高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.1 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程課件 新人教B版選修2-1-新人教B版高二選修2-1數(shù)學(xué)課件

2.3.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程第二章§2.3

雙曲線學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程.2.掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法.3.會(huì)利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡單的問題.NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引自主學(xué)習(xí)題型探究達(dá)標(biāo)檢測1自主學(xué)習(xí)PARTONE知識(shí)點(diǎn)一雙曲線的定義1.平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的

等于常數(shù)(小于|F1F2|且不等于零)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的

，兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的

.2.關(guān)于“小于|F1F2|”：①若將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”，其余條件不變，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的

(包括端點(diǎn))；②若將“小于|F1F2|”改為“大于|F1F2|”，其余條件不變，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在.3.若將“絕對值”去掉，其余條件不變，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡只有雙曲線的

.4.若常數(shù)為零，其余條件不變，則點(diǎn)的軌跡是

.絕對值焦點(diǎn)焦距兩條射線一支線段F1F2的中垂線焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸x軸y軸標(biāo)準(zhǔn)方程______________________________________圖形知識(shí)點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1.兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)____________________________________a，b，c的關(guān)系式___________2.焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的位置是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型.“焦點(diǎn)跟著正項(xiàng)走”，若x2項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在____上；若y2項(xiàng)的系數(shù)為正，那么焦點(diǎn)在____上.3.當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，可設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為Ax2＋By2＝1(AB<0).4.標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個(gè)參數(shù)a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線的定形條件，這里的b2＝_______要與橢圓中的b2＝_______相區(qū)別.F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a2＋b2＝c2x軸y軸a2－c2c2－a21.在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b，c之間的關(guān)系同橢圓中a，b，c之間的關(guān)系相同.(

)2.點(diǎn)A(1,0)，B(－1,0)，若|AC|－|BC|＝2，則點(diǎn)C的軌跡是雙曲線.(

)3.雙曲線

＝1的焦點(diǎn)在x軸上，且a>b.(

)4.平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差等于常數(shù)(小于兩定點(diǎn)間距離)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU××××2題型探究PARTTWO題型一求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1

(1)已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，并且雙曲線過點(diǎn)

，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)焦距為26，且經(jīng)過點(diǎn)M(0,12).解∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)M(0,12)，∴M(0,12)為雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，故焦點(diǎn)在y軸上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.反思感悟求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法相似，可以先根據(jù)其焦點(diǎn)位置設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，然后用待定系數(shù)法求出a，b的值.若焦點(diǎn)位置不確定，可按焦點(diǎn)在x軸和y軸上兩種情況討論求解，此方法思路清晰，但過程復(fù)雜，注意到雙曲線過兩定點(diǎn)，可設(shè)其方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)，通過解方程組即可確定m，n，避免了討論，實(shí)為一種好方法.跟蹤訓(xùn)練1

根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)雙曲線的方程為(2)c＝

，經(jīng)過點(diǎn)(－5,2)，焦點(diǎn)在x軸上.題型二雙曲線定義的應(yīng)用命題角度1雙曲線中的焦點(diǎn)三角形問題多維探究(1)若雙曲線上一點(diǎn)M到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于16，求點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離；由雙曲線的定義得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又雙曲線上一點(diǎn)M到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于16，假設(shè)點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于x，則|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.故點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為10或22.(2)如圖，若P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且|PF1|·|PF2|＝32，試求△F1PF2的面積.解將|PF2|－|PF1|＝2a＝6兩邊平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，則|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得所以∠F1PF2＝90°，引申探究將本例(2)中的條件“|PF1|·|PF2|＝32”改為“∠F1PF2＝60°”，求△F1PF2的面積.由雙曲線的定義和余弦定理得|PF2|－|PF1|＝6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，反思感悟求雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積的方法(1)方法一：①根據(jù)雙曲線的定義求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之間滿足的關(guān)系式；③通過配方，利用整體的思想求出|PF1|·|PF2|的值；跟蹤訓(xùn)練2

已知雙曲線x2－y2＝1，點(diǎn)F1，F(xiàn)2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，若PF1⊥PF2，則|PF1|＋|PF2|的值為______.解析不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，因?yàn)镻F1⊥PF2，又|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，可得2|PF1|·|PF2|＝4，則(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，命題角度2利用定義確定與雙曲線有關(guān)的軌跡方程由雙曲線的定義知，點(diǎn)C的軌跡為雙曲線的右支(除去右頂點(diǎn)).反思感悟(1)求解與雙曲線有關(guān)的點(diǎn)的軌跡問題，常見的方法有兩種：①列出等量關(guān)系，化簡得到方程；②尋找?guī)缀侮P(guān)系，由雙曲線的定義，得出對應(yīng)的方程.(2)求解雙曲線的軌跡問題時(shí)要特別注意：①雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；②檢驗(yàn)所求的軌跡對應(yīng)的是雙曲線的一支還是兩支.跟蹤訓(xùn)練3

如圖所示，已知定圓F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圓F2：(x－5)2＋y2＝42，動(dòng)圓M與定圓F1，F(xiàn)2都外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.解圓F1：(x＋5)2＋y2＝1，圓心F1(－5,0)，半徑r1＝1；圓F2：(x－5)2＋y2＝42，圓心F2(5,0)，半徑r2＝4.設(shè)動(dòng)圓M的半徑為R，則有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|.∴點(diǎn)M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，題型三由雙曲線方程求參數(shù)解得－3<m<2或m>3.所以m的取值范圍是{m|－3<m<2或m>3}.{m|－3<m<2或m>3}反思感悟方程表示雙曲線的條件及參數(shù)范圍求法(3)已知方程所代表的曲線，求參數(shù)的取值范圍時(shí)，應(yīng)先將方程轉(zhuǎn)化為所對應(yīng)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，再根據(jù)方程中參數(shù)取值的要求，建立不等式(組)求解參數(shù)的取值范圍.(－1,1)則(1＋k)(1－k)>0，所以(k＋1)(k－1)<0，所以－1<k<1.(2)若雙曲線2x2－y2＝k的焦距為6，則k的值為_____.綜上所述，k＝－6或6.±6核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)建模HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO雙曲線在生活中的應(yīng)用典例“神舟”九號(hào)飛船返回倉順利到達(dá)地球后，為了及時(shí)將航天員安全救出，地面指揮中心在返回倉預(yù)計(jì)到達(dá)區(qū)域安排了三個(gè)救援中心(記A，B，C)，A在B的正東方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P為航天員著陸點(diǎn).某一時(shí)刻，A接收到P的求救信號(hào)，由于B，C兩地比A距P遠(yuǎn)，在此4秒后，B，C兩個(gè)救援中心才同時(shí)接收到這一信號(hào).已知該信號(hào)的傳播速度為1千米/秒，求在A處發(fā)現(xiàn)P的方位角.解因?yàn)閨PC|＝|PB|，所以P在線段BC的垂直平分線上.又因?yàn)閨PB|－|PA|＝4<6＝|AB|，所以P在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上.以線段AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的垂直平分線所在直線為y軸，正東方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.所以P點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏東30°方向.素養(yǎng)評(píng)析利用雙曲線解決實(shí)際問題的基本步驟如下：(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；(2)求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)根據(jù)雙曲線的方程及定義解決實(shí)際應(yīng)用問題.注意：①解答與雙曲線有關(guān)的應(yīng)用問題時(shí)，除要準(zhǔn)確把握題意，了解一些實(shí)際問題的相關(guān)概念，同時(shí)還要注意雙曲線的定義及性質(zhì)的靈活應(yīng)用.②實(shí)際應(yīng)用問題要注意其實(shí)際意義以及在該意義下隱藏著的變量范圍.3達(dá)標(biāo)檢測PARTTHREE√12345解析由題意知，34－n2＝n2＋16，∴2n2＝18，n2＝9.∴n＝±3.123452.若雙曲線E：

＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于

A.11 B.9 C.5 D.3√解析由雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，即|3－|PF2||＝6，解得|PF2|＝9(負(fù)值舍去)，故選B.12345又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，√123454.已知雙曲線中a＝5，c＝7，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________________.123455.已知圓C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圓C與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別作為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，則所得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________.解析令x＝0，得y2－4y＋8＝0，方程無解，即該圓與y