2020-2024年五年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編專題06 解三角形（真題5個(gè)考點(diǎn)精準(zhǔn)練+模擬練）解析版

2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題06解三角形（真題5個(gè)考點(diǎn)精準(zhǔn)練+精選模擬練）5年考情考題示例考點(diǎn)分析2024年秋考11題2024春考5題解三角形正弦定理2023秋考8、11題2023春考18題余弦定理的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)解三角形中幾何問題正弦定理、三角形面積公式2022秋考19題2022春考8題正余弦定理和面積公式正弦定理和余弦定理2021秋考18題2021春考18題正、余弦定理的應(yīng)用、三角形面積求法正弦定理，余弦定理，兩角差的余弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角形中的應(yīng)用一．正弦定理（共3小題）1．（2024?上海）三角形中，，則．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，即可求解．【解答】解：三角形中，，，由正弦定理，，，故．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．（2021?上海）已知、、為的三個(gè)內(nèi)角，、、是其三條邊，，．（1）若，求、；（2）若，求．〖祥解〗（1）由已知利用正弦定理即可求解的值；利用余弦定理即可求解的值．（2）根據(jù)已知利用兩角差的余弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求得，，的值，進(jìn)而根據(jù)正弦定理可得的值．【解答】解：（1）因?yàn)?，可得，又，可得，由于，可得．?）因?yàn)?，可得，又，可解得，，或，，因?yàn)?，可得，，可得為鈍角，若，，可得，可得，可得為鈍角，這與為鈍角矛盾，舍去，所以，由正弦定理，可得．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，兩角差的余弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．3．（2021?上海）在中，已知，．（1）若，求．（2）若，求．〖祥解〗（1）由余弦定理求得，從而求得面積；（2）由正、余弦定理求得、值，從而求得周長(zhǎng)．【解答】解：（1）由余弦定理得，解得，；（2），由正弦定理得，又，，，，，為銳角，．由余弦定理得：，又，，，得：，解得：．當(dāng)時(shí)，時(shí)；當(dāng)時(shí)，時(shí)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查余正、弦定理應(yīng)用、三角形面積求法，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．二．正弦定理與三角形的外接圓（共1小題）4．（2022?上海）已知在中，，，，則的外接圓半徑為．〖祥解〗直接利用正弦定理和余弦定理求出結(jié)果．【解答】解：在中，，，，利用余弦定理，整理得，所以，解得．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦定理和余弦定理，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．三．余弦定理（共1小題）5．（2023?上海）已知中，角，，所對(duì)的邊，，，則．〖祥解〗先利用余弦定理求出，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求解．【解答】解：，，，由余弦定理得，，又，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．四．三角形中的幾何計(jì)算（共2小題）6．（2023?上海）某公園欲建設(shè)一段斜坡，坡頂是一條直線，斜坡頂點(diǎn)距水平地面的高度為4米，坡面與水平面所成夾角為．行人每沿著斜坡向上走消耗的體力為，欲使行人走上斜坡所消耗的總體力最小，則．〖祥解〗先求出斜坡的長(zhǎng)度，求出上坡所消耗的總體力的函數(shù)關(guān)系，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可．【解答】解：斜坡的長(zhǎng)度為，上坡所消耗的總體力，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由，得，得，，由時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，由時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，即，函數(shù)取得最小值，即此時(shí)所消耗的總體力最?。蚀鸢笧椋海军c(diǎn)評(píng)】本題主要考查生活的應(yīng)用問題，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．7．（2022?上海）如圖，在同一平面上，，，為中點(diǎn)，曲線上任一點(diǎn)到距離相等，角，，關(guān)于對(duì)稱，；（1）若點(diǎn)與點(diǎn)重合，求的大小；（2）在何位置，求五邊形面積的最大值．〖祥解〗（1）在中，直接利用余弦定理求出，再結(jié)合正弦定理求解；（2）利用五邊形的對(duì)稱性，將所求的面積化為四邊形的面積計(jì)算問題，充分利用圓弧的性質(zhì)，找到最大值點(diǎn)，從而解決問題．【解答】解：（1）點(diǎn)與點(diǎn)重合，由題意可得，，，由余弦定理可得，所以，在中，由正弦定理得，所以，解得，所以的大小為；（2）如圖，連結(jié)，，，，曲線上任意一點(diǎn)到距離相等，，，關(guān)于對(duì)稱，點(diǎn)在劣弧中點(diǎn)或劣弧的中點(diǎn)位置，，則，則五邊形面積，其中，當(dāng)時(shí)，取最大值，五邊形面積的最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形的性質(zhì)、正、余弦定理和面積公式在解三角形問題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生的邏輯推理能力、運(yùn)算能力等，屬于中檔題．五．解三角形（共2小題）8．（2024?上海）已知點(diǎn)在點(diǎn)正北方向，點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向，，存在點(diǎn)滿足，，則．（精確到0.1度）〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，余弦定理，即可求解．【解答】解：在中，根據(jù)正弦定理可得，設(shè)，則，所以，①在中，根據(jù)正弦定理可得，，②聯(lián)立①②，因?yàn)椋裕糜?jì)算器可得，，即．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．9．（2023?上海）在中，角、、所對(duì)應(yīng)的邊分別為、、，其中．（1）若，，求邊長(zhǎng)；（2）若，，求的面積．〖祥解〗（1）由已知結(jié)合和差角公式及正弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)可求，，，然后結(jié)合銳角三角函數(shù)即可求解；（2）由已知結(jié)合正弦定理先求出，進(jìn)而可求，再由正弦定理求出，結(jié)合三角形面積公式可求．【解答】解：（1），且，，，，，，，；（2），則，，，，為銳角，，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了和差角公式，正弦定理，三角形的面積公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．一．選擇題（共3小題）1．（2024?奉賢區(qū)三模）在中，“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件〖祥解〗觀察兩條件的互推性即可求解．【解答】解：”“”是“的充分條件，但時(shí)有無數(shù)解，可以是或，不能推出，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分必要條件是高考的熱點(diǎn)問題，值得一做．2．（2024?嘉定區(qū)二模）嘉定某學(xué)習(xí)小組開展測(cè)量太陽(yáng)高度角的數(shù)學(xué)活動(dòng)．太陽(yáng)高度角是指某時(shí)刻太陽(yáng)光線和地平面所成的角．測(cè)量時(shí)，假設(shè)太陽(yáng)光線均為平行的直線，地面為水平平面．如圖，兩豎直墻面所成的二面角為，墻的高度均為3米．在時(shí)刻，實(shí)地測(cè)量得在太陽(yáng)光線照射下的兩面墻在地面的陰影寬度分別為1米、1.5米．在線查閱嘉定的天文資料，當(dāng)天的太陽(yáng)高度角和對(duì)應(yīng)時(shí)間的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示，則時(shí)刻最可能為太陽(yáng)高度角時(shí)間太陽(yáng)高度角時(shí)間A． B． C． D．〖祥解〗作出示意圖形，在四邊形中利用正弦定理與余弦定理，算出四邊形的外接圓直徑大小，然后在中利用銳角三角函數(shù)定義，算出的大小，即可得到本題的答案．【解答】解：如圖所示，設(shè)兩豎直墻面的交線為，點(diǎn)被太陽(yáng)光照射在地面上的影子為點(diǎn)，點(diǎn)、分別是點(diǎn)在兩條墻腳線上的射影，連接、、，由題意可知就是太陽(yáng)高度角．四邊形中，，，，中，，可得，四邊形是圓內(nèi)接四邊形，是其外接圓直徑，設(shè)的外接圓半徑為，則，中，，．對(duì)照題中表格，可知時(shí)刻時(shí)，太陽(yáng)高度角為，與最接近．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用正弦定理與余弦定理解三角形、三角函數(shù)知識(shí)在實(shí)際問題中的應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．3．（2024?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，且，則該三角形外接圓的半徑為A．1 B． C．2 D．〖祥解〗先應(yīng)用正弦定理及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)求出角，再根據(jù)正弦定理求出外接圓半徑即可．【解答】解：，，．，，，，，，設(shè)該三角形外接圓的半徑為，由正弦定理得，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦定理，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．二．填空題（共14小題）4．（2024?黃浦區(qū)二模）在中，，，，則．〖祥解〗由題意利用余弦定理即可求解．【解答】解：因?yàn)樵谥?，，，，所以由余弦定理可得．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊是，，．若，，則．〖祥解〗在中，運(yùn)用余弦定理：，代入計(jì)算即可得到．【解答】解：，又，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理及運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）的內(nèi)角、、所對(duì)邊長(zhǎng)分別為、、，面積為，且，則角．〖祥解〗由三角形的面積公式及余弦定理可得的值，再由角的范圍，可得角的大?。窘獯稹拷猓河深}意可得，由余弦定理可得，所以可得，即，而，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7．（2024?普陀區(qū)校級(jí)三模）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則．〖祥解〗由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，的值，進(jìn)而利用正弦定理可求的值．【解答】解：因?yàn)椋?，為三角形?nèi)角；，；由正弦定理可得：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024?徐匯區(qū)模擬）在中，，，，則的外接圓半徑為1〖祥解〗可求得，利用正弦定理即可求得答案．【解答】解：在中，，，，，設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理得：，．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9．（2024?閔行區(qū)校級(jí)二模）在中，其內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則的面積為3．〖祥解〗由余弦定理可求得，再由三角形的面積公式計(jì)算即可求得．【解答】解：由余弦定理得：，即，所以，所以．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用余弦定理和三角形的面積公式解三角形，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024?長(zhǎng)寧區(qū)二模）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則．〖祥解〗利用余弦定理表示出，把已知等式變形后代入計(jì)算求出的值，即可確定出的度數(shù)．【解答】解：中，，即，，則．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．11．（2024?寶山區(qū)三模）在中，若，，的面積為，則．〖祥解〗由的度數(shù)求出與的值，利用面積公式列出關(guān)系式，將，已知的面積與的值代入，求出的值，再利用余弦定理列出關(guān)系式，將，及的值代入，開方即可求出的值．【解答】解：，，的面積為，，即，由余弦定理得：，則．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．12．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）中，角，，所對(duì)的三邊分別為，，，，若的面積為1，則的最小值是．〖祥解〗，可得，由三角形的余弦定理和面積公式、同角的平方關(guān)系可得，再由換元法和二次方程有實(shí)根的思想，結(jié)合判別式大于等于0，可得所求最小值．【解答】解：設(shè)，由，可得，由的面積為1，可得，即，，由余弦定理可得，可設(shè)，，則，兩邊平方可得，即為，由△，即，解得（或舍去），當(dāng)，即，，，取得最小值，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的余弦定理和面積公式，以及同角的平方關(guān)系，考查方程思想和轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算能力，屬于中檔題．13．（2024?虹口區(qū)二模）已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，3，4，則這個(gè)三角形外接圓的直徑為．〖祥解〗由已知結(jié)合余弦定理可求出，再由同角平方關(guān)系求出，結(jié)合正弦定理即可求解．【解答】解：設(shè)，，，由余弦定理得，，所以，由正弦定理可得，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理及正弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．14．（2024?浦東新區(qū)三模）如圖，某體育公園廣場(chǎng)放置著一塊高為3米的大屏幕滾動(dòng)播放各項(xiàng)體育賽事，大屏幕下端離地面高度3.5米，若小明同學(xué)的眼睛離地面高度1.5米，則為了獲得最佳視野（最佳視野指看到大屏幕的上下夾角最大），小明應(yīng)在距離大屏幕所在的平面3.2米處觀看？（精確到0.1米）〖祥解〗根據(jù)題意作出示意圖，設(shè)，分別在與中利用銳角三角函數(shù)的定義，將與表示為的式子，然后利用兩角差的正切公式與基本不等式，算出的最大值，從而算出獲得最佳視野時(shí)小明與大屏幕所在平面的距離．【解答】解：設(shè)點(diǎn)在直線上的射影為，則就是小明與大屏幕所在平面的距離，由題意得，，設(shè)，則，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，結(jié)合正切函數(shù)在銳角范圍內(nèi)是增函數(shù)，可知：當(dāng)時(shí)，小明可以獲得觀看的最佳視野．故答案為：3.2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義、兩角差的正切公式、運(yùn)用基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．15．（2024?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)三模）如圖，地在地的正東方向，相距；地在地的北偏東方向，相距，河流沿岸（曲線）上任意一點(diǎn)到的距離比它到的距離遠(yuǎn)，現(xiàn)要在曲線上選一處建一座碼頭，向、、三地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物．經(jīng)測(cè)算，從到、兩地修建公路費(fèi)用都是10萬元，從到修建公路的費(fèi)用為20萬元．選擇合適的點(diǎn)，可使修建的三條公路總費(fèi)用最低，則總費(fèi)用最低是85.83萬元（精確到．〖祥解〗由題意可得點(diǎn)的軌跡為雙曲線的靠近點(diǎn)的一支，可得實(shí)軸長(zhǎng)的值，由題意可得總費(fèi)用，在中，由余弦定理可得的值，即求出總費(fèi)用的最小值．【解答】解：因?yàn)槭牵ㄇ€）上任意一點(diǎn)到的距離比它到的距離遠(yuǎn)，可得點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)的雙曲線的靠近點(diǎn)的一支上，設(shè)實(shí)軸長(zhǎng)為，焦距為，由題意可得，，設(shè)總費(fèi)用為（萬元），則，由題意可得，在中，，，由余弦定理可得：，所以（萬元）．故答案為：85.83．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的定義的應(yīng)用及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．16．（2024?閔行區(qū)校級(jí)模擬）如圖，河寬50米，河兩岸、的距離為100米，一個(gè)玩具氣墊船（不計(jì)大小）可以從走水路直接到，也可以從先沿著岸邊行駛一段距離，再走水路到．已知該氣墊船在水中的速度是10米分鐘，岸上的速度是20米分鐘，則從到的最短時(shí)間為8.66分鐘．（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）〖祥解〗過點(diǎn)向河對(duì)岸作垂線，垂足為點(diǎn)，設(shè)氣墊船從點(diǎn)開始走水路，設(shè)，將所需時(shí)間表示為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得最小值．【解答】解：過點(diǎn)向河對(duì)岸作垂線，垂足為點(diǎn)，設(shè)氣墊船從點(diǎn)開始走水路，設(shè)，則所需時(shí)間，所以，則當(dāng)時(shí)，取最小值，約為8.66分鐘．故答案為：8.66．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形的應(yīng)用，屬中檔題．17．（2024?金山區(qū)二模）某臨海地區(qū)為保障游客安全修建了海上救生棧道，如圖，線段、是救生棧道的一部分，其中，，在的北偏東方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在處載上遇險(xiǎn)游客需要盡快抵達(dá)救生棧道，則最短距離為475．（結(jié)果精確到〖祥解〗先在三角形中求出，再利用正弦定理，在三角形中求出，進(jìn)而轉(zhuǎn)化到三角形中求解即可．【解答】解：作交于，由題意可得，，，所以，，在中，由正弦定理可得，，即，所以，所以，所以，所以，在直角中，，即．故答案為：475．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形的應(yīng)用，屬于中檔題．三．解答題（共26小題）18．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）求；（2）若，的面積為2，求．〖祥解〗（1）利用三角形的內(nèi)角和定理可知，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，利用降冪公式化簡(jiǎn)，結(jié)合，求出，（2）由（1）可知，利用三角形的面積公式求出，再利用余弦定理即可求出．【解答】解：（1），，，，，，，；（2）由（1）可知，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的面積公式，二倍角公式和同角的三角函數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題19．（2024?靜安區(qū)二模）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，已知，，．（1）求角的大??；（2）求的值．〖祥解〗（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦定理，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，即可求解．【解答】解：（1），，，則，，則；（2），，，，則，，則．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．20．（2024?楊浦區(qū)校級(jí)三模）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（Ⅰ）試判斷的形狀；（Ⅱ）若，求周長(zhǎng)的最大值．〖祥解〗（Ⅰ）利用二倍角公式化簡(jiǎn)已知等式可得，由余弦定理得，可得，即可得解是直角三角形；（Ⅱ）由（Ⅰ）及題意可得周長(zhǎng)為，，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)?，得，可得，即，由余弦定理得，即，可得，所以是直角三角形；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直角三角形中，，，所以周長(zhǎng)為，，所以當(dāng)時(shí)，即為等腰直角三角形，周長(zhǎng)有最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二倍角公式，余弦定理，兩角和的正弦公式以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想，屬于中檔題．21．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，扇形中，圓心角，半徑為2，在半徑上有一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于的直線交弧于點(diǎn)．（1）若是半徑的中點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)；（2）若，求面積的最大值及此時(shí)的值．〖祥解〗（1）通過已知條件，利用余弦定理，求出即可；（2）首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出最值．【解答】解：（1）在中，，，由得，解得（負(fù)舍去）．（2）在中，由余弦定理可得，又，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以面積．時(shí)，取得最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：余弦定理和正弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用．屬于中檔題．22．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）△中，角、、的對(duì)邊分別為、、，已知，．（1）求；（2）已知△的面積為，點(diǎn)滿足，求的值．〖祥解〗（1）根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)已知等式，算出且，然后在△中，根據(jù)余弦定理列式算出的值；（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系算出，根據(jù)三角形的面積公式求出，可得，．然后在△中利用余弦定理算出長(zhǎng)，根據(jù)正弦定理求出，結(jié)合△是等腰三角形，求出的值．【解答】解：（1）在△中，，，由正弦定理得且，所以，根據(jù)余弦定理得．（2）根據(jù)，可得（舍負(fù)）．所以△中的面積，解得，，．由題意得，在△中，由余弦定理得，根據(jù)正弦定理得，即，解得．因?yàn)椋?，可得．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦定理與余弦定理、三角恒等變換公式、三角形的面積公式及其應(yīng)用，屬于中檔題．23．（2024?崇明區(qū)二模）在銳角三角形中，角，，的對(duì)邊分別為，，，為在方向上的投影向量，且滿足．（1）求的值；（2）若，，求的周長(zhǎng)．〖祥解〗（1）由題意可知，，代入得，再利用正弦定理求解即可；（2）由余弦定理可得，再結(jié)合可求出的值，進(jìn)而求出的值，得到的周長(zhǎng)．【解答】解：（1）為在方向上的投影向量，，又，，，又，，，，，，，又，，解得；（2），，，，，，，，，解得，，的周長(zhǎng)為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．24．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)三模）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，．（1）求；（2）若的面積為，邊上的高為1，求的周長(zhǎng)．〖祥解〗（1）由已知結(jié)合正弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)可求，進(jìn)而可求；（2）結(jié)合三角形面積公式可求出及，然后結(jié)合余弦定理即可求解，進(jìn)而可求三角形周長(zhǎng)．【解答】解：（1）因?yàn)?，由正弦定理，得，即，因?yàn)樵谥?，，所以．又因?yàn)?，所以；?）因?yàn)榈拿娣e為，邊上的高為1，所以，得．即，所以．由余弦定理，得，即，化簡(jiǎn)得，所以，即，所以的周長(zhǎng)為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．25．（2024?閔行區(qū)三模）在中，角、、所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為、、，已知，．（1）若，求；（2）若，求的面積．〖祥解〗（1）根據(jù)正弦定理求邊長(zhǎng)后再應(yīng)用余弦定理求解即可；（2）先求出角，再求出邊長(zhǎng)，最后應(yīng)用面積公式求解可得．【解答】解：（1）由，應(yīng)用正弦定理得，，，即得；（2）因?yàn)?，則，又由正弦定理得，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．26．（2024?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）在中，，，分別是角，，所對(duì)的邊，，，．（1）求的值；（2）求的值．〖祥解〗（1）由余弦定理直接求出的值；（2）由余弦定理可得的值，進(jìn)而求出的值，再由兩角差的余弦公式，可得的值．【解答】解：（1）中，，，，由余弦定理可得，即，整理可得：，解得或（舍，所以；（2）由余弦定理可得，在三角形中，可得，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理的應(yīng)用，兩角差的余弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．27．（2024?青浦區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，，，為角，，的對(duì)邊，且滿足，且，求角的值．〖祥解〗（1）首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用整體思想求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）首先利用正弦定理，二倍角公式可得，分類討論即可求解．【解答】解：（1）由題意得，，由，解得：，所以單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由及正弦定理可得，因?yàn)樵谥校瑒t，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，，因?yàn)?，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．28．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，，．（1）求角；（2）求的面積．〖祥解〗（1）根據(jù)題意，利用余弦定理，即可得出答案；（2）由（1）得，，，利用正弦定理求出，求出，利用三角形的面積公式，即可得出答案．【解答】解：（1）在中，，即，由余弦定理得，，；（2）由（1）得，，，由正弦定理得，即，解得，又，的面積．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．29．（2024?閔行區(qū)二模）在銳角中，角、、所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為、、，且．（1）求角；（2）求的取值范圍．〖祥解〗（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可求，結(jié)合為銳角，即可求解的值；（2）由題意可求得，可得，，可得，，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可求，即可得解的取值范圍．【解答】解：（1），，又，，為銳角三角形，；（2）為銳角三角形，，，解得，，，可得，，則，，的取值范圍是，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換以及正弦函數(shù)的性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．30．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)的內(nèi)角、、所對(duì)邊分別為、、，若．（1）求證：、、成等差數(shù)列；（2）若、、均為整數(shù)，且存在唯一的鈍角滿足條件，求角的大小．〖祥解〗（1）根據(jù)題意化簡(jiǎn)已知等式，得到，然后利用兩角和的正弦公式與誘導(dǎo)公式，推導(dǎo)出，結(jié)合正弦定理算出，可證出、、成等差數(shù)列；（2）設(shè)等差數(shù)列、、的公差為，利用“三角形兩邊之和大于第三邊”與余弦定理，列式算出，然后根據(jù)三邊長(zhǎng)為整數(shù)且鈍角的唯一存在，推算出，進(jìn)而算出、、的大小，再利用余弦定理算出角的大小．【解答】（1）證明：因?yàn)?，所以，即，可得，即，因?yàn)樵谥?，，所以，結(jié)合正弦定理，可得，即、、成等差數(shù)列；（2）若中，，且是鈍角三角形，則由余弦定理得，設(shè)等差數(shù)列、、的公差為，則，可得，整理得，解得，由，得，解得，所以，因?yàn)?、、均為整?shù)，且存在唯一的鈍角滿足條件，所以公差，，，，，因此，滿足條件的中，角的大小為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩角和的正弦公式與誘導(dǎo)公式、正弦定理與余弦定理及其應(yīng)用、等差數(shù)列的定義與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．31．（2024?普陀區(qū)模擬）設(shè)函數(shù)，，，它的最小正周期為．（1）若函數(shù)是偶函數(shù)，求的值；（2）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，，求的值．〖祥解〗（1）利用正弦函數(shù)的周期公式可求，又函數(shù)是偶函數(shù)，結(jié)合，即可求解的值；（2）由，可得，結(jié)合題意利用正弦定理可求，由余弦定理可求，進(jìn)而可求的值．【解答】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，且，所以，即，則，又函數(shù)是偶函數(shù)，則，，即，又，則；（2）由（1）可得，又，可得，又，，則，即，由余弦定理得，即，則．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦函數(shù)的周期公式，三角函數(shù)的奇偶性以及正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．32．（2024?寶山區(qū)二模）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，已知．（1）求角的大?。唬?）若的面積為，求的最小值，并判斷此時(shí)的形狀．〖祥解〗（1）利用邊角互化思想得，由余弦定理求出的值，從而得出角的值；（2）由三角形的面積公式得出的值，再由基本不等式即可計(jì)算得解．【解答】解：（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，因?yàn)槭侨切蝺?nèi)角，所以；（2）由三角形面積公式得：，解得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為4，此時(shí)為等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．33．（2024?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）（1）已知，求的值．（2）已知中，，且，判斷的形狀，并說明理由．〖祥解〗（1）由已知結(jié)合兩角和的正切公式可求，然后結(jié)合同角基本關(guān)系可求；（2）由兩角和的正切公式先求，進(jìn)而可求，，再由二倍角公式及特殊角三角函數(shù)值求出，即可判斷．【解答】解：（1），原式，（2）因?yàn)?，所以，，且，所以或，即或，?dāng)，則，此時(shí)無意義，矛盾．當(dāng)，則，滿足題意，此時(shí)是正三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩角和的正切公式，三角形的誘導(dǎo)公式及二倍角公式，屬于中檔題．34．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足，求（B）的取值范圍．〖祥解〗（Ⅰ）由二倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得所求區(qū)間；（Ⅱ）由三角形的余弦定理求得，可得的范圍，再由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得所求取值范圍．【解答】解：（Ⅰ），令，則，所以，單調(diào)減區(qū)間是．（Ⅱ），由得：，由余弦定理可得，于是三角形的內(nèi)角，在中，得，于是，則，所以，則（B）的取值范圍是，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的余弦定理和三角函數(shù)的恒等變換，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．35．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)模擬）在△中，角，，的對(duì)邊分別為，，，．（1）求角；（2）若△為鈍角三角形，且，求的取值范圍．〖祥解〗（1）化切為弦，然后根據(jù)兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)即可求解；（2）利用正弦定理化邊為角，根據(jù)輔助角公式化為，結(jié)合角的范圍利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解范圍．【解答】解：（1）因?yàn)?，所以，即，所以，又因?yàn)椋?，又且，所以；?）由正弦定理，得，所以，所以，因?yàn)椤魇氢g角三角形，不妨設(shè)為鈍角，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以的取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用正余弦定理和三角恒等變換知識(shí)解三角形，屬于中檔題．36．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）在銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，．（1）求的大?。唬?）若，，為的中點(diǎn)，求．〖祥解〗（1）由已知結(jié)合正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可求，進(jìn)而可求；（2）由已知結(jié)合余弦定理可求，然后結(jié)合向量的線性表示及向量數(shù)量積的性質(zhì)可求．【解答】解：（1）由結(jié)合正弦定理得，，所以，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，所以，因?yàn)?，所以；?）在中，因?yàn)椋?，所以，解得或，?dāng)時(shí)，，則為鈍角，不符合題意，則，，所以，故．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．37．（2024?普陀區(qū)校級(jí)三模）已知在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，且滿足．（1）若，求的面積；（2）求的最大值，并求其取得最大值時(shí)的值．〖祥解〗（1）首先由余弦定理求出，再結(jié)合三角形面積公式即可求解；（2）由正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換即可求解．【解答】解：（1）因?yàn)?，，所以，由正弦定理可得，而，可得，又因?yàn)?，可得；由余弦定理可得：，，，可得，解得或，?dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得；（2），，由正弦定理可得：，所以，，所以，其中，，，，因?yàn)樵谥?，，所以，?dāng)時(shí)，取到最大值，此時(shí)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，輔助角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．38．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．（1）求的值；（2）若，求面積的最大值．〖祥解〗（1）由正弦定理可得的值，再由角的范圍可得角的大??；（2）由余弦定理及基本不等式可得的最大值，進(jìn)而求出三角形面積的最大值．【解答】解：（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，在三角形中，，可得，，可得或；?），當(dāng)，由余弦定理可得：，可得，此時(shí)，所以該三角形面積的最大值為．當(dāng)，，可得，此時(shí)，此時(shí)三角形的面積最大值為．綜上所述：該三角形面積的最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．39．（2024?楊浦區(qū)校級(jí)三模）在中，設(shè)角、、所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為、、，已知．（1）求角的大??；（2）當(dāng)，時(shí)，求邊長(zhǎng)和的面積．〖祥解〗（1）借助正弦定理將邊化為角，結(jié)合及兩角和的正弦公式計(jì)算化簡(jiǎn)即可得；（2）根據(jù)正弦定理即可計(jì)算出，結(jié)合可求出，用正弦定理即可得到，再使用面積公式即可得到面積．【解答】解：（1）由正弦定理得，由于，則，展開得，化簡(jiǎn)得，則，所以；（2）由正弦定理，得，即有，因?yàn)椋允卿J角，即，因?yàn)?，所以，由正弦定理，得，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由正弦定理、和角公式及三角形面積公式解三角形，屬中檔題．40．（2024?普陀區(qū)校級(jí)模擬）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，．（1）求；（2）若點(diǎn)是上的點(diǎn)，平分，且，求面積的最小值．〖祥解〗（1）利用正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)已知等式，可得，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系，即可求得答案；（2）利用面積相等，即，推出，利用基本不等式結(jié)合三角形面積公式，即可求得答案．【解答】解：（1）因?yàn)?，所以由正弦定理得：，即，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，又因?yàn)?，所以；?）因?yàn)辄c(diǎn)是上的點(diǎn)，平分，且，所以，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以面積的最小值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用正、余弦定理，三角恒等變換知識(shí)，三角形的面積公式解三角形，屬于中檔題．41．（2024?奉賢區(qū)三模）已知三角形的三個(gè)角對(duì)應(yīng)的邊分別為、、．（1）求證：存在以，，為三邊的三角形；（2）若以，，為三邊的三角形為等腰直角三角形，求三角形的最小角．〖祥解〗（1）利用正弦定理即可證明；（2）設(shè)，得到或，再分情況討論即可．【解答】證：（1）顯然，，，因?yàn)?，，?gòu)成三角形，故，設(shè)其外接圓半徑為，由正弦定理可得，即，同理可得，，故存在以，，為三邊的三角形；（2）因?yàn)?，，，故，，為銳角，不妨設(shè)，則或，當(dāng)時(shí)，，（舍，當(dāng)，，則，則，又，故，，因?yàn)闉殇J角，故，則，，則三角形的最小角為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角變換以及正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．42．（2024?嘉定區(qū)二模）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，．（1）求角，并計(jì)算的值；（2）若，且是銳角三角形，求的最大值．〖祥解〗（1）由已知結(jié)合二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可求，進(jìn)而可求；（2）由已知銳角三角形可先求出的范圍，然后結(jié)合正弦定理可表示，然后結(jié)合和差角公式及輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）因?yàn)榍覟槿切蝺?nèi)角，所以或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（2）由題意結(jié)合（1）得，所以，解得，，因?yàn)?，由正弦定理得，，所以，，所以，，，則，，，故當(dāng)時(shí)，取得最大值．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二倍角公式，和差角公式及輔助角公式的應(yīng)用，還考查了正弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．43．（2024?楊浦區(qū)二模）已知．（1）若的最小正周期為，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）已知，中，，，分別是角，，所對(duì)的邊，若，，，求的值．〖祥解〗（1）結(jié)合周期公式可求，再求出，結(jié)合函數(shù)奇偶性定義即可求解；（2）由已知若可求出，結(jié)合余弦定理可求．【解答】解：（1）由題意可得，，，，，，，，不是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)；（2），則，，，，，，，，即，，解得，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷，余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．專題06解三角形（真題5個(gè)考點(diǎn)精準(zhǔn)練+精選模擬練）5年考情考題示例考點(diǎn)分析2024年秋考11題2024春考5題解三角形正弦定理2023秋考8、11題2023春考18題余弦定理的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)解三角形中幾何問題正弦定理、三角形面積公式2022秋考19題2022春考8題正余弦定理和面積公式正弦定理和余弦定理2021秋考18題2021春考18題正、余弦定理的應(yīng)用、三角形面積求法正弦定理，余弦定理，兩角差的余弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角形中的應(yīng)用一．正弦定理（共3小題）1．（2024?上海）三角形中，，則．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，即可求解．【解答】解：三角形中，，，由正弦定理，，，故．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．（2021?上海）已知、、為的三個(gè)內(nèi)角，、、是其三條邊，，．（1）若，求、；（2）若，求．〖祥解〗（1）由已知利用正弦定理即可求解的值；利用余弦定理即可求解的值．（2）根據(jù)已知利用兩角差的余弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求得，，的值，進(jìn)而根據(jù)正弦定理可得的值．【解答】解：（1）因?yàn)?，可得，又，可得，由于，可得．?）因?yàn)椋傻?，又，可解得，，或，，因?yàn)椋傻?，，可得為鈍角，若，，可得，可得，可得為鈍角，這與為鈍角矛盾，舍去，所以，由正弦定理，可得．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，兩角差的余弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．3．（2021?上海）在中，已知，．（1）若，求．（2）若，求．〖祥解〗（1）由余弦定理求得，從而求得面積；（2）由正、余弦定理求得、值，從而求得周長(zhǎng)．【解答】解：（1）由余弦定理得，解得，；（2），由正弦定理得，又，，，，，為銳角，．由余弦定理得：，又，，，得：，解得：．當(dāng)時(shí)，時(shí)；當(dāng)時(shí)，時(shí)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查余正、弦定理應(yīng)用、三角形面積求法，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．二．正弦定理與三角形的外接圓（共1小題）4．（2022?上海）已知在中，，，，則的外接圓半徑為．〖祥解〗直接利用正弦定理和余弦定理求出結(jié)果．【解答】解：在中，，，，利用余弦定理，整理得，所以，解得．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦定理和余弦定理，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．三．余弦定理（共1小題）5．（2023?上海）已知中，角，，所對(duì)的邊，，，則．〖祥解〗先利用余弦定理求出，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求解．【解答】解：，，，由余弦定理得，，又，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．四．三角形中的幾何計(jì)算（共2小題）6．（2023?上海）某公園欲建設(shè)一段斜坡，坡頂是一條直線，斜坡頂點(diǎn)距水平地面的高度為4米，坡面與水平面所成夾角為．行人每沿著斜坡向上走消耗的體力為，欲使行人走上斜坡所消耗的總體力最小，則．〖祥解〗先求出斜坡的長(zhǎng)度，求出上坡所消耗的總體力的函數(shù)關(guān)系，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可．【解答】解：斜坡的長(zhǎng)度為，上坡所消耗的總體力，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由，得，得，，由時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，由時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，即，函數(shù)取得最小值，即此時(shí)所消耗的總體力最?。蚀鸢笧椋海军c(diǎn)評(píng)】本題主要考查生活的應(yīng)用問題，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．7．（2022?上海）如圖，在同一平面上，，，為中點(diǎn)，曲線上任一點(diǎn)到距離相等，角，，關(guān)于對(duì)稱，；（1）若點(diǎn)與點(diǎn)重合，求的大??；（2）在何位置，求五邊形面積的最大值．〖祥解〗（1）在中，直接利用余弦定理求出，再結(jié)合正弦定理求解；（2）利用五邊形的對(duì)稱性，將所求的面積化為四邊形的面積計(jì)算問題，充分利用圓弧的性質(zhì)，找到最大值點(diǎn)，從而解決問題．【解答】解：（1）點(diǎn)與點(diǎn)重合，由題意可得，，，由余弦定理可得，所以，在中，由正弦定理得，所以，解得，所以的大小為；（2）如圖，連結(jié)，，，，曲線上任意一點(diǎn)到距離相等，，，關(guān)于對(duì)稱，點(diǎn)在劣弧中點(diǎn)或劣弧的中點(diǎn)位置，，則，則五邊形面積，其中，當(dāng)時(shí)，取最大值，五邊形面積的最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形的性質(zhì)、正、余弦定理和面積公式在解三角形問題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生的邏輯推理能力、運(yùn)算能力等，屬于中檔題．五．解三角形（共2小題）8．（2024?上海）已知點(diǎn)在點(diǎn)正北方向，點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向，，存在點(diǎn)滿足，，則．（精確到0.1度）〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，余弦定理，即可求解．【解答】解：在中，根據(jù)正弦定理可得，設(shè)，則，所以，①在中，根據(jù)正弦定理可得，，②聯(lián)立①②，因?yàn)?，所以，利用?jì)算器可得，，即．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．9．（2023?上海）在中，角、、所對(duì)應(yīng)的邊分別為、、，其中．（1）若，，求邊長(zhǎng)；（2）若，，求的面積．〖祥解〗（1）由已知結(jié)合和差角公式及正弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)可求，，，然后結(jié)合銳角三角函數(shù)即可求解；（2）由已知結(jié)合正弦定理先求出，進(jìn)而可求，再由正弦定理求出，結(jié)合三角形面積公式可求．【解答】解：（1），且，，，，，，，；（2），則，，，，為銳角，，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了和差角公式，正弦定理，三角形的面積公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．一．選擇題（共3小題）1．（2024?奉賢區(qū)三模）在中，“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件〖祥解〗觀察兩條件的互推性即可求解．【解答】解：”“”是“的充分條件，但時(shí)有無數(shù)解，可以是或，不能推出，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分必要條件是高考的熱點(diǎn)問題，值得一做．2．（2024?嘉定區(qū)二模）嘉定某學(xué)習(xí)小組開展測(cè)量太陽(yáng)高度角的數(shù)學(xué)活動(dòng)．太陽(yáng)高度角是指某時(shí)刻太陽(yáng)光線和地平面所成的角．測(cè)量時(shí)，假設(shè)太陽(yáng)光線均為平行的直線，地面為水平平面．如圖，兩豎直墻面所成的二面角為，墻的高度均為3米．在時(shí)刻，實(shí)地測(cè)量得在太陽(yáng)光線照射下的兩面墻在地面的陰影寬度分別為1米、1.5米．在線查閱嘉定的天文資料，當(dāng)天的太陽(yáng)高度角和對(duì)應(yīng)時(shí)間的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示，則時(shí)刻最可能為太陽(yáng)高度角時(shí)間太陽(yáng)高度角時(shí)間A． B． C． D．〖祥解〗作出示意圖形，在四邊形中利用正弦定理與余弦定理，算出四邊形的外接圓直徑大小，然后在中利用銳角三角函數(shù)定義，算出的大小，即可得到本題的答案．【解答】解：如圖所示，設(shè)兩豎直墻面的交線為，點(diǎn)被太陽(yáng)光照射在地面上的影子為點(diǎn)，點(diǎn)、分別是點(diǎn)在兩條墻腳線上的射影，連接、、，由題意可知就是太陽(yáng)高度角．四邊形中，，，，中，，可得，四邊形是圓內(nèi)接四邊形，是其外接圓直徑，設(shè)的外接圓半徑為，則，中，，．對(duì)照題中表格，可知時(shí)刻時(shí)，太陽(yáng)高度角為，與最接近．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用正弦定理與余弦定理解三角形、三角函數(shù)知識(shí)在實(shí)際問題中的應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．3．（2024?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，且，則該三角形外接圓的半徑為A．1 B． C．2 D．〖祥解〗先應(yīng)用正弦定理及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)求出角，再根據(jù)正弦定理求出外接圓半徑即可．【解答】解：，，．，，，，，，設(shè)該三角形外接圓的半徑為，由正弦定理得，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦定理，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．二．填空題（共14小題）4．（2024?黃浦區(qū)二模）在中，，，，則．〖祥解〗由題意利用余弦定理即可求解．【解答】解：因?yàn)樵谥?，，，，所以由余弦定理可得．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊是，，．若，，則．〖祥解〗在中，運(yùn)用余弦定理：，代入計(jì)算即可得到．【解答】解：，又，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理及運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）的內(nèi)角、、所對(duì)邊長(zhǎng)分別為、、，面積為，且，則角．〖祥解〗由三角形的面積公式及余弦定理可得的值，再由角的范圍，可得角的大小．【解答】解：由題意可得，由余弦定理可得，所以可得，即，而，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7．（2024?普陀區(qū)校級(jí)三模）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則．〖祥解〗由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，的值，進(jìn)而利用正弦定理可求的值．【解答】解：因?yàn)?，且，為三角形?nèi)角；，；由正弦定理可得：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024?徐匯區(qū)模擬）在中，，，，則的外接圓半徑為1〖祥解〗可求得，利用正弦定理即可求得答案．【解答】解：在中，，，，，設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理得：，．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9．（2024?閔行區(qū)校級(jí)二模）在中，其內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，則的面積為3．〖祥解〗由余弦定理可求得，再由三角形的面積公式計(jì)算即可求得．【解答】解：由余弦定理得：，即，所以，所以．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用余弦定理和三角形的面積公式解三角形，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024?長(zhǎng)寧區(qū)二模）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則．〖祥解〗利用余弦定理表示出，把已知等式變形后代入計(jì)算求出的值，即可確定出的度數(shù)．【解答】解：中，，即，，則．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．11．（2024?寶山區(qū)三模）在中，若，，的面積為，則．〖祥解〗由的度數(shù)求出與的值，利用面積公式列出關(guān)系式，將，已知的面積與的值代入，求出的值，再利用余弦定理列出關(guān)系式，將，及的值代入，開方即可求出的值．【解答】解：，，的面積為，，即，由余弦定理得：，則．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．12．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）中，角，，所對(duì)的三邊分別為，，，，若的面積為1，則的最小值是．〖祥解〗，可得，由三角形的余弦定理和面積公式、同角的平方關(guān)系可得，再由換元法和二次方程有實(shí)根的思想，結(jié)合判別式大于等于0，可得所求最小值．【解答】解：設(shè)，由，可得，由的面積為1，可得，即，，由余弦定理可得，可設(shè)，，則，兩邊平方可得，即為，由△，即，解得（或舍去），當(dāng)，即，，，取得最小值，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的余弦定理和面積公式，以及同角的平方關(guān)系，考查方程思想和轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算能力，屬于中檔題．13．（2024?虹口區(qū)二模）已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，3，4，則這個(gè)三角形外接圓的直徑為．〖祥解〗由已知結(jié)合余弦定理可求出，再由同角平方關(guān)系求出，結(jié)合正弦定理即可求解．【解答】解：設(shè)，，，由余弦定理得，，所以，由正弦定理可得，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理及正弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．14．（2024?浦東新區(qū)三模）如圖，某體育公園廣場(chǎng)放置著一塊高為3米的大屏幕滾動(dòng)播放各項(xiàng)體育賽事，大屏幕下端離地面高度3.5米，若小明同學(xué)的眼睛離地面高度1.5米，則為了獲得最佳視野（最佳視野指看到大屏幕的上下夾角最大），小明應(yīng)在距離大屏幕所在的平面3.2米處觀看？（精確到0.1米）〖祥解〗根據(jù)題意作出示意圖，設(shè)，分別在與中利用銳角三角函數(shù)的定義，將與表示為的式子，然后利用兩角差的正切公式與基本不等式，算出的最大值，從而算出獲得最佳視野時(shí)小明與大屏幕所在平面的距離．【解答】解：設(shè)點(diǎn)在直線上的射影為，則就是小明與大屏幕所在平面的距離，由題意得，，設(shè)，則，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，結(jié)合正切函數(shù)在銳角范圍內(nèi)是增函數(shù)，可知：當(dāng)時(shí)，小明可以獲得觀看的最佳視野．故答案為：3.2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義、兩角差的正切公式、運(yùn)用基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．15．（2024?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)三模）如圖，地在地的正東方向，相距；地在地的北偏東方向，相距，河流沿岸（曲線）上任意一點(diǎn)到的距離比它到的距離遠(yuǎn)，現(xiàn)要在曲線上選一處建一座碼頭，向、、三地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物．經(jīng)測(cè)算，從到、兩地修建公路費(fèi)用都是10萬元，從到修建公路的費(fèi)用為20萬元．選擇合適的點(diǎn)，可使修建的三條公路總費(fèi)用最低，則總費(fèi)用最低是85.83萬元（精確到．〖祥解〗由題意可得點(diǎn)的軌跡為雙曲線的靠近點(diǎn)的一支，可得實(shí)軸長(zhǎng)的值，由題意可得總費(fèi)用，在中，由余弦定理可得的值，即求出總費(fèi)用的最小值．【解答】解：因?yàn)槭牵ㄇ€）上任意一點(diǎn)到的距離比它到的距離遠(yuǎn)，可得點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)的雙曲線的靠近點(diǎn)的一支上，設(shè)實(shí)軸長(zhǎng)為，焦距為，由題意可得，，設(shè)總費(fèi)用為（萬元），則，由題意可得，在中，，，由余弦定理可得：，所以（萬元）．故答案為：85.83．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的定義的應(yīng)用及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．16．（2024?閔行區(qū)校級(jí)模擬）如圖，河寬50米，河兩岸、的距離為100米，一個(gè)玩具氣墊船（不計(jì)大小）可以從走水路直接到，也可以從先沿著岸邊行駛一段距離，再走水路到．已知該氣墊船在水中的速度是10米分鐘，岸上的速度是20米分鐘，則從到的最短時(shí)間為8.66分鐘．（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）〖祥解〗過點(diǎn)向河對(duì)岸作垂線，垂足為點(diǎn)，設(shè)氣墊船從點(diǎn)開始走水路，設(shè)，將所需時(shí)間表示為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得最小值．【解答】解：過點(diǎn)向河對(duì)岸作垂線，垂足為點(diǎn)，設(shè)氣墊船從點(diǎn)開始走水路，設(shè)，則所需時(shí)間，所以，則當(dāng)時(shí)，取最小值，約為8.66分鐘．故答案為：8.66．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形的應(yīng)用，屬中檔題．17．（2024?金山區(qū)二模）某臨海地區(qū)為保障游客安全修建了海上救生棧道，如圖，線段、是救生棧道的一部分，其中，，在的北偏東方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在處載上遇險(xiǎn)游客需要盡快抵達(dá)救生棧道，則最短距離為475．（結(jié)果精確到〖祥解〗先在三角形中求出，再利用正弦定理，在三角形中求出，進(jìn)而轉(zhuǎn)化到三角形中求解即可．【解答】解：作交于，由題意可得，，，所以，，在中，由正弦定理可得，，即，所以，所以，所以，所以，在直角中，，即．故答案為：475．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形的應(yīng)用，屬于中檔題．三．解答題（共26小題）18．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）求；（2）若，的面積為2，求．〖祥解〗（1）利用三角形的內(nèi)角和定理可知，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，利用降冪公式化簡(jiǎn)，結(jié)合，求出，（2）由（1）可知，利用三角形的面積公式求出，再利用余弦定理即可求出．【解答】解：（1），，，，，，，；（2）由（1）可知，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的面積公式，二倍角公式和同角的三角函數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題19．（2024?靜安區(qū)二模）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，已知，，．（1）求角的大?。唬?）求的值．〖祥解〗（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦定理，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，即可求解．【解答】解：（1），，，則，，則；（2），，，，則，，則．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．20．（2024?楊浦區(qū)校級(jí)三模）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（Ⅰ）試判斷的形狀；（Ⅱ）若，求周長(zhǎng)的最大值．〖祥解〗（Ⅰ）利用二倍角公式化簡(jiǎn)已知等式可得，由余弦定理得，可得，即可得解是直角三角形；（Ⅱ）由（Ⅰ）及題意可得周長(zhǎng)為，，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)?，得，可得，即，由余弦定理得，即，可得，所以是直角三角形；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直角三角形中，，，所以周長(zhǎng)為，，所以當(dāng)時(shí)，即為等腰直角三角形，周長(zhǎng)有最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二倍角公式，余弦定理，兩角和的正弦公式以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想，屬于中檔題．21．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，扇形中，圓心角，半徑為2，在半徑上有一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于的直線交弧于點(diǎn)．（1）若是半徑的中點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)；（2）若，求面積的最大值及此時(shí)的值．〖祥解〗（1）通過已知條件，利用余弦定理，求出即可；（2）首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出最值．【解答】解：（1）在中，，，由得，解得（負(fù)舍去）．（2）在中，由余弦定理可得，又，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以面積．時(shí)，取得最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：余弦定理和正弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用．屬于中檔題．22．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）△中，角、、的對(duì)邊分別為、、，已知，．（1）求；（2）已知△的面積為，點(diǎn)滿足，求的值．〖祥解〗（1）根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)已知等式，算出且，然后在△中，根據(jù)余弦定理列式算出的值；（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系算出，根據(jù)三角形的面積公式求出，可得，．然后在△中利用余弦定理算出長(zhǎng)，根據(jù)正弦定理求出，結(jié)合△是等腰三角形，求出的值．【解答】解：（1）在△中，，，由正弦定理得且，所以，根據(jù)余弦定理得．（2）根據(jù)，可得（舍負(fù)）．所以△中的面積，解得，，．由題意得，在△中，由余弦定理得，根據(jù)正弦定理得，即，解得．因?yàn)椋?，可得．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦定理與余弦定理、三角恒等變換公式、三角形的面積公式及其應(yīng)用，屬于中檔題．23．（2024?崇明區(qū)二模）在銳角三角形中，角，，的對(duì)邊分別為，，，為在方向上的投影向量，且滿足．（1）求的值；（2）若，，求的周長(zhǎng)．〖祥解〗（1）由題意可知，，代入得，再利用正弦定理求解即可；（2）由余弦定理可得，再結(jié)合可求出的值，進(jìn)而求出的值，得到的周長(zhǎng)．【解答】解：（1）為在方向上的投影向量，，又，，，又，，，，，，，又，，解得；（2），，，，，，，，，解得，，的周長(zhǎng)為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．24．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)三模）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，．（1）求；（2）若的面積為，邊上的高為1，求的周長(zhǎng)．〖祥解〗（1）由已知結(jié)合正弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)可求，進(jìn)而可求；（2）結(jié)合三角形面積公式可求出及，然后結(jié)合余弦定理即可求解，進(jìn)而可求三角形周長(zhǎng)．【解答】解：（1）因?yàn)?，由正弦定理，得，即，因?yàn)樵谥校?，所以．又因?yàn)?，所以；?）因?yàn)榈拿娣e為，邊上的高為1，所以，得．即，所以．由余弦定理，得，即，化簡(jiǎn)得，所以，即，所以的周長(zhǎng)為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．25．（2024?閔行區(qū)三模）在中，角、、所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為、、，已知，．（1）若，求；（2）若，求的面積．〖祥解〗（1）根據(jù)正弦定理求邊長(zhǎng)后再應(yīng)用余弦定理求解即可；（2）先求出角，再求出邊長(zhǎng)，最后應(yīng)用面積公式求解可得．【解答】解：（1）由，應(yīng)用正弦定理得，，，即得；（2）因?yàn)?，則，又由正弦定理得，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．26．（2024?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）在中，，，分別是角，，所對(duì)的邊，，，．（1）求的值；（2）求的值．〖祥解〗（1）由余弦定理直接求出的值；（2）由余弦定理可得的值，進(jìn)而求出的值，再由兩角差的余弦公式，可得的值．【解答】解：（1）中，，，，由余弦定理可得，即，整理可得：，解得或（舍，所以；（2）由余弦定理可得，在三角形中，可得，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理的應(yīng)用，兩角差的余弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．27．（2024?青浦區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，，，為角，，的對(duì)邊，且滿足，且，求角的值．〖祥解〗（1）首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用整體思想求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）首先利用正弦定理，二倍角公式可得，分類討論即可求解．【解答】解：（1）由題意得，，由，解得：，所以單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由及正弦定理可得，因?yàn)樵谥?，，則，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，，因?yàn)?，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．28．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，，．（1）求角；（2）求的面積．〖祥解〗（1）根據(jù)題意，利用余弦定理，即可得出答案；（2）由（1）得，，，利用正弦定理求出，求出，利用三角形的面積公式，即可得出答案．【解答】解：（1）在中，，即，由余弦定理得，，；（2）由（1）得，，，由正弦定理得，即，解得，又，的面積．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．29．（2024?閔行區(qū)二模）在銳角中，角、、所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為、、，且．（1）求角；（2）求的取值范圍．〖祥解〗（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可求，結(jié)合為銳角，即可求解的值；（2）由題意可求得，可得，，可得，，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可求，即可得解的取值范圍．【解答】解：（1），，又，，為銳角三角形，；（2）為銳角三角形，，，解得，，，可得，，則，，的取值范圍是，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換以及正弦函數(shù)的性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．30．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)的內(nèi)角、、所對(duì)邊分別為、、，若．（1）求證：、、成等差數(shù)列；（2）若、、均為整數(shù)，且存在唯一的鈍角滿足條件，求角的大?。枷榻狻剑?）根據(jù)題意化簡(jiǎn)已知等式，得到，然后利用兩角和的正弦公式與誘導(dǎo)公式，推導(dǎo)出，結(jié)合正弦定理算出，可證出、、成等差數(shù)列；（2）設(shè)等差數(shù)列、、的公差為，利用“三角形兩邊之和大于第三邊”與余弦定理，列式算出，然后根據(jù)三邊長(zhǎng)為整數(shù)且鈍角的唯一存在，推算出，進(jìn)而算出、、的大小，再利用余弦定理算出角的大?。窘獯稹浚?）證明：因?yàn)椋?，即，可得，即，因?yàn)樵谥校?，所以，結(jié)合正弦定理，可得，即、、成等差數(shù)列；（2）若中，，且是鈍角三角形，則由余弦定理得，設(shè)等差數(shù)列、、的公差為，則，可得，整理得，解得，由，得，解得，所以，因?yàn)?、、均為整?shù)，且存在唯一的鈍角滿足條件，所以公差，，，，，因此，滿足條件的中，角的大小為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩角和的正弦公式與誘導(dǎo)公式、正弦定理與余弦定理及其應(yīng)用、等差數(shù)列的定義與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．31．（2024?普陀區(qū)模擬）設(shè)函數(shù)，，，它的最小正周期為．（1）若函數(shù)是偶函數(shù)，求的值；（2）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，，求的值．〖祥解〗（1）利用正弦函數(shù)的周期公式可求，又函數(shù)是偶函數(shù)，結(jié)合，即可求解的值；（2）由，可得，結(jié)合題意利用正弦定理可求，由余弦定理可求，進(jìn)而可求的值．【解答】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，且，所以，即，則，又函數(shù)是偶函數(shù)，則，，即，又，則；（2）由（1）可得，又，可得，又，，則，即，由余弦定理得，即，則．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦函數(shù)的周期公式，三角函數(shù)的奇偶性以及正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．32．（2024?寶山區(qū)二模）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，已知．（1）求角的大小；（2）若的面積為，求的最小值，并判斷此時(shí)的形狀．〖祥解〗（1）利用邊角互化思想得，由余弦定理求出的值，從而得出角的值；（2）由三角形的面積公式得出的值，再由基本不等式即可計(jì)算得解．【解答】解：（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，因?yàn)槭侨切蝺?nèi)角，所以；（2）由三角形面積公式得：，解得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為4，此時(shí)為等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．33．（2024?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）（1）已知，求的值．（2）已知中，，且，判斷的形狀，并說明理由．〖祥解〗（1）由已知結(jié)合兩角和的正切公式可求，然后結(jié)合同角基本關(guān)系可求；（2）由兩角和的正切公式先求，進(jìn)而可求，，再由二倍角公式及特殊角三角函數(shù)值求出，即可判斷．【解答】解：（1），原式，（2）因?yàn)?，所以，，且，所以或，即或，?dāng)，則，此時(shí)無意義，矛盾．當(dāng)，則，滿足題意，此時(shí)是正三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩角和的正切公式，三角形的誘導(dǎo)公式及二倍角公式，屬于中檔題．34．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足，求（B）的取值范圍．〖祥解〗（Ⅰ）由二倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得所求區(qū)間；（Ⅱ）由三角形的余弦定理求得，可得的范圍，再由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得所求取值范圍．【解答】解：（Ⅰ），令，則，所以，單調(diào)減區(qū)間是．（Ⅱ）