2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章數(shù)列5.2.1.2等差數(shù)列的性質(zhì)學(xué)案含解析新人教B版選擇性必修第三冊(cè)

PAGE第2課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)必備學(xué)問·素養(yǎng)奠基1.等差中項(xiàng):假如x,A,y是等差數(shù)列,那么稱A是x與y的等差中項(xiàng),且A=QUOTE.2.等差數(shù)列中項(xiàng)與序號(hào)的關(guān)系(1)兩項(xiàng)關(guān)系an=am+(n-m)d(m,n∈N+).(2)多項(xiàng)關(guān)系若s+t=p+q(p,q,s,t∈N+),則as+at=ap+aq.特殊地,若2s=p+q,則2as=ap+aq.如何證明若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),則am+an=ap+aq?提示:因?yàn)閍m=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)d.所以am+an=2a1+(m+n-2)d.同理,ap+aq=2a1+(p+q-2)d,因?yàn)閙+n=p+q,所以am+an=ap+aq.3.等差數(shù)列的項(xiàng)的對(duì)稱性文字?jǐn)⑹鲈谟懈F等差數(shù)列中,與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和符號(hào)表示n為偶數(shù)n≥2a1+an=a2+an-1=…=QUOTE+QUOTEn為奇數(shù)n≥3a1+an=a2+an-1=…=2QUOTE4.由等差數(shù)列構(gòu)成的新等差數(shù)列(1)條件{an},{bn}分別是公差為d1,d2的等差數(shù)列.(2)結(jié)論數(shù)列結(jié)論{c+an}公差為d1的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){c·an}公差為cd1的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){an+an+k}公差為2d1的等差數(shù)列(k為常數(shù),k∈N+){pan+qbn}公差為pd1+qd2的等差數(shù)列(p,q為常數(shù))5.等差數(shù)列的單調(diào)性等差數(shù)列{an}的公差為d,(1)當(dāng)d>0時(shí),數(shù)列{an}為遞增數(shù)列.(2)當(dāng)d<0時(shí),數(shù)列{an}為遞減數(shù)列.(3)當(dāng)d=0時(shí),數(shù)列{an}為常數(shù)列.1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)若{an}是等差數(shù)列,則{|an|}也是等差數(shù)列. ()(2)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,則a1,a3,a5,a7,a9也是等差數(shù)列. ()(3)在等差數(shù)列{an}中,若am+an=ap+aq,則m+n=p+q也能成立(m,n,p,q∈N+). ()(4)在等差數(shù)列{an}中,若m+n=r,m,n,r∈N+,則am+an=ar. ()提示:(1)×.如-2,-1,0,1,2是等差數(shù)列,但其肯定值就不是等差數(shù)列.(2)√.若等差數(shù)列{an}公差為d,則a1,a3,a5,a7,a9也是等差數(shù)列,且其公差為2d.(3)×.若數(shù)列{an}是常數(shù)列,則m+n=p+q不肯定成立.(4)×.如等差數(shù)列1,3,5,7,9中,a1+a2≠a3.2.在等差數(shù)列{an}中,已知a1=1,a3+a5=8,則a7= ()A.5 B.6 C.7 D.8【解析】選C.由題意,依據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì),有a1+a7=a3+a5.所以a7=a3+a5-a1=8-1=7.3.若2,a,b,c,9成等差數(shù)列,則c-a=________.

【解析】設(shè)公差為d,則9=2+4d,所以d=QUOTE.所以c-a=2d=QUOTE.答案:QUOTE關(guān)鍵實(shí)力·素養(yǎng)形成類型一等差中項(xiàng)的應(yīng)用【典例】1.已知a=QUOTE,b=QUOTE,則a,b的等差中項(xiàng)為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE2.{an}是等差數(shù)列,a1與a2的等差中項(xiàng)為1,a2與a3的等差中項(xiàng)為2,則公差d= ()A.2 B.QUOTE C.1 D.QUOTE3.已知QUOTE,QUOTE,QUOTE成等差數(shù)列,證明QUOTE,QUOTE,QUOTE成等差數(shù)列.【思維·引】1.a,b的等差中項(xiàng)為QUOTE(a+b).2.依據(jù)等差中項(xiàng)的定義列出兩個(gè)等量關(guān)系,兩式相減即可求出公差.3.由于所求證的是三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,所以可用等差中項(xiàng)來證明.【解析】1.選A.a,b的等差中項(xiàng)為QUOTE×QUOTE=QUOTE×(QUOTE-QUOTE+QUOTE+QUOTE)=QUOTE.2.選C.因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,a1與a2的等差中項(xiàng)為1,a2,a3的等差中項(xiàng)為2,所以a1+a2=2,a2+a3=4,兩式相減得a3-a1=2d=4-2,解得d=1.3.因?yàn)镼UOTE,QUOTE,QUOTE成等差數(shù)列,所以QUOTE=QUOTE+QUOTE,化簡(jiǎn)得2ac=b(a+c),又QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2·QUOTE,所以QUOTE,QUOTE,QUOTE成等差數(shù)列.【內(nèi)化·悟】三數(shù)a,b,c成等差數(shù)列的條件是什么?可用來解決什么問題?提示:條件是b=QUOTE(或2b=a+c),可用來解決等差數(shù)列的判定或有關(guān)等差中項(xiàng)的計(jì)算問題.【類題·通】1.等差中項(xiàng)的應(yīng)用策略(1)涉及等差數(shù)列中相鄰三項(xiàng)問題可用等差中項(xiàng)求解.(2)在一個(gè)等差數(shù)列中,從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng),即2an=an-1+an+1;事實(shí)上,等差數(shù)列中的某一項(xiàng)是與其等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng),即2an=an-m+an+m(m,n∈N+,m<n).2.等差中項(xiàng)法判定等差數(shù)列若數(shù)列{an}滿意2an=an-1+an+1(n≥2),則可判定數(shù)列{an}是等差數(shù)列.【習(xí)練·破】1.一個(gè)等差數(shù)列的前4項(xiàng)是a,x,b,2x,則QUOTE等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.QUOTE所以a=QUOTE,b=QUOTEx.所以QUOTE=QUOTE.2.已知QUOTE,QUOTE,QUOTE成等差數(shù)列,試證:a2,b2,c2也成等差數(shù)列.【證明】由已知QUOTE,QUOTE,QUOTE成等差數(shù)列,可得QUOTE=QUOTE+QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以(2b+a+c)(c+a)=2(b+c)(a+b),所以a2+c2=2b2,所以a2,b2,c2也成等差數(shù)列.【加練·固】已知b是a,c的等差中項(xiàng),且lg(a+1),lg(b-1),lg(c-1)成等差數(shù)列,同時(shí)a+b+c=15,求a,b,c的值.【解析】因?yàn)?b=a+c,a+b+c=15,所以3b=15,b=5.設(shè)等差數(shù)列a,b,c的公差為d,則a=5-d,c=5+d.由2lg(b-1)=lg(a+1)+lg(c-1)知:2lg4=lg(6-d)+lg(4+d).從而16=(6-d)(4+d),即d2-2d-8=0.所以d=4或d=-2.所以a,b,c三個(gè)數(shù)分別為1,5,9或7,5,3.類型二等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用【典例】1.在等差數(shù)列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,則a4+a5+a6等于 ()A.40 B.42 C.43 D.452.已知{an},{bn}是兩個(gè)等差數(shù)列,其中a1=3,b1=-3,且a20-b20=6,那么a10-b10的值為 ()A.-6 B.6 C.0 D.103.若{an}為等差數(shù)列,a15=8,a60=20,求a75.【思維·引】1.由已知條件可以求首項(xiàng)和公差,留意到a4+a6=2a5,可快速求值;2.關(guān)鍵是留意到{an-bn}也是等差數(shù)列,3.思路一:干脆列出關(guān)于首項(xiàng)、公差的方程組求解;思路二:依據(jù)a15,a30,a45,a60,a75為等差數(shù)列求解;思路三:利用性質(zhì)an=am+(n-m)d(m,n∈N+)求解.【解析】1.選B.由QUOTE即QUOTE得d=3.所以a5=2+4×3=14,所以a4+a5+a6=3a5=42.2.選B.由于{an},{bn}都是等差數(shù)列,所以{an-bn}也是等差數(shù)列,而a1-b1=6,a20-b20=6,所以{an-bn}是常數(shù)列,故a10-b10=6.3.方法一:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)閍15=a1+14d,a60=a1+59d,所以QUOTE解得QUOTE所以a75=a1+74d=QUOTE+74×QUOTE=24.方法二:因?yàn)閧an}為等差數(shù)列,所以a15,a30,a45,a60,a75也為等差數(shù)列.設(shè)其公差為d,則a15為首項(xiàng),a60為第4項(xiàng),所以a60=a15+3d,即20=8+3d,解得d=4.所以a75=a60+d=20+4=24.方法三:因?yàn)閍60=a15+(60-15)d,所以d=QUOTE=QUOTE.所以a75=a60+(75-60)d=20+15×QUOTE=24.【內(nèi)化·悟】對(duì)于新構(gòu)成的等差數(shù)列,解題時(shí)要留意什么問題?提示:要留意推斷新構(gòu)成的等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差.【類題·通】等差數(shù)列運(yùn)算的兩條常用思路(1)依據(jù)已知條件,列出關(guān)于a1,d的方程(組),確定a1,d,然后求其他量.(2)利用性質(zhì)巧解,視察等差數(shù)列中項(xiàng)的序號(hào),若滿意m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N+),則am+an=ap+aq=2ar.特殊提示:遞增等差數(shù)列d>0,遞減等差數(shù)列d<0,解題時(shí)要留意數(shù)列的單調(diào)性對(duì)d取值的限制.【習(xí)練·破】1.在等差數(shù)列{an}中,a1+a4+a7=58,a2+a5+a8=44,則a3+a6+a9的值為 ()A.30 B.27 C.24 D.21【解析】選A.設(shè)b1=a1+a4+a7=58,b2=a2+a5+a8=44,b3=a3+a6+a9.因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,所以b1,b2,b3也是等差數(shù)列,得b1+b3=2b2,所以b3=2b2-b1=2×44-58=30,即a3+a6+a9=30.2.已知數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,若b3=-2,b10=12,則b8=________.

【解析】方法一:因?yàn)閧bn}為等差數(shù)列,所以可設(shè)其公差為d,則d=QUOTE=QUOTE=2,所以bn=b3+(n-3)d=2n-8.所以b8=2×8-8=8.方法二:由QUOTE=QUOTE=d,得b8=QUOTE×5+b3=2×5+(-2)=8.答案:8【加練·固】在等差數(shù)列{an}中,a1+a3+a5=-12,且a1·a3·a5=80.求通項(xiàng)an.【解析】因?yàn)閍1+a5=2a3,所以QUOTE?解得a1=-10,a5=2或a1=2,a5=-10,因?yàn)閐=QUOTE,所以d=3或-3,所以an=-10+3(n-1)=3n-13,或an=2-3(n-1)=-3n+5.類型三等差數(shù)列中對(duì)稱設(shè)項(xiàng)法的應(yīng)用【典例】設(shè)三個(gè)數(shù)成單調(diào)遞減的等差數(shù)列,三個(gè)數(shù)的和為12,三個(gè)數(shù)的積為48,求這三個(gè)數(shù).【思維·引】三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,可設(shè)這三個(gè)數(shù)為a+d,a,a-d.【解析】設(shè)這三數(shù)為a+d,a,a-d,則a-d+a+a+d=12,①(a-d)·a·(a+d)=48,②,由①②解得:a=4,d=2(d=-2舍去),所以這三個(gè)數(shù)為6,4,2.【素養(yǎng)·探】在解等差數(shù)列中對(duì)稱設(shè)項(xiàng)法的應(yīng)用有關(guān)的問題時(shí),常常利用核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算,通過探討等差數(shù)列的各項(xiàng)之間的關(guān)系,巧設(shè)未知數(shù),解方程組求解.將本例的條件“遞減”改為“遞增”,“三個(gè)數(shù)的和為12,三個(gè)數(shù)的積為48”改為“三個(gè)數(shù)的和為21,三個(gè)數(shù)的積為231”,試求這三個(gè)數(shù).【解析】設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為a-d,a,a+d,由題意,得QUOTE即QUOTE解得QUOTE因?yàn)榈炔顢?shù)列是遞增數(shù)列,所以d=4.所以這三個(gè)數(shù)為3,7,11.【類題·通】設(shè)等差數(shù)列的三個(gè)技巧(1)對(duì)于連續(xù)奇數(shù)項(xiàng)的等差數(shù)列,可設(shè)為:…,x-d,x,x+d,…,此時(shí)公差為d.(2)對(duì)于連續(xù)偶數(shù)項(xiàng)的等差數(shù)列,通?？稍O(shè)為:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,此時(shí)公差為2d.(3)等差數(shù)列的通項(xiàng)可設(shè)為an=pn+q.【習(xí)練·破】已知四個(gè)數(shù)依次成等差數(shù)列且是遞增數(shù)列,四個(gè)數(shù)的平方和為94,首尾兩數(shù)之積比中間兩數(shù)之積少18,求此等差數(shù)列.【解析】設(shè)四個(gè)數(shù)為a-3d,a-d,a+d,a+3d,則QUOTE又遞增數(shù)列d>0,所以解得a=±QUOTE,d=QUOTE,此等差數(shù)列為-1,2,5,8或-8,-5,-2,1.類型四等差數(shù)列的應(yīng)用角度1與其他學(xué)問的綜合應(yīng)用【典例】(2024·濮陽(yáng)高二檢測(cè))已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等差數(shù)列{an}中,a5=3,則a3a7的最大值為________.

【思維·引】利用等差數(shù)列的性質(zhì)、均值不等式取最值.【解析】依題意,等差數(shù)列{an}各項(xiàng)都為正數(shù),所以a3>0,a7>0,所以a3a7≤QUOTE=(a5)2=9.當(dāng)且僅當(dāng)a3=a7=3時(shí)等號(hào)成立.答案:9角度2實(shí)際應(yīng)用【典例】(2024·濰坊高二檢測(cè))《周髀算經(jīng)》中有一個(gè)問題,從冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長(zhǎng)依次成等差數(shù)列,若冬至、立春、春分的日影子長(zhǎng)的和是37.5尺,芒種的日影子長(zhǎng)為4.5尺,則冬至的日影子長(zhǎng)為 ()A.12.5尺B.10.5尺C.15.5尺D.9.5尺【思維·引】將條件用首項(xiàng)a1,公差d表示,求出a1后即可.【解析】選C.設(shè)此等差數(shù)列{an}的公差為d,則a1+a4+a7=3a1+9d=37.5,a1+11d=4.5,解得d=-1,a1=15.5.【內(nèi)化·悟】解決數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題,要關(guān)注哪些問題?提示:(1)仔細(xì)領(lǐng)悟題意,依據(jù)題目條件,找尋有用的信息.若一組數(shù)按次序“定量”增加或削減時(shí),則這組數(shù)成等差數(shù)列.(2)合理地構(gòu)建等差數(shù)列模型是解決這類問題的關(guān)鍵,在解題過程中,肯定要分清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等關(guān)鍵的問題.【類題·通】1.解決數(shù)列綜合問題的方法策略(1)結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)或利用等差中項(xiàng).(2)利用通項(xiàng)公式,得到一個(gè)以首項(xiàng)a1和公差d為未知數(shù)的方程或不等式.(3)利用函數(shù)或不等式的有關(guān)方法解決.2.解決等差數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的步驟特殊提示:在利用數(shù)列方法解決實(shí)際問題時(shí),肯定要弄清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等關(guān)鍵問題.【習(xí)練·破】1.若關(guān)于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a≠b)的4個(gè)根可組成首項(xiàng)為QUOTE的等差數(shù)列,則a+b的值為 ()A.38 B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.推斷各個(gè)根對(duì)應(yīng)數(shù)列的項(xiàng)數(shù).因?yàn)槊總€(gè)方程的兩個(gè)根的和都為1,故必有一個(gè)方程的根為QUOTE和QUOTE,不妨設(shè)方程x2-x+a=0的根為QUOTE和QUOTE.QUOTE為等差數(shù)列的首項(xiàng),QUOTE為等差數(shù)列4項(xiàng)中的某一項(xiàng),由x2-x+b=0的兩根和為1,且兩根為等差數(shù)列中的后3項(xiàng)中的兩項(xiàng),知只有QUOTE為第4項(xiàng),才能滿意中間兩項(xiàng)之和為1的條件,所以四根的排列依次為QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,所以a+b=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.2.古代中國(guó)數(shù)學(xué)輝煌絢麗,在《張邱建算經(jīng)》中記載:“今有十等人,大官甲等十人官賜金,以等次差降之.上三人先入,得金四斤持出;下四人后入,得金三斤持出;中心三人未到者,亦依等次更給.問:各得金幾何及未到三人復(fù)應(yīng)得金幾何?”則該問題中未到三人共得金________斤.

【解析】設(shè)十人得金按等級(jí)依次設(shè)為a1,a2,…,a10,則a1,a2,…,a10成等差數(shù)列,且QUOTE設(shè)等差數(shù)列a1,a2,…,a10的公差為d,則QUOTE解得d=-QUOTE,所以a4+a5+a6=(a1+a2+a3)+9d=QUOTE.答案:QUOTE【加練·固】方程f(x)=x的根稱為函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn),若函數(shù)f(x)=QUOTE有唯一不動(dòng)點(diǎn),且x1=1000,xn+1=QUOTE,n=1,2,3,…,則x2004等于 ()A.2004 B.QUOTE C.QUOTE D.2003【解析】選B.令f(x)=x,則QUOTE=x,因?yàn)閍x2+(2a-1)x=0有唯一不動(dòng)點(diǎn),則2a-1=0,即a=QUOTE,所以f(x)=QUOTE,xn+1=QUOTE=QUOTE=QUOTE=xn+QUOTE,即xn+1-xn=QUOTE(常數(shù)).所以{xn}是首項(xiàng)為1000,公差為QUOTE的等差數(shù)列.所以x2004=1000+2003×QUOTE=QUOTE.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.已知2,b的等差中項(xiàng)為5,則b為 ()A.QUOTE B.6 C.8 D.10【