sa=sinacos7+cos答案ABB0°<α<90°,則cos0°<α<90°,則cosα=------.5.設--------.。。事所以令所以k就是單位圓x+y=1的左半圓上的動點P(-sin2x,cos2x)與定點Q(0,2)所成直線的斜率所以函數(shù)6.求函數(shù)y=sin2x+2sinxcOsx+3cos'x的最小值.即時，函數(shù)有最小值即時，函數(shù)最小值為2-√2.7.已知A,B,C三點的坐標分別為(3,0),(0,3),(cosα,sinα),(2).f(x)=cos(x-α)cosα-sin(x-α)sinα=cos.,,故函數(shù)在區(qū)上的取值范圍是[-2,1].9.函數(shù)f(x)=sin'x+cos2x的最小正周期是()解析f(x)=sin?x+1-sin2x=sin?x-sin2x+1=-sin3等于()心口解析依題意有sinacosβ-cosasin事事而,)而,)于是sinβ=si=sinac故選D.解析,事解得tan答案解析2x-√2(1-cos2x)值時矩形ABCD的面積最大?并求最大面積.解如題圖乙所示，設OE交AD于M,交BC于N,顯然矩形ABCD關于OE對稱，而M,N均為AD,BC的中點，在Rt△ONC,CN=sina,ON=cosα,,。2,。214.已知向量a=(sinθ,cosθ-2sinθ),b=(1,2).所以2sinθ=cosθ-2sinθ,于是又由0<θ<π知，或因此章末復習課兩角和的正切兩角和的正切角植等變換兩角差的余弦1.本章的公式多不易記住，解決這個問題的最好辦法就是掌握每個公式的推導過程：首先用向量方法推導出Ca-B,再用-β代替Ca-s;中的β得到Cca+sj;接著用誘導公式sin(α±β)2.熟練掌握常用的角的變換，是提高解題速度、提高分析問題和解決問題的能力的有效途徑.這些變換技巧需要同學們在平時解題的過程中多多摸索，而探索的方法就是認真觀察已知條件中的角與待求式中的角之間的關系.3.時刻注意考慮角的范圍是避免解題出錯的唯一方法，首先是本章的某些公式中的角就有范圍限制，如中的α的限制條件是心且;.其次是題中的角的范圍也是有限制的.方法一轉(zhuǎn)化與化歸思想事事事規(guī)律方法三角函數(shù)求值主要有三種類型，即(1)“給角求值”,一般給出的角都是非特殊角，觀察發(fā)現(xiàn)題中的角與特殊角都有著一定的關系，如和或差為特殊角，必要時運用誘導公式.(2)“給值求值”,即給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些三角函數(shù)的值，這類求值問題關鍵在于結(jié)合條件和結(jié)論中的角，合理拆、配角.要注意角的范圍.(3)“給值求角”,本質(zhì)上還是“給值求值”,只不過往往求出的是特殊角的值，在求出角之前還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定角，必要時還要討論角的范圍.【訓練1】已知π,0<β<π,求α、β的值.①2+②2得：1+2cos2α=2,或..:事事或事事方法二函數(shù)與方程思想解S因此f(x)的最小正周期為π,最大值解(1)函數(shù)有意義，則1+sinx+cosx≠0,由由或∴函數(shù)定義域為(2)設sin