2025屆吉林省東遼市高三考前熱身數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆吉林省東遼市高三考前熱身數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)a，b，c為正數(shù)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不修要條件2．已知集合A，B=,則A∩B=A． B． C． D．3．關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是（）A． B．C． D．4．已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若，則實(shí)數(shù)a的值為()A． B．3 C． D．6．我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果，哥德巴赫猜想的內(nèi)容是：每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和，例如：，，，那么在不超過(guò)18的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于16的概率為（）A． B． C． D．7．設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，則的一個(gè)充分條件是（）A．且 B．且 C．且 D．且8．一袋中裝有個(gè)紅球和個(gè)黑球（除顏色外無(wú)區(qū)別），任取球，記其中黑球數(shù)為，則為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．10．如果，那么下列不等式成立的是（）A． B．C． D．11．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是()A．180 B．90 C．45 D．36012．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，則|a＋bi|＝()．A． B． C． D．5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．14．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，的面積為，則_______，_______．15．一次考試后，某班全班50個(gè)人數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為正數(shù)，若把當(dāng)成一個(gè)同學(xué)的分?jǐn)?shù)，與原來(lái)的50個(gè)分?jǐn)?shù)一起，算出這51個(gè)分?jǐn)?shù)的平均值為，則_________．16．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，若，，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若的解集為，，求證：．18．（12分）如圖，D是在△ABC邊AC上的一點(diǎn)，△BCD面積是△ABD面積的2倍，∠CBD=2∠ABD=2θ．（Ⅰ）若θ=，求的值；（Ⅱ）若BC=4，AB=2，求邊AC的長(zhǎng)．19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)滿足.（1）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程；（2）點(diǎn)，分別是曲線上第一象限，第二象限上兩點(diǎn)，且滿足，求的值.20．（12分）以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系，已知曲線，曲線（為參數(shù)），求曲線交點(diǎn)的直角坐標(biāo).21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（φ為參數(shù)），在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2是圓心為（2，），半徑為1的圓．（1）求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)M為曲線C1上的點(diǎn)，N為曲線C2上的點(diǎn)，求|MN|的取值范圍．22．（10分）已知命題：，；命題：函數(shù)無(wú)零點(diǎn).（1）若為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若為假，為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，，為正數(shù)，當(dāng)，，時(shí)，滿足，但不成立，即充分性不成立，若，則，即，即，即，成立，即必要性成立，則“”是“”的必要不充分條件，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．2、A【解析】

先解A、B集合，再取交集?！驹斀狻?所以B集合與A集合的交集為，故選A【點(diǎn)睛】一般地，把不等式組放在數(shù)軸中得出解集。3、A【解析】

由的解集，可知及，進(jìn)而可求出方程的解，從而可求出的解集.【詳解】由的解集為，可知且，令，解得，，因?yàn)椋缘慕饧癁?，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理能力，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，列出方程求出的值，即可求解雙曲線的離心率，得到答案．【詳解】由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，可得，解得，此時(shí)雙曲線，則曲線的離心率為，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記雙曲線的幾何性質(zhì)，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解析】

根據(jù)題意，求得函數(shù)周期，利用周期性和函數(shù)值，即可求得.【詳解】由已知可知，，所以函數(shù)是一個(gè)以4為周期的周期函數(shù)，所以，解得，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)周期的求解，涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬綜合基礎(chǔ)題.6、B【解析】

先求出從不超過(guò)18的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)的所有可能結(jié)果，然后再求出其和等于16的結(jié)果，根據(jù)等可能事件的概率公式可求.【詳解】解：不超過(guò)18的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17共7個(gè)，從中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)共有，其和等于16的結(jié)果，共2種等可能的結(jié)果，故概率.故選：B.【點(diǎn)睛】古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù)，本題不可以列舉出所有事件但可以用分步計(jì)數(shù)得到，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】由且可得，故選B.8、A【解析】

由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，進(jìn)而可求得隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值.【詳解】由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，則，，，.因此，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可確定參數(shù)范圍．【詳解】，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∴在上只有一個(gè)極大值也是最大值，顯然時(shí)，，時(shí)，，因此要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定參數(shù)范圍．10、D【解析】

利用函數(shù)的單調(diào)性、不等式的基本性質(zhì)即可得出.【詳解】∵，∴，，，.故選：D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】試題分析：因?yàn)榈恼归_(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以，，令，則，.考點(diǎn)：1.二項(xiàng)式定理；2.組合數(shù)的計(jì)算.12、C【解析】試題分析：由已知，－2a＋i＝1－bi，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，有a＝－，b＝－1所以|a＋bi|＝，選C考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等的充要條件，復(fù)數(shù)的模二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

求出的范圍，再由函數(shù)值為零，得到的取值可得零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【詳解】詳解：由題可知，或解得,或故有3個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的零點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

由已知及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得，從而求得，結(jié)合范圍，即可得到答案運(yùn)用余弦定理和三角形面積公式，結(jié)合完全平方公式，即可得到答案【詳解】由已知及正弦定理可得，可得：解得，即，由面積公式可得：，即由余弦定理可得：即有解得【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形，題目較為基礎(chǔ)，只要按照題意運(yùn)用公式即可求出答案15、1【解析】

根據(jù)均值的定義計(jì)算．【詳解】由題意，∴．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查均值的概念，屬于基礎(chǔ)題．16、127【解析】

已知條件化簡(jiǎn)可化為,等式兩邊同時(shí)除以，則有，通過(guò)求解方程可解得,即證得數(shù)列為等比數(shù)列,根據(jù)已知即可解得所求.【詳解】由..故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)遞推公式證明數(shù)列為等比數(shù)列,考查了等比的求和公式,考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力,難度較易.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）見(jiàn)解析.【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，將所求不等式變形為，然后分、、三段解不等式，綜合可得出原不等式的解集；（2）先由不等式的解集求得實(shí)數(shù)，可得出，將代數(shù)式變形為，將與相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求得的最小值，進(jìn)而可證得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，不等式為，且.當(dāng)時(shí)，由得，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由得，該不等式不成立，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由得，解得，此時(shí).綜上所述，不等式的解集為；（2）由，得，即或，不等式的解集為，故，解得，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，．【點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值不等式的求解，同時(shí)也考查了利用基本不等式證明不等式，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用三角形面積公式以及并結(jié)合正弦定理，可得結(jié)果.（Ⅱ）根據(jù)，可得，然后使用余弦定理，可得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ），所以所以；（Ⅱ），所以，所以，，所以，所以邊．【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式，正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，關(guān)鍵在于識(shí)記公式，屬中檔題.19、（1）（）；（2）【解析】

（1）由已知，曲線的參數(shù)方程消去t后，要注意x的范圍，再利用普通方程與極坐標(biāo)方程的互化公式運(yùn)算即可；（2）設(shè)，，由（1）可得，，相加即可得到證明.【詳解】（1），∵，∴，∴，由題可知：，：（）.（2）因?yàn)?，設(shè)，，則，，.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道容易題.20、【解析】

利用極坐標(biāo)方程與普通方程、參數(shù)方程間的互化公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.由，得，所以曲線的普通方程為.由，得，所以（舍），所以，所以曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程，參數(shù)方程與普通方程間的互化，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道容易題.21、（1）C1：y2＝1，C2：x2+（y﹣2）2＝1；（2）[0，1]【解析】

（Ⅰ）消去參數(shù)φ可得C1的直角坐標(biāo)方程，易得曲線C2的圓心的直角坐標(biāo)為（0，2），可得C2的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)M（3cosφ，sinφ），由三角函數(shù)和二次函數(shù)可得|MC2|的取值范圍，結(jié)合圓的知識(shí)可得答案．【詳解】（1）消去參數(shù)φ可得C1的普通方程為y2＝1，∵曲線C2是圓心為（2，），半徑為1的圓，曲線C2的圓心的直角坐標(biāo)為（0，2），∴C2的直角坐標(biāo)方程為x2+（y﹣2）2＝1；（2）設(shè)M（3cosφ，sinφ），則|MC2|，∵﹣1≤sinφ≤1，∴1≤|MC2|，由題意結(jié)合圖象可得|MN|的最小值為1﹣1＝0，最大值為1，∴|MN|的取值范圍為[0，1]．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的參數(shù)方程，涉及圓的知識(shí)和極坐標(biāo)方程，屬中檔題．22、（1）（2）【解析】

（1）為假,則為真，求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)有零點(diǎn)條件得的取值范圍；（2）由為假，為真，知一真一假；分類討論列不等式組可解.【詳解】（1）依題意，為真，