高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.1 雙曲線的標準方程課件 新人教B版選修2-1-新人教B版高二選修2-1數(shù)學課件

2.3.1雙曲線的標準方程第二章§2.3

雙曲線學習目標XUEXIMUBIAO1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程.2.掌握雙曲線的標準方程及其求法.3.會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單的問題.NEIRONGSUOYIN內容索引自主學習題型探究達標檢測1自主學習PARTONE知識點一雙曲線的定義1.平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的

等于常數(shù)(小于|F1F2|且不等于零)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的

，兩焦點的距離叫做雙曲線的

.2.關于“小于|F1F2|”：①若將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”，其余條件不變，則動點軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點的

(包括端點)；②若將“小于|F1F2|”改為“大于|F1F2|”，其余條件不變，則動點軌跡不存在.3.若將“絕對值”去掉，其余條件不變，則動點的軌跡只有雙曲線的

.4.若常數(shù)為零，其余條件不變，則點的軌跡是

.絕對值焦點焦距兩條射線一支線段F1F2的中垂線焦點所在的坐標軸x軸y軸標準方程______________________________________圖形知識點二雙曲線的標準方程1.兩種形式的標準方程焦點坐標____________________________________a，b，c的關系式___________2.焦點F1，F(xiàn)2的位置是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標準方程的類型.“焦點跟著正項走”，若x2項的系數(shù)為正，則焦點在____上；若y2項的系數(shù)為正，那么焦點在____上.3.當雙曲線的焦點位置不確定時，可設其標準方程為Ax2＋By2＝1(AB<0).4.標準方程中的兩個參數(shù)a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線的定形條件，這里的b2＝_______要與橢圓中的b2＝_______相區(qū)別.F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a2＋b2＝c2x軸y軸a2－c2c2－a21.在雙曲線標準方程中，a，b，c之間的關系同橢圓中a，b，c之間的關系相同.(

)2.點A(1,0)，B(－1,0)，若|AC|－|BC|＝2，則點C的軌跡是雙曲線.(

)3.雙曲線

＝1的焦點在x軸上，且a>b.(

)4.平面內到兩定點的距離的差等于常數(shù)(小于兩定點間距離)的點的軌跡是雙曲線.(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU××××2題型探究PARTTWO題型一求雙曲線的標準方程例1

(1)已知雙曲線的焦點在y軸上，并且雙曲線過點

，求雙曲線的標準方程；(2)焦距為26，且經(jīng)過點M(0,12).解∵雙曲線經(jīng)過點M(0,12)，∴M(0,12)為雙曲線的一個頂點，故焦點在y軸上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.反思感悟求雙曲線的標準方程與求橢圓的標準方程的方法相似，可以先根據(jù)其焦點位置設出標準方程，然后用待定系數(shù)法求出a，b的值.若焦點位置不確定，可按焦點在x軸和y軸上兩種情況討論求解，此方法思路清晰，但過程復雜，注意到雙曲線過兩定點，可設其方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)，通過解方程組即可確定m，n，避免了討論，實為一種好方法.跟蹤訓練1

根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程.若焦點在y軸上，設雙曲線的方程為(2)c＝

，經(jīng)過點(－5,2)，焦點在x軸上.題型二雙曲線定義的應用命題角度1雙曲線中的焦點三角形問題多維探究(1)若雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16，求點M到另一個焦點的距離；由雙曲線的定義得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16，假設點M到另一個焦點的距離等于x，則|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.故點M到另一個焦點的距離為10或22.(2)如圖，若P是雙曲線左支上的點，且|PF1|·|PF2|＝32，試求△F1PF2的面積.解將|PF2|－|PF1|＝2a＝6兩邊平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，則|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得所以∠F1PF2＝90°，引申探究將本例(2)中的條件“|PF1|·|PF2|＝32”改為“∠F1PF2＝60°”，求△F1PF2的面積.由雙曲線的定義和余弦定理得|PF2|－|PF1|＝6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，反思感悟求雙曲線中焦點三角形面積的方法(1)方法一：①根據(jù)雙曲線的定義求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之間滿足的關系式；③通過配方，利用整體的思想求出|PF1|·|PF2|的值；跟蹤訓練2

已知雙曲線x2－y2＝1，點F1，F(xiàn)2為其兩個焦點，點P為雙曲線上一點，若PF1⊥PF2，則|PF1|＋|PF2|的值為______.解析不妨設點P在雙曲線的右支上，因為PF1⊥PF2，又|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，可得2|PF1|·|PF2|＝4，則(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，命題角度2利用定義確定與雙曲線有關的軌跡方程由雙曲線的定義知，點C的軌跡為雙曲線的右支(除去右頂點).反思感悟(1)求解與雙曲線有關的點的軌跡問題，常見的方法有兩種：①列出等量關系，化簡得到方程；②尋找?guī)缀侮P系，由雙曲線的定義，得出對應的方程.(2)求解雙曲線的軌跡問題時要特別注意：①雙曲線的焦點所在的坐標軸；②檢驗所求的軌跡對應的是雙曲線的一支還是兩支.跟蹤訓練3

如圖所示，已知定圓F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圓F2：(x－5)2＋y2＝42，動圓M與定圓F1，F(xiàn)2都外切，求動圓圓心M的軌跡方程.解圓F1：(x＋5)2＋y2＝1，圓心F1(－5,0)，半徑r1＝1；圓F2：(x－5)2＋y2＝42，圓心F2(5,0)，半徑r2＝4.設動圓M的半徑為R，則有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|.∴點M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線的左支，題型三由雙曲線方程求參數(shù)解得－3<m<2或m>3.所以m的取值范圍是{m|－3<m<2或m>3}.{m|－3<m<2或m>3}反思感悟方程表示雙曲線的條件及參數(shù)范圍求法(3)已知方程所代表的曲線，求參數(shù)的取值范圍時，應先將方程轉化為所對應曲線的標準方程的形式，再根據(jù)方程中參數(shù)取值的要求，建立不等式(組)求解參數(shù)的取值范圍.(－1,1)則(1＋k)(1－k)>0，所以(k＋1)(k－1)<0，所以－1<k<1.(2)若雙曲線2x2－y2＝k的焦距為6，則k的值為_____.綜上所述，k＝－6或6.±6核心素養(yǎng)之數(shù)學建模HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO雙曲線在生活中的應用典例“神舟”九號飛船返回倉順利到達地球后，為了及時將航天員安全救出，地面指揮中心在返回倉預計到達區(qū)域安排了三個救援中心(記A，B，C)，A在B的正東方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P為航天員著陸點.某一時刻，A接收到P的求救信號，由于B，C兩地比A距P遠，在此4秒后，B，C兩個救援中心才同時接收到這一信號.已知該信號的傳播速度為1千米/秒，求在A處發(fā)現(xiàn)P的方位角.解因為|PC|＝|PB|，所以P在線段BC的垂直平分線上.又因為|PB|－|PA|＝4<6＝|AB|，所以P在以A，B為焦點的雙曲線的右支上.以線段AB的中點為坐標原點，AB的垂直平分線所在直線為y軸，正東方向為x軸正方向建立平面直角坐標系，如圖所示.所以P點在A點的北偏東30°方向.素養(yǎng)評析利用雙曲線解決實際問題的基本步驟如下：(1)建立適當?shù)淖鴺讼担?2)求出雙曲線的標準方程；(3)根據(jù)雙曲線的方程及定義解決實際應用問題.注意：①解答與雙曲線有關的應用問題時，除要準確把握題意，了解一些實際問題的相關概念，同時還要注意雙曲線的定義及性質的靈活應用.②實際應用問題要注意其實際意義以及在該意義下隱藏著的變量范圍.3達標檢測PARTTHREE√12345解析由題意知，34－n2＝n2＋16，∴2n2＝18，n2＝9.∴n＝±3.123452.若雙曲線E：

＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于

A.11 B.9 C.5 D.3√解析由雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，即|3－|PF2||＝6，解得|PF2|＝9(負值舍去)，故選B.12345又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，√123454.已知雙曲線中a＝5，c＝7，則該雙曲線的標準方程為______________________.123455.已知圓C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圓C與坐標軸的交點分別作為雙曲線的一個焦點和頂點，則所得雙曲線的標準方程為____________.解析令x＝0，得y2－4y＋8＝0，方程無解，即該圓與y