高等數(shù)學（經濟類-上冊第2版）課件：定積分的幾何應用

定積分的應用定積分的幾何應用一、平面圖形的面積二、平行截面面積已知的立體的體積三、旋轉體的體積四、小結一、平面圖形的面積若f(x)是區(qū)間[a,b]上連續(xù)的非負函數(shù)，則曲線f(x)，x=a,x=b及x軸所圍圖形的面積為1、直角坐標情形若連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有正有負，則所圍面積為若f(x)和g(x)是區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)，且曲線f(x),

g(x)x=a,x=b及x軸所圍圖形的面積可由元素法計算.則

任取小區(qū)間[x,x+dx]，小區(qū)間所對應的長條面積近似等于高為f(x)-g(x)，寬為dx的小矩形的面積，即為面積元素選取x為變量，變化區(qū)間為[a,b].把面積表示為定積分可寫為

在實際計算中，如果不能準確判定出f(x)和g(x)的大小，面積可表示為特點：上減下.若選擇y為積分變量，計算方法與公式與上述類似.設平面區(qū)域是由連續(xù)曲線

所圍.x=c,x=d及y軸則其面積元素為小矩形的面積，即把面積表示為定積分為特點：右減左.例1求由拋物線所圍成平面圖形的面積.解：先求兩條拋物線的交點，解方程組得交點：選取x為積分變量，變化區(qū)間為[-1,1],面積元素為則所圍圖形面積為例2求由直線拋物線所圍圖形的面積.解：直線和拋物線的交點為選取y為積分變量，變化區(qū)間為[-2,1],面積元素為則所圍圖形面積為例2求由直線拋物線所圍圖形的面積.解：若選取x為積分變量，變化區(qū)間為[-1,3],需要用直線x=0將圖形分成兩部分.在區(qū)間[-1,0]和[0,3]上的面積元素分別為則所圍圖形面積為在計算中要選擇合適的變量，避免復雜！例3求擺線的一擺與軸所圍圖形的面積.解：由面積計算公式，顯然有所圍圖形的面積為應用定積分的換元法，令則并且當x=0時，當x=時，所以2、極坐標系下面積的計算極坐標系下的連續(xù)曲線與兩條射線所圍成的圖形稱為曲邊扇形，求曲邊扇形的面積.取極角為積分變量，變化區(qū)間為任取小區(qū)間極角為的小曲邊扇形的面積近似等于半徑為中心角為的扇形的面積，從而得曲邊扇形的面積元素為曲邊扇形的面積表示為定積分為例4計算心形線所圍圖形的面積.解：圖形關于極軸對稱,我們只需在

上考慮.的變化區(qū)間為任取一小區(qū)間面積元素為從而面積為二、平行截面面積已知的立體的體積

設有一立體過點x=a,x=b且垂直于x軸的兩個平面之間，A(x)為區(qū)間[a,b]上任意一點x所做的垂直于x軸的平面截立體所得截面的面積，求該立體的體積.選取x為變量，變化區(qū)間為[a,b],任取小區(qū)間對應小薄片的體積近似等于底面積為A(x)，高為dx的小圓柱體的體積，即體積元素為因此立體體積為例5一平面經過半徑為R的圓柱體的底圓中心，并與底面交

成角

，計算這平面截圓柱體所得的體積.解：建立坐標系如圖所示.底圓方程為選取x為變量，變化區(qū)間為[-R,R],任取小區(qū)間[x,x+dx]，過x點處做x軸的垂面，與立體的截面為直角三角形.直角三角形兩直角邊的長分別為y和因而截面面積為立體體積則為三、旋轉體的體積

旋轉體是由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體．這直線叫做旋轉軸．

常見的圓錐體、圓臺、圓柱體、球、橢球等都可以看成是由平面圖形繞直線旋轉而得.

設有一旋轉體是由曲線直線x=a,x=b

及x軸所圍平面圖形繞x軸旋轉一周而成，求旋轉體的體積.選取x為變量，變化區(qū)間為[a,b],任取小區(qū)間[x,x+dx]，過x點作垂直于x軸的平面截旋轉體，截面是一個以x為中心，x點處函數(shù)值f(x)(f(x)>0)為半徑的一個圓，截面面積為體積元素為旋轉體的體積為若有一旋轉體是由曲線繞y軸旋轉一周而成，求旋轉體的體積.選取y為變量，變化區(qū)間為[c,d],與繞x軸時類似，旋轉體體積為與前面類似，我們也可以得到下面兩種情況下旋轉體的體積.y=f(x)和y=g(x)及x=a,x=b繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積

x=a,x=b繞y軸旋轉而成的旋轉體的體積及x軸所圍的三角形繞x軸旋轉一周例6求直線構成的圓錐體的體積.解：選取x為變量，變化區(qū)間為[0,h],任取小區(qū)間[x,x+dx]，對應的小薄片的體積近似等于小圓柱體的體積，體積元素為則圓錐體體積為例7求由曲線直線所圍圖形繞(1)x軸；(2)y軸旋轉一周而成的旋轉體的體積.解：(1)直接利用體積公式，有例7求由曲線直線所圍圖形繞(1)x軸；(2)y軸旋轉一周而成的旋轉體的體積.解：利用旋轉體體積計算公式，有(2)將曲線分成兩段:當當例7求由曲線直線所圍圖形繞(1)x軸；(2)y軸旋轉一周而成的旋轉體的體積.解：利用旋轉體體積計算公式，有當當其中故有(2)將曲線分成兩段:例8計算由橢圓所圍成圖形繞(1)x軸；(2)y軸旋轉一周而成的旋轉體的體積.解：(1)上半橢圓方程為由旋轉體的體積公式，有例8計算由橢圓所圍成圖形繞(1)x軸；(2)y軸旋轉一周而成的旋轉體的體積.解：(2)右半橢圓方程為由旋轉體的體積公式，有例9設直線與直線x=0,x=1及y=0所圍梯形面積等于S，試求a,b使得此梯形繞x軸旋轉一周而成的旋轉體的體積最小.解：由面積計算公式有

故有

得由旋轉體計算公式有令得a=0,則b=S.又點，故當a=0,則b=S時，旋轉體體積V取最小值.因此a=0為極小值例10證明：由平面圖形繞y軸旋轉所成的旋轉體的體積為證明：將旋轉體分成很多很薄的柱殼，利用定積分將這些柱殼累加起來，即可得到旋轉體的體積.選x為變量，變化區(qū)間[a,b]任取小區(qū)間[x,x+dx]，對應的窄曲邊梯形繞y軸旋轉所得的旋轉體為一層柱殼，體積為即為體積元素故有旋轉體體積公式，有忽略了高階無窮小.注：(1)平面圖形是繞y軸旋轉，但體積公式是以x為積分變量，這